更新数据表达

Computer-Organization/1-data-representation-and-operation.md

@@ -508,73 +508,55 @@ $y_n$（高位）|$y_{n+1}$（低位）|操作
 
 ## 浮点数
 
-指小数点的位置不固定，如使用科学计数法，如9.694E2。
+指小数点的位置不固定，如使用科学计数法，如$9.694E2$。
 
 ### 浮点数表示
 
 #### 阶码与尾数
 
 + 定点数能表示的数字范围有限，但我们不能无限制地增加数据的长度。
-+ 类似科学计数法，分为阶码和尾数两个部分，阶码反映数值大小、表示范围、小数点实际位置，尾数反映精度。
++ 类似科学计数法，分为阶符、阶码、数符和尾数四个部分，阶符和阶码反映数值大小、表示范围、小数点实际位置，数符代表浮点数的符号，尾数反映精度。
 + 对于二进制的浮点数，阶码是常用补码或移码表示的定点整数，而尾数是常用原码或补码表示的定点小数。
-+ 若阶码的真值为$E$，尾数的真值为$M$，则浮点数的真值为$N=r^E\times M$，其中r为阶码的底，即基数，一般为2。
-
-**例题** 若阶码和尾数都使用补码表示，求对应真值：a=0,01;1.1001。
-
-a的阶码为0,01，是正数，所以补码与原码一样，从数值来看就是+1。而尾数1.1001代表负数，补码为反码加1，所以真值为1,0110+1=1,0111，即=-(0.25+0.125+0.0625)。所以a的真值就是2×(-0.0111)=-0.111=-0.875（相当于乘2左移一位）。
++ 若阶码的真值为$E$，尾数的真值为$M$，则浮点数的真值为$N=r^E\times M$，其中$r$为阶码的底，即基数，一般为$2$。
 
 #### 尾数规格化
 
-+ 左规：出现下溢需要左规，即若尾数的高位是无效值（即为0）则会丧失精度，所以我们需要尽可能将尾数多保存一些1，从而让最高位为1。所以需要让数值左移，让小数点右移，尾数算术左移n位，阶码减n，直到尾数最高位是有效值。
-+ 右规：出现上溢需要右规，规范要求小数点要在第一个非0的数据右边，如果小数点前有超过1个有效位，则需要将数值右移，小数点左移，尾数算术右移n位，阶码加n，直到小数点在尾数最高位的右边。
+为了提高精度，充分利用尾数有效位数必须进行规格化，规定尾数必须是一个有效值。
 
-**例题** a=010;00.1100，b=010;00.1000，求a+b的值。
-
-已知分号前面的是阶码，后面是尾数，所以a和b都是2的010=2次幂。
-
-由尾数的00代表a和b都是双符号位表示且都是正数。
-
-所以a=2×2×00.1100，b=2×2×00.1000，则a+b=2×2×00.1100+2×2×00.1000=2×2×(00.1100+00.1000)=2×2×01.0100。
-
-因为使用双符号位表示时，00代表正号，11表示负号，01时，称为上溢，为10时，称为下溢，此时结果为01，表示出现了上溢，这时候就需要右规。
-
-阶码加一，变成2的三次方，尾数右移一位=2×2×2×00.1010。最后结果就是011;01010。
++ 左规：出现下溢需要左规，即若尾数的高位是无效值（即为$0$）则会丧失精度，所以我们需要尽可能将尾数多保存一些$1$，从而让最高位为$1$。所以需要让数值左移，让小数点右移，尾数算术左移$n$位，阶码减$n$，直到尾数最高位是有效值。可能会进行多次。
++ 右规：出现上溢需要右规，规范要求小数点要在第一个非$0$的数据右边，如果小数点前有超过$1$个有效位，则需要将数值右移，小数点左移，尾数算术右移$n$位，阶码加$n$，直到小数点在尾数最高位的右边。只需要一次。
 
