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krahets 10963b9c01 deploy
2026-11-04 02:54:11 +08:00

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<title>14.8 練習問題 - Hello Algo</title>
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<script data-ha-shared-palette="1">
/* Share only the palette across language roots; other preferences stay scoped. */
(() => {
const get = __md_get;
const set = __md_set;
const shared = new URL("/", location);
__md_get = (key, storage = localStorage, scope = __md_scope) => {
if (key !== "__palette") return get(key, storage, scope);
let value = get(key, storage, shared);
// Adopt the current language's old preference only if none is shared yet.
if (value === null && scope.pathname !== shared.pathname) {
value = get(key, storage, scope);
if (value !== null) set(key, value, storage, shared);
}
return value;
};
__md_set = (key, value, storage = localStorage, scope = __md_scope) =>
set(key, value, storage, key === "__palette" ? shared : scope);
})();
</script>
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<input autocomplete="off" class="md-toggle" data-md-toggle="search" id="__search" type="checkbox"/>
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<a aria-label="Hello Algo" class="md-header__button md-logo" data-md-component="logo" href="../.." title="Hello Algo">
<img alt="Hello Algo" src="../../assets/images/logo.svg"/>
</a>
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<svg class="lucide lucide-menu" fill="none" stroke="currentColor" stroke-linecap="round" stroke-linejoin="round" stroke-width="2" viewbox="0 0 24 24" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"><path d="M4 5h16M4 12h16M4 19h16"></path></svg>
</label>
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<div class="md-header__ellipsis">
<div class="md-header__topic">
<span class="md-ellipsis">
Hello Algo
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<div class="md-header__topic" data-md-component="header-topic">
<span class="md-ellipsis">
14.8   練習問題
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<input aria-label="ダークモードに切り替える" class="md-option" data-md-color-accent="teal" data-md-color-media="none" data-md-color-primary="white" data-md-color-scheme="default" id="__palette_0" name="__palette" type="radio"/>
<label class="md-header__button md-icon" for="__palette_1" hidden="" title="ダークモードに切り替える">
<svg viewbox="0 0 24 24" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"><path d="M7.5 2c-1.79 1.15-3 3.18-3 5.5s1.21 4.35 3.03 5.5C4.46 13 2 10.54 2 7.5A5.5 5.5 0 0 1 7.5 2m11.57 1.5 1.43 1.43L4.93 20.5 3.5 19.07zm-6.18 2.43L11.41 5 9.97 6l.42-1.7L9 3.24l1.75-.12.58-1.65L12 3.1l1.73.03-1.35 1.13zm-3.3 3.61-1.16-.73-1.12.78.34-1.32-1.09-.83 1.36-.09.45-1.29.51 1.27 1.36.03-1.05.87zM19 13.5a5.5 5.5 0 0 1-5.5 5.5c-1.22 0-2.35-.4-3.26-1.07l7.69-7.69c.67.91 1.07 2.04 1.07 3.26m-4.4 6.58 2.77-1.15-.24 3.35zm4.33-2.7 1.15-2.77 2.2 2.54zm1.15-4.96-1.14-2.78 3.34.24zM9.63 18.93l2.77 1.15-2.53 2.19z"></path></svg>
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<label class="md-header__button md-icon" for="__palette_0" hidden="" title="ライトモードに切り替える">
<svg viewbox="0 0 24 24" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"><path d="M7.5 2c-1.79 1.15-3 3.18-3 5.5s1.21 4.35 3.03 5.5C4.46 13 2 10.54 2 7.5A5.5 5.5 0 0 1 7.5 2m11.57 1.5 1.43 1.43L4.93 20.5 3.5 19.07zm-6.18 2.43L11.41 5 9.97 6l.42-1.7L9 3.24l1.75-.12.58-1.65L12 3.1l1.73.03-1.35 1.13zm-3.3 3.61-1.16-.73-1.12.78.34-1.32-1.09-.83 1.36-.09.45-1.29.51 1.27 1.36.03-1.05.87zM19 13.5a5.5 5.5 0 0 1-5.5 5.5c-1.22 0-2.35-.4-3.26-1.07l7.69-7.69c.67.91 1.07 2.04 1.07 3.26m-4.4 6.58 2.77-1.15-.24 3.35zm4.33-2.7 1.15-2.77 2.2 2.54zm1.15-4.96-1.14-2.78 3.34.24zM9.63 18.93l2.77 1.15-2.53 2.19z"></path></svg>
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<script>var palette=__md_get("__palette");if(palette&&palette.color){if("(prefers-color-scheme)"===palette.color.media){var media=matchMedia("(prefers-color-scheme: light)"),input=document.querySelector(media.matches?"[data-md-color-media='(prefers-color-scheme: light)']":"[data-md-color-media='(prefers-color-scheme: dark)']");palette.color.media=input.getAttribute("data-md-color-media"),palette.color.scheme=input.getAttribute("data-md-color-scheme"),palette.color.primary=input.getAttribute("data-md-color-primary"),palette.color.accent=input.getAttribute("data-md-color-accent")}for(var[key,value]of Object.entries(palette.color))document.body.setAttribute("data-md-color-"+key,value)}</script>
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</button>
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<a class="md-select__link" href="/zh-hant/chapter_dynamic_programming/exercises/" hreflang="zh-Hant">
繁體中文
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</li>
<li class="md-select__item">
<a class="md-select__link" href="/en/chapter_dynamic_programming/exercises/" hreflang="en">
English
</a>
</li>
<li class="md-select__item">
<a class="md-select__link" href="/ja/chapter_dynamic_programming/exercises/" hreflang="ja">
日本語
