Update 1-data-representation-and-operation.md

Computer-Organization/1-data-representation-and-operation.md

@@ -343,15 +343,230 @@ k|2|3|4|5|6|7
     + 如-24-124=11,110 1000+11,000 0100=10,110 1100=108。下溢。
     + 如15+124=00,000 1111+00,111 1100=01,000 1011=-117。上溢。
     + 实际存储时只存储一个符号位，运算时会复制一个符号位。
-+ 符号扩展
++ 符号扩展：防止溢出的一个方法就是将短数据扩展为长数据。
+  + 整数扩展，在原符号位和数值位中间添加新位，正数都填充0，对于负数：
+    + 原码：扩展补0。
+    + 反码：扩展补1。
+    + 补码：扩展补1。
+  + 小数扩展，在最后面添加新位，正数都填充0，对于负数：
+    + 原码：扩展补0。
+    + 反码：扩展补1。
+    + 补码：扩展补0。
 
 #### 乘法运算
 
+对于原码的乘数运算可以参考十进制的乘数运算，将乘数一位一位的乘被乘数然后再全部相加得到的就是答案。而使用二进制的一位位乘法显然比十进制的一位位乘更简单。
+
+##### 原码一位乘法
+
+一般使用原码一位乘法，即每次只乘一位的数据。
+
+在原码乘法时，可以先符号位单独处理，将两个符号进行异或操作，得到的结果就是最后的结果的符号。然后对数据的绝对值（去除符号位）进行一位位的乘法（位积）然后相加。
+
+在运算器的组成时出现一个表格，说明在进行乘运算时，ACC保存乘积高位，MQ保存乘数与乘积低位，X保存被乘数。
+
+原码一位乘法机器实现时就是按照这种方式计算：
+
+1. 字长若为n+1位，则ACC、MQ、X全部初始化为n位，将被乘数的绝对值放入X中，MQ放入乘数的绝对值，ACC初始化为全0。
+2. 将MQ的最右边的一位当做当前乘运算位，让其进行乘运算，运算规则是，若当前位是1，则ACC加上被乘数，即ACC+=X，若当前位是0，则ACC加上0（保持不变，跳过）。
+3. 将ACC和MQ的数据连接在一起，全部逻辑右移一位，ACC数据高位补0，ACC最后一个低位移到MQ的最高位。将MQ的最后一位抛弃。若是第i轮逻辑右移，则MQ的前i位是结果的后i个低位值。
+4. 从步骤二开始重复，字长若为n+1位，则重复n次，直到MQ的最后一位是符号位，则停止计算。此时ACC的全部和MQ的前n位都是结果。
+5. 定点小数的小数位隐藏在符号位后面第一位，定点正数的小数位隐藏在MQ符号位的前一位。
+6. 将两个符号位的异或结果赋值给积最高位。
+
+**例题** 设机器字长为n+1=5位(含1位符号位），其中x的原码为1.1101，y的原码为0.1011，采用原码一位乘法求xy。
+
+其中x就是-0.1101，而y就是+0.1011。先抛去符号位，就得到01101和01011两个数据。
+
+将MQ、ACC、X都初始化为五位存储单元。X放入被乘数01101，MQ放入乘数01011，ACC为00000。
+
+运算器结构：ACC与MQ相连，数据流是双向的，ACC与ALU相连，数据流是双向的，X的数据流向ALU。
+
+此时MQ=01011，作为乘法单位的最后位为1，所以ACC+=X，从而=00000+01101=01101，这就是第一个的位积。
+
+由于按照乘法规则，第二个位积计算时需要错位相加，计算机的处理方式是ACC和MQ的数据连在一起，全部逻辑右移一位（左边补0）。
+
+所以ACC的数据由01101变为00110，最后的1移到MQ最高位，MQ由01011变为10101，最后的一位1溢出被抛弃，代表这一位的位积已经计算并相加完成，所以不用管了。此时结果的高位还在ACC中，而结果的低位从ACC移到了MQ中，在MQ的低位也不参与后面的运算，所以也不用管了。
+
+然后计算下一个最低位的位积，此时MQ的最低位还是1，所以ACC+=X=00110+01101=10011。
+
+同样计算完后再错位，进行逻辑右移，ACC由10011变成了01001，MQ由10101变成了11010，最低位的1被抛弃，此时MQ中已经有两个结果最低位。
+
+此时MQ最低位为0，所以ACC保持不变，再逻辑右移一位，ACC由01001变为00100，MQ由11010变为11101，抛弃一位0，MQ有三个结果最低位。
+
+此时MQ最低位为1，则ACC+=X=00100+01101=10001。
+
+同样计算完后再错位，进行逻辑右移，ACC由10001变成了01000，MQ由11101变成了11110，最低位的1被抛弃，此时MQ中已经有四个结果最低位，此时MQ最低位是代表符号的0不参与运算。此时计算已经结束。
+
+小数的小数点隐藏在第一位的后面，所以此时结果在ACC和MQ的前四位中，即0.10001111。最后加上符号异或结果，得到1.10001111。
+
+##### 补码一位乘法
+
+对于补码的乘法运算的逻辑也跟原码的类似，补码的计算就是使用Booth算法实现：
+
+ |原码|补码
+:----:|:--:|:--:
+计算流程|n轮加法、移位|n轮加法、移位，最后进行一次加法
+加法的值|+0、+x的原码|+0、+x的补码、+(-x)的补码
+判断加值的根据|MQ的最低位|MQ的最低位、辅助位
+判断关系|MQ的最低位=1时，ACC+x的原码；MQ的最低位=0时，ACC不变|辅助位-MQ中最低位=1时，(ACC)+x的补码；辅助位-MQ中最低位=0时，ACC不变；辅助位-MQ中最低位=-1时，ACC+(-x)的补码
+移位类型|逻辑右移|算术右移
+符号位|不参与运算|参与运算
+
+辅助位其实就是在MQ最后再加上一位，辅助位初始为0。每次右移会使MQ的最低位顶替原本的辅助位（事实上MQ共n+2位）。
+
+为了保证统一，所以ACC和X都会增加一位，变成n+2位，多出来的一位就可以实现双符号位补码运算，二MQ还是用原理的单符号位。
+
+为了加快运算会有辅助电路实现(-x)的补码的运算。
+
+最后一次不需要移位直接根据辅助位和MQ最后一位判断进行相加。从而让乘数的符号位也参数运算中来确定最后结果的符号。
+
 #### 除法运算
 
