mirror of
https://github.com/krahets/hello-algo.git
synced 2026-07-11 21:46:20 +08:00
377 lines
24 KiB
Markdown
377 lines
24 KiB
Markdown
---
|
||
comments: true
|
||
---
|
||
|
||
# 8.2 Построение кучи
|
||
|
||
В некоторых случаях требуется построить кучу, используя сразу все элементы списка. Этот процесс называется построением кучи.
|
||
|
||
## 8.2.1 Реализация через операцию добавления в кучу
|
||
|
||
Сначала мы создаем пустую кучу, затем обходим список и для каждого элемента по очереди выполняем операцию добавления в кучу: сначала помещаем элемент в хвост кучи, а затем выполняем для него упорядочивание снизу вверх.
|
||
|
||
Каждый раз, когда элемент добавляется в кучу, ее длина увеличивается на единицу. Поскольку узлы последовательно добавляются в двоичное дерево сверху вниз, куча строится сверху вниз.
|
||
|
||
Пусть число элементов равно $n$. Так как каждая операция добавления требует $O(\log{n})$ времени, временная сложность такого построения кучи составляет $O(n \log n)$ .
|
||
|
||
## 8.2.2 Реализация через обход и упорядочивание
|
||
|
||
На самом деле можно реализовать и более эффективный способ построения кучи, который состоит из двух шагов.
|
||
|
||
1. Без изменений добавить все элементы списка в кучу. В этот момент свойства кучи еще не выполняются.
|
||
2. Обойти кучу в обратном порядке, то есть в порядке, обратном обходу по уровням, и по очереди выполнить упорядочивание сверху вниз для каждого нелистового узла.
|
||
|
||
**После того как некоторый узел был упорядочен, поддерево с этим узлом в качестве корня становится корректной подкучей**. А поскольку обход выполняется в обратном порядке, куча строится снизу вверх.
|
||
|
||
Причина выбора обратного обхода в том, что он гарантирует: поддеревья ниже текущего узла уже являются корректными подкучами, а значит, упорядочивание текущего узла действительно будет эффективным.
|
||
|
||
Стоит отметить, что **листовые узлы не имеют дочерних узлов, поэтому они естественным образом являются корректными подкучами и не требуют упорядочивания**. Как показано в коде ниже, последний нелистовой узел является родителем последнего узла, и именно с него мы начинаем обратный обход и упорядочивание:
|
||
|
||
=== "Python"
|
||
|
||
```python title="my_heap.py"
|
||
def __init__(self, nums: list[int]):
|
||
"""Конструктор, строящий кучу по входному списку"""
|
||
# Добавить элементы списка в кучу без изменений
|
||
self.max_heap = nums
|
||
# Выполнить heapify для всех узлов, кроме листовых
|
||
for i in range(self.parent(self.size() - 1), -1, -1):
|
||
self.sift_down(i)
|
||
```
|
||
|
||
=== "C++"
|
||
|
||
```cpp title="my_heap.cpp"
|
||
/* Конструктор, строящий кучу по входному списку */
|
||
MaxHeap(vector<int> nums) {
|
||
// Добавить элементы списка в кучу без изменений
|
||
maxHeap = nums;
|
||
// Выполнить heapify для всех узлов, кроме листовых
|
||
for (int i = parent(size() - 1); i >= 0; i--) {
|
||
siftDown(i);
|
||
}
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
=== "Java"
|
||
|
||
```java title="my_heap.java"
|
||
/* Конструктор, строящий кучу по входному списку */
|
||
MaxHeap(List<Integer> nums) {
|
||
// Добавить элементы списка в кучу без изменений
|
||
maxHeap = new ArrayList<>(nums);
|
||
// Выполнить heapify для всех узлов, кроме листовых
|
||
for (int i = parent(size() - 1); i >= 0; i--) {
|
||
siftDown(i);
|
||
}
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
=== "C#"
|
||
|
||
```csharp title="my_heap.cs"
|
||
/* Конструктор: построить кучу по входному списку */
|
||
MaxHeap(IEnumerable<int> nums) {
|
||
// Добавить элементы списка в кучу без изменений
|
||
maxHeap = new List<int>(nums);
|
||
// Выполнить heapify для всех узлов, кроме листовых
|
||
var size = Parent(this.Size() - 1);