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</li>
<li class="md-select__item">
<a class="md-select__link" href="/ru/chapter_dynamic_programming/exercises/" hreflang="ru">
Русский
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<li class="md-select__item">
<a class="md-select__link" href="/ko/chapter_dynamic_programming/exercises/" hreflang="ko">
한국어
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検索
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Hello Algo
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序文
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<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
序文
</label>
<ul class="md-nav__list" data-md-scrollfix="">
</ul>
</nav>
</li>
<li class="md-nav__item md-nav__item--nested">
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<span class="md-ellipsis">
第 0 章   はじめに
</span>
</a>
<label class="md-nav__link" for="__nav_2" id="__nav_2_label" tabindex="0">
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
</label>
</div>
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<label class="md-nav__title" for="__nav_2">
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
第 0 章   はじめに
</label>
<ul class="md-nav__list" data-md-scrollfix="">
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="../../chapter_preface/about_the_book/">
<span class="md-ellipsis">
0.1   本書について
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="../../chapter_preface/suggestions/">
<span class="md-ellipsis">
0.2   本書の使い方
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="../../chapter_preface/summary/">
<span class="md-ellipsis">
0.3   まとめ
</span>
</a>
</li>
</ul>
</nav>
</li>
<li class="md-nav__item md-nav__item--nested">
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<span class="md-ellipsis">
第 1 章   アルゴリズムとの出会い
</span>
</a>
<label class="md-nav__link" for="__nav_3" id="__nav_3_label" tabindex="0">
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
</label>
</div>
<nav aria-expanded="false" aria-labelledby="__nav_3_label" class="md-nav" data-md-level="1">
<label class="md-nav__title" for="__nav_3">
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
第 1 章   アルゴリズムとの出会い
</label>
<ul class="md-nav__list" data-md-scrollfix="">
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="../../chapter_introduction/algorithms_are_everywhere/">
<span class="md-ellipsis">
1.1   アルゴリズムはどこにでもある
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="../../chapter_introduction/what_is_dsa/">
<span class="md-ellipsis">
1.2   アルゴリズムとは
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="../../chapter_introduction/summary/">
<span class="md-ellipsis">
1.3   まとめ
</span>
</a>
</li>
</ul>
</nav>
</li>
<li class="md-nav__item md-nav__item--nested">
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<span class="md-ellipsis">
第 2 章   計算量の解析
</span>
</a>
<label class="md-nav__link" for="__nav_4" id="__nav_4_label" tabindex="0">
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
</label>
</div>
<nav aria-expanded="false" aria-labelledby="__nav_4_label" class="md-nav" data-md-level="1">
<label class="md-nav__title" for="__nav_4">
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
第 2 章   計算量の解析
</label>
<ul class="md-nav__list" data-md-scrollfix="">
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="../../chapter_computational_complexity/performance_evaluation/">
<span class="md-ellipsis">
2.1   アルゴリズムの効率の評価
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="../../chapter_computational_complexity/iteration_and_recursion/">
<span class="md-ellipsis">
2.2   反復と再帰
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="../../chapter_computational_complexity/time_complexity/">
<span class="md-ellipsis">
2.3   時間計算量
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="../../chapter_computational_complexity/space_complexity/">
<span class="md-ellipsis">
2.4   空間計算量
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="../../chapter_computational_complexity/summary/">
<span class="md-ellipsis">
2.5   まとめ
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="../../chapter_computational_complexity/exercises/">
<span class="md-ellipsis">
2.6   練習問題
</span>
</a>
</li>
</ul>
</nav>
</li>
<li class="md-nav__item md-nav__item--nested">
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<span class="md-ellipsis">
第 3 章   データ構造
</span>
</a>
<label class="md-nav__link" for="__nav_5" id="__nav_5_label" tabindex="0">
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
</label>
</div>
<nav aria-expanded="false" aria-labelledby="__nav_5_label" class="md-nav" data-md-level="1">
<label class="md-nav__title" for="__nav_5">
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
第 3 章   データ構造
</label>
<ul class="md-nav__list" data-md-scrollfix="">
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="../../chapter_data_structure/classification_of_data_structure/">
<span class="md-ellipsis">
3.1   データ構造の分類
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="../../chapter_data_structure/basic_data_types/">
<span class="md-ellipsis">
