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@@ -53,7 +53,7 @@
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\textbf{例题：}求$\lim\limits_{x\to\infty}\left(\dfrac{3+x}{6+x}\right)^{\frac{x-1}{2}}$。\medskip
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解：$=\lim\limits_{x\to\infty}\left(1-\dfrac{3}{6+3}\right)^{\frac{6+x}{-3}\cdot\frac{-3}{6+x}\cdot\frac{x-1}{2}}=\lim\limits_{x\to\infty}e^{\frac{-3}{6+x}\cdot\frac{x-1}{2}}=\lim\limits_{x\to\infty}e^{-\frac{3}{2}\cdot\frac{x-1}{x+6}}=e^{-\frac{3}{2}}$。\medskip
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解：$=\lim\limits_{x\to\infty}\left(1-\dfrac{3}{6+x}\right)^{\frac{6+x}{-3}\cdot\frac{-3}{6+x}\cdot\frac{x-1}{2}}=\lim\limits_{x\to\infty}e^{\frac{-3}{6+x}\cdot\frac{x-1}{2}}=\lim\limits_{x\to\infty}e^{-\frac{3}{2}\cdot\frac{x-1}{x+6}}=e^{-\frac{3}{2}}$。\medskip
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\textbf{例题：}求$\lim\limits_{x\to\infty}\left(\dfrac{2x+3}{2x+1}\right)^{x+1}$。\medskip
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@@ -434,6 +434,20 @@ $=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{-x-\dfrac{x^2}{2}+tx^2+x}{x^2}=\lim\limits_{x\to 0}
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$\therefore\lim\limits_{x\to 0}t=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)-1}{x}=\dfrac{1}{2}$。
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如果是已知值中含有目标值的关系式，可以将已知值作为一个整体来换算为目标值。
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\textbf{例题：}已知$\lim\limits_{n\to\infty}(a_n+b_n)=1$，$\lim\limits_{n\to\infty}(a_n-b_n)=3$，求出$\{a_n\}$，$\{b_n\}$的极限值。
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解：设$u_n=a_n+b_n$，$v_n=a_n-b_n$，则$\lim\limits_{n\to\infty}u_n=1$，$\lim\limits_{n\to\infty}v_n=3$。
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根据极限运算规则，若$u_n$、$v_n$存在极限，则$u_n+v_n$、$u_n-v_n$也存在极限。
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且$\lim\limits_{n\to\infty}(u_n+v_n)=\lim\limits_{n\to\infty}u_n+\lim\limits_{n\to\infty}v_n=1+3=4$，$\lim\limits_{n\to\infty}(u_n-v_n)=\lim\limits_{n\to\infty}u_n-\lim\limits_{n\to\infty}v_n=1-3=-2$。
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且$a_n=\dfrac{1}{2}(u_n+v_n)$，$b_n=\dfrac{1}{2}(u_n-v_n)$，所以$\{a_n\}$、$\{b_n\}$极限存在。
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$\lim\limits_{n\to\inf}a_n=\dfrac{1}{2}\times4=2$，$\lim\limits_{n\to\infty}b_n=\dfrac{1}{2}\times(-2)=-1$。
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\subsubsection{关系转换}
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\textbf{例题：}如果$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x-\sin x+f(x)}{x^4}$存在，则$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x^3}{f(x)}$为常数多少？
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@@ -613,9 +627,9 @@ $\therefore\lim\limits_{x\to+\infty}f(x^{\frac{1}{x}})=f(1)=1$。
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\subsection{迭代式数列}
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\subsubsection{数列表达式}
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\subsubsection{简单递推表达式}
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最重要的是将迭代式进行变形。
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最重要的是将递推式进行变形。这种递推式都是比较简单的，$a_n$和$a_{n+1}$都是一次的。
