更新数据表示

Computer-Organization/1-data-representation-and-operation-ex.md

@@ -347,8 +347,24 @@ record.a(0x11)|record.a(0x01)|record.a(0x00)|record.a(0x00)|record.b|填充|reco
 
 补码算术左移低位补$0$，补码算术右移，高位补$1$。如果是算术右移，则会一直补$1$，而无法变成$1.0$开头，所以要使用算术左移，移动三位得到$1.0100000$，同时阶码减$3$变为$3$，最后规格化结果为$0,011;1.0100000$。
 
+<!-- #### 浮点数表示范围
+
+**例题** 浮点数格式如下：$7$位阶码，$1$位数符，$8$位尾数。若阶码用移码，尾数用补码表示，则浮点数所能表示数的范围是()。
+
+$A.-2^{63}\sim(1-2^{-8})\times2^{63}$
+
+$B.-2^{64}\sim(1-2^{-7})\times2^{64}$
+
+$C.-(1-2^{-8})\times2^{63}\sim2^{63}$
+
+$D.-(1-2^{-7})\times2^{64}\sim(1-2^{-8})\times2^{63}$
+
+解：首先$7$位移码，所以移码全$1$码值最大，求其补码为符号取反$011\,1111$，正数补码和原码相同，所以阶码最大为$63$。尾数用补码表示，所以补码全$1$表示最小，为$1.1111111=-1$，最大为$0.1111111=1-2^{-8}$，所以得到表达范围。 -->
+
 ### IEEE 754标准
 
+#### 格式表示
+
 **例题** 将十进制数$-0.75$转换为$IEEE\,754$的单精度浮点数格式表示。
 
 解：将$-0.75D$首先转换为二进制为$-0.11B$，然后规格化变为$-1.1B\times0.1B$。其中阶码为$-1$（$0.1B$就是代表$2$的负一次方）。
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 所以最后就是$1\,0111\,1110\,1000\,0000\,0000\,0000\,0000\,000$。
 
+**例题** $float$型数据通常用$IEEE\,754$单精度浮点数格式表示。若编译器将$float$型变量$x$分配在一个$32$位浮点寄存器$FR1$中，且$x=—8.25$，则$FR1$的内容是()。
+
+$A.C104\,0000H$
+
+$B.C242\,0000H$
+
+$C.C184\,0000H$
+
+$D.C1C2\,0000H$
+
+解：$A$。首先将$x$变为原码，$-8.25=-(8+0.25)=-1000.01=-2^3\times1.00001$。尾数最高位隐藏$1$，所以尾数为$0.00001$，然后计算阶码，$3=0000\,0011+0111\,1111=1000\,0010$。所以$IEEE\,754$表示为$1;1000\,0010;0000\,1000\,\cdots=1100\,0001\,0000\,0100\,\cdots=C104\,0000H$。注意最高位要隐含一个$1$。
+
+#### 转换真值
+
 **例题** $IEEE\,754$的单精度浮点数$C0\,A0\,00\,00H$的值是多少。
 
-首先是$16$进制转二进制，每一个十六进制位转换为四个二进制位。所以得到$1100\,0000\,1010\,0000\,0000\,0000\,0000\,0000$。
+解：首先是$16$进制转二进制，每一个十六进制位转换为四个二进制位。所以得到$1100\,0000\,1010\,0000\,0000\,0000\,0000\,0000$。
 
 根据$IEEE\,754$标准，将$32$位分割为数符、阶码、尾数三个部分：数符为$1$，阶码为$100\,0000\,1$，尾数为$010\,0000\,0000\,0000\,0000\,0000$。
 
@@ -373,8 +403,78 @@ record.a(0x11)|record.a(0x01)|record.a(0x00)|record.a(0x00)|record.b|填充|reco
 
 所以浮点数的真值为$-1.01B\times2\times2=-1.25\times4=-5$。
 
+#### 标准表示范围
+
+**例题** $float$类型（即$IEEE\,754$单精度浮点数格式）能表示的最大正整数是()。
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+$A.2^{126}-2^{103}$
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+$B.2^{127}-2^{104}$
+
+$C.2^{127}-2^{103}$
+
+$D.2^{128}-2^{104}$
+
+解：$D$。表示是正数最大值，所以$S$为符号位可以不用考虑。阶码$E$是八位，所以表达的值是$1\sim254$（规定$255$和$0$都不可以使用），又使用移码加$127$，所以实际上表达的值是比原码小的，即表达最大值为$254-127=127$。尾数为$23$位，又隐藏最高位$1$，所以一共$24$位，正数的最大值为$1.11\cdots1$，所以能表达的最大正整数值为$1.11\cdots\times2^{127}=(2-2^{23})\times2^{127}=2^{128}-2^{104}$。
+
 ### 浮点数运算
 