3.2   基本データ型
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="../../chapter_data_structure/number_encoding/">
<span class="md-ellipsis">
3.3   数値の符号化 *
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="../../chapter_data_structure/character_encoding/">
<span class="md-ellipsis">
3.4   文字エンコーディング *
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="../../chapter_data_structure/summary/">
<span class="md-ellipsis">
3.5   まとめ
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="../../chapter_data_structure/exercises/">
<span class="md-ellipsis">
3.6   練習問題
</span>
</a>
</li>
</ul>
</nav>
</li>
<li class="md-nav__item md-nav__item--nested">
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<span class="md-ellipsis">
第 4 章   配列と連結リスト
</span>
</a>
<label class="md-nav__link" for="__nav_6" id="__nav_6_label" tabindex="0">
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
</label>
</div>
<nav aria-expanded="false" aria-labelledby="__nav_6_label" class="md-nav" data-md-level="1">
<label class="md-nav__title" for="__nav_6">
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
第 4 章   配列と連結リスト
</label>
<ul class="md-nav__list" data-md-scrollfix="">
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="../../chapter_array_and_linkedlist/array/">
<span class="md-ellipsis">
4.1   配列
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="../../chapter_array_and_linkedlist/linked_list/">
<span class="md-ellipsis">
4.2   連結リスト
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="../../chapter_array_and_linkedlist/list/">
<span class="md-ellipsis">
4.3   リスト
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="../../chapter_array_and_linkedlist/ram_and_cache/">
<span class="md-ellipsis">
4.4   メモリとキャッシュ *
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="../../chapter_array_and_linkedlist/summary/">
<span class="md-ellipsis">
4.5   まとめ
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="../../chapter_array_and_linkedlist/exercises/">
<span class="md-ellipsis">
4.6   練習問題
</span>
</a>
</li>
</ul>
</nav>
</li>
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<span class="md-ellipsis">
第 5 章   スタックとキュー
</span>
</a>
<label class="md-nav__link" for="__nav_7" id="__nav_7_label" tabindex="0">
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
</label>
</div>
<nav aria-expanded="false" aria-labelledby="__nav_7_label" class="md-nav" data-md-level="1">
<label class="md-nav__title" for="__nav_7">
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
第 5 章   スタックとキュー
</label>
<ul class="md-nav__list" data-md-scrollfix="">
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="../../chapter_stack_and_queue/stack/">
<span class="md-ellipsis">
5.1   スタック
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="../../chapter_stack_and_queue/queue/">
<span class="md-ellipsis">
5.2   キュー
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="../../chapter_stack_and_queue/deque/">
<span class="md-ellipsis">
5.3   両端キュー
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="../../chapter_stack_and_queue/summary/">
<span class="md-ellipsis">
5.4   まとめ
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="../../chapter_stack_and_queue/exercises/">
<span class="md-ellipsis">
5.5   練習問題
</span>
</a>
</li>
</ul>
</nav>
</li>
<li class="md-nav__item md-nav__item--nested">
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<span class="md-ellipsis">
第 6 章   ハッシュテーブル
</span>
</a>
<label class="md-nav__link" for="__nav_8" id="__nav_8_label" tabindex="0">
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
</label>
</div>
<nav aria-expanded="false" aria-labelledby="__nav_8_label" class="md-nav" data-md-level="1">
<label class="md-nav__title" for="__nav_8">
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
第 6 章   ハッシュテーブル
</label>
<ul class="md-nav__list" data-md-scrollfix="">
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="../../chapter_hashing/hash_map/">
<span class="md-ellipsis">
6.1   ハッシュテーブル
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="../../chapter_hashing/hash_collision/">
<span class="md-ellipsis">
6.2   ハッシュ衝突
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="../../chapter_hashing/hash_algorithm/">
<span class="md-ellipsis">
6.3   ハッシュアルゴリズム
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="../../chapter_hashing/summary/">
<span class="md-ellipsis">
6.4   まとめ
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="../../chapter_hashing/exercises/">
<span class="md-ellipsis">
6.5   練習問題
</span>
</a>
</li>
</ul>
</nav>
</li>
<li class="md-nav__item md-nav__item--nested">
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<span class="md-ellipsis">
第 7 章   木
</span>
</a>
<label class="md-nav__link" for="__nav_9" id="__nav_9_label" tabindex="0">
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
</label>
</div>
<nav aria-expanded="false" aria-labelledby="__nav_9_label" class="md-nav" data-md-level="1">
<label class="md-nav__title" for="__nav_9">
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
第 7 章   木
</label>
