更新串

Data-Structrue/4-string.md

@@ -10,22 +10,25 @@
 
 串的基本操作是对子串的操作。
 
-## 顺序串
+## 串定义
+
+### 顺序串
 
 顺序串的结构定义方案
 
-+ 使用单独的变量length保存串长。
-+ 使用data[0]记录串长；使得字符位序与数组下标一致；但是由于char类型一个为一字节大小，所以能表示的数字是0到255，太大的串无法表示。
-+ 没有表示串长的变量，使用\0表示串结尾，对应ASCII码的0号字符。
-+ data[0]空余，使用单独的变量length保存串长，这个比较常用。
++ 使用单独的变量$length$保存串长。
++ 使用$data[0]$记录串长；使得字符位序与数组下标一致；但是由于$char$类型一个为一字节大小，所以能表示的数字是$0$到$255$，太大的串无法表示，大于的部分会被截断。
++ 没有表示串长的变量，使用$\backslash0$表示串结尾，对应$ASCII$码的$0$号字符。
++ $data[0]$空余，使用单独的变量$length$保存串长，这个比较常用。
++ 可以定长分配也可以用堆分配。
 
-## 链串
+### 链串
 
 如一般的链式存储结构定义一样，定义一个数据与指向下一位的指针。
 
 但是如果你只在每个结点定义了一个字节的数据，但是又包含了四个字节的指针，那么存储利用率会很低。
 
-如果是顺序表数据类型是整数类型，那么这种利用率低的情况确实无可奈何，但是对于串而言，因为一个字节存储一个字符，所以能一个字节存一个字符类型数据，所以为了提升数据存储利用率，可以每个结点存等多个字符。
+如果是顺序表数据类型是整数类型，那么这种利用率低的情况确实无可奈何，但是对于串而言，因为一个字节存储一个字符，所以能一个字节存一个字符类型数据，所以为了提升数据存储利用率，可以每个结点存等多个字符。这个就是块链串。
 
 ## 模式匹配
 
@@ -33,15 +36,15 @@
 
 ### 朴素模式匹配算法
 
-从主串T、模式串P（子串）的第一个位置开始比较（i=0,j=0），若相等，则 i，j各自+1，然后比较下一个字符。若不等，主串指针回溯到上一轮比较位置的下一个位置，子串回溯到0，再进行下一次比较。令子串长度为m，主串长度为n：
+从主串$T$、模式串$P$（子串）的第一个位置开始比较（$i=0,j=0$），若相等，则$i$，$j$各自$+1$，然后比较下一个字符。若不等，主串指针回溯到上一轮比较位置的下一个位置，子串回溯到$0$，再进行下一次比较。令子串长度为$m$，主串长度为$n$：
 
 + 匹配成功的最好时间复杂度：$O(m)$：刚好第一个就匹配上了，总对比次数为子串长度。
 + 匹配失败的最好时间复杂度：$O(n-m+1)=O(n-m)=O(n)$：匹配成功之前，每一个与第一个字符都匹配失败。
-+ 匹配失败的最坏时间复杂度：$O(nm-m^2+m)= O(nm)$：子串除了最后一个对不上，其余的都能对上，则每次遍历完一边后，又要走回头路；直到匹配成功/失败一共需要比较$m\times(n-m+1)$次。m：每次需要移动m次，i需要移动$n-m+1$次。
++ 匹配失败的最坏时间复杂度：$O(nm-m^2+m)= O(nm)$：子串除了最后一个对不上，其余的都能对上，则每次遍历完一边后，又要走回头路；直到匹配成功/失败一共需要比较$m\times(n-m+1)$次。$m$：每次需要移动$m$次，$i$需要移动$n-m+1$次。
 
 ### KMP算法
 
-KMP算法是对朴素模式匹配算法的优化。
+$KMP$算法是对朴素模式匹配算法的优化。
 
 朴素模式匹配算法的缺点就是当某些子串与模式串能部分匹配时，主串的扫描指针i经常回溯，从而导致时间开销。
 

Data-Structrue/5-array-ex.md

@@ -12,7 +12,7 @@ $C.88$
 
 $D.89$
 
-解：$B$。根据公式$k=2i+j-3$。但是这种公式很难记忆，所以直接找规律。
+解：$B$。根据公式$k=2i+j-3$。但是这种公式很难记忆，所以直接找规律。观察三对角矩阵不难发现，第一行有两个元素，剩下的在元素$m_{30,30}$所在行之前的$28$行中，每行都有$3$个元素，而$m_{30,30}$之前仅有一个元素$m_{30,29}$，不难发现元素$m_{30,30}$在数组$N$中的下标是$2+28\times3+2-1=87$。
 
 **例题** 若将$n$阶上三角矩阵$A$按列优先级压缩存放在一维数组$B[1\cdots n(n+1)/2+1]$中，则存放到$B[k]$中的非零元素$a_{i,j}（$1\leqslant i,j\leqslant n$）的下标$i$、$j$与$k$的对应关系是()。
 
@@ -24,6 +24,8 @@ $C.j(j-1)/2+i$
 
 $D.j(j-1)/2+i-1$
 
+解：$C$。按列优先存储，故元素$a$，前面有$j-1$列，共有$1+2+3+\cdots+j-1=j(j-1)/2$个元素，元素$a_{i,j}$在第$j$列上是第$i$个元素，数组$B$的下标是从$1$开始，因此$k=j(j-1)/2+i$。
+
 **例题** 若将$n$阶下三角矩阵$A$按列优先顺序压缩存放在一维数组$B[1\cdots n(n+1)/2+1]$中，则存放到$B[k]$中的非零元素$a_{i,j}$（$1\leqslant i,j\leqslant n$）的下标$i,j$与$k$的对应关系是()。
 
 $A.(j-1)(2n-j+1)/2+i-j$
@@ -34,6 +36,8 @@ $C.(j-1)(2n-j+2)/2+i-j$
 
 $D.(j-1)(2n-j+1)/2+i-j-1$
 
+解：$B$。按列优先存储，故元素$a_{i,j}$之前有$j-1$列，共有$n+(n-1)+\cdots+(n-j+2)=(j-1)(2n-j+2)/2$个元素，元素$a_{i,j}$是第$j$列上第$i-j+1$个元素，数组$B$下标从$1$开始，$k=(j-1)(2n-j+2)/2+i-j+1$。
+
 **例题** 设有一个$12\times12$的对称矩阵$M$，将其上三角部分的元素$m_{i,j}$（$1\leqslant i\leqslant j\leqslant12$）按行优先存入$C$语言的一维数组$N$中，元素$m_{7,2}$在$N$中的下标是()。
 
 $A.50$
@@ -43,3 +47,5 @@ $B.51$
 $C.55$
 
 $D.66$
+
+解：$A$。在$C$语言中，数组$N$的下标从$0$开始。第一个元素$m_{1,1}$对应存入$n_0$，矩阵$M$的第一行有$12$个元素，第二行有$11$个，第三行有$10$个，第四行有$9$个，第五行有$8$个，所以$m_{6,6}$。是第$12+11+10+9+8+1=51$个元素，下标应为$50$。