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\textbf{例题：}数列$\{a_n\}$满足$a_0=0,a_1=1,2a_{n+1}=a_n+a_{n-1},n=1,2,\cdots$。计算$\lim\limits_{n\to\infty}a_n$。
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@@ -643,6 +657,8 @@ $\therefore\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\dfrac{2}{3}$
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单调有界的数列必有极限。需要证明单调性和有界性，然后对式子求极限就能求出目标极限。
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\paragraph{通项公式} \leavevmode \medskip
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\textbf{例题：}$x_0=0$，$x_n=\dfrac{1+2x_{n-1}}{1+x_{n-1}}(n\in N*)$，求$\lim\limits_{n\to\infty}x_n$。\medskip
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解：首先应该知道数列的趋向都是趋向正无穷。
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@@ -669,7 +685,9 @@ $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1+2x_{n-1}}{1+x_{n-1
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$\therefore\lim\limits_{n\to\infty}x_n=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$。
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而许多题目只给出样子，连通项公式都不会给出。\medskip
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\paragraph{复杂递推公式} \leavevmode \medskip
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许多题目只给出样子，连通项公式都不会给出，只会给出一个复杂递推公式，其中包括开根号，倒数，甚至只是举例。这种题目就必须使用单调有界准则来完成，甚至还需要其他的技巧。\medskip
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\textbf{例题：}求出数列$\sqrt{2}$，$\sqrt{2+\sqrt{2}}$，$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}$$\cdots$的极限。
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@@ -691,4 +709,20 @@ $x_{n+1}-x_n=\sqrt{2+x_n}-x_n=\dfrac{2+x_n-x_n^2}{\sqrt{2+x_n}+x_n}=\dfrac{-(x_n
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从而$a^2=2+a$，得出$a=2$（根据极限的保号性$-1$被舍去）。
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\textbf{例题：}已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=a$（$a>0$），$a_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(a_n+\dfrac{2}{a_n}\right)$，证明极限$\lim\limits_{n\to\infty}a_n$存在，并求其值。
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证明：由于$a>0$，根据$a_{n+1}$表达式所以$a_n>0$，看到递推表达式的乘积为常数的形式可以想到使用不等式$\dfrac{a+b}{2}\geqslant\sqrt{ab}$来转换：$a_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(a_n+\dfrac{2}{a_n}\right)\geqslant\sqrt{2}$。
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即$\{a_n\}$有下界$\sqrt{2}$。
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又将通项相减得到相邻两项关系：$a_{n+1}-a_n=\dfrac{1}{a_n}-\dfrac{a_n}{2}=\dfrac{2-a_n^2}{2a_n}\leqslant0$（$n\geqslant2$）。
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所$\{a_n\}$单调递减。
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由单调有界准则，${a_n}$存在极限$A$，且$A\geqslant\sqrt{2}$。
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对于关系式两边取极限$a_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(a_n+\dfrac{2}{a_n}\right)$，则$A=\dfrac{1}{2}\left(A+\dfrac{2}{A}\right)$。
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解得$A=\sqrt{2}$，即$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\sqrt{2}$。
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\end{document}
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Binary file not shown.
