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https://github.com/youngyangyang04/leetcode-master.git
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<p align="center">
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<a href="https://mp.weixin.qq.com/s/RsdcQ9umo09R6cfnwXZlrQ"><img src="https://img.shields.io/badge/PDF下载-代码随想录-blueviolet" alt=""></a>
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</p>
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<p align="center"><strong>欢迎大家<a href="https://mp.weixin.qq.com/s/tqCxrMEU-ajQumL1i8im9A">参与本项目</a>，贡献其他语言版本的代码，拥抱开源，让更多学习算法的小伙伴们收益！</strong></p>
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# 动态规划：关于完全背包，你该了解这些！
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## 完全背包
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有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。**每件物品都有无限个（也就是可以放入背包多次）**，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。
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**完全背包和01背包问题唯一不同的地方就是，每种物品有无限件**。
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同样leetcode上没有纯完全背包问题，都是需要完全背包的各种应用，需要转化成完全背包问题，所以我这里还是以纯完全背包问题进行讲解理论和原理。
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在下面的讲解中，我依然举这个例子：
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背包最大重量为4。
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物品为：
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| | 重量 | 价值 |
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| --- | --- | --- |
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| 物品0 | 1 | 15 |
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| 物品1 | 3 | 20 |
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| 物品2 | 4 | 30 |
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**每件商品都有无限个！**
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问背包能背的物品最大价值是多少？
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01背包和完全背包唯一不同就是体现在遍历顺序上，所以本文就不去做动规五部曲了，我们直接针对遍历顺序经行分析！
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关于01背包我如下两篇已经进行深入分析了：
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* [动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！](https://mp.weixin.qq.com/s/FwIiPPmR18_AJO5eiidT6w)
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* [动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）](https://mp.weixin.qq.com/s/M4uHxNVKRKm5HPjkNZBnFA)
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首先在回顾一下01背包的核心代码
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```
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for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
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for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
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||
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
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}
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}
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```
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我们知道01背包内嵌的循环是从大到小遍历，为了保证每个物品仅被添加一次。
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而完全背包的物品是可以添加多次的，所以要从小到大去遍历，即：
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```C++
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// 先遍历物品，再遍历背包
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for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
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for(int j = weight[i]; j < bagWeight ; j++) { // 遍历背包容量
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||
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
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||
}
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||
}
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```
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至于为什么，我在[动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）](https://mp.weixin.qq.com/s/M4uHxNVKRKm5HPjkNZBnFA)中也做了讲解。
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dp状态图如下：
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相信很多同学看网上的文章，关于完全背包介绍基本就到为止了。
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**其实还有一个很重要的问题，为什么遍历物品在外层循环，遍历背包容量在内层循环？**
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这个问题很多题解关于这里都是轻描淡写就略过了，大家都默认 遍历物品在外层，遍历背包容量在内层，好像本应该如此一样，那么为什么呢？
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难道就不能遍历背包容量在外层，遍历物品在内层？
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看过这两篇的话：
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* [动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！](https://mp.weixin.qq.com/s/FwIiPPmR18_AJO5eiidT6w)
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* [动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组）](https://mp.weixin.qq.com/s/M4uHxNVKRKm5HPjkNZBnFA)
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就知道了，01背包中二维dp数组的两个for遍历的先后循序是可以颠倒了，一位dp数组的两个for循环先后循序一定是先遍历物品，再遍历背包容量。
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**在完全背包中，对于一维dp数组来说，其实两个for循环嵌套顺序同样无所谓！**
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因为dp[j] 是根据 下标j之前所对应的dp[j]计算出来的。 只要保证下标j之前的dp[j]都是经过计算的就可以了。
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遍历物品在外层循环，遍历背包容量在内层循环，状态如图：