<ul class="md-nav__list" data-md-scrollfix="">
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="../../chapter_tree/binary_tree/">
<span class="md-ellipsis">
7.1   二分木
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="../../chapter_tree/binary_tree_traversal/">
<span class="md-ellipsis">
7.2   二分木の走査
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="../../chapter_tree/array_representation_of_tree/">
<span class="md-ellipsis">
7.3   二分木の配列表現
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="../../chapter_tree/binary_search_tree/">
<span class="md-ellipsis">
7.4   二分探索木
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="../../chapter_tree/avl_tree/">
<span class="md-ellipsis">
7.5   AVL 木 *
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="../../chapter_tree/summary/">
<span class="md-ellipsis">
7.6   まとめ
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
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<span class="md-ellipsis">
7.7   練習問題
</span>
</a>
</li>
</ul>
</nav>
</li>
<li class="md-nav__item md-nav__item--nested">
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<span class="md-ellipsis">
第 8 章   ヒープ
</span>
</a>
<label class="md-nav__link" for="__nav_10" id="__nav_10_label" tabindex="0">
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
</label>
</div>
<nav aria-expanded="false" aria-labelledby="__nav_10_label" class="md-nav" data-md-level="1">
<label class="md-nav__title" for="__nav_10">
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
第 8 章   ヒープ
</label>
<ul class="md-nav__list" data-md-scrollfix="">
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="../../chapter_heap/heap/">
<span class="md-ellipsis">
8.1   ヒープ
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="../../chapter_heap/build_heap/">
<span class="md-ellipsis">
8.2   ヒープの構築
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="../../chapter_heap/top_k/">
<span class="md-ellipsis">
8.3   Top-k 問題
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="../../chapter_heap/summary/">
<span class="md-ellipsis">
8.4   まとめ
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="../../chapter_heap/exercises/">
<span class="md-ellipsis">
8.5   練習問題
</span>
</a>
</li>
</ul>
</nav>
</li>
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<span class="md-ellipsis">
第 9 章   グラフ
</span>
</a>
<label class="md-nav__link" for="__nav_11" id="__nav_11_label" tabindex="0">
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
</label>
</div>
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<label class="md-nav__title" for="__nav_11">
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
第 9 章   グラフ
</label>
<ul class="md-nav__list" data-md-scrollfix="">
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="../../chapter_graph/graph/">
<span class="md-ellipsis">
9.1   グラフ
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="../../chapter_graph/graph_operations/">
<span class="md-ellipsis">
9.2   グラフの基本操作
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="../../chapter_graph/graph_traversal/">
<span class="md-ellipsis">
9.3   グラフの走査
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="../../chapter_graph/summary/">
<span class="md-ellipsis">
9.4   まとめ
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="../../chapter_graph/exercises/">
<span class="md-ellipsis">
9.5   練習問題
</span>
</a>
</li>
</ul>
</nav>
</li>
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<span class="md-ellipsis">
第 10 章   探索
</span>
</a>
<label class="md-nav__link" for="__nav_12" id="__nav_12_label" tabindex="0">
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
</label>
</div>
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<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
第 10 章   探索
</label>
<ul class="md-nav__list" data-md-scrollfix="">
<li class="md-nav__item">
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<span class="md-ellipsis">
10.1   二分探索
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="../../chapter_searching/binary_search_insertion/">
<span class="md-ellipsis">
10.2   二分探索で挿入位置を探す
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="../../chapter_searching/binary_search_edge/">
<span class="md-ellipsis">
10.3   二分探索で境界を探す
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="../../chapter_searching/replace_linear_by_hashing/">
<span class="md-ellipsis">
10.4   ハッシュを使った最適化
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="../../chapter_searching/searching_algorithm_revisited/">
<span class="md-ellipsis">
10.5   探索アルゴリズムを改めて考える
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="../../chapter_searching/summary/">
<span class="md-ellipsis">
10.6   まとめ
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="../../chapter_searching/exercises/">
<span class="md-ellipsis">
10.7   練習問題
</span>
</a>
</li>
</ul>
</nav>
</li>
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<span class="md-ellipsis">
第 11 章   ソート
</span>
</a>
<label class="md-nav__link" for="__nav_13" id="__nav_13_label" tabindex="0">
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