|
||
for (int i = size; i >= 0; i--) {
|
||
SiftDown(i);
|
||
}
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
=== "Go"
|
||
|
||
```go title="my_heap.go"
|
||
/* Конструктор, строящий кучу по срезу */
|
||
func newMaxHeap(nums []any) *maxHeap {
|
||
// Добавить элементы списка в кучу без изменений
|
||
h := &maxHeap{data: nums}
|
||
for i := h.parent(len(h.data) - 1); i >= 0; i-- {
|
||
// Выполнить heapify для всех узлов, кроме листовых
|
||
h.siftDown(i)
|
||
}
|
||
return h
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
=== "Swift"
|
||
|
||
```swift title="my_heap.swift"
|
||
/* Конструктор, строящий кучу по входному списку */
|
||
init(nums: [Int]) {
|
||
// Добавить элементы списка в кучу без изменений
|
||
maxHeap = nums
|
||
// Выполнить heapify для всех узлов, кроме листовых
|
||
for i in (0 ... parent(i: size() - 1)).reversed() {
|
||
siftDown(i: i)
|
||
}
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
=== "JS"
|
||
|
||
```javascript title="my_heap.js"
|
||
/* Конструктор, создающий пустую кучу или строящий кучу по входному списку */
|
||
constructor(nums) {
|
||
// Добавить элементы списка в кучу без изменений
|
||
this.#maxHeap = nums === undefined ? [] : [...nums];
|
||
// Выполнить heapify для всех узлов, кроме листовых
|
||
for (let i = this.#parent(this.size() - 1); i >= 0; i--) {
|
||
this.#siftDown(i);
|
||
}
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
=== "TS"
|
||
|
||
```typescript title="my_heap.ts"
|
||
/* Конструктор, создающий пустую кучу или строящий кучу по входному списку */
|
||
constructor(nums?: number[]) {
|
||
// Добавить элементы списка в кучу без изменений
|
||
this.maxHeap = nums === undefined ? [] : [...nums];
|
||
// Выполнить heapify для всех узлов, кроме листовых
|
||
for (let i = this.parent(this.size() - 1); i >= 0; i--) {
|
||
this.siftDown(i);
|
||
}
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
=== "Dart"
|
||
|
||
```dart title="my_heap.dart"
|
||
/* Конструктор, строящий кучу по входному списку */
|
||
MaxHeap(List<int> nums) {
|
||
// Добавить элементы списка в кучу без изменений
|
||
_maxHeap = nums;
|
||
// Выполнить heapify для всех узлов, кроме листовых
|
||
for (int i = _parent(size() - 1); i >= 0; i--) {
|
||
siftDown(i);
|
||
}
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
=== "Rust"
|
||
|
||
```rust title="my_heap.rs"
|
||
/* Конструктор, строящий кучу по входному списку */
|
||
fn new(nums: Vec<i32>) -> Self {
|
||
// Добавить элементы списка в кучу без изменений
|
||
let mut heap = MaxHeap { max_heap: nums };
|
||
// Выполнить heapify для всех узлов, кроме листовых
|
||
for i in (0..=Self::parent(heap.size() - 1)).rev() {
|
||
heap.sift_down(i);
|
||
}
|
||
heap
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
=== "C"
|
||
|
||
```c title="my_heap.c"
|
||
/* Конструктор, строящий кучу по срезу */
|
||
MaxHeap *newMaxHeap(int nums[], int size) {
|
||
// Поместить все элементы в кучу
|
||
MaxHeap *maxHeap = (MaxHeap *)malloc(sizeof(MaxHeap));
|
||
maxHeap->size = size;
|
||
memcpy(maxHeap->data, nums, size * sizeof(int));
|
||
for (int i = parent(maxHeap, size - 1); i >= 0; i--) {
|
||
// Выполнить heapify для всех узлов, кроме листовых
|
||
siftDown(maxHeap, i);
|
||
}
|
||
return maxHeap;
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
=== "Kotlin"
|
||
|
||
```kotlin title="my_heap.kt"
|
||
/* Максимальная куча */
|
||
class MaxHeap(nums: MutableList<Int>?) {
|
||
// Использовать список вместо массива, чтобы не учитывать проблему расширения
|
||
private val maxHeap = mutableListOf<Int>()
|
||
|
||
/* Конструктор, строящий кучу по входному списку */
|
||
init {
|
||
// Добавить элементы списка в кучу без изменений
|
||
maxHeap.addAll(nums!!)