 规格化浮点数的特点：
 
-1. 用原码表示的尾数进行规格化，最高位数值一定为1：
-   + 正数为0.1××...×的形式，其最大值表示为0.11...1；最小值表示为0.10...0。
+1. 用原码表示的尾数进行规格化，最高位数值一定为$1$：
+   + 正数为$0.1xx\cdots x$的形式，其最大值表示为$0.11\cdots1$；最小值表示为$0.10\cdots0$。
    + 尾数的表示范围为$\dfrac{1}{2}\leqslant M\leqslant(1-2^{-n})$。
-   + 负数为1.1××...×的形式，其最大值表示为1.10...0;最小值表示为1.11...1。
+   + 负数为$1.1xx\cdots x$的形式，其最大值表示为$1.10\cdots0$;最小值表示为$1.11\cdots1$。
    + 尾数的表示范围为$-(1-2^{-n})\leqslant M\leqslant\dfrac{1}{2}$。
 2. 用补码表示的尾数进行规格化，符号位与最高位数值一定相反：
-   + 正数为0.1××...×的形式，其最大值表示为0.11...1；最小值表示为0.10...0。
+   + 正数为$0.1xx\cdots x$的形式，其最大值表示为$0.11\cdots1$；最小值表示为$0.10\cdots0$。
    + 尾数的表示范围为$\dfrac{1}{2}\leqslant M\leqslant(1-2^{-n})$。
-   + 负数为1.0××...×的形式，其最大值表示为1.01...1；最小值表示为1.00..0。（负数的补码1.0xx...x取反后就是1.1xx...x）
-   + 尾数的表示范围为$-1\leqslant M\leqslant-(\dfrac{1}{2}+2^{-n})$。（补码中强制规定1.00...0就代表-1）
+   + 负数为$1.0xx\cdots x$的形式，其最大值表示为$1.01\cdots1$；最小值表示为$1.00\cdots0$。（负数的补码$1.0xx\cdots x$取反后就是$1.1xx\cdots x$）
+   + 尾数的表示范围为$-1\leqslant M\leqslant-(\dfrac{1}{2}+2^{-n})$。（补码中强制规定$1.00\cdots0$就代表$-1$）
 
-**例题** 若某浮点数的阶码、尾数用补码表示，共4+8位：0,110;1.1110100，如何规格化？
+当浮点数尾数的基数为$2$时，原码规格化数的尾数最高位一定是$1$，补码规格化数的尾数最高位一定与尾数符号位相反。基数不同，浮点数的规格化形式也不同。当基数为$4$时，原码规格化形式的尾数最高两位不全为$0$；当基数为$8$时，原码规格化形式的尾数最高$3$位不全为$0$。
 
-只需要对尾数部分处理，由于负数的补码是1.0开头，而这时是1.1开头，所以必须变成1.0。
-
-补码算术左移低位补0，补码算术右移，高位补1。如果是算术右移，则会一直补1，而无法变成1.0开头，所以要使用算术左移，移动三位得到1.0100000，同时阶码减3变为3，最后规格化结果为0,011;1.0100000。
-
-对于浮点数，上溢和下溢有正负之分：负上溢<负数区<负下溢<0<正下溢<正数区<正上溢。
+对于浮点数，上溢和下溢有正负之分：负上溢<负数区<负下溢<$0$<正下溢<正数区<正上溢。
 
 ### IEEE 754标准
 
-IEEE 754标准就是浮点数标准，为了解决计算机中阶码、尾数使用什么码来表示，各取多少位的问题。
+$IEEE\,754$标准就是浮点数标准，为了解决计算机中阶码、尾数使用什么码来表示，各取多少位的问题。
 
 #### 移码定义
 
 + 移码的定义其实=真值+偏置值，一般取$2^{n-1}$，这时候移码才等于补码符号位取反，若移码采取其他方案则没有这个特点。
-+ 在IEEE 754标准中，规定移码的偏置值不再是128而是127，即$2^{n-1}-1$。
-+ 从而真值-128的移码为-1000 0000+0111 1111=1111 1111，-127的移码为0000 0000，0的移码为0111 1111，127的移码为1111 1110。
++ 在$IEEE\,754$标准中，规定移码的偏置值不再是$128$而是$127$，即$2^{n-1}-1$。所以这个标准下的移码与一般的移码不同。
++ 从而真值$-128$的移码为$-1000\,0000+0111\,1111=1111\,1111$，$-127$的移码为$0000\,0000$，$0$的移码为$0111\,1111$，$127$的移码为$1111\,1110$。
 
 #### IEEE 754定义
 
-+ 分为数符（表示数值正负号）、阶码（用移码表示）、尾数（用原码表示，且默认最高位为1，实际尾数位都要加1）。
-+ 标准中会将全0的-127和全1的-128做特殊的用途，所以短浮点数的真值正常范围是-126到127。
++ 分为数符（表示数值正负号）、阶码（用移码表示）、尾数（用原码表示，且默认最高位为$1$，实际尾数位都要加$1$）。
++ 标准中会将全$0$的$-127$（非规格化数）和全$1$的$-128$（无穷大）做特殊的用途，所以短浮点数的真值正常范围是$-126$到$127$。
 