</label>
</div>
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<label class="md-nav__title" for="__nav_13">
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
第 11 章   ソート
</label>
<ul class="md-nav__list" data-md-scrollfix="">
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="../../chapter_sorting/sorting_algorithm/">
<span class="md-ellipsis">
11.1   ソートアルゴリズム
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
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<span class="md-ellipsis">
11.2   選択ソート
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
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<span class="md-ellipsis">
11.3   バブルソート
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
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<span class="md-ellipsis">
11.4   挿入ソート
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
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<span class="md-ellipsis">
11.5   クイックソート
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
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<span class="md-ellipsis">
11.6   マージソート
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="../../chapter_sorting/heap_sort/">
<span class="md-ellipsis">
11.7   ヒープソート
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
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<span class="md-ellipsis">
11.8   バケットソート
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
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<span class="md-ellipsis">
11.9   カウントソート
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
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<span class="md-ellipsis">
11.10   基数ソート
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="../../chapter_sorting/summary/">
<span class="md-ellipsis">
11.11   まとめ
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="../../chapter_sorting/exercises/">
<span class="md-ellipsis">
11.12   練習問題
</span>
</a>
</li>
</ul>
</nav>
</li>
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<span class="md-ellipsis">
第 12 章   分割統治
</span>
</a>
<label class="md-nav__link" for="__nav_14" id="__nav_14_label" tabindex="0">
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
</label>
</div>
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<label class="md-nav__title" for="__nav_14">
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
第 12 章   分割統治
</label>
<ul class="md-nav__list" data-md-scrollfix="">
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="../../chapter_divide_and_conquer/divide_and_conquer/">
<span class="md-ellipsis">
12.1   分割統治アルゴリズム
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="../../chapter_divide_and_conquer/binary_search_recur/">
<span class="md-ellipsis">
12.2   分割統治による探索戦略
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="../../chapter_divide_and_conquer/build_binary_tree_problem/">
<span class="md-ellipsis">
12.3   二分木の構築問題
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="../../chapter_divide_and_conquer/hanota_problem/">
<span class="md-ellipsis">
12.4   ハノイの塔の問題
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="../../chapter_divide_and_conquer/summary/">
<span class="md-ellipsis">
12.5   まとめ
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="../../chapter_divide_and_conquer/exercises/">
<span class="md-ellipsis">
12.6   練習問題
</span>
</a>
</li>
</ul>
</nav>
</li>
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<span class="md-ellipsis">
第 13 章   バックトラッキング
</span>
</a>
<label class="md-nav__link" for="__nav_15" id="__nav_15_label" tabindex="0">
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
</label>
</div>
<nav aria-expanded="false" aria-labelledby="__nav_15_label" class="md-nav" data-md-level="1">
<label class="md-nav__title" for="__nav_15">
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
第 13 章   バックトラッキング
</label>
<ul class="md-nav__list" data-md-scrollfix="">
<li class="md-nav__item">
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<span class="md-ellipsis">
13.1   バックトラッキングアルゴリズム
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
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<span class="md-ellipsis">
13.2   順列列挙問題
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="../../chapter_backtracking/subset_sum_problem/">
<span class="md-ellipsis">
13.3   部分集合和問題
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="../../chapter_backtracking/n_queens_problem/">
<span class="md-ellipsis">
13.4   n クイーン問題
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
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<span class="md-ellipsis">
13.5   まとめ
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
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<span class="md-ellipsis">
13.6   練習問題
</span>
</a>
</li>
</ul>
</nav>
</li>
<li class="md-nav__item md-nav__item--active md-nav__item--nested">
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<span class="md-ellipsis">
第 14 章   動的計画法
</span>
</a>
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<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