|
||
// Выполнить heapify для всех узлов, кроме листовых
|
||
for (i in parent(size() - 1) downTo 0) {
|
||
siftDown(i)
|
||
}
|
||
}
|
||
|
||
/* Получить индекс левого дочернего узла */
|
||
private fun left(i: Int): Int {
|
||
return 2 * i + 1
|
||
}
|
||
|
||
/* Получить индекс правого дочернего узла */
|
||
private fun right(i: Int): Int {
|
||
return 2 * i + 2
|
||
}
|
||
|
||
/* Получить индекс родительского узла */
|
||
private fun parent(i: Int): Int {
|
||
return (i - 1) / 2 // Округление вниз при делении
|
||
}
|
||
|
||
/* Поменять элементы местами */
|
||
private fun swap(i: Int, j: Int) {
|
||
val temp = maxHeap[i]
|
||
maxHeap[i] = maxHeap[j]
|
||
maxHeap[j] = temp
|
||
}
|
||
|
||
/* Получение размера кучи */
|
||
fun size(): Int {
|
||
return maxHeap.size
|
||
}
|
||
|
||
/* Проверка, пуста ли куча */
|
||
fun isEmpty(): Boolean {
|
||
/* Проверка, пуста ли куча */
|
||
return size() == 0
|
||
}
|
||
|
||
/* Доступ к элементу на вершине кучи */
|
||
fun peek(): Int {
|
||
return maxHeap[0]
|
||
}
|
||
|
||
/* Добавление элемента в кучу */
|
||
fun push(_val: Int) {
|
||
// Добавление узла
|
||
maxHeap.add(_val)
|
||
// Просеивание снизу вверх
|
||
siftUp(size() - 1)
|
||
}
|
||
|
||
/* Начиная с узла i, выполнить просеивание снизу вверх */
|
||
private fun siftUp(it: Int) {
|
||
// Параметры функций в Kotlin неизменяемы, поэтому создается временная переменная
|
||
var i = it
|
||
while (true) {
|
||
// Получение родительского узла для узла i
|
||
val p = parent(i)
|
||
// Завершить heapify, когда «корневой узел уже пройден» или «узел не требует исправления»
|
||
if (p < 0 || maxHeap[i] <= maxHeap[p]) break
|
||
// Поменять два узла местами
|
||
swap(i, p)
|
||
// Циклическое просеивание вверх
|
||
i = p
|
||
}
|
||
}
|
||
|
||
/* Извлечение элемента из кучи */
|
||
fun pop(): Int {
|
||
// Обработка пустого случая
|
||
if (isEmpty()) throw IndexOutOfBoundsException()
|
||
// Поменять корневой узел с самым правым листом местами (поменять первый и последний элементы)
|
||
swap(0, size() - 1)
|
||
// Удаление узла
|
||
val _val = maxHeap.removeAt(size() - 1)
|
||
// Просеивание сверху вниз
|
||
siftDown(0)
|
||
// Вернуть элемент с вершины кучи
|
||
return _val
|
||
}
|
||
|
||
/* Начиная с узла i, выполнить просеивание сверху вниз */
|
||
private fun siftDown(it: Int) {
|
||
// Параметры функций в Kotlin неизменяемы, поэтому создается временная переменная
|
||
var i = it
|
||
while (true) {
|
||
// Определить узел с максимальным значением среди i, l и r и обозначить его как ma
|
||
val l = left(i)
|
||
val r = right(i)
|
||
var ma = i
|
||
if (l < size() && maxHeap[l] > maxHeap[ma]) ma = l
|
||
if (r < size() && maxHeap[r] > maxHeap[ma]) ma = r
|
||
// Если узел i уже максимален или индексы l и r вне границ, дальнейшее просеивание не требуется, выйти
|
||
if (ma == i) break
|
||
// Поменять два узла местами
|
||
swap(i, ma)
|
||
// Циклическое просеивание вниз
|
||
i = ma
|
||
}
|
||
}
|
||
|
||
/* Вывести кучу (двоичное дерево) */
|
||
fun print() {
|
||
val queue = PriorityQueue { a: Int, b: Int -> b - a }
|
||
queue.addAll(maxHeap)
|
||
printHeap(queue)
|
||
}
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
=== "Ruby"
|
||
|
||
```ruby title="my_heap.rb"
|
||
### Конструктор, строящий кучу по входному списку ###
|
||
def initialize(nums)
|
||
# Добавить элементы списка в кучу без изменений
|
||
@max_heap = nums
|
||
# Выполнить heapify для всех узлов, кроме листовых
|
||
parent(size - 1).downto(0) do |i|
|
||
sift_down(i)
|
||
end
|
||
end
|
||
```
|
||
|
||
??? pythontutor "Визуализация кода"
|
||
|
||