@@ -53,64 +53,10 @@
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基本初等函数包括：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。
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\subparagraph{反函数} \leavevmode \medskip
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反函数的求法：
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\begin{enumerate}
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\item 求值域。
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\item 求解。（用$y$表示$x$）
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\item 互换$xy$。
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\end{enumerate}
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已知$f(f^{-1}(x))=x$，$f^{-1}(f(x))=x$。为什么是这样？可以验算一下。
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已知$y=e^x$和$y=\ln x$是一对反函数，$y=\ln e^x=f^{-1}(f(x))=x$。
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\textbf{例题：}若函数$y=f(x)$的反函数为$y=f^{-1}(x)$，则求$y=f(2x-1)+1$的反函数的解析式。
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解：整理$y=f(2x-1)+1$，得到$f(2x-1)=y-1$，所以求反函数就是交换$xy$。
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这里将$2x-1$当作$x$，$y-1$当作$y$，所以得到反函数$2x-1=f^{-1}(y-1)$。
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所以得到$x=\dfrac{f^{-1}(y-1)+1}{2}$。
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所以交换表示方法其反函数就是$y=\dfrac{f^{-1}(x-1)+1}{2}$。
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\textbf{例题：}已知$f(x)=\dfrac{1}{1-x^2}$（$x<-1$），求$f^{-1}(-\dfrac{1}{3})$。
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解：由于是反函数，所以$x$对应$y$，$y$对应$x$。
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求$f^{-1}(-\dfrac{1}{3})$的值，对应反函数的$x=-\dfrac{1}{3}$，$y=f^{-1}(-\dfrac{1}{3})$的值。
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即求原函数的$y=-\dfrac{1}{3}$，$x=f(-\dfrac{1}{3})$的值。
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所以$\dfrac{1}{1-x^2}=-\dfrac{1}{3}$求$x$的值。
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即$1-x^2=-3$，$x=\pm2$，又$x<-1$，则$x=-2$。
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\textbf{例题：}已知$f(x)=\dfrac{1-2x}{1+x}$，函数$g(x)$的图像与函数$y=f^{-1}(x+1)$的图像关于$y=x$对称，求$g(5)$。
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解：由于函数$g(x)$的图像与函数$y=f^{-1}(x+1)$的图像关于$y=x$对称，所以$g(x)$与$f^{-1}(x+1)$也是反函数。
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所以要求$g(x)$，就要求$f^{-1}(x+1)$。
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$\because y=f^{-1}(x+1)$，$\therefore x+1=f(y)$，$x=f(y)-1$，即$y=f(x)-1$。
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$\therefore g(x)=y=f(x)-1$，$g(5)=f(5)-1=-\dfrac{5}{2}$。
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\textbf{例题：}已知$f(x)=\dfrac{1}{2}(x^2+\sqrt{x+1})$（$x\geqslant0$）的反函数为$f^{-1}(x)$，求不等式$f^{-1}(x+1)>3$的解集。
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解：当$x\geqslant0$时，$f(x)$明显是一个单调递增函数，所以根据反函数性质，其反函数在这个区间上增减性不变也是递增的。
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$f(0)=\dfrac{1}{2}$，即$f^{-1}(x)$在定义域$[\dfrac{1}{2},+\infty)$上也是递增函数。
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又$f^{-1}(x+1)>3$，对其求反函数：$f(f^{-1}(x+1))>f(3)$，即$x+1>f(3)$，且$x+1\geqslant\dfrac{1}{2}$，得出$x>\dfrac{9}{2}$。
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\subparagraph{常数函数} \leavevmode \medskip
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\begin{minipage}{0.35\linewidth}
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$y=A$，A为常数，图像平行于x轴。
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$y=A$，$A$为常数，图像平行于$x$轴。
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\end{minipage}
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\hfill
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\begin{minipage}{0.55\linewidth}
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@@ -1080,7 +1026,7 @@ $\tan(\alpha\pm\beta)=\dfrac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta},\c
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\subsubsection{积化和差公式}
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和差化积与积化和差不需要背。
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和差化积与积化和差不需要背，都是和差公式的推导。
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$\sin\alpha\cos\beta=\dfrac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)],\cos\alpha\sin\beta=\dfrac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)]$。
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@@ -1092,7 +1038,13 @@ $\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2},\s
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$\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2},\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\sin\dfrac{\alpha-\beta}{2}$。
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推理和差化积公式：
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推理和差化积公式，如第一个：
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$\sin\alpha+\sin\beta=\sin\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}+\dfrac{\alpha-\beta}{2}\right)+\sin\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}-\dfrac{\alpha-\beta}{2}\right)=$
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$\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}+\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}\sin\dfrac{\alpha-\beta}{2}+\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}$
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$-\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}\sin\dfrac{\alpha-\beta}{2}=2\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}$
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\subsubsection{万能公式}
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@@ -1100,6 +1052,26 @@ $\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2},\c
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若$u=\tan\dfrac{x}{2}(-\pi<x<\pi)$，则$\sin x=\dfrac{2u}{1+u^2},\cos x=\dfrac{1-u^2}{1+u^2}$。
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\subsubsection{辅助角公式}
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$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\phi)$，$\sin\phi=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$，$\cos\phi=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$。
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\subsubsection{正弦定理}
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$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}$。
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\subsubsection{余弦定理}
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$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$，$b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$，$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$。
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\subsubsection{三角形面积公式}
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$S_{\vartriangle ABC}=\dfrac{1}{2}bc\sin A=\dfrac{1}{2}ac\sin B=\dfrac{1}{2}ab\sin C$。
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\subsubsection{海伦公式}
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$S_{\vartriangle ABC}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$，$p=\dfrac{a+b+c}{2}$。
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\subsection{反三角函数}
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因为只有单调函数才有反函数，所以对于三角函数必须选取其单调区间才有反函数。一般只讨论三角函数在其主值区间上的反函数（主值区间即包括锐角最大的单调区间）。
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Binary file not shown.
