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thu_dsa/chp6/Graph.md

@@ -248,7 +248,7 @@ bool Graph<Tv, Te>::tSort(int x, Stack<int> &S){
 
 首先考虑一种较为一般的情况。考虑图G顶点集V，V的一个非平凡子集U以及U的补集V\U构成了G的一个割。最小支撑树总是会采用每一割的最短跨越边。
 
-根据上面的性质，就可以得到构造最小支撑树的算法：总是将原图视作一个割，两个顶点集分别是已经加入到最小支撑树中的顶点和未加入的顶点。通过找到这个割的最短跨越边，从而将一个新的顶点加入到最小支撑树中。这样不断地迭代，知道最小支撑树覆盖了全图的所有顶点。
+根据上面的性质，就可以得到构造最小支撑树的算法：总是将原图视作一个割，两个顶点集分别是已经加入到最小支撑树中的顶点和未加入的顶点。通过找到这个割的最短跨越边，从而将一个新的顶点加入到最小支撑树中。这样不断地迭代，直到最小支撑树覆盖了全图的所有顶点。
 
 这里比较复杂的问题是，如何快速地找到当前割的最短跨越边，为此，可以模仿dijkstra算法，维护一个数组，来保存所有未加入最小支撑树的顶点到最小支撑树的路径，每加入一个新的顶点，将这个数组进行更新。这里并没有真正地用一个数组，而是用每个顶点的`priority`字段来保存这个信息。
 
@@ -282,17 +282,17 @@ void Graph<Tv, Te>::primPU(int x){
 考虑从源点s到任意顶点v的最短路径，其路径上还有若干其他顶点。那么该路径上从s到这些顶点的一段，也是从s到这些顶点的最短路径。这个性质是容易证明的，因为否则的话，从s到v还有一条更短的路径，这与一开始的假设矛盾。
 
 从上面的性质可以看出，为了构造从s到某一顶点的最短路径，首先需要构造从s到该顶点路径上更前面顶点的最短路径。将图中各点按距离s的远近次序由近到远排个序，就构成了最短路径子树序列。
-因此为了构造从源点s到所有其他顶点的最短路径，需要依次找到距离s最近的$u_1, $u_2, ..., u_k$，从而完成最短路径树的构造。
+因此为了构造从源点s到所有其他顶点的最短路径，需要依次找到距离s最近的$u_1, u_2, ..., u_k$，从而完成最短路径树的构造。
 
 + 首先需要找到距离s最近的顶点$u_1$。实际上，$u_1$是s的邻居中距离s最近的顶点。这是因为，倘若存在s的非邻居顶点$x$，距离s的距离比$u_1$更近，那么它必然通过某个顶点$y$与s连接，$y$是s的邻居顶点。所以，$x$到s的距离为
 $$
 dist(x, s) = dist(x, y) + dist(y, s)
 $$
-。而
+而
 $$
 dist(y, s) > dist(u_1, s)
 $$
-，所以$x$到s的距离实际上比$u_1$远，故$u_1$才是距离s最近的顶点。
+所以$x$到s的距离实际上比$u_1$远，故$u_1$才是距离s最近的顶点。
 
 + 已知$u_k$，找到接下来距离s最近的顶点$u_{k + 1}$。这个顶点就是所有的与
 s以及$u_1$到$u_k$连通的顶点中，距离s最近的一个。这个的证明和前面的原理一致，可以自己试试。