</label>
</div>
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<label class="md-nav__title" for="__nav_16">
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
第 14 章   動的計画法
</label>
<ul class="md-nav__list" data-md-scrollfix="">
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="../intro_to_dynamic_programming/">
<span class="md-ellipsis">
14.1   動的計画法への第一歩
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="../dp_problem_features/">
<span class="md-ellipsis">
14.2   動的計画法の問題の特徴
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="../dp_solution_pipeline/">
<span class="md-ellipsis">
14.3   動的計画法の解き方
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="../knapsack_problem/">
<span class="md-ellipsis">
14.4   0-1 ナップサック問題
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="../unbounded_knapsack_problem/">
<span class="md-ellipsis">
14.5   個数制限なしナップサック問題
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="../edit_distance_problem/">
<span class="md-ellipsis">
14.6   編集距離問題
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="../summary/">
<span class="md-ellipsis">
14.7   まとめ
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item md-nav__item--active">
<label class="md-nav__link md-nav__link--active" for="__toc">
<span class="md-ellipsis">
14.8   練習問題
</span>
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
</label>
<a class="md-nav__link md-nav__link--active" href="././">
<span class="md-ellipsis">
14.8   練習問題
</span>
</a>
<nav aria-label="目次" class="md-nav md-nav--secondary">
<label class="md-nav__title" for="__toc">
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
目次
</label>
<ul class="md-nav__list" data-md-component="toc" data-md-scrollfix="">
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="#1481">
<span class="md-ellipsis">
<span class="md-typeset">
14.8.1   知識の確認
</span>
</span>
</a>
<nav aria-label="14.8.1 知識の確認" class="md-nav">
<ul class="md-nav__list">
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="#1">
<span class="md-ellipsis">
<span class="md-typeset">
1.   動的計画法に適した場面
</span>
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="#2">
<span class="md-ellipsis">
<span class="md-typeset">
2.   ナップサックの表の一マスを計算する
</span>
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="#3">
<span class="md-ellipsis">
<span class="md-typeset">
3.   ナップサックの容量を更新する順序
</span>
</span>
</a>
</li>
</ul>
</nav>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="#1482">
<span class="md-ellipsis">
<span class="md-typeset">
14.8.2   プログラミング演習
</span>
</span>
</a>
<nav aria-label="14.8.2 プログラミング演習" class="md-nav">
<ul class="md-nav__list">
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="#1_1">
<span class="md-ellipsis">
<span class="md-typeset">
1.   階段の上り方の数
</span>
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="#2-0-1">
<span class="md-ellipsis">
<span class="md-typeset">
2.   0-1 ナップサック問題
</span>
</span>
</a>
</li>
</ul>
</nav>
</li>
</ul>
</nav>
</li>
</ul>
</nav>
</li>
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<span class="md-ellipsis">
第 15 章   貪欲法
</span>
</a>
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第 15 章   貪欲法
</label>
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15.1   貪欲アルゴリズム
</span>
</a>
</li>
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<span class="md-ellipsis">
15.2   分割可能ナップサック問題
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
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<span class="md-ellipsis">
15.3   最大容量問題
</span>
</a>
</li>
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<a class="md-nav__link" href="../../chapter_greedy/max_product_cutting_problem/">
<span class="md-ellipsis">
15.4   整数を分割して積を最大にする問題
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="../../chapter_greedy/summary/">
<span class="md-ellipsis">
15.5   まとめ
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="../../chapter_greedy/exercises/">
<span class="md-ellipsis">
15.6   練習問題
</span>
</a>
</li>
</ul>
</nav>
</li>
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第 16 章   付録
</span>
</a>
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第 16 章   付録
</label>
<ul class="md-nav__list" data-md-scrollfix="">
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="../../chapter_appendix/installation/">
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16.1   プログラミング環境のインストール
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
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<span class="md-ellipsis">
16.2   一緒に本書を作りましょう
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
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16.3   用語集
</span>
</a>
</li>
</ul>
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</li>
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参考文献
</span>
</a>
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<label class="md-nav__title" for="__nav_19">
<span class="md-nav__icon md-icon"></span>
参考文献
</label>
<ul class="md-nav__list" data-md-scrollfix="">
</ul>
</nav>
</li>
</ul>
</nav>