@@ -66,20 +66,126 @@ $\delta$邻域的几何意义：以$P_0(x_0,y_0)$为中心，以$\delta>0$为半
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\subsection{函数的概念}
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\subsubsection{函数}
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\begin{itemize}
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\item 函数即$y=f(x),x\in D$，x为自变量，y为因变量，D为定义域
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\item 一个x对应一个y，一个y可能对应多个x。
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\item 函数即$y=f(x),x\in D$，$x$为自变量，$y$为因变量，$D$为定义域。
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\item 一个$x$对应一个$y$，一个$y$可能对应多个$x$。
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\end{itemize}
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\subsubsection{反函数}
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$y=f(x)$，定义域为$D$，值域为$R$，若对于每一个$y\in R$，必然存在$x\in D$使$y=f(x)$成立，则可以定义一个新函数$x=\psi(y)$，这个函数就是$y=f(x)$的\textbf{反函数}，一般记作$x=f^{-1}(y)$，其定义域为$R$，值域为$D$，对于反函数，原来的函数称为\textbf{直接函数}。
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\begin{enumerate}
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\item \textcolor{red}{严格单调}函数必然有反函数，即函数导数恒正或恒负必然有反函数。
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\item $x=f^{-1}(y)$与$y=f(x)$在同一坐标系中完全重合。
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\item $y=f^{-1}(x)$与$y=f(x)$关于$y=x$对称。
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\item $f[f^{-1}(x)]$或$f[\psi(x)]$变为x，称为湮灭。
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\item $f[f^{-1}(x)]$（$f[\psi(x)]$）或$f^{-1}[f(x)]=x$（$\psi[f(x)]$）变为$x$，称为湮灭。
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\end{enumerate}
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可以验算一下性质四。
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已知$y=e^x$和$y=\ln x$是一对反函数，$y=\ln e^x=f^{-1}(f(x))=x$。
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反函数的求法：
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\begin{enumerate}
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\item 求值域。
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\item 求解。（用$y$表示$x$）
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\item 互换$xy$。
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\end{enumerate}
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\textbf{例题：}若函数$y=f(x)$的反函数为$y=f^{-1}(x)$，则求$y=f(2x-1)+1$的反函数的解析式。
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解：整理$y=f(2x-1)+1$，得到$f(2x-1)=y-1$，所以求反函数就是交换$xy$。
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这里将$2x-1$当作$x$，$y-1$当作$y$，所以得到反函数$2x-1=f^{-1}(y-1)$。
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所以得到$x=\dfrac{f^{-1}(y-1)+1}{2}$。
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所以交换表示方法其反函数就是$y=\dfrac{f^{-1}(x-1)+1}{2}$。
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\textbf{例题：}已知$f(x)=\dfrac{1}{1-x^2}$（$x<-1$），求$f^{-1}(-\dfrac{1}{3})$。
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解：由于是反函数，所以$x$对应$y$，$y$对应$x$。
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求$f^{-1}(-\dfrac{1}{3})$的值，对应反函数的$x=-\dfrac{1}{3}$，$y=f^{-1}(-\dfrac{1}{3})$的值。
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即求原函数的$y=-\dfrac{1}{3}$，$x=f(-\dfrac{1}{3})$的值。
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所以$\dfrac{1}{1-x^2}=-\dfrac{1}{3}$求$x$的值。
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即$1-x^2=-3$，$x=\pm2$，又$x<-1$，则$x=-2$。
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\textbf{例题：}已知$f(x)=\dfrac{1-2x}{1+x}$，函数$g(x)$的图像与函数$y=f^{-1}(x+1)$的图像关于$y=x$对称，求$g(5)$。
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解：由于函数$g(x)$的图像与函数$y=f^{-1}(x+1)$的图像关于$y=x$对称，所以$g(x)$与$f^{-1}(x+1)$也是反函数。
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所以要求$g(x)$，就要求$f^{-1}(x+1)$。
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$\because y=f^{-1}(x+1)$，$\therefore x+1=f(y)$，$x=f(y)-1$，即$y=f(x)-1$。
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$\therefore g(x)=y=f(x)-1$，$g(5)=f(5)-1=-\dfrac{5}{2}$。
