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graph 4 {
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splines="FALSE";
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/* Entities */
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1 [shape = circle]
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2 [shape = circle]
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3 [shape = circle]
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4 [shape = circle]
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5 [shape = circle]
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6 [shape = circle]
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||||
7 [shape = circle]
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||||
8 [shape = circle]
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||||
9 [shape = circle]
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||||
10 [shape = circle]
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11 [shape = circle]
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||||
12 [shape = circle]
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||||
13 [shape = circle]
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||||
14 [shape = circle]
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||||
15 [shape = circle]
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||||
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/* Relationships */
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||||
1 -- 2 [style = invis]
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||||
1 -- 3
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2 -- 4 [style = invis]
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||||
2 -- 5 [style = invis]
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||||
3 -- 6 [style = invis]
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||||
3 -- 7
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||||
4 -- 8 [style = invis]
|
||||
4 -- 9 [style = invis]
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||||
5 -- 10 [style = invis]
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||||
5 -- 11 [style = invis]
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||||
6 -- 12 [style = invis]
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||||
6 -- 13 [style = invis]
|
||||
7 -- 14 [style = invis]
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||||
7 -- 15
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||||
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/* Ranks */
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||||
2 [style = invis]
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||||
4 [style = invis]
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||||
5 [style = invis]
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||||
6 [style = invis]
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||||
8 [style = invis]
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||||
9 [style = invis]
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||||
10 [style = invis]
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||||
11 [style = invis]
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||||
12 [style = invis]
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||||
13 [style = invis]
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14 [style = invis]
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}
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BIN
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BIN
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46
408/数据结构/assets/1.5.dot
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@@ -0,0 +1,46 @@
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graph 5 {
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splines="FALSE";
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/* Entities */
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a [shape = circle]
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||||
b [shape = circle]
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c [shape = circle]
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||||
d [shape = circle]
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||||
e [shape = circle]
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||||
f [shape = circle]
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||||
g [shape = circle]
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1 [shape = circle]
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||||
2 [shape = circle]
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||||
3 [shape = circle]
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||||
4 [shape = circle]
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5 [shape = circle]
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||||
6 [shape = circle]
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||||
7 [shape = circle]
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||||
8 [shape = circle]
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/* Relationships */
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a -- b
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a -- c
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b -- 1 [style = invis]
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||||
b -- d
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1 -- 2 [style = invis]
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||||
1 -- 3 [style = invis]
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||||
d -- 4 [style = invis]
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||||
d -- 5 [style = invis]
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||||
c -- e
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||||
c -- f
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||||
e -- 6 [style = invis]
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||||
e -- g
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||||
f -- 7 [style = invis]
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||||
f -- 8 [style = invis]
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||||
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||||
/* Ranks */
|
||||
1 [style = invis]
|
||||
2 [style = invis]
|
||||
3 [style = invis]
|
||||
4 [style = invis]
|
||||
5 [style = invis]
|
||||
6 [style = invis]
|
||||
7 [style = invis]
|
||||
8 [style = invis]
|
||||
}
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||||
BIN
408/数据结构/assets/1.5.png
Normal file
BIN
408/数据结构/assets/1.5.png
Normal file
Binary file not shown.
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After Width: | Height: | Size: 17 KiB |
BIN
408/数据结构/assets/1.6.1.png
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BIN
408/数据结构/assets/1.6.1.png
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Binary file not shown.
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After Width: | Height: | Size: 145 KiB |
BIN
408/数据结构/assets/1.6.png
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BIN
408/数据结构/assets/1.6.png
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After Width: | Height: | Size: 12 KiB |
BIN
408/数据结构/assets/1.7.png
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BIN
408/数据结构/assets/1.7.png
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Binary file not shown.
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After Width: | Height: | Size: 52 KiB |
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408/数据结构/assets/2.2.3.png
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BIN
408/数据结构/assets/2.2.3.png
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Binary file not shown.
