更新不定积分习题

advanced-math/exercise/4-indefinite-integral-and-definite-integral/indefinite-integral-and-definite-integral.tex

@@ -60,6 +60,10 @@
 
 \subsection{换元积分}
 
+使用换元法做了换元之后是要带回式子中的，也就是说要保证反函数的存在才能代入有意义。为了保证反函数的存在，因此要保证原函数的单调性，所以要有一个规定的范围来使原函数保证单调。
+
+对于第二类换元特别要考虑这方面，而第一类换元一般不考虑。
+
 \subsubsection{第一类换元}
 
 \paragraph{聚集因式} \leavevmode \medskip
@@ -94,11 +98,65 @@ $=\displaystyle{\int(\sec^2x-1)}\tan x\sec x\,\textrm{d}x=\displaystyle{\int(\se
 
 \subsubsection{第二类换元}
 
-\begin{enumerate}
-    \item $\sqrt{a^2-x^2}$：$x=a\sin t(a\cos t)$。
-    \item $\sqrt{a^2+x^2}$：$x=a\tan t$。
-    \item $\sqrt{x^2-a^2}$：$x=a\sec t$。
-\end{enumerate}
+当使用第二类换元时需要考虑$x$定义域与换元后式子的正负号的问题，因为根号一定为正，而在定义域上的不同部分，换元式子正负号可能不同。
+
+\paragraph{\texorpdfstring{$\sqrt{a^2-x^2}$：$x=a\sin t(a\cos t)$}\ } \leavevmode \medskip
+
+若令$x=a\sin t$，则根据$\sin t\in(-1,1)$得到主区间：$t\in\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)$，从而代入式子$\sqrt{a^2-x^2}=a\cos t$，根据$t\in\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)$，所以$\cos t>0$，所以正负号无误。
+
+若令$x=a\cos t$，则根据$\cos t\in(-1,1)$，得到主区间：$t\in(0,\pi)$，从而代入式子$\sqrt{a^2-x^2}=a\sin t$，根据$t\in(0,\pi)$，所以$\sin t>0$，所以正负号无误。
+
+所以这种情况不用考虑正负号。
+
+\textbf{例题：}求$\displaystyle{\int\dfrac{\textrm{d}x}{1+\sqrt{1-x^2}}}$。
+
+令$x=\sin t$（$t\in\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)$），所以$\sqrt{1-x^2}=\cos t$，$\textrm{d}x=\cos t\,\textrm{d}t$，$t=\arcsin x$。
+
+$=\displaystyle{\int\dfrac{\cos t}{1+\cos t}\textrm{d}t=\int\dfrac{2\cos^2\dfrac{t}{2}-1}{2\cos^2\dfrac{t}{2}}\textrm{d}t=\int\textrm{d}t-\int\sec^2\dfrac{t}{2}\,\textrm{d}t=t-\tan}\dfrac{t}{2}+C$
+
+$=t-\dfrac{\sin\dfrac{t}{2}}{\cos\dfrac{t}{2}}+C=t-\dfrac{\sin\dfrac{t}{2}\cos\dfrac{t}{2}}{\cos^2\dfrac{t}{2}}+C=t-\dfrac{\sin t}{1+\cos t}+C$
+
+$=\arcsin x-\dfrac{x}{1+\sqrt{1-x^2}}+C$。
+
+\paragraph{\texorpdfstring{$\sqrt{a^2+x^2}$：$x=a\tan t$}\ } \leavevmode \medskip
+
+根据$\tan t\in R$，从而得到主空间：$t\in\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)$，代入$\sqrt{a^2+x^2}=a\sec t$，根据$t\in\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)$，所以$\cos t>0$，$\sec t>0$，所以正负号无误。
+
+所以这种情况不用考虑正负号。
+
+\paragraph{\texorpdfstring{$\sqrt{x^2-a^2}$：$x=a\sec t$}\ } \leavevmode \medskip
+
+根据$\sec t\in(-1,1)$，所以从而得到主空间：$t\in\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)$，代入$\sqrt{x^2-a^2}=a\tan t$，根据$t\in\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)$，所以$\tan t\in R$，所以此时不能保证转换后的$a\tan t>0$，此时必须对$x$分正负情况讨论。\medskip
+
+\textbf{例题：}求$\displaystyle{\int\dfrac{\sqrt{x^2-9}}{x}\textrm{d}x}$。
+
+令$x=3\sec t$。$\therefore\sqrt{x^2-9}=3\tan t$，$\textrm{d}x=3\sec t\tan t\,\textrm{d}t$。
+
+当$x>3$时，$\sec t>1$，即$t\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$。
+
+$=\displaystyle{\int3\tan^2t\,\textrm{d}t=3\int(\sec^2t-1)\textrm{d}t}$
+
+$=3\tan t-3t+C=\sqrt{x^2-9}-3\arccos\dfrac{3}{x}+C$。
+
+当$x<-3$时，$\sec t<-1$，即$t\in\left(-\dfrac{\pi}{2},0\right)$。
+
+$=\displaystyle{-\int3\tan^2t\,\textrm{d}t=-3\int(\sec^2t-1)\textrm{d}t}$
+
+$=-3\tan t+3t+C=\sqrt{x^2-9}+3\arccos\dfrac{3}{x}+C$（$\tan t<0$）
+
+$=\sqrt{x^2-9}-3\arccos\dfrac{3}{-x}+3\pi+C$（$3\arccos\dfrac{3}{x}=3\pi-3\arccos-\dfrac{3}{x}$）
+
+$=\sqrt{x^2-9}-3\arccos\dfrac{3}{-x}+C$。
+
+\paragraph{辅助换元} \leavevmode \medskip
+
+在使用换元法的时候有可能单个式子不能求出积分，而使用其他辅助式子加减在一起积分可以得到结果，从而能得到原式和辅助式子的积分结果。对于这类题目需要观察什么样的式子能让积分简单。
+
+\textbf{例题：}求$\displaystyle{\int\dfrac{\textrm{d}x}{x+\sqrt{1-x^2}}}$。
+
+令$x=\sin t$，所以$\sqrt{1-x^2}=\cos t$，$\textrm{d}x=\cos t\,\textrm{d}t$。
+
+$\therefore=\displaystyle{\int\dfrac{\cos t}{\sin t+\cos t}\textrm{d}t}$。
 