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</div>
</div>
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目次
</label>
<ul class="md-nav__list" data-md-component="toc" data-md-scrollfix="">
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="#1481">
<span class="md-ellipsis">
<span class="md-typeset">
14.8.1   知識の確認
</span>
</span>
</a>
<nav aria-label="14.8.1 知識の確認" class="md-nav">
<ul class="md-nav__list">
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="#1">
<span class="md-ellipsis">
<span class="md-typeset">
1.   動的計画法に適した場面
</span>
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="#2">
<span class="md-ellipsis">
<span class="md-typeset">
2.   ナップサックの表の一マスを計算する
</span>
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="#3">
<span class="md-ellipsis">
<span class="md-typeset">
3.   ナップサックの容量を更新する順序
</span>
</span>
</a>
</li>
</ul>
</nav>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="#1482">
<span class="md-ellipsis">
<span class="md-typeset">
14.8.2   プログラミング演習
</span>
</span>
</a>
<nav aria-label="14.8.2 プログラミング演習" class="md-nav">
<ul class="md-nav__list">
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="#1_1">
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<span class="md-typeset">
1.   階段の上り方の数
</span>
</span>
</a>
</li>
<li class="md-nav__item">
<a class="md-nav__link" href="#2-0-1">
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<span class="md-typeset">
2.   0-1 ナップサック問題
</span>
</span>
</a>
</li>
</ul>
</nav>
</li>
</ul>
</nav>
</div>
</div>
</div>
<div class="md-content" data-md-component="content">
<article class="md-content__inner md-typeset">
<!-- Tags -->
<!-- Actions -->
<!-- Actions -->
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<svg viewbox="0 0 512 512" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"><!--! Font Awesome Free 7.2.0 by @fontawesome - https://fontawesome.com License - https://fontawesome.com/license/free (Icons: CC BY 4.0, Fonts: SIL OFL 1.1, Code: MIT License) Copyright 2026 Fonticons, Inc.--><path d="M441 58.9 453.1 71c9.4 9.4 9.4 24.6 0 33.9L424 134.1 377.9 88 407 58.9c9.4-9.4 24.6-9.4 33.9 0zM209.8 256.2 344 121.9l46.1 46.1-134.3 134.2c-2.9 2.9-6.5 5-10.4 6.1L186.9 325l16.7-58.5c1.1-3.9 3.2-7.5 6.1-10.4zM373.1 25 175.8 222.2c-8.7 8.7-15 19.4-18.3 31.1l-28.6 100c-2.4 8.4-.1 17.4 6.1 23.6s15.2 8.5 23.6 6.1l100-28.6c11.8-3.4 22.5-9.7 31.1-18.3L487 138.9c28.1-28.1 28.1-73.7 0-101.8L474.9 25c-28.1-28.1-73.7-28.1-101.8 0M88 64c-48.6 0-88 39.4-88 88v272c0 48.6 39.4 88 88 88h272c48.6 0 88-39.4 88-88V312c0-13.3-10.7-24-24-24s-24 10.7-24 24v112c0 22.1-17.9 40-40 40H88c-22.1 0-40-17.9-40-40V152c0-22.1 17.9-40 40-40h112c13.3 0 24-10.7 24-24s-10.7-24-24-24z" fill="currentColor"></path></svg>
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<!-- Page content -->
<h1 id="148">14.8   練習問題<a class="headerlink" href="#148" title="この見出しへのリンク"></a></h1>
<h2 id="1481">14.8.1   知識の確認<a class="headerlink" href="#1481" title="この見出しへのリンク"></a></h2>
<h3 id="1">1.   動的計画法に適した場面<a class="headerlink" href="#1" title="この見出しへのリンク"></a></h3>
<p>ある生徒が「漸化式を書けるなら、必ず動的計画法を使うべきだ」と言いました。
次の各作業には、動的計画法、バックトラッキング、または <code>dp</code> 表を作らずループや数式を使う方法のどれがより適しているかを判断し、主な理由を一つ書いてください。</p>
<!-- numbered-subquestions -->
<ol>
<li>額面 <code>[1, 3, 4]</code> の硬貨で金額 6 を作るための最少枚数を求めます。各硬貨は何枚でも使えます。</li>
<li><code>[1, 2, 3]</code> の全順列を出力します。</li>
<li>
<p><span class="arithmatex">\(1 + 2 + \dots + n\)</span> を計算します。</p>
<p>動的計画法に適していると判断した作業については、<code>dp[i]</code> が何を表すかも説明してください。</p>
</li>
</ol>
<details class="success">
<summary>解答例</summary>
<ol>
<li>
<p>動的計画法に適しています。<code>dp[i]</code> を、金額 <code>i</code> を作るために必要な硬貨の最少枚数とします。
<code>i</code> 以下の額面の各硬貨 <code>c</code> について <code>dp[i-c] + 1</code> を答えの候補とし、
その最小値を取ります。異なる選択でも同じ金額に繰り返し行き着き、大きな金額の最適解も小さな金額の最適解から構成できます。
金額 6 の答えは、<code>3 + 3</code> の 2 枚です。</p>
</li>
<li>
<p>バックトラッキングを使います。求められるのは 6 個すべての順列を一つずつ生成することであり、バックトラッキングなら、一つを選んで探索を進め、
選択を取り消して別の分岐を試す作業を体系的に行えます。どの方法でも、実際に順列を出力するときには列挙を省略できません。</p>
</li>
<li>
<p>ループまたは等差数列の公式で十分です。<code>S(i) = S(i-1) + i</code> と書けますが、<code>S(i)</code> は一つの小さな <code>S(i-1)</code> だけに依存し、
各部分和は一回計算すれば済みます。重複する部分問題がないため、<code>dp</code> 表は不要です。「漸化式を書ける」ことと「動的計画法が必要」なことは同じではありません。</p>
</li>
</ol>
</details>
<h3 id="2">2.   ナップサックの表の一マスを計算する<a class="headerlink" href="#2" title="この見出しへのリンク"></a></h3>
<p>0-1 ナップサック問題で、品物の重さは <code>wgt = [1, 2, 3]</code>、価値は <code>val = [5, 11, 15]</code>、容量は 4 です。
<code>dp[i][c]</code> は、最初の <span class="arithmatex">\(i\)</span> 個の品物だけを考え、容量の上限を <span class="arithmatex">\(c\)</span> としたときに得られる最大の価値を表します。
ナップサックをちょうど満杯にする必要はありません。</p>
<p>状態 <code>dp[3][4]</code> だけを計算します。<code>dp[2][4] = 16</code>、<code>dp[2][1] = 5</code> は分かっているものとします。</p>
<!-- numbered-subquestions -->
<ol>
<li>3 番目の品物を選ばない場合、価値の候補はいくつですか。</li>
<li>3 番目の品物を選ぶ場合、残りの容量と価値の候補はいくつですか。</li>
<li><code>dp[3][4]</code> はいくつになりますか。どの品物を選ぶことに対応しますか。</li>
</ol>
<details class="success">
<summary>解答例</summary>
<ol>
<li>
<p>3 番目の品物を選ばない場合は、最初の二つの品物の結果を使い、候補は <code>dp[2][4] = 16</code> です。</p>
</li>
<li>
<p>3 番目の品物の重さは 3 なので、入れた後の残りの容量は <span class="arithmatex">\(4-3=1\)</span> です。価値の候補は