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遍历背包容量在外层循环，遍历物品在内层循环，状态如图：
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看了这两个图，大家就会理解，完全背包中，两个for循环的先后循序，都不影响计算dp[j]所需要的值（这个值就是下标j之前所对应的dp[j]）。
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先遍历被背包在遍历物品，代码如下：
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```C++
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// 先遍历背包，再遍历物品
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for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
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for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
|
||
if (j - weight[i] >= 0) dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
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}
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cout << endl;
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}
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```
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## C++测试代码
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完整的C++测试代码如下：
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```C++
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// 先遍历物品，在遍历背包
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void test_CompletePack() {
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vector<int> weight = {1, 3, 4};
|
||
vector<int> value = {15, 20, 30};
|
||
int bagWeight = 4;
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||
vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);
|
||
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
|
||
for(int j = weight[i]; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
|
||
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
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||
}
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||
}
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||
cout << dp[bagWeight] << endl;
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||
}
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int main() {
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||
test_CompletePack();
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||
}
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||
```
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||
```C++
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||
// 先遍历背包，再遍历物品
|
||
void test_CompletePack() {
|
||
vector<int> weight = {1, 3, 4};
|
||
vector<int> value = {15, 20, 30};
|
||
int bagWeight = 4;
|
||
|
||
vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);
|
||
|
||
for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
|
||
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
|
||
if (j - weight[i] >= 0) dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
|
||
}
|
||
}
|
||
cout << dp[bagWeight] << endl;
|
||
}
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int main() {
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||
test_CompletePack();
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||
}
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```
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## 总结
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细心的同学可能发现，**全文我说的都是对于纯完全背包问题，其for循环的先后循环是可以颠倒的！**
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但如果题目稍稍有点变化，就会体现在遍历顺序上。
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如果问装满背包有几种方式的话？ 那么两个for循环的先后顺序就有很大区别了，而leetcode上的题目都是这种稍有变化的类型。
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这个区别，我将在后面讲解具体leetcode题目中给大家介绍，因为这块如果不结合具题目，单纯的介绍原理估计很多同学会越看越懵！
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别急，下一篇就是了！哈哈
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最后，**又可以出一道面试题了，就是纯完全背包，要求先用二维dp数组实现，然后再用一维dp数组实现，最后在问，两个for循环的先后是否可以颠倒？为什么？**
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这个简单的完全背包问题，估计就可以难住不少候选人了。
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## 其他语言版本
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Java：
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```java
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//先遍历物品，再遍历背包
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private static void testCompletePack(){
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int[] weight = {1, 3, 4};
|
||
int[] value = {15, 20, 30};
|
||
int bagWeight = 4;
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||
int[] dp = new int[bagWeight + 1];
|
||
for (int i = 0; i < weight.length; i++){
|
||
for (int j = 1; j <= bagWeight; j++){
|
||
if (j - weight[i] >= 0){
|
||
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
|
||
}
|
||
}
|
||
}
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||
for (int maxValue : dp){
|
||
System.out.println(maxValue + " ");
|
||
}
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||
}
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//先遍历背包，再遍历物品
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||
private static void testCompletePackAnotherWay(){
|
||
int[] weight = {1, 3, 4};
|
||
int[] value = {15, 20, 30};
|
||
int bagWeight = 4;
|
||
int[] dp = new int[bagWeight + 1];
|
||
for (int i = 1; i <= bagWeight; i++){
|
||
for (int j = 0; j < weight.length; j++){
|
||
if (i - weight[j] >= 0){
