第二讲完成

advanced-math/1-perpare/perpare.tex

@@ -1202,7 +1202,7 @@ $a^\alpha\cdot a^\beta=a^{\alpha+\beta},\dfrac{a^\alpha}{a^\beta}=a^{\alpha-\bet
 
 \subsubsection{根号不等式}
 
-公式一非常重要，即二分之一的算数平均大几何平均。
+公式一非常重要，即算数平均值大几何平均值。
 
 $a,b,c>0$：
 

advanced-math/2-number-series-and-limit/numer-series-and-limit.tex

@@ -1,6 +1,9 @@
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 \usepackage{color}
 % 使用颜色
+\definecolor{orange}{RGB}{255,127,0} 
+\definecolor{violet}{RGB}{192,0,255} 
+\definecolor{aqua}{RGB}{0,255,255} 
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 \setcounter{tocdepth}{5}
 \setcounter{secnumdepth}{5}
@@ -78,13 +81,13 @@ $\therefore$当$n>N$时，必然$n>\dfrac{\ln\epsilon}{\ln\vert q\vert}$，有$\
 
 通过定义可以证明极限。
 
-设$\{x_n\}$为一数列，若存在常数$a$，对于不论任意小的$\epsilon>0$，总存在正整数$N$，使$n>N$时，$\vert x_n-a\vert<\epsilon$恒成立，则常数$a$为数列$\{x_n\}$的极限，或$\{x_n\}$收敛于$a$，记为：$\lim_{x\to\infty}x_n=a$或$x_n\to a(n\to\infty)$。
+\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}设$\{x_n\}$为一数列，若存在常数$a$，对于不论任意小的$\epsilon>0$，总存在正整数$N$，使$n>N$时，$\vert x_n-a\vert<\epsilon$恒成立，则常数$a$为数列$\{x_n\}$的极限，或$\{x_n\}$收敛于$a$，记为：$\lim_{x\to\infty}x_n=a$或$x_n\to a(n\to\infty)$。
 
 常用语言（$\epsilon-N$语言）：$\lim_{x\to\infty}x_n=a\Leftrightarrow\forall\epsilon>0,\exists N\in N_+$，当$n>N$时，恒有$\vert x_n-a\vert<\epsilon$。
 
 如果不存在该数$a$，则称数列$x_n$发散。
 
-\subsection{数列与数列绝对值}
+\subsection{数列绝对值}
 
 \textbf{例题3：}证明若$\lim_{x\to\infty}a_n=A$，则$\lim_{x\to\infty}\vert a_n\vert=\vert A\vert$。
 
@@ -96,15 +99,184 @@ $\therefore$当$n>N$时，必然$n>\dfrac{\ln\epsilon}{\ln\vert q\vert}$，有$\
 
 从这个题推出：$\lim_{n\to\infty}a_n=0\Leftrightarrow\lim_{n\to\infty}\vert a_n\vert=0$。所以如果我们以后需要证明某一数列极限为0，可以证明数列绝对值极限0，而数列绝对值绝对时大于等于0的，所以由夹逼准则，其中小的一头已经固定为0了，所以只用找另一个偏大的数列夹逼所证明数列就可以了。
 
-\subsection{数列与子数列}
+\subsection{子数列}
+
+\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}从数列${a_n}:a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots$中选取无穷多项并按原来顺序组成的新数列就称为原数列的子列，记为$\{a_{n_k}\}:a_{n_1},a_{n_2},\cdots,a_{n_k},\cdots$。
+
+若$n_k$分别取奇数和偶数，则得到奇数项数列与偶数项数列。
+
+\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}若数列$\{a_n\}$收敛，则其任何子列$\{a_{n_k}\}$也收敛，且极限值相同。
+
+所以对于其变式我们用到更多：
+
+\begin{enumerate}
+    \item 若一个数列$\{a_n\}$能找到一个发散的子列，那该数列发散。
+    \item 若一个数列$\{a_n\}$能找到两个极限值不同的收敛子列，那么这个数列发散。
+    \item 若一个数列$\{a_n\}$，则其奇数子列与偶数子列都收敛于同一个值。
+\end{enumerate}
+
+例如对于数列$\{(-1)^n\}$，能找到其奇数子列收敛于-1，偶数子列收敛于1，所以收敛值不同，原数列发散。
 