<code>dp[2][1] + 15 = 5 + 15 = 20</code> です。</p>
</li>
<li>
<p>16 と 20 を比較して、<code>dp[3][4] = 20</code> となります。これは 1 番目と 3 番目の品物を選ぶことに対応し、
重さの合計は <span class="arithmatex">\(1+3=4\)</span>、価値の合計は <span class="arithmatex">\(5+15=20\)</span> です。</p>
<p>この状態の計算は、0-1 ナップサック問題での一回の「選ぶか選ばないか」の比較を表しています。</p>
</li>
</ol>
</details>
<h3 id="3">3.   ナップサックの容量を更新する順序<a class="headerlink" href="#3" title="この見出しへのリンク"></a></h3>
<p>0-1 ナップサック問題に、重さ 2、価値 5 の品物が一つだけあります。ナップサックの容量は 4 です。
各品物は一回だけ選べ、初期の一次元配列は <code>dp = [0, 0, 0, 0, 0]</code> です。</p>
<p>ある生徒がこの品物を処理するとき、容量 2 から 4 の順に更新しました。</p>
<ul>
<li><code>dp[2]</code> を更新して 5 を得ました。</li>
<li><code>dp[3]</code> を更新して、ここでも 5 を得ました。</li>
<li><code>dp[4]</code> の更新では、今求めた <code>dp[2]</code> を使ったため、<code>dp[4] = 10</code> となりました。</li>
</ul>
<!-- numbered-subquestions -->
<ol>
<li><code>dp[4] = 10</code> は正しい結果ですか。理由も説明してください。</li>
<li>「各品物は一回だけ選べる」という条件から、<code>dp[4]</code> はいくつになるべきですか。</li>
<li>各品物を処理するとき、容量は大きい順と小さい順のどちらで更新すべきですか。その順序によって、どの問題を避けられますか。</li>
</ol>
<details class="success">
<summary>解答例</summary>
<ol>
<li>
<p>正しくありません。価値 10 は、価値 5 の同じ品物を二回入れたことに相当し、
「各品物は一回だけ選べる」という条件に違反します。</p>
</li>
<li>
<p>入れられるのはこの一つの品物だけなので、正しい <code>dp[4]</code> は 5 です。</p>
</li>
<li>
<p>容量は大きい順、つまり 4、3、2 の順に更新します。
そうすれば、<code>dp[c]</code> を計算するときに読み取る <code>dp[c-2]</code> は、まだ現在の品物を処理する前の結果なので、
同じ反復内で現在の品物を重複して使わずに済みます。</p>
</li>
</ol>
</details>
<h2 id="1482">14.8.2   プログラミング演習<a class="headerlink" href="#1482" title="この見出しへのリンク"></a></h2>
<h3 id="1_1">1.   階段の上り方の数<a class="headerlink" href="#1_1" title="この見出しへのリンク"></a></h3>
<p><code>n</code> 段の階段があります。一回に 1 段か 2 段だけ上れ、ちょうど第 <code>n</code> 段に到達する必要があります。
異なる上り方が何通りあるかを計算してください。<code>n &gt;= 1</code> とし、各歩で 1 段進むか 2 段進むかによってのみ上り方を区別します。
一次元の動的計画法の配列を使い、二つの状態だけを残す空間最適化は、ここでは行わないでください。</p>
<details class="tip">
<summary>解くためのヒント</summary>
<ol>
<li>第 i 段に到達する最後の一歩は、1 段または 2 段しか進めません</li>
<li>したがって、dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] が成り立ちます</li>
<li>まず n が 1 と 2 の場合を処理し、第 3 段から表を埋めます</li>
</ol>
</details>
<p><a class="rounded-button exercise-button" href="https://leetcode.com/problems/climbing-stairs/" rel="noopener noreferrer" target="_blank">LeetCode</a></p>
<h3 id="2-0-1">2.   0-1 ナップサック問題<a class="headerlink" href="#2-0-1" title="この見出しへのリンク"></a></h3>
<p>同じ長さの配列 <code>wgt</code> と <code>val</code> が与えられます。品物 <code>i</code> の重さは正の整数 <code>wgt[i]</code>、価値は非負整数 <code>val[i]</code> です。
ナップサックの容量 <code>cap</code> は非負整数です。各品物は一回だけ選べます。重さの合計が <code>cap</code> を超えない範囲で、
ナップサックに入れられる価値の合計の最大値を求めてください。一次元の動的計画法で実装してください。</p>
<details class="tip">
<summary>解くためのヒント</summary>
<ol>
<li>長さ cap + 1 の配列 dp を初期化します。dp[c] は、容量の上限が c の場合の最大の価値を表します</li>
<li>品物 i を処理するときは、「選ばない」場合の dp[c] と、「選ぶ」場合の dp[c-wgt[i]] + val[i] を比較します</li>
<li>同じ反復内で現在の品物を重複して選ばないよう、容量は必ず大きい順に更新します</li>
</ol>
</details>
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</script>
<!-- Synchronize Giscus theme with palette -->
<script>
var giscus = document.querySelector("script[src*=giscus]")
function getGiscusTheme() {
var palette = __md_get("__palette")
var isDark = palette && typeof palette.color === "object" && palette.color.scheme === "slate"
return isDark ? "noborder_dark" : "light"
}
/* Set palette on initial load */
giscus.setAttribute("data-theme", getGiscusTheme())
/* The Giscus client creates the iframe asynchronously with an English title. */
;(function() {
function labelCommentsFrame() {
var frame = document.querySelector("iframe.giscus-frame")
if (!frame) return false
frame.setAttribute("title", "コメント")
return true
}
if (labelCommentsFrame()) return
var observer = new MutationObserver(function() {
if (labelCommentsFrame()) observer.disconnect()
})
observer.observe(giscus.parentElement, { childList: true, subtree: true })
})()
/* Register event handlers after documented loaded */
document.addEventListener("DOMContentLoaded", function() {
var ref = document.querySelector("[data-md-component=palette]")
if (!ref) return
ref.addEventListener("change", function() {
var theme = getGiscusTheme()
/* Instruct Giscus to change theme */
var frame = document.querySelector(".giscus-frame")
if (!frame) return
frame.contentWindow.postMessage(
{ giscus: { setConfig: { theme } } },
"https://giscus.app"
)
})
})
</script>
</article>
</div>
<script>var tabs=__md_get("__tabs");if(Array.isArray(tabs))e:for(var set of document.querySelectorAll(".tabbed-set")){var labels=set.querySelector(".tabbed-labels");for(var tab of tabs)for(var label of labels.getElementsByTagName("label"))if(label.innerText.trim()===tab){var input=document.getElementById(label.htmlFor);input.checked=!0;continue e}}</script>
<script>var target=document.getElementById(location.hash.slice(1));target&&target.name&&(target.checked=target.name.startsWith("__tabbed_"))</script>
</div>
</main>
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Copyright © 2026 krahets<br/>このサイトのコンテンツのライセンス: <a href="https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/">CC BY-NC-SA 4.0</a>
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