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* [做项目（多个C++、Java、Go、测开、前端项目）](https://www.programmercarl.com/other/kstar.html)
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* [刷算法（两个月高强度学算法）](https://www.programmercarl.com/xunlian/xunlianying.html)
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* [背八股（40天挑战高频面试题）](https://www.programmercarl.com/xunlian/bagu.html)
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# 动态规划：关于多重背包，你该了解这些！
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本题力扣上没有原题，大家可以去[卡码网第56题](https://kamacoder.com/problempage.php?pid=1066)去练习，题意是一样的。
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之前我们已经系统的讲解了01背包和完全背包，如果没有看过的录友，建议先把如下三篇文章仔细阅读一波。
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* [动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-1.html)
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* [动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）](https://programmercarl.com/背包理论基础01背包-2.html)
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* [动态规划：关于完全背包，你该了解这些！](https://programmercarl.com/背包问题理论基础完全背包.html)
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这次我们再来说一说多重背包
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## 多重背包
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对于多重背包，我在力扣上还没发现对应的题目，所以这里就做一下简单介绍，大家大概了解一下。
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有N种物品和一个容量为V 的背包。第i种物品最多有Mi件可用，每件耗费的空间是Ci ，价值是Wi 。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的耗费的空间 总和不超过背包容量，且价值总和最大。
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多重背包和01背包是非常像的， 为什么和01背包像呢？
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每件物品最多有Mi件可用，把Mi件摊开，其实就是一个01背包问题了。
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例如：
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背包最大重量为10。
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物品为：
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| | 重量 | 价值 | 数量 |
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| --- | --- | --- | --- |
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| 物品0 | 1 | 15 | 2 |
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| 物品1 | 3 | 20 | 3 |
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| 物品2 | 4 | 30 | 2 |
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问背包能背的物品最大价值是多少？
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和如下情况有区别么？
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| | 重量 | 价值 | 数量 |
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| --- | --- | --- | --- |
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| 物品0 | 1 | 15 | 1 |
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| 物品0 | 1 | 15 | 1 |
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| 物品1 | 3 | 20 | 1 |
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| 物品1 | 3 | 20 | 1 |
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| 物品1 | 3 | 20 | 1 |
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| 物品2 | 4 | 30 | 1 |
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| 物品2 | 4 | 30 | 1 |
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毫无区别，这就转成了一个01背包问题了，且每个物品只用一次。
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练习题目：[卡码网第56题，多重背包](https://kamacoder.com/problempage.php?pid=1066)
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代码如下：
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```CPP
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// 超时了
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#include<iostream>
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#include<vector>
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using namespace std;
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int main() {
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int bagWeight,n;
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||
cin >> bagWeight >> n;
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||
vector<int> weight(n, 0);
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vector<int> value(n, 0);
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vector<int> nums(n, 0);
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for (int i = 0; i < n; i++) cin >> weight[i];
|
||
for (int i = 0; i < n; i++) cin >> value[i];
|
||
for (int i = 0; i < n; i++) cin >> nums[i];
|
||
|
||
for (int i = 0; i < n; i++) {
|
||
while (nums[i] > 1) { // 物品数量不是一的，都展开
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weight.push_back(weight[i]);
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||
value.push_back(value[i]);
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||
nums[i]--;
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}
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||
}
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||
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vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);
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||
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品，注意此时的物品数量不是n
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for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
|
||
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
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||
}
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||
}
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||
cout << dp[bagWeight] << endl;
|
||
}
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||
```
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大家去提交之后，发现这个解法超时了，为什么呢，哪里耗时呢？
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耗时就在 这段代码：
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```CPP
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for (int i = 0; i < n; i++) {
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while (nums[i] > 1) { // 物品数量不是一的，都展开
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||
weight.push_back(weight[i]);
|
||
value.push_back(value[i]);
|
||
nums[i]--;
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||
}
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||
}
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||
```
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如果物品数量很多的话，C++中，这种操作十分费时，主要消耗在vector的动态底层扩容上。（其实这里也可以优化，先把 所有物品数量都计算好，一起申请vector的空间。
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这里也有另一种实现方式，就是把每种商品遍历的个数放在01背包里面在遍历一遍。
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代码如下：（详看注释）
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```CPP
