第二讲更新

advanced-math/1-perpare/perpare.tex

@@ -8,7 +8,7 @@
 % 数学公式
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-% 设置四级目录
+% 设置五级目录
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 \geometry{papersize={21cm,29.7cm}}
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@@ -21,12 +21,12 @@
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-% 为了实现相对位置的设定
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 % 为了实现不同的颜色
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+% 圆圈序号
 \author{Didnelpsun}
 \title{考研数学准备}
 \begin{document}
@@ -1195,9 +1195,11 @@ $a^\alpha\cdot a^\beta=a^{\alpha+\beta},\dfrac{a^\alpha}{a^\beta}=a^{\alpha-\bet
     \item $\vert a\pm b\vert\leqslant\vert a\vert+\vert b\vert$。
     \item 推广公式一到离散区间：$\vert a_1\pm a_2\pm a_3\pm\cdots\pm a_n\vert\leqslant\vert a_1\vert+\vert a_2\vert+\cdots+\vert a_n\vert$。
     \item 推广公式一到连续区间且$f(x)$在$[a,b](a<b)$上可积：$\vert\int_a^bf(x)\rm{d}x\vert\leqslant\int_a^b\vert f(x)\vert\rm{d}x$。因为符号不一定相同的面积代数和一定小于同为正的面积代数和。
-    \item $\vert\vert a\vert-\vert b\vert\vert\leqslant\vert a-b\vert$。
+    \item $\vert\vert a\vert-\vert b\vert\vert\leqslant\vert a-b\vert$。后式子为两点之差，前式子可以看作$a$、$b$两点与0之间的距离的差，若异号则两者必然抵消一部分，若同号则就等于后式。
 \end{enumerate}
 
+
+
 \subsubsection{根号不等式}
 
 公式一非常重要，即二分之一的算数平均大几何平均。
@@ -1213,9 +1215,9 @@ $a,b,c>0$：
 
 可以使用极限，若极限存在则函数有界，这里使用有界性定义与不等式来完成。
 
-\textcircled{1}当$x=0$时，$f(0)=\dfrac{0}{1}$，有界。
+\ding{172}当$x=0$时，$f(0)=\dfrac{0}{1}$，有界。
 
-\textcircled{2}当$x\neq 0$时，原式分式上下都有$x$，所以简化公式：$f(x)=\dfrac{\dfrac{x}{x}}{\dfrac{1+x^2}{x}}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{x}+x}$。
+\ding{173}当$x\neq 0$时，原式分式上下都有$x$，所以简化公式：$f(x)=\dfrac{\dfrac{x}{x}}{\dfrac{1+x^2}{x}}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{x}+x}$。
 
 $\because$需要证明有界性，以及根号不等式下需要参数大于0，所以需要证明$\vert f(x)\vert=\dfrac{1}{\dfrac{1}{\vert x\vert}+\vert x\vert}\leqslant M$
 