<div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=class%20MaxHeap%3A%0A%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self%2C%20nums%3A%20list%5Bint%5D%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.max_heap%20%3D%20nums%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20i%20in%20range%28self.parent%28self.size%28%29%20-%201%29%2C%20-1%2C%20-1%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.sift_down%28i%29%0A%0A%20%20%20%20def%20left%28self%2C%20i%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%202%20%2A%20i%20%2B%201%0A%0A%20%20%20%20def%20right%28self%2C%20i%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%202%20%2A%20i%20%2B%202%0A%0A%20%20%20%20def%20parent%28self%2C%20i%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%28i%20-%201%29%20%2F%2F%202%0A%0A%20%20%20%20def%20swap%28self%2C%20i%3A%20int%2C%20j%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%28self.max_heap%5Bi%5D%2C%20self.max_heap%5Bj%5D%29%20%3D%20%28self.max_heap%5Bj%5D%2C%20self.max_heap%5Bi%5D%29%0A%0A%20%20%20%20def%20size%28self%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20len%28self.max_heap%29%0A%0A%20%20%20%20def%20sift_down%28self%2C%20i%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20while%20True%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%28l%2C%20r%2C%20ma%29%20%3D%20%28self.left%28i%29%2C%20self.right%28i%29%2C%20i%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20l%20%3C%20self.size%28%29%20and%20self.max_heap%5Bl%5D%20%3E%20self.max_heap%5Bma%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ma%20%3D%20l%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20r%20%3C%20self.size%28%29%20and%20self.max_heap%5Br%5D%20%3E%20self.max_heap%5Bma%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ma%20%3D%20r%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20ma%20%3D%3D%20i%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20break%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.swap%28i%2C%20ma%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20i%20%3D%20ma%0A%27Driver%20Code%27%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%27__main__%27%3A%0A%20%20%20%20max_heap%20%3D%20MaxHeap%28%5B1%2C%202%2C%203%2C%204%2C%205%5D%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=4&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
|
||
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=class%20MaxHeap%3A%0A%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self%2C%20nums%3A%20list%5Bint%5D%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.max_heap%20%3D%20nums%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20i%20in%20range%28self.parent%28self.size%28%29%20-%201%29%2C%20-1%2C%20-1%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.sift_down%28i%29%0A%0A%20%20%20%20def%20left%28self%2C%20i%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%202%20%2A%20i%20%2B%201%0A%0A%20%20%20%20def%20right%28self%2C%20i%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%202%20%2A%20i%20%2B%202%0A%0A%20%20%20%20def%20parent%28self%2C%20i%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%28i%20-%201%29%20%2F%2F%202%0A%0A%20%20%20%20def%20swap%28self%2C%20i%3A%20int%2C%20j%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%28self.max_heap%5Bi%5D%2C%20self.max_heap%5Bj%5D%29%20%3D%20%28self.max_heap%5Bj%5D%2C%20self.max_heap%5Bi%5D%29%0A%0A%20%20%20%20def%20size%28self%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20len%28self.max_heap%29%0A%0A%20%20%20%20def%20sift_down%28self%2C%20i%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20while%20True%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%28l%2C%20r%2C%20ma%29%20%3D%20%28self.left%28i%29%2C%20self.right%28i%29%2C%20i%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20l%20%3C%20self.size%28%29%20and%20self.max_heap%5Bl%5D%20%3E%20self.max_heap%5Bma%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ma%20%3D%20l%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20r%20%3C%20self.size%28%29%20and%20self.max_heap%5Br%5D%20%3E%20self.max_heap%5Bma%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ma%20%3D%20r%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20ma%20%3D%3D%20i%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20break%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.swap%28i%2C%20ma%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20i%20%3D%20ma%0A%27Driver%20Code%27%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%27__main__%27%3A%0A%20%20%20%20max_heap%20%3D%20MaxHeap%28%5B1%2C%202%2C%203%2C%204%2C%205%5D%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=4&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">Во весь экран ></a></div>
|
||
|
||
## 8.2.3 Анализ сложности
|
||
|
||
Теперь попробуем оценить временную сложность второго способа построения кучи.