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\textbf{例题：}已知$f(x)=\dfrac{1}{2}(x^2+\sqrt{x+1})$（$x\geqslant0$）的反函数为$f^{-1}(x)$，求不等式$f^{-1}(x+1)>3$的解集。
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解：当$x\geqslant0$时，$f(x)$明显是一个单调递增函数，所以根据反函数性质，其反函数在这个区间上增减性不变也是递增的。
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$f(0)=\dfrac{1}{2}$，即$f^{-1}(x)$在定义域$[\dfrac{1}{2},+\infty)$上也是递增函数。
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又$f^{-1}(x+1)>3$，对其求反函数：$f(f^{-1}(x+1))>f(3)$，即$x+1>f(3)$，且$x+1\geqslant\dfrac{1}{2}$，得出$x>\dfrac{9}{2}$。
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\textbf{例题：}求函数$y=f(x)=\ln(x+\sqrt{x^2+1})$的反函数$f^{-1}(x)$的表达式及其定义域。
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解：首先研究$f(x)$本身，因为$\ln(x)$的定义域必然要求大于0，而任意实数$x$都有下面不等式成立：
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$x+\sqrt{x^2+1}>x+\vert x\vert \geqslant 0$，所以$x\in R$。
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而研究其奇偶性：
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$f(-x)=\ln(-x+\sqrt{x^2+1})=\ln(\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}+x})=-\ln(x+\sqrt{x^2+1})=-f(x)$
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所以该函数为奇函数。
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对其求单调性，即通过链式法则求导：
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$\dfrac{\rm{d}\textit{y}}{\rm{d}\textit{x}}=\dfrac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}\cdot (1+\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+1}})=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}>0$。\medskip
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所以该函数严格单调增。
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然后求$y$的反函数：
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$\because y=\ln(x+\sqrt{x^2+1})$，对于对数函数就要把它变为指数函数：
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$e^y=e^{\ln(x+\sqrt{x^2+1})}=x+\sqrt{x^2+1}$
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$
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\begin{aligned}
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\because -y & =-\ln(x+\sqrt{x^2+1}) \\
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& =\ln(\dfrac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}) \\
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||||
& =\ln(\sqrt{x^2+1}-x) \\
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e^{-y} & =\sqrt{x^2+1}-x
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\end{aligned}
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$
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$
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\begin{aligned}
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\therefore e^y-e^{-y} & =2x \\
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x & =\dfrac{e^y-e^{-y}}{2}
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\end{aligned}
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$
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解出了用$x$表示$y$的函数表达$x=f^{-1}(y)$，即反函数，则$f^{-1}(x)=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}$
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这种曲线为一种常见曲线：
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\begin{itemize}
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\item $\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}$：双曲正弦。
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\item $\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}$：双曲余弦。（为一种悬链线）
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||||
\item $\ln(x+\sqrt{x^2+1})$：反双曲正弦。
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||||
\item $\ln(x+\sqrt{x^2-1})$：反双曲余弦。
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\end{itemize}
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\subsubsection{复合函数}
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设$y=f(u)$的定义域为$D_1$，函数$u=g(x)$在$D$上有定义且$g(D)\in D$，则由$y=f[g(x)],x\in D$确定的函数称为由函数$u=g(x)$和函数$y=f(u)$构成的复合函数，定义域为D，u为中间变量。
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||||
设$y=f(u)$的定义域为$D_1$，函数$u=g(x)$在$D$上有定义且$g(D)\in D$，则由$y=f[g(x)],x\in D$确定的函数称为由函数$u=g(x)$和函数$y=f(u)$构成的复合函数，定义域为$D$，$u$为中间变量。
