finish conclusions on hash function.

thu_dsa/hash.md

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+Conclusions on HashTable
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+## 散列的基本概念
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+> 什么是散列？为什么需要散列？
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+据邓公所说，散列是一种思想。与已经学过的其他数据结构相比较，向量是采用循秩访问(call by rank)的访问方式，列表是采用循位置访问(call by position)的访问方式，二叉搜索树是采用循关键码访问(call by key)的访问方式，散列与他们都不一样，是采用循值访问(call by value)的访问方式。
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+举个例子，你现在身处同济大学嘉定校区，四周是一片荒芒，这个时候你想回家了。沿世界上所有的街道一间一间房找过去，这是循秩访问；你记得你家是住在四川省成都市某街道多少号，然后你可以依次先到四川省，再到成都市，再到某条街道，然后找到你家，这是循关键码访问；而循值访问，则是你通常会采用的方法——你根本不用去回想我家的地址是多少，你知道它就在那里，就在家这个词刚刚出现在你的脑海中的时候。想到家乡，你想到的不是地址或者一串数字，而是一个生动的影像，包含它的环境，四周的风物，已经曾经的朋友。这就是循值访问。
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+可以看到，相对于其他的访问方式，循值访问是将被访问对象的数值，与它在容器中的位置之间，直接建立了一个映射关系，从而对于任何对象的基本操作（访问，插入，删除）都只需要常数$O(1)$的时间，达到了最理想的境地。这就是人类需要散列的原因，你无法不被如此的诱惑所吸引。
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+> 完美散列
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+在时间与空间性能上均达到完美的散列，称为完美散列。
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+也就是说，对于完美散列，其中的每一个值，都可以唯一地映射到散列表中的一个位置，既无空余，亦无重复。从映射角度来看，完美散列是一个单射，同时也是一个满射。Bitmap就是完美散列的一个例子。
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+可以看出，完美散列实际中并不常见，在大多数的情形下，关键码的取值是远远大于词条的个数的，设关键码的取值为$[0, R)$, 词条的个数为$N$，则$R >> N$。设散列表的大小为$M$，此时，从定义域$[0, R)$到值域$[0, M)$的映射不可能是单射，即不可避免地会出现不同的关键码映射到散列表中的同一个位置，即所谓冲突。因此就需要合理地选择这一个映射关系，即散列函数，使冲突出现的可能性最小；同时还应该事先约定好一旦出现这种冲突，应该采取的解决访问。这两个问题将在下面重点讨论，即散列函数的设计与冲突解决方案。
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+## 散列函数的设计
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+> 散列函数的设计方案？什么是好的散列函数？
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+前面提到，从词条空间到地址空间的映射，即散列函数，绝对不可能是单射，冲突是一定不可能避免的，但是好的散列函数应该保证尽可能地少出现冲突。由此，可以提炼出散列函数的几个设计指标。
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++ 确定性。散列函数确定的条件下，同一个关键码应该总是映射到同一个地址，这样才满足一个函数的定义。
++ 快速性。是指散列地址的计算过程要尽可能快，要能在常数时间内完成。
++ 满射。好的散列函数最好是一个满射，这样可以充分利用散列空间，尽可能地减少冲突的发生。
++ 均匀性。也是为了减少冲突的发生，关键码被映射到各个散列地址的概率应该接近于$1/M$，这样可以防止汇聚(clustering)现象的发生，即关键码只被映射到少数的几个散列地址，在局部加剧散列冲突，全局的散列空间也没有得到充分地利用。
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+总之，为了保证冲突尽可能地少，散列函数越是随机，越是没有规律越好。
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+### 几个散列函数的实例
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+> 除余法(division method)
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+除余法的整体思路非常简单，即用关键码的值对散列表的长度$M$取余，即$hash(key) = key\ mod\ M$，这样可以将关键码映射到整个散列空间上。
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+这里问题的关键在于散列表长度$M$的选择。考虑有一组数据，其中的关键码以固定步长$S$变化（实际中的数据往往就是这种形式的，而不是随机的，例如for循环一般就是固定步长的数据）。设第$i$个数据第一次与第$j$个数据的关键码发生冲突，即
+$$
+S\times i \equiv S\times j\ (mod M)
+$$
+即$Si$与$Sj$是同余类，所以
+$$
+S(j - i) \equiv 0 \ (mod M)
+$$
+由此可解得
+$$
+j - i = \frac{M}{gcd(M, S)}\ gcd for Greatest Common Divisor
+$$
+
+根据上面对散列函数设计要求的分析，我们是希望散列函数可以尽可能地减少冲突，即这里的$j - i$尽可能地大，就需要保证$M$和$S$的最大公因数要尽可能小，因此$M$要和$S$互质。但是由于散列表存储的不同数据具有不同的步长$S$值，要使$M$与所有可能的步长$S$互质，只有当$M$本身就是一个素数才可能实现。
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+> MAD法(Multiply-add-divide method)
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+上面的除余法还存在着一些问题。
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+首先，除余法得到的散列地址，依然存在一定程度的连续性，即原来相邻的关键码对应的散列地址也仍然是相邻的；其次，在除余法中关键码较小的那些词条，始终被映射到散列表的起始区段，其中关键码为零的元素，其散列地址总是零，即是一个不动点，这显然违背了散列函数应该越随机，越没有规律越好的原则。MAD法正是对除余法上述问题的一个改进。
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+MAD法，顾名思义，就是对于关键码，依次执行乘法、加法和模余运算，即
+$$
+hash(key) = (a \times key + b)\ mod\ M
+$$
+
+这样，只要适当选择$a, b$，MAD法可以很好的克服除余法原有的连续性缺陷，其中参数$a$的作用是使相邻关键码的散列地址更加分散，$b$的作用是作为一个偏移量，去掉不动点。
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+> 数字分析法
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+遵循散列函数越是随机没有规律，就越好的原则，引入了数字分析法，即对于关键码key的特定进制展开，抽取其中的几位，映射到一个散列地址。
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+比较简单的情形就是取十进制展开中的奇数位，作为散列地址，例如
+$$
+hash(123456789) = 13579
+$$
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+除此以外，还有平方取中法，即对于关键码$key$取平方，然后截取中间的几位来作为散列地址。之所以选择中间的几位，是因为中间的几位是受到了原来的关键码更多数位的影响；相对于取高位数字（只受到原关键码高位数字影响）或者低位数字（只受到原关键码低位数字影响），取中间位数综合了更多位数的影响，因此随机性、均匀性更强，更不易出现冲突。
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+此外，还有折叠法往复折叠法。
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+为了保证经过这些方法得到的值仍然落在散列空间以内，通常还都需要对散列表长度$M$在取余。
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+> 随机数法
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+既然散列函数是随机性越强越好，那一个简明的思想是直接利用生成的伪随机数来构造散列地址。这样的话，任意一个伪随机数发生器本身就是一个好的散列函数了。即
+
+$$
+hash(key) = rand(key)\ mod\ M
+$$
+其中，$rand(key)$是系统定义的第$key$个伪随机数。
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