 英文类型|中文类型|数符位|阶码位|尾数位|总位数|十六进制偏置值|十进制偏置值
 :------:|:------:|:-----:|:----:|:----:|:----:|:------------:|:----------:
@@ -585,30 +567,7 @@ long double|临时浮点数|1|15|64|80|3FFFH|16383
 + 令数符为$S$，阶码为$E$，尾数为$M$。
 + 规格化的短浮点数的真值为$(-1)^S\times 1.M\times2^{E-127}$。
 + 规格化的长浮点数的真值为$(-1)^S\times 1.M\times2^{E-1023}$。
-
-**例题** 将十进制数-0.75转换为IEEE 754的单精度浮点数格式表示。
-
-将-0.75D首先转换为二进制为-0.11B，然后规格化变为-1.1B×0.1B。其中阶码为-1（0.1B就是代表2的负一次方）。
-
-因为是负数，所以数符为1，尾数部分应该是将1.1B截断隐含的最高位1，所以应该用0.1B表示，即.100...。
-
-由于阶码为-1，所以移码=阶码真值+偏置量=-1+111 1111=0111 1110。
-
-所以最后就是1 0111 1110 1000 0000 0000 0000 0000 000。
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-**例题** IEEE 754的单精度浮点数C0 A0 00 00H的值是多少。
-
-首先是16进制转二进制，每一个十六进制位转换为四个二进制位。所以得到1100 0000 1010 0000 0000 0000 0000 0000。
-
-根据IEEE 754标准，将32位分割为数符、阶码、尾数三个部分：数符为1，阶码为100 0000 1，尾数为010 0000 0000 0000 0000 0000。
-
-由于尾数最高位隐含为1，所以尾数的真值为1.010 0000 0000 0000 0000 0000。
-
-由于数符为1，则这个数表示的是一个负数。
-
-由于阶码由移码表示，所以看作无符号数就是129D，而单精度浮点数的偏移量为127D，所以移码真值=移码-偏置量=1000 0001-0111 1111=0000 0010=2。
-
-所以浮点数的真值为-1.01B×2×2=-1.25×4=-5。
++ 短浮点数和长浮点数都隐含一位尾数最高位$1$，而临时浮点数没有隐含位。
 
 #### IEEE 754取值范围
 
@@ -618,10 +577,10 @@ long double|临时浮点数|1|15|64|80|3FFFH|16383
 双精度|$E=1$，$M=0$：$1.0×2^{1-1023}=2^{-1022}$|$E=2046$，$M=.11...1$：$1.11...1×2^{2046-1023}=2^{1023}×(2-2^{-52})$
 
 + 对于规格化短浮点数，只有$1\leqslant E\leqslant 254$时，$(-1)^S\times 1.M\times2^{E-127}$。
-+ 当阶码$E$为全0，即应该为-127D，而尾数$M$不全为0时，表示非规格化小数$\pm(0.\textrm{xx...x})_2\times2^{-126}$。（此时最高位就不默认为1了，阶码固定设置为-126）。
-+ 当阶码$E$为全0，即应该为-127D，而尾数$M$全为0时，表示真值$\pm0$，正负看数符。
-+ 当阶码$E$为全1，即应该为-128D，而尾数$M$全为0时，表示无穷大$\pm\infty$，正负看数符。
-+ 当阶码$E$为全1，即应该为-128D，而尾数$M$不全为0时，表示非数值NaN（Not a Number）。如果非法操作如0÷0等就会使用到。
++ 当阶码$E$为全$0$，即应该为$-127D$，而尾数$M$不全为$0$时，表示非规格化小数$\pm(0.\textrm{xx...x})_2\times2^{-126}$。（此时最高位就不默认为$1$了，阶码固定设置为$-126$）。
++ 当阶码$E$为全$0$，即应该为$-127D$，而尾数$M$全为$0$时，表示真值$\pm0$，正负看数符。
++ 当阶码$E$为全$1$，即应该为$-128D$，而尾数$M$全为$0$时，表示无穷大$\pm\infty$，正负看数符。
++ 当阶码$E$为全$1$，即应该为$-128D$，而尾数$M$不全为$0$时，表示非数值$NaN$（$Not\,a\,Number$）。如果非法操作如$0\div0$等就会使用到。
 