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||||
\textbf{例题：}设$f(x)=x^2$，$f[\psi(x)]=-x^2+2x+3$，且$\psi(x)\geqslant 0$，求$\psi(x)$以及定义域与值域。
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@@ -103,58 +209,7 @@ $\therefore\psi(x)\in[0,2]$
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\textcolor{orange}{注意}：$\sqrt{-x^2+2x+3}$为什么最值与$-x^2+2x+3$一致？
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\textbf{例题：}求函数$y=f(x)=\ln(x+\sqrt{x^2+1})$的反函数$f^{-1}(x)$的表达式及其定义域
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解：首先研究$f(x)$本身，因为$\ln(x)$的定义域必然要求大于0，而任意实数x都有下面不等式成立：
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$x+\sqrt{x^2+1}>x+\vert x\vert \geqslant 0$，所以$x\in R$。
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而研究其奇偶性：
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$f(-x)=\ln(-x+\sqrt{x^2+1})=\ln(\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}+x})=-\ln(x+\sqrt{x^2+1})=-f(x)$
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所以该函数为奇函数。
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对其求单调性，即通过链式法则求导：
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$\dfrac{\rm{d}\textit{y}}{\rm{d}\textit{x}}=\dfrac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}\cdot (1+\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+1}})=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}>0$。\medskip
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所以该函数严格单调增。
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然后求$y$的反函数：
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$\because y=\ln(x+\sqrt{x^2+1})$
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$e^y=e^{\ln(x+\sqrt{x^2+1})}=x+\sqrt{x^2+1}$
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$
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\begin{aligned}
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\because -y & =-\ln(x+\sqrt{x^2+1}) \\
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& =\ln(\dfrac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}) \\
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||||
& =\ln(\sqrt{x^2+1}-x) \\
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e^{-y} & =\sqrt{x^2+1}-x
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\end{aligned}
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$
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$
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\begin{aligned}
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\therefore e^y-e^{-y} & =2x \\
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x & =\dfrac{e^y-e^{-y}}{2}
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\end{aligned}
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$
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解出了用x表示y的函数表达$x=f^{-1}(y)$，即反函数，则$f^{-1}(x)=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}$
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这种曲线为一种常见曲线：
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\begin{itemize}
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\item $\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}$：双曲正弦。
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||||
\item $\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}$：双曲余弦。（为一种悬链线）
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||||
\item $\ln(x+\sqrt{x^2+1})$：反双曲正弦。
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||||
\item $\ln(x+\sqrt{x^2-1})$：反双曲余弦。
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\end{itemize}
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\textbf{例题3：}设$
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\textbf{例题：}设$
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f(x)=\left\{
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\begin{array}{lcl}
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\ln\sqrt{x}, & & x\geqslant 1 \\
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@@ -172,7 +227,7 @@ $，求$f[f(x)]$
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\right.