+进行除法操作时，都是为了找到一位能让商乘除数能最大即余数最小但大于0的值。若除数被除数都是小数，可以同时乘一个数变成整数再运算。
+
+所以可以忽略小数点，每确定一位商进行一次减法，若机器字长为n位，则得到n-1位余数，在余数末尾补0，再确定下一位商0或1，直到确定n位商即可停止。
+
+在运算器的组成时出现一个表格，说明在进行除运算时，ACC保存被除数和余数，MQ保存商，X保存除数。
+
+##### 原码恢复余数法
+
+原码使用恢复余数法进行除运算：
+
+1. 字长若为n+1位，则ACC、MQ、X全部初始化为n位，将被除数的绝对值放入ACC中，X放入除数的绝对值，MQ初始化为全0。
+2. 将MQ的最右边的一位当做当前除运算位，让其进行除运算，运算规则是，默认商1，ACC-=X，即x的补码要加上除数的绝对值的负值的补码（减法都由补码的加法实现），判断是否有误。若结果高位为0则无误，高位为1则有误，错误则商改为0，并恢复余数，ACC加上X中除数的补码。
+3. 将ACC和MQ的数据连接在一起，全部逻辑左移一位，MQ数据低位补0，MQ最高位的0移到ACC的最低位。将ACC的最高一位抛弃。若是第i轮逻辑左移，则MQ的后i位是当前计算的商的结果。
+4. 从步骤二开始重复，字长若为n+1位，则左移n次，上商n+1次，直到MQ中全部是计算结果，则停止计算。此时MQ中保存商，ACC中保存左移n位的余数值，真正的余数应该是结果再乘上2的-n次方。
+5. 定点小数的小数位隐藏在符号位后面第一位，定点正数的小数位隐藏在最后一位后。
+6. 将两个符号位的异或结果赋值给商最高位。
+
+**例题** 设机器字长为5位（含一位符号位），x=0.1011，y=0.1101，采用原码恢复余数法求x/y。
+
+其中x就是+0.1011，而y就是+0.1101。先抛去符号位，就得到01011和01101两个数据。然后求出y绝对值的补码：01101和-y绝对值的补码：10011。
+
+将MQ、ACC、X都初始化为五位存储单元。将被除数01011放入ACC中，将除数01101放入X中，商初始化为00000。
+
+手算时每位商取0/1是通过判断当前余数和除数的大小确定的。而机器实现时就要通过ALU判断是ACC中的数更大还是X中的数更大，如果ACC的更大就商1，若X的更大就商0。
+
+第一位默认商1，ACC-=X，ACC的01011和X的10011（X实际值的负值的补码）输入ALU进行加操作01011+10011=11110，返回给ACC，此时发现代表符号的最高位为1，代表出现了负数，就表明之前的商出错了，所以重新确定商为0，ACC要恢复余数，从而再加上y的补码：11110+01101=01011。
+
+第一位的商计算完后需要进行计算，错位相除，所以同乘法一样，ACC和MQ的值都要逻辑左移一位，低位补0，所以MQ由00000还是变为00000，MQ的最高位的0移到ACC最低为，ACC最高位丢弃，由01011变成10110。
+
+然后第二位默认商1，同样ACC-=X，10110+10011=01001，将这个值赋给ACC，发现符号位为0，代表正，商就没有问题，MQ为00001。
+
+再次逻辑左移一位，MQ由00001变为00010，ACC由01001变为10010。
+
+第三位默认商1，同样ACC-=X，10010+10011=00101，商没有问题，MQ为00011。
+
+再次逻辑左移一位，MQ由00011变为00110，ACC由00101变为01010。
+
+第四位默认商1，同样ACC-=X，01010+10011=11101，高位为1，商应该为0，MQ变为00110，ACC恢复余数：11101+01101=01010。