|
||
|
||
- Пусть число узлов полного двоичного дерева равно $n$ , тогда число листовых узлов равно $(n + 1) / 2$ , где $/$ означает целочисленное деление вниз. Следовательно, число узлов, которые нужно упорядочивать, равно $(n - 1) / 2$ .
|
||
- В процессе упорядочивания сверху вниз каждый узел в худшем случае может просеяться до листа, поэтому максимальное число итераций равно высоте двоичного дерева $\log n$ .
|
||
|
||
Перемножив эти два значения, можно получить временную сложность построения кучи $O(n \log n)$ . **Но эта оценка неточна, потому что мы не учли свойство двоичного дерева: на нижних уровнях узлов гораздо больше, чем на верхних**.
|
||
|
||
Далее выполним более точный расчет. Чтобы упростить вычисления, предположим, что дано «идеальное двоичное дерево» высоты $h$ с числом узлов $n$. Это предположение не повлияет на корректность результата.
|
||
|
||
{ class="animation-figure" }
|
||
|
||
<p align="center"> Рисунок 8-5 Число узлов на каждом уровне идеального двоичного дерева </p>
|
||
|
||
Как показано на рисунке 8-5, максимальное число итераций упорядочивания сверху вниз для некоторого узла равно расстоянию от этого узла до листового узла, а это расстояние как раз и есть высота узла. Поэтому мы можем просуммировать для каждого уровня выражение «число узлов $\times$ высота узла» и **получить суммарное число итераций упорядочивания для всех узлов**.
|
||
|
||
$$
|
||
T(h) = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \dots + 2^{(h-1)}\times1
|
||
$$
|
||
|
||
Чтобы упростить это выражение, воспользуемся школьными знаниями о последовательностях и сначала умножим $T(h)$ на $2$ :
|
||
|
||
$$
|
||
\begin{aligned}
|
||
T(h) & = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \dots + 2^{h-1}\times1 \newline
|
||
2 T(h) & = 2^1h + 2^2(h-1) + 2^3(h-2) + \dots + 2^{h}\times1 \newline
|
||
\end{aligned}
|
||
$$
|
||
|
||
Используя метод вычитания со сдвигом, вычтем из нижней строки $2 T(h)$ верхнюю строку $T(h)$ , тогда получим:
|
||
|
||
$$
|
||
2T(h) - T(h) = T(h) = -2^0h + 2^1 + 2^2 + \dots + 2^{h-1} + 2^h
|
||
$$
|
||
|
||
Из этого выражения видно, что $T(h)$ представляет собой геометрическую прогрессию, поэтому можно напрямую применить формулу суммы и получить временную сложность:
|
||
|
||
$$
|
||
\begin{aligned}
|
||
T(h) & = 2 \frac{1 - 2^h}{1 - 2} - h \newline
|
||
& = 2^{h+1} - h - 2 \newline
|
||
& = O(2^h)
|
||
\end{aligned}
|
||
$$
|
||
|
||
Далее, число узлов идеального двоичного дерева высоты $h$ равно $n = 2^{h+1} - 1$ , поэтому несложно получить сложность $O(2^h) = O(n)$ . Из этого вывода следует, что **построение кучи из входного списка имеет временную сложность $O(n)$ , то есть выполняется очень эффективно**.
|