 \subsection{分部积分}
 

advanced-math/knowledge/0-perpare/perpare.tex

@@ -860,10 +860,74 @@ $\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2},\c
 
 \subsubsection{万能公式}
 
-一般不会用到。
-
 若$u=\tan\dfrac{x}{2}(-\pi<x<\pi)$，则$\sin x=\dfrac{2u}{1+u^2},\cos x=\dfrac{1-u^2}{1+u^2}$。
 
+\subsection{反三角函数}
+
+因为只有单调函数才有反函数，所以对于三角函数必须选取其单调区间才有反函数。一般只讨论三角函数在其主值区间上的反函数（主值区间即包括锐角最大的单调区间）。
+
+可以画单位圆直观思考。
+
+\subsubsection{反正弦函数}
+
+正弦函数$y=\sin x$在主值区间$\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$上的反函数就是反正弦函数，记为$y=\arcsin x$或$y=\sin^{-1}x$。表示其区间上正弦值等于$x$的一个角。
+
+反正弦函数与正弦函数图像一样都是关于原点对称、严格单调递增、有界的奇函数。
+
+当$x\in[-1,1]$时，$\arcsin(-x)=-\arcsin x$。
+
+当$x\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$时，$\arcsin(\sin x)=x$。
+
+当$x\in[-1,1]$时，$\sin(\arcsin x)=x$。
+
+\subsubsection{反余弦函数}
+
+余弦函数$y=\cos x$在主值区间$[0,\pi]$上的反函数就是反余弦函数，记为$y=\arccos x$或$y=\cos^{-1}x$。表示其区间上余弦值等于$x$的一个角。
+
+反余弦函数是严格单调递减、有界的非奇非偶函数，图像关于$\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$对称。
+
+因为关于$\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$对称，若$x_1,x_2\in(-1,1)$，$x_1=-x_2$，则$\arccos x_1+\arccos x_2=\pi$。
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+当$x\in(-1,1)$时，$\arccos(-x)+\arccos x=\pi$。
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+当$x\in[0,\pi]$时，$\arccos(\cos x)=x$。
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+当$x\in[-1,1]$时，$\cos(\arccos x)=x$。
+
+当$x\in[-1,1]$时，$\sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2}$。令$u=\arccos x\in[0,\pi]$，所以$\cos u=x$，从而$\sin(\arccos x)=\sin u=\sqrt{1-\cos^2u}=\sqrt{1-x^2}$。
+
+同理可得$\cos(\arcsin x)=\sqrt{1-x^2}$。
+
+$\arcsin x+\arccos x=\dfrac{\pi}{2}$。证明需要分三种情况。
+
+\subsubsection{反正切函数}
+
+正切函数$y=\tan x$在主值区间$\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]$上的反函数就是反正切函数，记为$y=\arctan x$或$y=\tan^{-1}x$。表示其区间上正切值等于$x$的一个角。
+
+正切函数是关于原点对称、严格单调递增、有界的奇函数。值域为$\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)$，定义域为$(-\infty,+\infty)$。
+
+当$x\in(-\infty,+\infty)$时，$\arctan(-x)=-\arctan x$。
+
+当$x\in\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)$，$\arctan(\tan x)=x$。
+
+当$x\in(-\infty,+\infty)$时，$\tan(\arctan x)=x$。
+
+\subsubsection{反余切函数}
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+余切函数$y=\cot x$在主值区间$[0,\pi]$上的反函数就是反余切函数，记为$y=\textrm{arccot}\,x$或$y=\cot^{-1}x$。表示其区间上余切值等于$x$的一个角。
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+余切函数是关于$\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$中心对称、严格单调递减、有界的非奇非偶函数。值域为$(0,\pi)$，定义域为$(-\infty,+\infty)$。
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+当$x\in(-\infty,+\infty)$时，$\textrm{arccot}(-x)=\pi-\textrm{arccot}\,x$。
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+当$x\in\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)$，$\textrm{arccot}(\cot x)=x$。
+
+当$x\in(-\infty,+\infty)$时，$\cot(\textrm{arccot}\,x)=x$。
+
+当$x\in(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$时，$\tan(\textrm{arccot}\,x)=\dfrac{1}{x}$，$\cot(\arctan x)=\dfrac{1}{x}$。
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+当$x\in(-\infty,+\infty)$时，$\arctan x+\textrm{acrccot}\,x=\dfrac{\pi}{2}$。
+
 \subsection{指数运算法则}
 
 $a^\alpha\cdot a^\beta=a^{\alpha+\beta},\dfrac{a^\alpha}{a^\beta}=a^{\alpha-\beta},(a^\alpha)^\beta=a^{\alpha\beta},(ab)^\alpha=a^\alpha b^\alpha,(\dfrac{a}{b})^\alpha=\dfrac{a^\alpha}{b^\alpha}$。