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$
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||||
然后画图：\medskip
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分段点为$1$，然后对$f(x)$画图：\medskip
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\begin{tikzpicture}[domain=-1:9.5]
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\draw[-latex](-1.5,0) -- (9.5,0) node[below]{$x$};
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@@ -212,7 +267,7 @@ $$
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\subsubsection{单调性}
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\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}$y=f(x)\,x\in D$，如果$\forall x_1,x_2\in D$且$x_1<x_2$，有$f(x_1)<f(x_2)$，则函数在$D$上单调递增。反之则单调递减。
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||||
\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}$y=f(x)$，$x\in D$，如果$\forall x_1,x_2\in D$且$x_1<x_2$，有$f(x_1)<f(x_2)$，则函数在$D$上单调递增。反之则单调递减。
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\medskip
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@@ -226,10 +281,10 @@ $
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\begin{enumerate}
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\item 奇函数：关于原点对称，$f(-x)=-f(x)$。
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\item 偶函数：关于y轴对称，$f(-x)=f(x)$。
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||||
\item 偶函数：关于$y$轴对称，$f(-x)=f(x)$。
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||||
\item 对于定义在$[-l,l]$上的任意函数$f(x)$，$F_1(x)=f(x)-f(-x)$必为奇函数，$F_2(x)=f(x)+f(-x)$必为偶函数。可以参考上面所说的双曲正弦与双曲余弦函数。
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||||
\item 若奇函数在0处有定义，那么$f(0)=0$。
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||||
\item 若偶函数在0处存在导数，那么$f'(0)=0$，即x=0，曲线必然水平，即导数为0。
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||||
\item 若偶函数在0处存在导数，那么$f'(0)=0$，即$x=0$，曲线必然水平，即导数为0。
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||||
\item 若函数$y=f(x)$的函数关于直线$x=T$对称的充分必要条件是$f(x)=f(2T-x)/f(x+T)=f(x-T)$。（令$T-x=t$进行换元计算得到）
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\end{enumerate}
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@@ -237,7 +292,7 @@ $
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\subsubsection{周期性}
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$f(x+T)=f(x)$，其中T为周期。 \medskip
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$f(x+T)=f(x)$，其中$T$为周期。 \medskip
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\subsubsection{重要结论}
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@@ -247,7 +302,7 @@ $f(x+T)=f(x)$，其中T为周期。 \medskip
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\item 若$f(x)$为周期函数，则$f'(x)$也为周期函数且周期不变。
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\item 连续的奇函数的一切原函数都是偶函数。
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\item 连续的偶函数的原函数中仅有一个原函数是奇函数。
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\item 若连续函数$f(x)$以T为周期且$\int_{0}^{T}f(x)\rm{d}\textit{x}=0$，则$f(x)$的一切原函数也以T为周期。
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||||
\item 若连续函数$f(x)$以$T$为周期且$\int_{0}^{T}f(x)\rm{d}\textit{x}=0$，则$f(x)$的一切原函数也以$T$为周期。
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||||
\item 若$f(x)$在有限区间$(a,b)$中可导且$f'(x)$有界，则$f(x)$在$(a,b)$有界。（某一函数在固定区间内变化率是有界的，则变化范围是有界的）
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\end{enumerate}
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@@ -319,7 +374,7 @@ $\therefore$当$n>N$时，必然$n>\dfrac{\ln\varepsilon}{\ln\vert q\vert}$，
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证明：$\because\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0,\exists N>0,\text{当}n>N$，恒有$\vert a_n-A\vert<\varepsilon$。
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||||
又由重要不等式$\vert\vert a\vert-\vert b\vert\vert\leqslant\vert a-b\vert$，所以$\vert\vert a_n-\vert A\vert\vert\leqslant\varepsilon$。