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#include<iostream>
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||
#include<vector>
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using namespace std;
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int main() {
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int bagWeight,n;
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cin >> bagWeight >> n;
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vector<int> weight(n, 0);
|
||
vector<int> value(n, 0);
|
||
vector<int> nums(n, 0);
|
||
for (int i = 0; i < n; i++) cin >> weight[i];
|
||
for (int i = 0; i < n; i++) cin >> value[i];
|
||
for (int i = 0; i < n; i++) cin >> nums[i];
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vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);
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for(int i = 0; i < n; i++) { // 遍历物品
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for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
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// 以上为01背包，然后加一个遍历个数
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for (int k = 1; k <= nums[i] && (j - k * weight[i]) >= 0; k++) { // 遍历个数
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dp[j] = max(dp[j], dp[j - k * weight[i]] + k * value[i]);
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||
}
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||
}
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||
}
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cout << dp[bagWeight] << endl;
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||
}
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```
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时间复杂度：O(m × n × k)，m：物品种类个数，n背包容量，k单类物品数量
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从代码里可以看出是01背包里面在加一个for循环遍历一个每种商品的数量。 和01背包还是如出一辙的。
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当然还有那种二进制优化的方法，其实就是把每种物品的数量，打包成一个个独立的包。
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和以上在循环遍历上有所不同，因为是分拆为各个包最后可以组成一个完整背包，具体原理我就不做过多解释了，大家了解一下就行，面试的话基本不会考完这个深度了，感兴趣可以自己深入研究一波。
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## 总结
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多重背包在面试中基本不会出现，力扣上也没有对应的题目，大家对多重背包的掌握程度知道它是一种01背包，并能在01背包的基础上写出对应代码就可以了。
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至于背包九讲里面还有混合背包，二维费用背包，分组背包等等这些，大家感兴趣可以自己去学习学习，这里也不做介绍了，面试也不会考。
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## 其他语言版本
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### Java：
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```Java
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import java.util.Scanner;
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class multi_pack{
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public static void main(String [] args) {
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Scanner sc = new Scanner(System.in);
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/**
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* bagWeight:背包容量
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* n:物品种类
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*/
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int bagWeight, n;
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//获取用户输入数据，中间用空格隔开，回车键换行
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bagWeight = sc.nextInt();
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n = sc.nextInt();
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int[] weight = new int[n];
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||
int[] value = new int[n];
|
||
int[] nums = new int[n];
|
||
for (int i = 0; i < n; i++) weight[i] = sc.nextInt();
|
||
for (int i = 0; i < n; i++) value[i] = sc.nextInt();
|
||
for (int i = 0; i < n; i++) nums[i] = sc.nextInt();
|
||
|
||
int[] dp = new int[bagWeight + 1];
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||
|
||
//先遍历物品再遍历背包，作为01背包处理
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||
for (int i = 0; i < n; i++) {
|
||
for (int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) {
|
||
//遍历每种物品的个数
|
||
for (int k = 1; k <= nums[i] && (j - k * weight[i]) >= 0; k++) {
|
||
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - k * weight[i]] + k * value[i]);
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||
}
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||
}
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||
}
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System.out.println(dp[bagWeight]);
|
||
}
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||
}
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```
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### Python：
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```python
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C, N = input().split(" ")
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C, N = int(C), int(N)
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# value数组需要判断一下非空不然过不了
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weights = [int(x) for x in input().split(" ")]
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values = [int(x) for x in input().split(" ") if x]
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nums = [int(x) for x in input().split(" ")]
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dp = [0] * (C + 1)
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# 遍历背包容量
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for i in range(N):
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for j in range(C, weights[i] - 1, -1):
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for k in range(1, nums[i] + 1):
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||
# 遍历 k，如果已经大于背包容量直接跳出循环
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||
if k * weights[i] > j:
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break
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||
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weights[i] * k] + values[i] * k)
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||
print(dp[-1])
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```
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### Go：
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### TypeScript：
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