7.5 KiB
Задача о n ферзях
!!! question
Согласно правилам шахмат, ферзь может атаковать фигуры, находящиеся с ним в одной строке, одном столбце или на одной диагонали. Дано $n$ ферзей и доска размером $n \times n$, найдите расстановку, при которой все ферзи не могут атаковать друг друга.
Как показано на рисунке ниже, при n = 4 можно найти два решения. С точки зрения алгоритма поиска с возвратом, доска размером n \times n имеет n^2 клеток, что дает все возможные выборы choices. В процессе последовательной расстановки ферзей состояние доски постоянно меняется, и доска в каждый момент времени является состоянием state.
На рисунке ниже показаны три ограничения этой задачи: несколько ферзей не могут находиться в одной строке, одном столбце и на одной диагонали. Стоит отметить, что диагонали делятся на главные диагонали \ и побочные диагонали /.
Стратегия расстановки по строкам
Количество ферзей и количество строк доски равны n, поэтому легко получить вывод: в каждой строке доски разрешено и необходимо разместить только одного ферзя.
Другими словами, мы можем использовать стратегию расстановки по строкам: начиная с первой строки, размещать по одному ферзю в каждой строке до последней строки.
На рисунке ниже показан процесс расстановки по строкам для задачи о 4 ферзях. Из-за ограничений по размеру на рисунке развернута только одна ветвь поиска первой строки, и все варианты, не удовлетворяющие ограничениям по столбцам и диагоналям, были обрезаны.
По сути, стратегия расстановки по строкам играет роль обрезки, она избегает всех ветвей поиска, где в одной строке появляется несколько ферзей.
Обрезка по столбцам и диагоналям
Для выполнения ограничения по столбцам мы можем использовать булев массив cols длиной n для записи того, есть ли ферзь в каждом столбце. Перед каждым решением о размещении мы обрезаем столбцы, в которых уже есть ферзи, с помощью cols и динамически обновляем состояние cols при возврате.
!!! tip
Обратите внимание, что начало матрицы находится в левом верхнем углу, где индекс строки увеличивается сверху вниз, а индекс столбца увеличивается слева направо.
Как же обработать ограничение по диагоналям? Пусть индексы строки и столбца некоторой клетки на доске равны (row, col). Выбрав определенную главную диагональ в матрице, мы обнаружим, что разность индексов строки и столбца всех клеток на этой диагонали одинакова, то есть row - col для всех клеток на главной диагонали является постоянным значением.
Другими словами, если две клетки удовлетворяют условию row_1 - col_1 = row_2 - col_2, то они обязательно находятся на одной главной диагонали. Используя эту закономерность, мы можем использовать массив diags1, показанный на рисунке ниже, для записи того, есть ли ферзь на каждой главной диагонали.
Аналогично, для всех клеток на побочной диагонали row + col является постоянным значением. Мы также можем использовать массив diags2 для обработки ограничения по побочным диагоналям.
Реализация кода
Обратите внимание, что в квадратной матрице размерности n диапазон row - col составляет [-n + 1, n - 1], а диапазон row + col составляет [0, 2n - 2], поэтому количество главных и побочных диагоналей равно 2n - 1, то есть длина массивов diags1 и diags2 равна 2n - 1.
[file]{n_queens}-[class]{}-[func]{n_queens}
Расстановка по строкам выполняется n раз, с учетом ограничения по столбцам от первой строки до последней строки имеется n, n-1, \dots, 2, 1 вариантов выбора, что требует O(n!) времени. При записи решения необходимо скопировать матрицу state и добавить ее в res, операция копирования занимает O(n^2) времени. Таким образом, общая временная сложность составляет $O(n! \cdot n^2)$. На самом деле, обрезка по диагональным ограничениям также может значительно сократить пространство поиска, поэтому эффективность поиска часто лучше указанной временной сложности.
Массив state использует O(n^2) пространства, массивы cols, diags1 и diags2 используют по O(n) пространства. Максимальная глубина рекурсии равна n, используя O(n) пространства стека. Таким образом, пространственная сложность составляет $O(n^2)$.