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||||
又由重要不等式$\vert\vert a\vert-\vert b\vert\vert\leqslant\vert a-b\vert$，所以$\vert\vert a_n\vert-\vert A\vert\vert\leqslant\varepsilon$。
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||||
所以恒成立，证明完毕。
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@@ -366,7 +421,7 @@ $\therefore\exists N_2>0$，当$n>N_2$时，$\vert a_n-B\vert<\dfrac{A-B}{2}$。
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取$N=\max\{N_1,N_2\}$，当$n>N$时，式子一二同时成立，而$A\neq B$，则这两个式子不可能同时成立，矛盾。
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同理$A<B$时也矛盾，所以$A\neq B$。
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同理$A<B$时也矛盾，所以$A\neq B$矛盾。
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\subsubsection{有界性}
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@@ -418,17 +473,15 @@ $\therefore\exists N>0$，当$n>N$时，$\vert a_n-A\vert<\dfrac{A}{2}\Rightarro
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\textbf{例题：}求$\lim\limits_{n\to\infty}\left(n\tan\dfrac{1}{n}\right)^{n^2}$（$n\in N^+$）。
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解：$\because \lim\limits_{x\to 0}\left(\dfrac{\tan x}{x}\right)^{\frac{1}{x^2}}$
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解：首先将式子由数列极限变为函数极限，并取$x=\dfrac{1}{n}$：$\lim\limits_{x\to 0}\left(\dfrac{\tan x}{x}\right)^{\frac{1}{x^2}}$。
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又$u^v=e^{v\ln u}$
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又$u^v=e^{v\ln u}$，对式子取指数$\therefore =e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{x^2}\ln\frac{\tan x}{x}}$
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$\therefore =e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{x^2}\ln\frac{\tan x}{x}}$
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又在$x\to 0$下使用等价无穷小$\ln (1+x)\sim x$，$\therefore \ln(1+g(x))\sim g(x),g(x)\to 0$。
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又在$x\to 0$下$\ln (1+x)\sim x$，$\therefore \ln(1+g(x))\sim g(x),g(x)\to 0$。
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而在$x\to 0$时，根据等价无穷小$\tan x\sim x$，所以$\dfrac{\tan x}{x}$趋于1，不满足趋于0的条件。
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||||
而$\dfrac{\tan x}{x}$在$x\to 0$时趋于1，不满足趋于0的条件。
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所以正好变形$\ln\left(1+\dfrac{\tan x}{x}-1\right)$。
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所以正好将$\ln\dfrac{\tan x}{x}$变形$\ln\left(1+\dfrac{\tan x}{x}-1\right)$。
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$\therefore \ln\left(1+\dfrac{\tan x}{x}-1\right)\sim\dfrac{\tan x}{x}-1$，$\dfrac{\tan x}{x}-1\to 0$。
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@@ -446,7 +499,7 @@ $\therefore e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{x^2}\ln\frac{\tan x}{x}}=e^{\lim\lim
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\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}设函数$f(x)$在点$x_0$的某一个去心邻域有定义，若存在常数$A$，对于任意给定的$\varepsilon>0$，总存在正数$\delta$，使得当$0<\vert x-x_0\vert<\delta$式，对应的函数值$f(x)$都满足不等式$\vert f(x)-A\vert <\varepsilon$，则$A$就是函数$f(x)$当$x\to x_0$时的极限，记作$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A$或$f(x)\rightarrow A(x\rightarrow x_0)$。
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写成$\varepsilon-\delta$语言：$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0,\text{当}0<\vert x-x_0\vert<\delta$时，有$\vert f(x)-A\vert\varepsilon$。
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写成$\varepsilon-\delta$语言：$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0,\text{当}0<\vert x-x_0\vert<\delta$时，有$\vert f(x)-A\vert<\varepsilon$。
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而对于趋向无穷时，写成$\varepsilon-X$语言：$\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=A\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0,\exists X>0,\text{当}\vert x\vert>X$时，有$\vert f(x)-A\vert<\varepsilon$。
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