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<img src="https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20210924105952.png" width="1000"/>
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</a>
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<p align="center"><strong><a href="https://mp.weixin.qq.com/s/tqCxrMEU-ajQumL1i8im9A">参与本项目</a>，贡献其他语言版本的代码，拥抱开源，让更多学习算法的小伙伴们收益！</strong></p>
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## 309.最佳买卖股票时机含冷冻期
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[力扣题目链接](https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-with-cooldown/)
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[https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-with-cooldown/](https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-with-cooldown/)
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给定一个整数数组，其中第 i 个元素代表了第 i 天的股票价格 。
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设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下，你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）:
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* 你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
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* 卖出股票后，你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。
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示例:
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输入: [1,2,3,0,2]
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输出: 3
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解释: 对应的交易状态为: [买入, 卖出, 冷冻期, 买入, 卖出]
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## 思路
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相对于[动态规划：122.买卖股票的最佳时机II](https://programmercarl.com/0122.买卖股票的最佳时机II（动态规划）.html)，本题加上了一个冷冻期
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在[动态规划：122.买卖股票的最佳时机II](https://programmercarl.com/0122.买卖股票的最佳时机II（动态规划）.html) 中有两个状态，持有股票后的最多现金，和不持有股票的最多现金。
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动规五部曲，分析如下：
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1. 确定dp数组以及下标的含义
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dp[i][j]，第i天状态为j，所剩的最多现金为dp[i][j]。
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**其实本题很多同学搞的比较懵，是因为出现冷冻期之后，状态其实是比较复杂度**，例如今天买入股票、今天卖出股票、今天是冷冻期，都是不能操作股票的。
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具体可以区分出如下四个状态：
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* 状态一：买入股票状态（今天买入股票，或者是之前就买入了股票然后没有操作）
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* 卖出股票状态，这里就有两种卖出股票状态
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* 状态二：两天前就卖出了股票，度过了冷冻期，一直没操作，今天保持卖出股票状态
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* 状态三：今天卖出了股票
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* 状态四：今天为冷冻期状态，但冷冻期状态不可持续，只有一天！
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j的状态为：
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* 0：状态一
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* 1：状态二
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* 2：状态三
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* 3：状态四
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很多题解为什么讲的比较模糊，是因为把这四个状态合并成三个状态了，其实就是把状态二和状态四合并在一起了。
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从代码上来看确实可以合并，但从逻辑上分析合并之后就很难理解了，所以我下面的讲解是按照这四个状态来的，把每一个状态分析清楚。
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**注意这里的每一个状态，例如状态一，是买入股票状态并不是说今天已经就买入股票，而是说保存买入股票的状态即：可能是前几天买入的，之后一直没操作，所以保持买入股票的状态**。
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2. 确定递推公式
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达到买入股票状态（状态一）即：dp[i][0]，有两个具体操作：
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* 操作一：前一天就是持有股票状态（状态一），dp[i][0] = dp[i - 1][0]
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* 操作二：今天买入了，有两种情况
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* 前一天是冷冻期（状态四），dp[i - 1][3] - prices[i]
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* 前一天是保持卖出股票状态（状态二），dp[i - 1][1] - prices[i]
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所以操作二取最大值，即：max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][1]) - prices[i]
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那么dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][1]) - prices[i]);
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达到保持卖出股票状态（状态二）即：dp[i][1]，有两个具体操作：
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* 操作一：前一天就是状态二
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* 操作二：前一天是冷冻期（状态四）
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dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][3]);
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达到今天就卖出股票状态（状态三），即：dp[i][2] ，只有一个操作：
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* 操作一：昨天一定是买入股票状态（状态一），今天卖出
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即：dp[i][2] = dp[i - 1][0] + prices[i];
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达到冷冻期状态（状态四），即：dp[i][3]，只有一个操作：
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* 操作一：昨天卖出了股票（状态三）
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p[i][3] = dp[i - 1][2];
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综上分析，递推代码如下：
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```CPP
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dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][1]) - prices[i];
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dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][3]);
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dp[i][2] = dp[i - 1][0] + prices[i];
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dp[i][3] = dp[i - 1][2];
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```
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3. dp数组如何初始化
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这里主要讨论一下第0天如何初始化。
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如果是持有股票状态（状态一）那么：dp[0][0] = -prices[0]，买入股票所省现金为负数。
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保持卖出股票状态（状态二），第0天没有卖出dp[0][1]初始化为0就行，
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今天卖出了股票（状态三），同样dp[0][2]初始化为0，因为最少收益就是0，绝不会是负数。
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同理dp[0][3]也初始为0。
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4. 确定遍历顺序
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从递归公式上可以看出，dp[i] 依赖于 dp[i-1]，所以是从前向后遍历。
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5. 举例推导dp数组
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以 [1,2,3,0,2] 为例，dp数组如下：
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最后结果去是 状态二，状态三，和状态四的最大值，不少同学会把状态四忘了，状态四是冷冻期，最后一天如果是冷冻期也可能是最大值。
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代码如下：
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```CPP
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class Solution {
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public:
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int maxProfit(vector<int>& prices) {
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int n = prices.size();
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if (n == 0) return 0;
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vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(4, 0));
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dp[0][0] -= prices[0]; // 持股票
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for (int i = 1; i < n; i++) {
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dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][1]) - prices[i]);
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||
dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][3]);
|
||
dp[i][2] = dp[i - 1][0] + prices[i];
|
||