 ### 浮点数运算
 
@@ -632,16 +591,16 @@ long double|临时浮点数|1|15|64|80|3FFFH|16383
    + 若是阶数大的向阶数小的对齐，则阶数大的尾数值会变大，需要对尾数进行算术左移，若内存不够大很可能会引起最高有效位丢失。
    + 若是阶数小的向阶数大的对齐，则阶数小的尾数值会变小，需要对尾数进行算术右移，若内存不够大很可能会引起最后几位丢失，即精度下降，影响较小。
 2. 尾数加减：阶数不变，对尾数进行相加减。
-3. 规格化，将数据变为整数部分为0到9的数据：
-   + 当尾数加减结果的第一位为0时需要左规，直到第一位不为0。
-   + 当结果的整数部分大于等于10需要右规，直到整数部分只有一位。
+3. 规格化，将数据变为整数部分为$0$到$9$的数据：
+   + 当尾数加减结果的第一位为$0$时需要左规，直到第一位不为$0$。
+   + 当结果的整数部分大于等于$10$需要右规，直到整数部分只有一位。
 4. 舍入：计算机中由于尾数的比特位有限，所以需要舍弃尾数的低位。舍入方法有：
    + 直接去除。
-   + 非0进1。
+   + 非$0$进$1$。
    + 四舍五入。
 5. 判溢出：若运算后阶码超过规定范围则溢出。尾数的溢出未必会导致整体溢出，可以通过第三四步来修补，但是阶码溢出一定会整体溢出。
 
-**例题** 计算$9.85211\times10^{12}+9.96007\times10^{10}$的值并保留四舍五入六位有效尾数。
+<!-- **例题** 计算$9.85211\times10^{12}+9.96007\times10^{10}$的值并保留四舍五入六位有效尾数。
 
 第一步进行对阶，变成$9.85211\times10^{12}+0.0996007\times10^{12}$。
 
@@ -651,40 +610,20 @@ long double|临时浮点数|1|15|64|80|3FFFH|16383
 
 第四步因为只能保留六位有效尾数，所以保留9.95171，因为后一位是0，所以不进位为最后答案。
 
-第五步因为阶码无论是10或12都是两位，所以肯定没有溢出。
+第五步因为阶码无论是10或12都是两位，所以肯定没有溢出。 -->
 
 #### 浮点数加减运算
 
-浮点数的加减基本上与科学计数法的加减一致。基本上浮点数的运算不可能使用IEEE 754的标准，因为位数太长不好计算。
-
-**例题** 已知十进制数$X=-\dfrac{5}{256}$，$Y=+\dfrac{59}{1024}$，按机器补码浮点运算规则计算$X-Y$，结果用二进制表示，浮点数格式如下︰阶符取2位，阶码取3位，数符取2位，尾数取9位。
-
-首先要将十进制的真值转换为二进制原码。因为不是IEEE 754标准，所以小数不用转换为1.xxx的格式，转成0.xxx的格式就可以了：$5D=101B$，$\dfrac{1}{256}=2^{-8}$，所以$X=-101\times2^{-8}=-0.101\times2^{-5}=-0.101\times2^{-101B}$。然后$59D=11 1011B$，$\dfrac{1}{1024}=2^{-10}$，从而$Y=+11 1011\times2^{-10}=0.111011\times2^{-4}=0.111011\times2^{-100B}$。
-
-X的阶码为-101，转换为补码表示为1011，由于使用双符号位，所以变成11011；X的尾数为-0.101，补码表示为1.011，由于双符号位，所以为11.011，尾数取9位，所以拓展为11.0110 0000 0。所以X就是11011,11.011000000。
-
-同理Y的阶码为-100，转换为补码表示为1100，双符号位所以变为11100；Y的尾数为0.111011，补码表示为0.111011，使用使用双符号位为00.111011，拓展为9位得到00.111011000.所以Y就是11100,00.111011000。
-
-然后是阶数对齐，小阶向大阶靠拢。首先求阶差：11011-11100=11011+00100=11111=11,001=-1D。所以X的阶数比Y的阶数小一。所以对X算术右移，负数高位补1，阶码加一，从而由11011,11.011000000变为了11100,11.101100000。即变为了$-0.0101×2^{-100B}$。
-
-然后是尾数加减，所以Y的尾数需要变成其负值的补码，方法是对尾数包括符号位全部取反，然后末尾加1，所以-Y=11100,11.000101000。进行相加得到10.110001000。这时候代表出现上溢出（用二进制计算尾数变成-1.001111，由于定点小数无法表示绝对值大于等于1的数，所以上溢）。
-
-第三步规格化，因为使用双符号位，所以正好能补救计算结果的上溢，可以通过右规的方式规格化。所以将10.110001000算术右移，将符号位的0以及后面的数据全部右移一位，符号位补成11，得到11.011000100。然后阶码由于右移而加一，最后为11101,11.011000100。
-
-第四步舍入，由于第三步右移抛弃的是0，所以没有丧失精度，就不需要舍入。
-
-第五步判溢出，11101加1后等于11110，符号位都是11，所以没有溢出。
-
-最后真值为11101,11.011000100。即$2^{-3}\times(-0.1001111)_2$。
+浮点数的加减基本上与科学计数法的加减一致。基本上浮点数的运算不可能使用$IEEE\,754$的标准，因为位数太长不好计算。所以加减运算一律使用补码。
 
