some modifications.

thu_dsa/chp5/chp5.md

@@ -210,7 +210,7 @@ void preOrder_It2(BinNodePosi(T) x, VST &visit){
 
 所以中序遍历迭代版的算法如下：
 
-```
+```cpp
 template <typename T>
 void goAlongLeftBranch(BinNodePosi(T) x, Stack<BinNodePosi(T) &S){
 	while(x){

thu_dsa/chp6/Graph.md

@@ -3,7 +3,7 @@ Conclusion on Chapter Six: Graph
 
 ## 知识脉络
 
-本章讨论图结构以及与之相关的算法。相对于前面的序列以及树，图是一种更加一般的数据结构，借助图理论上可以表示世界上所有事物以及它们之间的联系。一般地，单向链表是入度和出度均为1的图，二叉树是入度为1而出度不超过2的图。仿照前面对树的研究思路，对图的研究主要是将图转化为一棵与之对应的树，从而利用对数的分析技巧来解决问题。
+本章讨论图结构以及与之相关的算法。相对于前面的序列以及树，图是一种更加一般的数据结构，借助图理论上可以表示世界上所有事物以及它们之间的联系。一般地，单向链表是入度和出度均为1的图，二叉树是入度为1而出度不超过2的图。仿照前面对树的研究思路，对图的研究主要是将图转化为一棵与之对应的树，从而利用对树的分析技巧来解决问题。
 
 可以从遍历的角度将图转化为树，这里对应了两种遍历策略，即广度优先搜索和深度优先搜索。广度优先搜索总是优先访问更早访问的节点的邻居，而深度优先搜索却是优先访问最后访问节点的邻居。为了尽可能保存图结构中蕴含的信息，在遍历过程中要进行大量的标注工作，包括各个节点的发现时间`dtime`与访问时间`ftime`，各条边的类型（树边，跨边，前向边，后向边）以及父亲节点等。对于两种遍历何时应该标注何种情况，需要有清晰的理解才行，例如对于深度优先搜索，关键在于对`括号引理`的理解。
 
@@ -17,7 +17,7 @@ Conclusion on Chapter Six: Graph
 + 每一割的极短跨越边，都会被某一棵极小支撑树采用。
 + 对于某棵支撑树，如果它的每一边都是某割的极短跨越边，该树也未必就是一棵极小支撑树。
 
-此时，`Prim`算法的正确性就显得有点似是而非。好在，可以证明，`Prim`算法每一步生成的树`T_k`，都是某一棵极小支撑树的子树，从而证明得到`Prim`算法在允许多变等权时仍然是正确的。
+此时，`Prim`算法的正确性就显得有点似是而非。好在可以证明，`Prim`算法每一步生成的树`T_k`，都是某一棵极小支撑树的子树，从而证明得到`Prim`算法在允许多边等权时仍然是正确的。
 
 `Kruscal`算法也是基于贪心迭代策略的`最小生成树`的生成算法，在它的执行过程中主要涉及两个基本操作，即判断一条边连接的两个节点是否属于同一棵树，以及若不属于，则将这两棵树合并，因此利用一个并查集(`Union and Find Set`)可以方便地实现这些基本操作。`Kruscal`算法正确的证明也是类似于`Prim`正确性的证明。
 

thu_dsa/chp7/BST.md

@@ -13,7 +13,7 @@ Conclusion on BST
 
 `B树`是为了解决多级存储介质速度不匹配的问题而产生的一种数据结构。它的本质是`多路平衡搜索树`，实际上，将二叉树的多层次节点合并，即可构成一个`B树`的`超级节点`。对于`m`阶`B树`，它的定义是除了根节点外，所有节点的分支数都介于$\left \lceil m/2 \right \rceil \sim m$的多路平衡搜索树，对于根节点，其分支数则介于$2 \sim m$之间。`B`树的搜索仍然是仿照`BST`的策略进行，为了维护`B树`的结构，需要对它的插入和删除算法进行一些分析。对于插入，有可能会导致内部节点的`上溢`，解决`上溢`的方法是对超级节点进行分裂(split)，将`上溢`的超级节点一分为二，同时将它的中间值添加到父节点中，容易看出，这可能会将`上溢`传递给父节点，一旦`上溢`传递到根节点，`B树`的高度就会增加一个单位；对于删除操作，则可能导致`下溢`，解决`下溢`有两种方法，即`左顾右盼`与`合并`，其中`合并`操作有可能将`下溢`向父节点传递，一旦传递至根节点，会导致`B`树高度减小一个单位。
 
-`红黑树`则具有更加奇怪的平衡条件（四条），实际上`红黑树`与`B树`具有非常紧密的联系——将红黑树的红色节点向上依附于黑色节点，就构成了一棵`2-4B树`，因此`红黑树`的黑色高度(black height, bh)即等于与之对应的`B树`的高度，这样以来`红黑树`的平衡性就不证自明了。对于`红黑树`的失衡调整算法的理解，关键也在于将它转化为等效的`B树`，通过`B树`的上溢和下溢调整算法来理解。
+`红黑树`则具有更加奇怪的平衡条件（四条），实际上`红黑树`与`B树`具有非常紧密的联系——将红黑树的红色节点向上依附于黑色节点，就构成了一棵`2-4B树`，因此`红黑树`的黑色高度(black height, bh)即等于与之对应的`B树`的高度，这样一来`红黑树`的平衡性就不证自明了。对于`红黑树`的失衡调整算法的理解，关键也在于将它转化为等效的`B树`，通过`B树`的上溢和下溢调整算法来理解。
 
 对于插入操作，可能会出现`双红缺陷`(double red)，此时需要对被插入节点的叔父节点进行讨论，如果叔父为黑色节点，则做一次`3+4重构`即可，等效于`B树`中交换相邻的红黑节点的颜色；如果叔父的红色节点，则对应于`B树`中的`上溢`，此时只需要将祖父染成黑色，而将父节点和叔父节点都染成红色，即可在这一局部解决`双红缺陷`，但需要注意的是，`双红缺陷`可能在祖父节点再次出现。这对应了`B树`中解决`上溢`的`split`操作，分裂节点后可能导致上一层节点继续`上溢`。