|
||
dp[i] = Math.max(dp[i], dp[i - weight[j]] + value[j]);
|
||
}
|
||
}
|
||
}
|
||
for (int maxValue : dp){
|
||
System.out.println(maxValue + " ");
|
||
}
|
||
}
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||
```
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Python：
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```python3
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# 先遍历物品，再遍历背包
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def test_complete_pack1():
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weight = [1, 3, 4]
|
||
value = [15, 20, 30]
|
||
bag_weight = 4
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||
|
||
dp = [0]*(bag_weight + 1)
|
||
|
||
for i in range(len(weight)):
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||
for j in range(weight[i], bag_weight + 1):
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||
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])
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||
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||
print(dp[bag_weight])
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||
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||
# 先遍历背包，再遍历物品
|
||
def test_complete_pack2():
|
||
weight = [1, 3, 4]
|
||
value = [15, 20, 30]
|
||
bag_weight = 4
|
||
|
||
dp = [0]*(bag_weight + 1)
|
||
|
||
for j in range(bag_weight + 1):
|
||
for i in range(len(weight)):
|
||
if j >= weight[i]: dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])
|
||
|
||
print(dp[bag_weight])
|
||
|
||
|
||
if __name__ == '__main__':
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||
test_complete_pack1()
|
||
test_complete_pack2()
|
||
```
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Go：
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```go
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||
// test_CompletePack1 先遍历物品, 在遍历背包
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||
func test_CompletePack1(weight, value []int, bagWeight int) int {
|
||
// 定义dp数组 和初始化
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||
dp := make([]int, bagWeight+1)
|
||
// 遍历顺序
|
||
for i := 0; i < len(weight); i++ {
|
||
// 正序会多次添加 value[i]
|
||
for j := weight[i]; j <= bagWeight; j++ {
|
||
// 推导公式
|
||
dp[j] = max(dp[j], dp[j-weight[i]]+value[i])
|
||
// debug
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//fmt.Println(dp)
|
||
}
|
||
}
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||
return dp[bagWeight]
|
||
}
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||
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||
// test_CompletePack2 先遍历背包, 在遍历物品
|
||
func test_CompletePack2(weight, value []int, bagWeight int) int {
|
||
// 定义dp数组 和初始化
|
||
dp := make([]int, bagWeight+1)
|
||
// 遍历顺序
|
||
// j从0 开始
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for j := 0; j <= bagWeight; j++ {
|
||
for i := 0; i < len(weight); i++ {
|
||
if j >= weight[i] {
|
||
// 推导公式
|
||
dp[j] = max(dp[j], dp[j-weight[i]]+value[i])
|
||
}
|
||
// debug
|
||
//fmt.Println(dp)
|
||
}
|
||
}
|
||
return dp[bagWeight]
|
||
}
|
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func max(a, b int) int {
|
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if a > b {
|
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return a
|
||
}
|
||
return b
|
||
}
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func main() {
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||
weight := []int{1, 3, 4}
|
||
price := []int{15, 20, 30}
|
||
fmt.Println(test_CompletePack1(weight, price, 4))
|
||
fmt.Println(test_CompletePack2(weight, price, 4))
|
||
}
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||
```
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||
Javascript:
|
||
```Javascript
|
||
// 先遍历物品，再遍历背包容量
|
||
function test_completePack1() {
|
||
let weight = [1, 3, 5]
|
||
let value = [15, 20, 30]
|
||
let bagWeight = 4
|
||
let dp = new Array(bagWeight + 1).fill(0)
|
||
for(let i = 0; i <= weight.length; i++) {
|
||
for(let j = weight[i]; j <= bagWeight; j++) {
|
||
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])
|
||
}
|
||
}
|
||
console.log(dp)
|
||
}
|
||
|
||
// 先遍历背包容量，再遍历物品
|
||
function test_completePack2() {
|
||
let weight = [1, 3, 5]
|
||
let value = [15, 20, 30]
|
||
let bagWeight = 4
|
||
let dp = new Array(bagWeight + 1).fill(0)
|
||
for(let j = 0; j <= bagWeight; j++) {
|
||
for(let i = 0; i < weight.length; i++) {
|
||
if (j >= weight[i]) {
|
||
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])
|
||
}
|
||
}
|
||
}
|
||
console.log(2, dp);
|
||
}
|
||
```
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||
|
||
|
||
-----------------------
|
||
* 作者微信：[程序员Carl](https://mp.weixin.qq.com/s/b66DFkOp8OOxdZC_xLZxfw)
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||
* B站视频：[代码随想录](https://space.bilibili.com/525438321)
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||
* 知识星球：[代码随想录](https://mp.weixin.qq.com/s/QVF6upVMSbgvZy8lHZS3CQ)
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<div align="center"><img src=https://code-thinking.cdn.bcebos.com/pics/01二维码.jpg width=450> </img></div>
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