 舍入的方法：
 
-+ “0”舍“1”入法：类似于十进制数运算中的“四舍五入”法，即在尾数右移时，被移去的最高数值位为0，则舍去;被移去的最高数值位为1，则在尾数的末位加1。这样做可能会使尾数又溢出，此时需再做一次右规。
-+ 恒置“1”法：尾数右移时，不论丢掉的最高数值位是“1”还是“O”,都使右移后的尾数末位恒置“1”。这种方法同样有使尾数变大和变小的两种可能。
++ “$0$”舍“$1$”入法：类似于十进制数运算中的“四舍五入”法，即在尾数右移时，被移去的最高数值位为$0$，则舍去；被移去的最高数值位为$1$，则在尾数的末位加$1$。这样做可能会使尾数又溢出，此时需再做一次右规。
++ 恒置“$1$”法：尾数右移时，不论丢掉的最高数值位是“$1$”还是“$0$”,都使右移后的尾数末位恒置“$1$”。这种方法同样有使尾数变大和变小的两种可能。
 
-假如加减的结果为11100,10.110001011，因为尾数符号位为10代表溢出了，所以需要规格化。
+假如加减的结果为$11100,10.110001011$，因为尾数符号位为$10$代表溢出了，所以需要规格化。
 
-使用0舍1入法，将尾数整体右移，并将符号位的低位移到尾数高位，阶码加移位数，符号位修改，从而变成了11101,11.011000101，溢出1，最高位为1，使用0舍1入时需要加1，从而变成11101,11.011000110。（假如尾数为全1，则加1后又会高位溢出，还需要一次右规）。恒置1法的答案是一样的。
+使用$0$舍$1$入法，将尾数整体右移，并将符号位的低位移到尾数高位，阶码加移位数，符号位修改，从而变成了$11101,11.011000101$，溢出$1$，最高位为$1$，使用$0$舍$1$入时需要加$1$，从而变成$11101,11.011000110$。（假如尾数为全$1$，则加$1$后又会高位溢出，还需要一次右规）。恒置$1$法的答案是一样的。
 
 #### 浮点数强制类型转换
 
@@ -700,21 +639,21 @@ double|64|64|64
 
 无损转换：
 
-+ char→int→long→double。
-+ float→double。
++ $char$→$int$→$long$→$double$。
++ $float$→$double$。
 
-由于定点数和浮点数不同，浮点数使用阶码+尾数的存储方式存储，所以定点数数值精度看位长就可以了，而浮点数数值精度看尾数长度，按IEEE 754标准有一个隐含的高位1，所以double尾数长度为53位。对于32位机器long是32位，所以转换到double的53位没有损失，而对于64位机器long是64位，double还是53位，这时候转换就会产生损失了。
+由于定点数和浮点数不同，浮点数使用阶码+尾数的存储方式存储，所以定点数数值精度看位长就可以了，而浮点数数值精度看尾数长度，按$IEEE\,754$标准有一个隐含的高位$1$，所以$double$尾数长度为$53$位。对于$32$位机器$long$是$32$位，所以转换到$double$的$53$位没有损失，而对于$64$位机器$long$是$64$位，$double$还是$53$位，这时候转换就会产生损失了。
 
-int与float转换
+$int$与$float$转换
 
-+ int：表示整数，范围$[-2^{31},2^{31}-1]$，有效数字32位。
-+ float：表示整数及小数，范围$\pm[2^{-126},2^{127}×(2-2^{-23})]$，有效数字23+1=24位。
-+ int→float：可能损失精度。
-+ float→>int：可能溢出及损失精度。
++ $int$：表示整数，范围$[-2^{31},2^{31}-1]$，有效数字$32$位。
++ $float$：表示整数及小数，范围$\pm[2^{-126},2^{127}×(2-2^{-23})]$，有效数字$23+1=24$位。
++ $int$→$float$：可能损失精度。
++ $float$→>$int$：可能溢出及损失精度。
 
 ## 算术逻辑单元
 
-即运算器中的ALU。
+即运算器中的$ALU$。
 
 ### 原理