+
+再次逻辑左移一位，MQ由00110变为01100，ACC由01010变为10100。
+
+第五位默认商1，同样ACC-=X，10100+10011=00111，高位为0，商没有问题，MQ为01101。
+
+此时计算结束，商为01101，余数为00111。
+
+##### 原码加减交替法
+
+因为恢复余数很麻烦，所以会考虑是否不用恢复余数，直接进行运算得到后面的结果。
+
+假如令原始值为x，原始值加上-y绝对值的补码结果为a，y绝对值的补码为b，按恢复余数法，a这个余数是一个负值，所以要加上b即a+b变成原始值a+b=x，这时候商0，然后计算下一个商，余数a+b左移一位，即(a+b)×2=2a+2b，这时候商1看看结果是否正确，即2a+2b要减去y绝对值的补码（等价于加上-y绝对值的补码）2a+2b-b=2a+b。
+
+所以如果得到了一个负的余数a，可以直接转换到2a+b这个结果，即直接左移一位余数再加上除数的补码就可以得到结果。
+
+这就是加减交通法或不恢复余数法。
+
+从而恢复余数法就是当余数为负时商0,并+|除数|，再左移，再-|除数|，而加减交替法是当余数为负时商0，并左移，再+[除数|，若余数为正时商1，并左移，再-|除数|。
+
+值得注意的是，若在最后一步余数为负，需要商0，并加上除数的补码得到正确余数。
+
+<span style="color:orange">注意：</span>在定点小数运算时，商只能是小数而不能是整数，所以被除数一定要小于除数，机器判断标准是看第一步计算的商，若第一步计算的商是1则代表结果大于1，机器就会报错。
+
+##### 补码加减交替法
+
++ 符号位参与运算。
++ 被除数/余数、除数采用双符号位。
++ 被除数和除数同号，则被除数减去除数，异号则被除数加上除数。
++ 余数和除数同号，商1，余数左移一位减去除数;
++ 余数和除数异号，商0，余数左移一位加上除数。
++ 重复n次。
++ 最后一次计算时末位商横置为1，处理简单，而且精度误差也不会超过$2^{-n}$。
+
+除法类型|符号位参与运算|加减次数|移位方向|移位次数次数|上商和加减原则|说明
+:------:|:------------:|:------:|:------:|:----------:|:-----------:|:---:
+原码加减交替法|否|N+1或N+2|左|N|余数的正负|若最终余数为负，需恢复余数
+补码加减交替法|是|N+1|左|N|余数和除数是否同号|商末位恒置1
+
+#### 强制类型转换
+
++ 无符号数与有符号数：不改变数据内容，只改变解释方式。
++ 长整数转短整数：高位截断，保留低位。
++ 短整数转长整数：符号扩展。
+
+#### 数据存储与排列
+
++ 数据最左边的高位就是最高有效字节MSB。
++ 数据最右边的低位就是最低有效字节LSB。
++ 大端模式：将MSB存到最低地址，LSB存在最高地址。便于人类阅读。
++ 小端模式：将MSB存到最高地址，LSB存在最低地址。便于机器读取。
++ 边界对齐：
+  + 现代计算机通常是按字节编址即每个字节对应一个地址通常。也支持按字、按半字、按字节寻址。
+  + 假设存储字长为32位，则1个字=32bit，半字=16bit。每次访存只能读/写1个字。
+  + 字地址转换为字节地址，只用逻辑左移两位就可以了，即乘以4，因为字长为32，而字节长8。
+  + 使用边界对齐方式会让每个数据都能一次性读完而不用跨行读取，多余的空间用0填充。
+
 ## 浮点数
 