dp[i][3] = dp[i - 1][2];
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}
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return max(dp[n - 1][3],max(dp[n - 1][1], dp[n - 1][2]));
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}
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};
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```
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* 时间复杂度：O(n)
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* 空间复杂度：O(n)
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当然，空间复杂度可以优化，定义一个dp[2][4]大小的数组就可以了，就保存前一天的当前的状态，感兴趣的同学可以自己去写一写，思路是一样的。
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## 总结
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这次把冷冻期这道题目，讲的很透彻了，细分为四个状态，其状态转移也十分清晰，建议大家都按照四个状态来分析，如果只划分三个状态确实很容易给自己绕进去。
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## 其他语言版本
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Java：
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```java
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class Solution {
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public int maxProfit(int[] prices) {
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if (prices == null || prices.length < 2) {
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return 0;
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}
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int[][] dp = new int[prices.length][2];
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// bad case
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dp[0][0] = 0;
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dp[0][1] = -prices[0];
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dp[1][0] = Math.max(dp[0][0], dp[0][1] + prices[1]);
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||
dp[1][1] = Math.max(dp[0][1], -prices[1]);
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||
for (int i = 2; i < prices.length; i++) {
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// dp公式
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dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i]);
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||
dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 2][0] - prices[i]);
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}
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return dp[prices.length - 1][0];
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}
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}
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```
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```java
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// 一维数组优化
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class Solution {
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public int maxProfit(int[] prices) {
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// dp[2]和dp[3]用来存储冷冻期的数据
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int[] dp=new int[4];
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// 0表示持有，1表示卖出
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dp[0] = -prices[0];
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dp[1] = 0;
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for(int i = 1; i <= prices.length; i++){
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// 使用临时变量来保存dp[0], dp[2]
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// 因为马上dp[0]和dp[2]的数据都会变
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int temp = dp[0];
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int temp1 = dp[2];
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||
dp[0] = Math.max(dp[0], Math.max(dp[3], dp[1]) - prices[i-1]);
|
||
dp[1] = Math.max(dp[1], dp[3]);
|
||
dp[2] = temp + prices[i-1];
|
||
dp[3] = temp1;
|
||
}
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||
return Math.max(dp[3],Math.max(dp[1],dp[2]));
|
||
}
|
||
}
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||
```
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Python：
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```python
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class Solution:
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def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
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n = len(prices)
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if n == 0:
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return 0
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dp = [[0] * 4 for _ in range(n)]
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dp[0][0] = -prices[0] #持股票
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for i in range(1, n):
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dp[i][0] = max(dp[i-1][0], max(dp[i-1][3], dp[i-1][1]) - prices[i])
|
||
dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][3])
|
||
dp[i][2] = dp[i-1][0] + prices[i]
|
||
dp[i][3] = dp[i-1][2]
|
||
return max(dp[n-1][3], dp[n-1][1], dp[n-1][2])
|
||
```
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||
Go：
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```go
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// 最佳买卖股票时机含冷冻期 动态规划
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// 时间复杂度O(n) 空间复杂度O(n)
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func maxProfit(prices []int) int {
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n := len(prices)
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if n < 2 {
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||
return 0
|
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}
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||
dp := make([][]int, n)
|
||
status := make([]int, n * 4)
|
||
for i := range dp {
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dp[i] = status[:4]
|
||
status = status[4:]
|
||
}
|
||
dp[0][0] = -prices[0]
|
||
|
||
for i := 1; i < n; i++ {
|
||
dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], max(dp[i - 1][1] - prices[i], dp[i - 1][3] - prices[i]))
|
||
dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][3])
|
||
dp[i][2] = dp[i - 1][0] + prices[i]
|
||
dp[i][3] = dp[i - 1][2]
|
||
}
|
||
|
||
return max(dp[n - 1][1], max(dp[n - 1][2], dp[n - 1][3]))
|
||
}
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func max(a, b int) int {
|
||
if a > b {
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return a
|
||
}
|
||
return b
|
||
}
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||
```
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||
Javascript:
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||
|
||
```javascript
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const maxProfit = (prices) => {
|
||
if(prices.length < 2) {
|
||
return 0
|
||
} else if(prices.length < 3) {
|
||
return Math.max(0, prices[1] - prices[0]);
|
||
}
|
||
|
||
let dp = Array.from(Array(prices.length), () => Array(4).fill(0));
|
||
dp[0][0] = 0 - prices[0];
|
||
|
||
for(i = 1; i < prices.length; i++) {
|
||
dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], Math.max(dp[i-1][1], dp[i-1][3]) - prices[i]);
|
||
dp[i][1] = Math.max(dp[i -1][1], dp[i - 1][3]);
|
||
dp[i][2] = dp[i-1][0] + prices[i];
|
||
dp[i][3] = dp[i-1][2];
|
||
}
|
||
|
||
return Math.max(dp[prices.length - 1][1], dp[prices.length - 1][2], dp[prices.length - 1][3]);
|
||
};
|
||
```
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<div align="center"><img src=https://code-thinking.cdn.bcebos.com/pics/01二维码一.jpg width=500> </img></div>
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