 \section{性质}
 \subsection{唯一性}
+
+\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}若数列$\{x_n\}$收敛于$a$，则$a$是唯一的。
+
 \subsection{有界性}
+
+\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}若数列$\{x_n\}$极限存在，则数列有界。
+
 \subsection{保号性}
+
+较重要。也称为脱帽法。
+
+\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}若数列$\{x_n\}$存在极限$\lim_{n\to\infty}a_n=a\neq 0$，则存在正整数$N$，当$n>N$时$a_n$都与$a$同号。
+
+简单来说，就是极限大于0，后面一部分数列大于0，极限小于0，后面一部分数列小于0。
+
+推论，戴帽法：若数列$\{a_n\}$从某项开始$a_n\geqslant b$，且$\lim_{n\to\infty}a_n=a$，则$a\geqslant b$。这里一定要带等号。
+
 \section{运算规则}
+
+若$\lim_{n\to\infty}x_n=a$，$\lim_{n\to\infty}y_n=b$则：
+
+\begin{enumerate}
+    \item $\lim_{n\to\infty}x_n\pm y_n=a\pm b$。
+\end{enumerate}
+
+\textbf{例题4：}若$\lim_{n\to\infty}(a_n+b_n)=1$且$\lim_{n\to\infty}(a_n-b_n)=3$，计算$\lim_{n\to\infty}a_n$与$\lim_{n\to\infty}b_n$。
+
+首先是不能通过运算法则第一条将两个条件直接加减的，因为不能保证两个极限是否都存在。
+
+所以必须先令$u_n=a_n+b_n$，$v_n=a_n-b_n$，所以$\lim_{n\to\infty}u_n=1$，$\lim_{n\to\infty}v_n=3$。
+
+因为这两个极限都存在，所以可以进行运算。
+
+相加得到$\lim_{n\to\infty}(u_n+v_n)=2\lim_{n\to\infty}a_n=4$。
+
+所以得到$\lim_{n\to\infty}a_n=2$。同理$\lim_{n\to\infty}(u_n-v_n)$得到$\lim_{n\to\infty}b_n=-1$。
+
 \section{夹逼准则}
+
+\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}若数列$\{x_n\}$，$\{y_n\}$，$\{z_n\}$满足以下条件：
+
+$y_n\leqslant x_n\leqslant z_n(n=1,2,3,\cdots)$；$\lim_{n\to\infty}y_n=a,\lim_{n\to\infty}z_n=a$。
+
+则数列$x_n$极限存在且$\lim_{n\to\infty}x_n=a$。
+
+\textbf{例题5：}求极限$\lim_{n\to\infty}\left(\dfrac{n}{n^2+1}+\dfrac{n}{n^2+2}+\cdots+\dfrac{n}{n^2+n}\right)$。
+
+使用夹逼准则：$\dfrac{n^2}{n^2+n}<\sum_{i=1}^n\dfrac{n}{n^2+i}<\dfrac{n^2}{n^2+1}$
+
+又$\lim_{n\to\infty}\dfrac{n^2}{n^2+1}=\lim_{n\to\infty}\dfrac{n^2/n^2}{n^2/n^2+1/n^2}=\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{n^2}}=1$
+
+且$\lim_{n\to\infty}\dfrac{n^2}{n^2+n}=\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{n}}=1$。
+
+由夹逼准则，原式的极限为1。
+
+对于分式的放缩主要在于分母的放缩，不变分子，分母变小原式变大，分母变大原式变小。然后分子分母除以最高项得到逼向0的极限。
+
 \section{单调有界准则}
 