advanced-math/2-number-series-and-limit/numer-series-and-limit.tex

@@ -0,0 +1,110 @@
+\documentclass[UTF8]{ctexart}
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+% 设置四级目录与标题
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+% 首行缩进2个中文字符
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+% 因为所以与其他数学拓展
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+% 数学公式
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+% 1.5倍行距
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+% 圆圈序号
+\author{Didnelpsun}
+\title{数列与极限}
+\begin{document}
+\maketitle
+\thispagestyle{empty}
+\tableofcontents
+\thispagestyle{empty}
+\newpage
+\pagestyle{plain}
+\setcounter{page}{1}
+
+极限就是一个无限逼近某个值的过程。如$\dfrac{n}{n+1}$这个分式在$n$无限增大的时候会无限逼近1，这个1叫做极限值，所以写成$\lim_{n\to\infty}\dfrac{n}{n+1}=1$。
+
+所以从另一个方面更精确的指出一个数$N>0$，使得数列下标大于$N$的项与极限值之间的距离始终保持在$(0,\epsilon)$之间，即$\dfrac{1}{n+1}<\epsilon$，即$n>\dfrac{1}{\epsilon}-1$，所以任意正数都能得到从$N>\dfrac{1}{\epsilon}-1$项开始之后都有$\left\vert\dfrac{n}{n+1}-1\right\vert<\epsilon$。
+
+即无论给出多么小的$\epsilon$，总可以找到一项从该项之后函数值与极限值之间的差小于$\epsilon$，即更接近这个极限值而不式其他任何值，所以该数列趋向于极限值。
+
+所以以后的基本流程，令$x_n$为通项，$a$为极限值，$\epsilon$为任意正数。
+
+\begin{enumerate}
+    \item 写出$\vert x_n-a|<\epsilon$。
+    \item 反解出项数$n<g(\epsilon)$。
+    \item 取$N=[g(\epsilon)]+1$，所以令$n>N$就可以证明。
+\end{enumerate}
+
+\textbf{例题1：}用定义证明$\lim_{x\to\infty}\left[1+\dfrac{(-1)^n}{n}\right]=1$
+
+证明：
+
+\ding{172}计算距离：$\left\vert 1+\dfrac{(-1)^n}{n}-1\right\vert=\left\vert\dfrac{(-1)^n}{n}\right\vert<\epsilon$。
+
+\ding{173}解得到：$\dfrac{1}{n}<\epsilon$，反解为$n>\dfrac{1}{\epsilon}$。
+
+\ding{174}取整：$N=\left[\dfrac{1}{\epsilon}\right]+1$。
+
+$\therefore\forall\epsilon>0$，当$n>N$时，就有$n>\dfrac{1}{\epsilon}$，使得$\left\vert 1+\dfrac{(-1)^n}{n}-1\right\vert=\left\vert\dfrac{(-1)^n}{n}\right\vert<\epsilon$。
+
+$\therefore$证明完毕。
+
+\textbf{例题2：}用定义证明$\lim_{n\to\infty}q^n=0$（$q$为常数且$\vert q\vert<1$）。
+
+证明：
+
+\ding{172}$\vert q^n-0\vert<\epsilon$。
+
+\ding{173}$\vert q^n\vert<\epsilon$，取对数进行反解$n\ln\vert q\vert<\ln\epsilon$，又因为$\vert q\vert<1$，所以$\ln\vert q\vert<0$，所以得到$n>\dfrac{\ln\epsilon}{\ln\vert q\vert}$。（若$\epsilon>1$则$n$就是负数，这样条件必然成立）
+
+\ding{174}取$N=\left[\dfrac{\ln\epsilon}{\ln\vert q\vert}\right]+1$。
+
+$\therefore$当$n>N$时，必然$n>\dfrac{\ln\epsilon}{\ln\vert q\vert}$，有$\vert q^n-0\vert<\epsilon$。
+
+故$\lim_{n\to\infty}q^n=0$。
+
+\section{定义}
+
+通过定义可以证明极限。
+
+设$\{x_n\}$为一数列，若存在常数$a$，对于不论任意小的$\epsilon>0$，总存在正整数$N$，使$n>N$时，$\vert x_n-a\vert<\epsilon$恒成立，则常数$a$为数列$\{x_n\}$的极限，或$\{x_n\}$收敛于$a$，记为：$\lim_{x\to\infty}x_n=a$或$x_n\to a(n\to\infty)$。
+
+常用语言（$\epsilon-N$语言）：$\lim_{x\to\infty}x_n=a\Leftrightarrow\forall\epsilon>0,\exists N\in N_+$，当$n>N$时，恒有$\vert x_n-a\vert<\epsilon$。
+
+如果不存在该数$a$，则称数列$x_n$发散。
+
+\subsection{数列与数列绝对值}
+
+\textbf{例题3：}证明若$\lim_{x\to\infty}a_n=A$，则$\lim_{x\to\infty}\vert a_n\vert=\vert A\vert$。
+
+因为$\lim_{n\to\infty}a_n=A\Leftrightarrow\forall\epsilon>0,\exists N>0,\text{当}n>N$，恒有$\vert a_n-A\vert<\epsilon$。
+
+又由重要不等式$\vert\vert a\vert-\vert b\vert\vert\leqslant\vert a-b\vert$，所以$\vert\vert a_n-\vert A\vert\vert\leqslant\epsilon$。
+
+所以恒成立，证明完毕。
+
+从这个题推出：$\lim_{n\to\infty}a_n=0\Leftrightarrow\lim_{n\to\infty}\vert a_n\vert=0$。所以如果我们以后需要证明某一数列极限为0，可以证明数列绝对值极限0，而数列绝对值绝对时大于等于0的，所以由夹逼准则，其中小的一头已经固定为0了，所以只用找另一个偏大的数列夹逼所证明数列就可以了。
+
+\subsection{数列与子数列}
+
+\section{性质}
+\subsection{唯一性}
+\subsection{有界性}
+\subsection{保号性}
+\section{运算规则}
+\section{夹逼准则}
+\section{单调有界准则}
+
+该部分最重要。
+\end{document}