+#### 浮点数运算过程
+
+**例题** 下列关于对阶操作说法正确的是()。
+
+$A.$在浮点加减运算的对阶操作中，若阶码减小，则尾数左移
+
+$B.$在浮点加减运算的对阶操作中，若阶码增大，则尾数右移;若阶码减小，则尾数左移
+
+$C.$在浮点加减运算的对阶操作中，若阶码增大，则尾数右移
+
+$D.$以上都不对
+
+解：$C$。从计算规律来看，$ABC$说法都正确，应该选最全面的$B$。但是实际上对阶应该小阶向大阶对齐，所以只能阶码增大，而不能阶码减小。
+
+**例题** 下列关于各种移位的说法正确的是()。
+
+Ⅰ.假设机器数采用反码表示，当机器数为负时，左移时最高数位丢$0$，结果出错；右移时最低数位丢$0$，影响精度
+
+Ⅱ.在算术移位的情况下，补码左移的前提条件是其原最高有效位与原符号位要相同
+
+Ⅲ.在算术移位的情况下，双符号位的移位操作只有低符号位需要参加移位操作
+
+$A.$Ⅰ、Ⅲ
+
+$B.$仅Ⅱ
+
+$C.$只有Ⅲ
+
+$D.$Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ
+
+解：$D$。对于Ⅰ负数的反码除符号位外其他位与负数的原码相反，所以丢$0$就是丢原码的$1$，不难推出Ⅰ正确。如$5$位反码$10010$表示$-13$，右移$1$位变成$11001$为$-6$，影响精度，左移$1$位变成$10101$为$-10$，数据丢失。对于Ⅱ补码表示时，正数的符号位为$0$，左移最高位为$0$时，数据不会丢失；负数的符号位为$1$，左移最高位为$1$时，数据不会丢失。因此左移移走的最高位要与符号位相同。对于Ⅲ，双符号位的最高符号位代表真正的符号，而低位符号位用于参与移位操作以判断是否发生溢出，不用参与运算。
+
+**例题** 下列关于舍入的说法，正确的是()。
+
+Ⅰ不仅仅只有浮点数需要舍入，定点数在运算时也可能要舍入
+
+Ⅱ.在浮点数舍入中，只有左规格化时可能要舍入
+
+Ⅲ.在浮点数舍入中，只有右规格化时可能要舍入
+
+Ⅳ．在浮点数舍入中，左、右规格化均可能要舍入
+
+Ⅴ．舍入不一定产生误差
+
+$A.$Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ
+
+$B.$Ⅰ、Ⅱ、Ⅴ
+
+$C.$Ⅴ
+
+$D.$Ⅰ、Ⅳ
+
+解：$C$。舍入是浮点数的概念，定点数没有舍入的概念，因此Ⅰ错误。浮点数舍入的情况有两种：对阶、右规格化，因此Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ错误。舍入不一定产生误差，如向下舍入$11.00$到$11.0$时是没有误差的，因此Ⅴ正确。
+
+#### 浮点数加减
+
 **例题** 已知十进制数$X=-\dfrac{5}{256}$，$Y=+\dfrac{59}{1024}$，按机器补码浮点运算规则计算$X-Y$，结果用二进制表示，浮点数格式如下︰阶符取$2$位，阶码取$3$位，数符取$2$位，尾数取$9$位。
 
 解：首先要将十进制的真值转换为二进制原码。因为不是$IEEE\,754$标准，所以小数不用转换为$1.xxx$的格式，转成$0.xxx$的格式就可以了：$5D=101B$，$\dfrac{1}{256}=2^{-8}$，所以$X=-101\times2^{-8}=-0.101\times2^{-5}=-0.101\times2^{-101B}$。然后$59D=11 1011B$，$\dfrac{1}{1024}=2^{-10}$，从而$Y=+11 1011\times2^{-10}=0.111011\times2^{-4}=0.111011\times2^{-100B}$。

Computer-Organization/1-data-representation-and-operation.md

@@ -261,14 +261,14 @@ k|2|3|4|5|6|7
 :----:|:------:|:--:|:--:|:--:|:--:
 0000 0000|0|+0|+0|0|-128
 0000 0001|1|+1|+1|+1|-127
-...
+...|
 0111 1101|125|+125|+125|+125|-3
 0111 1110|126|+126|+126|+126|-2
 0111 1111|127|+127|+127|+127|-1
 1000 0000|128|-0|-127|-128|0
 1000 0001|129|-1|-126|-127|1
 1000 0010|130|-2|-125|-126|2
-...
+...|
 1111 1101|253|-125|-2|-3|125
 1111 1110|254|-126|-1|-2|126
 1111 1111|255|-127|-0|-1|127
@@ -539,7 +539,11 @@ $y_n$（高位）|$y_{n+1}$（低位）|操作
    + 负数为$1.0xx\cdots x$的形式，其最大值表示为$1.01\cdots1$；最小值表示为$1.00\cdots0$。（负数的补码$1.0xx\cdots x$取反后就是$1.1xx\cdots x$）
    + 尾数的表示范围为$-1\leqslant M\leqslant-(\dfrac{1}{2}+2^{-n})$。（补码中强制规定$1.00\cdots0$就代表$-1$）
 
-当浮点数尾数的基数为$2$时，原码规格化数的尾数最高位一定是$1$，补码规格化数的尾数最高位一定与尾数符号位相反。基数不同，浮点数的规格化形式也不同。当基数为$4$时，原码规格化形式的尾数最高两位不全为$0$；当基数为$8$时，原码规格化形式的尾数最高$3$位不全为$0$。
+当浮点数尾数的基数为$2$时，原码规格化数的尾数最高位一定是$1$，补码规格化数的尾数最高位一定与尾数符号位相反。
+
+基数不同，浮点数的规格化形式也不同。当基数为$4$时，原码规格化形式的尾数正数最高两位不全为$0$，负数最高两位不全为$1$；当基数为$8$时，原码规格化形式的尾数正数最高$3$位不全为$0$，负数正数最高$3$位不全为$1$。
+
+如若基数为$8$，则$0.000111$和$1.111010$都不是规格化数，而$1.101010$是规格化。
 
 对于浮点数，上溢和下溢有正负之分：负上溢<负数区<负下溢<$0$<正下溢<正数区<正上溢。