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After Width: | Height: | Size: 35 KiB |
292
408/数据结构/数据结构期中考试题.md
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292
408/数据结构/数据结构期中考试题.md
Normal file
@@ -0,0 +1,292 @@
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# 数据结构期中考试题
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## 单项选择题
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### 1. 【单选】（5 分）下列程序段的时间复杂度是（ ）
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```cpp
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x = 91;
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y = 1;
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while (y < n) {
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if (x > 100) {
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x = x - 10;
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y = 2 * y;
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} else {
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x++;
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}
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}
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```
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- [ ] A. $O(1)$
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- [x] B. $O(\log_2 n)$
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- [ ] C. $O(n^{\frac{1}{2}})$
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- [ ] D. $O(n)$
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> 参考答案：B
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>
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> 本题要求具备一定的代码阅读能力。`x` 的初值为 91，每执行 10 次 `x++`，就执行一次 `y = 2 * y`，且 `x` 恢复为初值 91。也就是说，每 11 次循环，会导致 `y = 2 * y`。当 $y \ge n$ 时停止 `while` 循环，因此时间复杂度为 $O(11 \log_2 n) = O(log_2 n)$。
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### 2. 【单选】（5 分）使⽤栈 `S` 进⾏括号匹配，括号序列为 `{{}([()]()[])}`，则栈 `S` 的容量⾄少是（ ）
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- [ ] A. 2
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- [ ] B. 3
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- [x] C. 4
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- [ ] D. 5
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> 参考答案：C
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>
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||||
> 括号匹配的过程中，扫描到左括号，则入栈，扫描到右括号，则弹出栈顶左括号，并与右括号进行匹配。栈 `S` 的变化如下：
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>
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> ① `{` 入栈，② `{` 入栈，③ `{` 出栈，④ `(` 入栈，⑤ `[` 入栈，⑥ `(` 入栈，⑦ `(` 出栈，⑧ `[` 出栈，⑨ `(` 入栈，⑩ `(` 出栈，⑪ `[` 入栈，⑫ `[` 出栈， ⑬ `(` 出栈，⑭ `{` 出栈
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||||
>
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||||
> 当运行到第 ⑥ 步时，栈内元素最多，共 4 个，因此栈的大小至少为 4
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### 3. 【单选】（5 分）有一个 10 阶的三对角矩阵 $M$，其元素 $M_{i, j} (1 \le i, j \le 10)$ 按列优先依次压缩存入下标从 0 开始的一位数组 `A` 中。则 `A[20]` 对应的元素是（ ）
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- [ ] A. $M_{7, 7}$
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||||
- [ ] B. $M_{8, 8}$
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- [ ] C. $M_{8, 7}$
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||||
- [x] D. $M_{7, 8}$
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||||
|
||||
> 参考答案：D
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>
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||||
> 三对角矩阵按列优先方式压缩存储。`A[20]` 是第 21 个元素。三对角矩阵的前 7 列共 $2 + 3 \times 6 = 20$ 个元素。因此第 21 个元素刚好是第八列的第一个元素，即 $M_{7, 8}$
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||||
>
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||||
> 咸鱼注：抱歉抱歉，第一次使用 MOOC 在线考试系统，MOOC 上选错了正确答案为 B，我自罚一杯奶茶。
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### 4. 【单选】（5 分）⼆叉树 $T$ 共有 4 个结点，若采⽤顺序存储结构保存，每个结点占 1 个存储单元，则存放该⼆叉树需要的存储单元数量最多是（ ）
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- [ ] A. 4
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- [ ] B. 7
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- [ ] C. 8
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- [x] D. 15
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||||
> 参考答案：D
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>
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||||
> 二叉树的顺序存储，需要将结点与「完全二叉树」对应。当每个分支结点都只有右孩子时，所需要的存储单元数量最多。二叉树的形态如下：
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>
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> <img src = "assets/4.png" align = "middle">
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>
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||||
> 此题可以利用完全二叉树结点编号之间的关系来推导，对于一棵完全二叉树，若根节点编号从 1 开始，则每个分支节点 $i$ 的右孩子编号为 $2i + 1$。 由此可得，最下层的叶子结点对应完全二叉树的结点编号为 15。因此，该二叉树需要的存储单元数量最多是 15。
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||||
>
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||||
> 当然，也可以用另一个思路来计算，$h$ 层的满二叉树有总共有 $2h - 1$ 个结点，因此四层满二叉树
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总共有 15 个结点。
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### 5. 【单选】（5 分）某森林 `F` 对应的⼆叉树为 `T`，若 `T` 的先序遍历序列是 `a, b, d, c, e, g, f`，中序遍历序列是 `b, d, a, e, g, c, f`，则 `F` 中树的棵数是（ ）
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- [ ] A. 1
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||||
- [ ] B. 2
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||||
- [x] C. 3
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||||
- [ ] D. 4
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|
||||
> 参考答案：C
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>
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||||
> 由于二叉树的前序遍历和中序遍历序列能确定唯一的一棵二叉树，因此本题可以确定二叉树 `T` 的结构。
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>
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||||
> <img src = "assets/5.png" align = "middle">