-该部分最重要。
+也称为魏尔施特拉斯准则，该部分最重要。
+
+\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}单调有界数列必有极限，即若$\{x_n\}$单调增加（减少）且有上界（下界），则极限存在。
+
+该部分需要证明两个地方：
+
+\begin{enumerate}
+    \item 数列单调：$x_{n+1}-x_n$与0的关系，或$\dfrac{x_{n+1}}{x_n}$与1的关系。
+    \item 有界：$\vert x_n\vert\leqslant M$是否存在。
+\end{enumerate}
+
+见到\textcolor{orange}{递推式（迭代式）}$a_{n+1}=f(a_n)$，一般都要用单调有界准则。单调性通过减或除进行计算，有界性通过不等式来计算。
+
+\textbf{例题6：}已知$a_1=a>0$，证明$a_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(a_n+\dfrac{2}{a_n}\right)$的极限存在并求出。
+
+$\because a_1=a>0$，且递推式中没有负数与减的操作，所以$a_n>0$。
+
+由重要不等式$\dfrac{a+b}{2}\geqslant\sqrt{ab}$，所以$a_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(a_n+\dfrac{2}{a_n}\right)\geqslant\sqrt{a_n\cdot\dfrac{2}{a_n}})=\sqrt{2}$
+
+$\therefore$数列$\{a_n\}$有下界$\sqrt{2}$。
+
+又$a_{n+1}-a_n=\dfrac{2-a_n^2}{2a_n}$，且由上面证明已知$a_n^2\geqslant\sqrt{2}$，所以该式子小于等于0。
+
+$\therefore a_{n+1}\leqslant a_n$，得到数列单调减少。
+
+由单调有界准则，$\lim_{n\to\infty}a_n$存在并记为$A$。
+
+将$A$代入递推式并两边求极限：$A=\dfrac{1}{2}(A+\dfrac{2}{A})$，得到$A=\pm\sqrt{2}$。
+
+又因为保号性，数列下界为$\sqrt{2}$，所以$A=\sqrt{2}$。
+
+\textbf{例题7：}求证$x_{n+1}=\sin x_n$极限存在，$0<x_1<\pi$。
+
+由三角函数中的不等式$\sin x<x$。
+
+\ding{172}当$n=1$，$\because 0<x_1<\pi$，$\therefore 0<\sin x_1<1$，$\therefore 0<x_2=sin x_1<x<\pi$。
+
+\ding{173}假设$0<x_n=\sin x_{n-1}<\pi$。
+
+\ding{174}$\therefore 0<x_{n+1}=\sin x_n<x_n<\pi$。
+
+\ding{175}故$\{x_n\}\searrow$且有下界0。
+
+$\therefore\lim_{n\to\infty}x_n$存在，并记为$A$。
+
+对两边取极限：$A=\sin A$，所以$A=0$。
+
+$\therefore\lim_{n\to\infty}x_n=0$。
+
+\textbf{例题8：}证明$a_n=\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\cdots+\dfrac{1}{n^2}$存在极限。
+
+因为是递推式，所以一般使用单调有界准则。
+
+\ding{172}$a_{n+1}=\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\cdots+\dfrac{1}{n^2}+\dfrac{1}{(n+1)^2}$。
+
+$\Rightarrow a_{n+1}-a_n=\dfrac{1}{(n+2)^2}>0\Rightarrow\{a_n\}\nearrow$
+
+$
+\begin{aligned}
+    \text{\ding{173}}a_n & =\dfrac{1}{1\cdot 1}+\dfrac{1}{2\cdot 2}+\cdots+\dfrac{1}{n\cdot n} \\
+    & \text{裂项相消} \\
+    < & 1+\dfrac{1}{1\cdot 2}+\cdots+\dfrac{1}{(n-1)\cdot(n)} \\
+    = & 1+(1-\dfrac{1}{2})+(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3})+\cdots+(\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}) \\
+    = & 2-\dfrac{1}{n} \\
+    < & 2 \text{ （上界）}
+\end{aligned}
+$
+
+单调增且有上界，所以必然有极限。
+
+\section{直接计算法}
+
+通过单调有界准则不一定能简单计算出结果，因为如果要计算极限，就无法使用，对于迭代式方程也可以直接计算，不过该种类型题目难度较大。
+
+\textbf{例题9：}数列$\{a_n\}$满足$a_0=0,a_1=1,2a_{n+1}=a_n+a_{n-1},n=1,2,\cdots$。计算$\lim_{n\to\infty}a_n$。
+
+首先看题目，给出的递推式设计到二阶递推，即存在三个数列变量，所以我们必须先求出对应的数列表达式。因为这个表达式涉及三个变量，所以尝试对其进行变型：
+
+$
+\begin{aligned}
+    a_{n+1}-a_n & =\dfrac{a_{n-1}-a_n}{2} \\
+    & =\left(-\dfrac{1}{2}\right)(a_n-a_{n-1}) \\
+    & =\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2(a_{n-1}-a_{n-2}) \\
+    & =\cdots \\
+    & =\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n(a_1-a_0) \\ 
+    & = \left(-\dfrac{1}{2}\right)^n
+\end{aligned}
+$
+
+然后得到了$a_{n+1}-a_n=\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n$，而需要求极限，所以使用列项相消法的逆运算：
+
+$
+\begin{aligned}
+    a_n & = (a_n-a_{n-1})+(a_{n-1}-a_{n-2})+\cdots+(a_1-a_0)+a_0 \\
+     & = \left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-1} + \left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-2} + \cdots + \left(-\dfrac{1}{2}\right)^0 \\
+     & = \dfrac{1\cdot\left(1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n\right)}{1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)} \\
+     & = \dfrac{2}{3}\left[1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n\right] \\
+    \lim_{n\to\infty}a_n & =\dfrac{2}{3}
+\end{aligned}
+$
+
 \end{document}