-指小数点的位置不固定，使用科学计数法，如9.694E2。
+指小数点的位置不固定，如使用科学计数法，如9.694E2。
+
+### 浮点数表示
+
+#### 阶码与尾数
+
++ 定点数能表示的数字范围有限，但我们不能无限制地增加数据的长度。
++ 类似科学计数法，分为阶码和尾数两个部分，阶码反映数值大小、表示范围、小数点实际位置，尾数反映精度。
++ 对于二进制的浮点数，阶码是常用补码或移码表示的定点整数，而尾数是常用原码或补码表示的定点小数。
++ 若阶码的真值为$E$，尾数的真值为$M$，则浮点数的真值为$N=r^E\times M$，其中r为阶码的底，即基数，一般为2。
+
+**例题** 若阶码和尾数都使用补码表示，求对应真值：a=0,01;1.1001。
+
+a的阶码为0,01，是正数，所以补码与原码一样，从数值来看就是+1。而尾数1.1001代表负数，补码为反码加1，所以真值为1,0110+1=1,0111，即=-(0.25+0.125+0.0625)。所以a的真值就是2×(-0.0111)=-0.111=-0.875（相当于乘2左移一位）。
+
+#### 尾数规格化
+
++ 左规：出现下溢需要左规，即若尾数的高位是无效值（即为0）则会丧失精度，所以我们需要尽可能将尾数多保存一些1，从而让最高位为1。所以需要让数值左移，让小数点右移，尾数算术左移n位，阶码减n，直到尾数最高位是有效值。
++ 右规：出现上溢需要右规，规范要求小数点要在第一个非0的数据右边，如果小数点前有超过1个有效位，则需要将数值右移，小数点左移，尾数算术右移n位，阶码加n，直到小数点在尾数最高位的右边。
+
+**例题** 若a=010;00.1100，b=010;00.1000，求a+b的值。
+
+已知分号前面的是阶码，后面是尾数，所以a和b都是2的010=2次幂。
+
+由尾数的00代表a和b都是双符号位表示且都是正数。
+
+所以a=2×2×00.1100，b=2×2×00.1000，则a+b=2×2×00.1100+2×2×00.1000=2×2×(00.1100+00.1000)=2×2×01.0100。
+
+因为使用双符号位表示时，00代表正号，11表示负号，01时，称为上溢，为10时，称为下溢，此时结果为01，表示出现了上溢，这时候就需要右规。
+
+阶码加一，变成2的三次方，尾数右移一位=2×2×2×00.1010。最后结果就是011;01010。
+
+规格化浮点数的特点：
+
+1. 用原码表示的尾数进行规格化，最高位数值一定为1：
+   + 正数为0.1××...×的形式，其最大值表示为0.11...1；最小值表示为0.10...0。
+   + 尾数的表示范围为$\dfrac{1}{2}\leqslant M\leqslant(1-2^{-n})$。
+   + 负数为1.1××...×的形式，其最大值表示为1.10...0;最小值表示为1.11...1。
+   + 尾数的表示范围为$-(1-2^{-n})\leqslant M\leqslant\dfrac{1}{2}$。
+2. 用补码表示的尾数进行规格化，符号位与最高位数值一定相反：
+   + 正数为0.1××...×的形式，其最大值表示为0.11...1；最小值表示为0.10...0。
+   + 尾数的表示范围为$\dfrac{1}{2}\leqslant M\leqslant(1-2^{-n})$。
+   + 负数为1.0××...×的形式，其最大值表示为1.01...1；最小值表示为1.00..0。（负数的补码1.0xx...x取反后就是1.1xx...x）
+   + 尾数的表示范围为$-1\leqslant M\leqslant-(\dfrac{1}{2}+2^{-n})$。（补码中强制规定1.00...0就代表-1）
+
+### IEEE 754标准
+
+### 浮点数运算
 
 ## 算术逻辑单元