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||||
>
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||||
> 逐层断掉 `T` 中最右侧的右子树，即可得到三棵树，因此森林 `F` 中树的棵数是 3。
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### 6. 【单选】（5 分）给定平衡二叉树如下图所示，插入关键字 23 后根结点中的关键字是（ ）
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||||
<img src = "assets/6.png" align = "middle">
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||||
- [ ] A. 16
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- [ ] B. 20
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||||
- [ ] C. 23
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||||
- [x] D. 25
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||||
|
||||
> 参考答案：D
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>
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> 将关键字 23 插入作为关键字25所在结点的左孩子后，该二叉树失衡，经过平衡调整后，该平衡二叉树变为如下图所示结构，根节点中的关键字为 25。
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||||
>
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||||
> <img src = "assets/6.1.png" align = "middle">
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||||
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### 7. 【单选】（5 分）若某⼆叉树有 5 个叶⼦结点，其权值分别为 10，12，16，21，30。则其最⼩的带权路径⻓度（WPL）是（ ）
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- [ ] A. 89
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- [x] B. 200
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- [ ] C. 208
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- [ ] D. 289
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||||
> 参考答案：B
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>
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> 要求最小的 WPL，即考查哈夫曼树的构造，构造结果如下图所示，因此 $WPL = 2 \times (16 + 21 + 30) + 3 \times (10 + 12) = 200$。
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>
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||||
> <img src = "assets/7.png" align = "middle">
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### 8. 【单选】（5 分）对于 $n (n \ge 2)$ 个字符构造的⼆叉哈夫曼树，每个字符结点的权值都⼤于 0 （但各节点权值可能相等）。则下列叙述错误的是 ( )
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- [x] A. 树中两个权值最⼩的结点⼀定是兄弟结点
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- [ ] B. 该哈夫曼树的最⼤⾼度是 $n$
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- [ ] C. 该哈夫曼树的结点总数为 $2n - 1$
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- [ ] D. 所有⾮叶结点的权值之和不⼩于所有叶结点的权值之和
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> 参考答案：A
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>
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> A 选项：该选项不严谨，若各个字符结点的权值都为 1，则所有的结点都是「权值最小的结点」，但不一定都是兄弟。
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>
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> B 选项：根据哈夫曼树的构造过程，包含 $n$ 个叶结点的哈夫曼树，最大高度为 $n$。
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>
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> C 选项：二叉哈夫曼树中，只有度为 2 和度为 0 的结点。度为 0 的结点数为 $n$，假设度为 2 的结点数为 $m$，则 $2m + 1 = m + n$，即 $m = n - 1$。因此该哈夫曼树的结点总数为 $2n - 1$。
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>
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> D 选项：根据哈夫曼树的构造过程可知，单独一个根节点的权值，就等于所有叶子结点的权值之和，再加上其他非叶结点的权值，一定大于所有叶子结点的权值之和。
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### 9. 【单选】（5 分）采用 KMP 算法进行模式匹配。主串 $S = 'ABCABCDABABCDABCDABDE'$，模式串$T = 'ABCDABD'$。当第三次发生「失配」（`S[j] != T[j]`) 时，单个字符间的累计比较次数是 ( )
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- [ ] A. 14
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- [ ] B. 13
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- [x] C. 12
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- [ ] D. 6
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> 参考答案：C
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>
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> 处理这个题目，并不需要求 `next` 数组，发生失配的时候，模式串往后滑就行。可以快速做题
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>
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> S = '**ABCA**BCDABABCDABCDABDE'
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> T = '**ABCD**ABD'`
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>
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> 第一次发生失配，累计比较了 4 次字符
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>
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||||
> S = 'ABC**ABCDABA**BCDABCDABDE'
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> T =   '**ABCDABD**'
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>
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||||
> 第二次发生失配，累计比较了 $4 + 7$ 次字符
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>
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||||
> S = 'ABCABCD**ABA**BCDABCDABDE'
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||||
> T =      '**ABC**DABD'
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>
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||||
> 第三次发生失配，累计比较了 $4 + 7 + 1$ 次字符，即累计对比 12 次
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>
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> 咸鱼注：这个题目录入的时候也打错了，再自罚一杯，对不起！
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### 10. 【单选】（5 分）在⼀棵⾼度为 3、阶数为 3 的 B 树中，根为第⼀层，若第⼆层有 4 个关键字，则该树的结点个数最多是（ ）
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- [x] A. 11
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- [ ] B. 10
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- [ ] C. 9
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- [ ] D. 8
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> 参考答案：A
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>
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||||
> 阶数为 3 的 B 树中，每个结点包含的关键字可以为 1 个或 2 个。本题中，要求第二层有 4 个关键字，则结点数最多的情况如下图所示，其中 A、B、C、D……表示关键字，最多可能有 11 个结点。
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||||
>
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||||
> ```mermaid
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> graph TB