advanced-math/3-function-and-limit/function-and-limit.tex

@@ -0,0 +1,142 @@
+\documentclass[UTF8]{ctexart}
+\usepackage{color}
+% 使用颜色
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+% 设置四级目录与标题
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+% 数学公式
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+% 圆圈序号
+\author{Didnelpsun}
+\title{函数与极限}
+\begin{document}
+\maketitle
+\thispagestyle{empty}
+\tableofcontents
+\thispagestyle{empty}
+\newpage
+\pagestyle{plain}
+\setcounter{page}{1}
+\section{邻域}
+\subsection{一维}
+
+邻域\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}以点$x_0$为中心的任何开区间为点$x_0$的邻域，记为$U(x_0)$。
+
+$\delta$邻域\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}设$\delta$为一正数，则称开区间$(x_0-\delta,x_0+\delta)$为点$x_0$的$\delta$邻域，记作$U(x_0,\delta)$。$x_0$称为邻域的中心，$\delta$为邻域的半径。
+
+去心$\delta$邻域就是去除$x_0$的$\delta$邻域，记为$\mathring{U}(x_0,\delta)$，左$\delta$邻域就是左侧的去心$\delta$邻域，记为$U^+(x_0,\delta)$，右$\delta$邻域就是右侧的去心$\delta$邻域，记为$U^-(x_0,\delta)$。
+
+\subsection{二维}
+
+邻域\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}设点$P_0(x_0,y_0)$为$xOy$平面上的一点，$\delta$为某一个正数，与点$P_0(x_0,y_0)$的距离小于$\delta$的点$P(x,y)$的全体，称为点$P_0$的$\delta$邻域，记为$U(P_0,\delta)$。
+
+同理可以得到去心$\delta$邻域的定义。
+
+$\delta$邻域的几何意义：以$P_0(x_0,y_0)$为中心，以$\delta>0$为半径的圆内部所有的点。
+
+函数的邻域就是一个区间，所以比如函数在某点的某邻域内有定义，就是说明函数在这个点的附近有定义，这个附近的距离没有必要说明。
+
+\section{定义}
+
+设函数$f(x)$在点$x_0$的某一个去心邻域有定义，若存在常数$A$，对于任意给定的$\epsilon>0$，总存在正数$\delta$，使得当$0<\vert x-x_0\vert<\delta$式，对应的函数值$f(x)$都满足不等式$\vert f(x)-A\vert <\epsilon$，则$A$就是函数$f(x)$当$x\to x_0$时的极限，记作$\lim_{x\to x_0}f(x)=A$或$f(x)\rightarrow A(x\rightarrow x_0)$。
+
+写成$\epsilon-\delta$语言：$\lim_{x\to x_0}f(x)=A\Leftrightarrow\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,\text{当}0<\vert x-x_0\vert<\delta$时，有$\vert f(x)-A\vert\epsilon$。
+
+而对于趋向无穷时，写成$\epsilon-X$语言：$\lim_{x\to\infty}f(x)=A\Leftrightarrow\forall\epsilon>0,\exists X>0,\text{当}\vert x\vert>X$时，有$\vert f(x)-A\vert<\epsilon$。
+
+\textcolor{orange}{注意：}这里的趋向分为六种：$x\to x_0$、$x\to x_0^+$、$x\to x_0^-$、$x\to\infty$、$x\to\infty^+$、$x\to\infty^-$。
+
+\subsection{单侧极限}