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> 1[A B] --> 2[C D]
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> 1 --> 3[E]
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> 1 --> 4[F]
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> 2 --> 5[G]
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> 2 --> 6[H]
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||||
> 2 --> 7[I]
|
||||
> 3 --> 8[J]
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||||
> 3 --> 9[K]
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||||
> 4 --> 10[L]
|
||||
> 4 --> 11[M]
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||||
> ```
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||||
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### 11. 【单选】（5 分）已知初始为空的队列 `Q` 的⼀端能进⾏⼊队操作⼜能进⾏出队操作，另⼀端只能进⾏⼊队操作。若 `a` 的⼊队序列是 1，2，3，4，5。则不能得到的出队序列是（ ）
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||||
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||||
- [ ] A. 5，4，3，1，2
|
||||
- [ ] B. 5，3，1，2，4
|
||||
- [ ] C. 4，2，1，3，5
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||||
- [x] D. 4，1，3，2，5
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|
||||
> 参考答案：D
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||||
>
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||||
> 题目应是一种输出受限的双端队列，因此根据选项 C 和 D，若 4 是第一个出队的元素，那么至少 1、2、3、4 已全部入队，则队列中 2 应该与 1 相邻，出队时顺序也应该相邻，所以选项 D 错误。
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||||
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||||
## 综合应用题
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### 1. 字符串 `S` 的长度为 `n`，`S` 中的字符 `S[i]` 满足 `'A' <= S[i] <= 'Z'`，请设计一个时间上尽可能高效的算法，统计 `S` 中有多少个不同的字母。要求：
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#### （1）给出算法的基本设计思想。（6 分）
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可以使用一个数组 `a[26]` 保存 `A`～`Z` 是否出现过，`0` 表示已经未出现过，`>0` 表示出现过。扫描字符串 `S`，更新数组 `a`。然后用 `num` 统计有多少个不同的字母出现。
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||||
#### （2）根据设计思想，采用 C 或 C++ 语言描述算法，关键之处给出注释。（10 分）
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```cpp
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int ans(char S[], int n) {
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int j, a[26] = {};
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int num = 0; // num 统计有几个不同的字母出现
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for (int i = 0; i < n; i++) { // 扫描串 S
|
||||
j = S[i] - 'A'; // j 表示是 A 开始的第几个字母，A 是第 0 个
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||||
a[j]++;
|
||||
}
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||||
for (int i = 0; i < 26; i++) { // 统计
|
||||
if (a[i] != 0) {
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num++;
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
return num;
|
||||
}
|
||||
```
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||||
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||||
#### （3）说明你所设计的算法的时间复杂度。
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空间复杂度主要是数组 `a[26]`，是常数所以是 $O(1)$。时间复杂度主要是两个循环，一个循环 $n$ 次，一个循环 26 次，所以是 $O(n)$。
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### 2、对于一棵非空平衡二叉树，其中任何一个节点的平衡因子只为 -1、0、1（平衡因子 = 左子树的高度 - 右子树的高度）
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#### （1）请写出二叉树的结点定义（`data` 域是 `int`）。
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```cpp
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||||
typedef struct BiTNode {
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int data;
|
||||
struct BiTNode *lchild, *rchild;
|
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} BiTNode, *BiTree;
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||||
|
||||
typedef struct AVLNode {
|
||||
int key;
|
||||
struct AVLNode *lchild, *rchild;
|
||||
} AVLNode, *AVLTree;
|
||||
```
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||||
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||||
#### （2）设 $a[h]$ 表示满足高为 $h$ 的平衡二叉树的最小节点数。$h = 1$ 时，只有根节点，$a[1] = 1$；$h = 2$ 时，$a[2] = 2$。请推导出 $a[h]$ 的递推关系式。
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||||
$$
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||||
a[h] = \begin{cases}
|
||||
h & h = 1, 2\\
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||||
a[h - 1] + a[h - 2] + 1 & h \ge 3
|
||||
\end{cases}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
#### （3）对于下面这颗平衡二叉树，执行如下操作：删除 98，删除 115，插入37，插入 54。请分别画出每一步插入或者删除操作完成后的平衡二叉树。
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||||
|
||||
<img src = "assets/2.2.3.png" align = "middle">
|
||||
|
||||
```mermaid
|
||||
graph TB
|
||||
subgraph 5
|
||||
28 ---|L| 23
|
||||
28 ---|R| 37
|
||||
23 ---|L| 15
|
||||
23 ---|R| 54
|
||||
37 ---|R| 34
|
||||
end
|
||||
subgraph 4
|
||||
d1(23) ---|L| d3(15)
|
||||
d1 ---|R| d2
|
||||
d2(37) ---|L| d5(28)
|
||||
d2 ---|R| d6(34)
|
||||
end
|
||||
subgraph 3
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c1(23) ---|L| c3(15)
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c1 ---|R| c2(34)
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c2 ---|L| c4(28)
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end
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subgraph 2
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b1(34) ---|L| b2(23)
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b1 ---|R| b3(115)
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b2 ---|L| b4(15)
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b2 ---|R| b5(28)
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end
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subgraph 1
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a1(34) ---|L| a2(23)
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a1 ---|R| a3(98)
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a2 ---|L| a4(15)
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a2 ---|R| a5(28)
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a3 ---|R| a6(115)
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end
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```
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@@ -1,87 +0,0 @@
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### 1、字符串 `S` 的长度为 `n`，`S` 中的字符 `S[i]` 满足 `'A' <= S[i] <= 'Z'`，请设计一个时间上尽可能高效的算法，统计 `S` 中有多少个不同的字母。要求：
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#### （1）给出算法的基本设计思想。
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建立 `occur[26]`，初始值为 0，当字母出现时，相应位置设为 1，遍历字符串，输出 `occur` 中 1 的个数。
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#### （2）根据设计思想，采用 C 或 C++ 语言描述算法，关键之处给出注释。
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```cpp
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int occur[26]; // 建立数组表示字母是否出现，初始为 0
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int alphabet(char *S, int n) {
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for (int i = 0; i < n; i++) { // 依序读入 S 中字符
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occur[(int) S[i] - 65] = 1; // 字母出现时，数组相应位置变为 1（'A' ~ 'Z' 的 ASCII 值为 65 ~ 90）
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}
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n = 0; // 初始化字母个数为 0
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for (int i = 0; i < 26; i++) { // 遍历 occur 数组
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n += occur[i]; // 计算有几个字母出现
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}
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return n;
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}
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```
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#### （3）说明你所设计的算法的时间复杂度。
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时间复杂度为 O(n)。
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### 2、对于一棵非空平衡二叉树，其中任何一个节点的平衡因子只为 -1、0、1（平衡因子 = 左子树的高度 - 右子树的高度）
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#### （1）请写出二叉树的结点定义（`data` 域是 `int`）。
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```cpp
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typedef struct BiTNode {
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int data;
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struct BiTNode *lchild, *rchild;
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} BiTNode, *BiTree;
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typedef struct AVLNode {
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int key;
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struct AVLNode *lchild, *rchild;
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} AVLNode, *AVLTree;
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```
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#### （2）设 $a[h]$ 表示满足高为 $h$ 的平衡二叉树的最小节点数。$h = 1$ 时，只有根节点，$a[1] = 1$；$h = 2$ 时，$a[2] = 2$。请推导出 $a[h]$ 的递推关系式。
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$$
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a[h] = \begin{cases}
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h & h = 1, 2\\
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a[h - 1] + a[h - 2] + 1 & h \ge 3
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\end{cases}
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$$
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#### （3）对于下面这颗平衡二叉树，执行如下操作：删除 98，删除 115，插入37，插入 54。请分别画出每一步插入或者删除操作完成后的平衡二叉树。
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```mermaid
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graph TB
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subgraph 5
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28 ---|L| 23
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28 ---|R| 37
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23 ---|L| 15
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23 ---|R| 54
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37 ---|R| 34
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end
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subgraph 4
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d1(23) ---|L| d3(15)
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d1 ---|R| d2
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d2(37) ---|L| d5(28)
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d2 ---|R| d6(34)
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||||
end
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subgraph 3
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c1(23) ---|L| c3(15)
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||||
c1 ---|R| c2(34)
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c2 ---|L| c4(28)
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||||
end
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||||
subgraph 2
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b1(34) ---|L| b2(23)
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b1 ---|R| b3(115)
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b2 ---|L| b4(15)
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||||
b2 ---|R| b5(28)
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||||
end
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subgraph 1
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a1(34) ---|L| a2(23)
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a1 ---|R| a3(98)
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||||
a2 ---|L| a4(15)
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||||
a2 ---|R| a5(28)
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a3 ---|R| a6(115)
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||||
end
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```
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Reference in New Issue
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