+
+当$x\to x_0^-$存在的极限称为左极限，当$x\to x_0^+$存在的极限称为右极限。
+
+\subsection{函数极限存在条件}
+
+函数存在的充要条件是：
+
+\begin{enumerate}
+    \item $\lim_{x\to x_0}f(x)\Leftrightarrow\lim_{x\to x_0^-}f(x)=\lim_{x\to x_0^+}f(x)=A$。
+    \item 函数脱帽法：$\lim_{x\to x_0}f(x)\Leftrightarrow f(x)=A+\alpha(x),\lim_{x\to x_0}\alpha(x)=0$，后面的$\alpha(x)$就是函数与极限值的误差。
+\end{enumerate}
+
+\section{性质}
+
+任何$x$的趋向三个性质都是成立的。
+
+\subsection{唯一性}
+
+若极限存在，则极限唯一。
+
+\subsection{局部有界性}
+
+若极限存在且为$A$，则存在正常数$M$和$\delta$，使得当$0<\vert x-x_0\vert<\delta$时，有$\vert f(x)\vert\leqslant M$。
+
+\subsection{局部保号性}
+
+若极限存在，则存在常数$\delta>0$，使得当$0<\vert x-x_0\vert<\delta$时，$f(x)$与$A$同号。
+
+简单来说，函数值在$x\to x_0$时函数值与极限值同号。
+
+证明局部保号性：
+
+首先根据极限存在定义：$\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,0<\vert x-x_0\vert<\delta$时，恒有$\vert f(x)-A\vert<\epsilon$。
+
+$\Rightarrow -\epsilon<f(x)-A<\epsilon$
+
+$\Rightarrow A-\epsilon<f(x)<A+\epsilon$
+
+任意取$\epsilon=\dfrac{A}{2}>0\Rightarrow f(x)>A-\dfrac{A}{2}=\dfrac{A}{2}>0$
+
+证明完毕。
+
+关于$\epsilon$的取值问题，为什么不能取到令结果为负的值，因为请注意这个取值得到的区间并不是$f(x)$的范围，而是对$f(x)$所在区间的陈述，其是无尽逼近$A$的，所以取多大的区间都无所谓。
+
+推论：若函数值在$x\to x_0$时都非负或非正，极限值为$A$，那么$A$与此时函数值同号。不能去除等号。
+
+关于三个性质要注意自变量取值的双向性，所以需要留意下面几个函数：
+
+\begin{enumerate}
+    \item $\lim_{x\to\infty}e^x$不存在，因为$\lim_{x\to +\infty}e^x=+\infty$，$\lim_{x\to -\infty}e^x=0$。
+    \item $\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{\vert x\vert}$不存在，因为$\lim_{x\to 0^+}\dfrac{\sin x}{\vert x\vert}=1$，$\lim_{x\to 0^-}\dfrac{\sin x}{\vert x\vert}=-1$。
+    \item $\lim_{x\to\infty}\arctan x$不存在，因为$\lim_{x\to +\infty}\arctan x=\dfrac{\pi}{2}$，$\lim_{x\to -\infty}\arctan x=-\dfrac{\pi}{2}$。
+    \item $\lim_{x\to 0}[x]$不存在，因为$\lim_{x\to 0^+}[x]=0$，$\lim_{x\to 0^-}[x]=-1$
+\end{enumerate}
+
+\section{运算法则}
+\section{夹逼准则}
+\section{洛必达法则}
+\section{泰勒公式}
+
+非常重要。
+
+\subsection{定义}
+\subsection{泰勒展开}
+\section{归结原则}
+\section{无穷小比阶}
+\section{连续}
+\subsection{连续点的定义}
+\section{间断}
+\subsection{间断点定义}
+\subsection{间断点分类}
+\subsubsection{可去间断点}
+\subsubsection{跳跃间断点}
+\subsubsection{无穷间断点}
+\subsubsection{振荡间断点}
+\end{document}