mirror of
https://github.com/Didnelpsun/Math.git
synced 2026-02-10 05:45:24 +08:00
更新
This commit is contained in:
Didnelpsun
12
.gitignore
vendored
12
.gitignore
vendored
@@ -1,7 +1,7 @@
|
||||
/.vscode/
|
||||
*.aux
|
||||
*.log
|
||||
*.pdf
|
||||
*.synctex.gz
|
||||
*.toc
|
||||
/.vscode/
|
||||
*.aux
|
||||
*.log
|
||||
*.pdf
|
||||
*.synctex.gz
|
||||
*.toc
|
||||
*.out
|
||||
16
README.md
16
README.md
@@ -1,8 +1,8 @@
|
||||
# Math
|
||||
|
||||
考研数学一，包括高等数学、线性代数、概率统计
|
||||
|
||||
参考教材：
|
||||
|
||||
1. 张宇考研数学基础三十讲。
|
||||
2. 李永乐数学基础过关660题。
|
||||
# Math
|
||||
|
||||
考研数学一，包括高等数学、线性代数、概率统计
|
||||
|
||||
参考教材：
|
||||
|
||||
1. 张宇考研数学基础三十讲。
|
||||
2. 李永乐数学基础过关660题。
|
||||
|
||||
File diff suppressed because it is too large
Load Diff
@@ -1,144 +1,144 @@
|
||||
\documentclass[UTF8, 12pt]{ctexart}
|
||||
% UTF8编码，ctexart现实中文
|
||||
\usepackage{color}
|
||||
% 使用颜色
|
||||
\usepackage{geometry}
|
||||
\setcounter{tocdepth}{4}
|
||||
\setcounter{secnumdepth}{4}
|
||||
% 设置四级目录与标题
|
||||
\geometry{papersize={21cm,29.7cm}}
|
||||
% 默认大小为A4
|
||||
\geometry{left=3.18cm,right=3.18cm,top=2.54cm,bottom=2.54cm}
|
||||
% 默认页边距为1英尺与1.25英尺
|
||||
\usepackage{indentfirst}
|
||||
\setlength{\parindent}{2.45em}
|
||||
% 首行缩进2个中文字符
|
||||
\usepackage{setspace}
|
||||
\renewcommand{\baselinestretch}{1.5}
|
||||
% 1.5倍行距
|
||||
\usepackage{amssymb}
|
||||
% 因为所以
|
||||
\usepackage{amsmath}
|
||||
% 数学公式
|
||||
\usepackage[colorlinks,linkcolor=black,urlcolor=blue]{hyperref}
|
||||
% 超链接
|
||||
\author{Didnelpsun}
|
||||
\title{连续与间断}
|
||||
\date{}
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
\pagestyle{empty}
|
||||
\thispagestyle{empty}
|
||||
\tableofcontents
|
||||
\thispagestyle{empty}
|
||||
\newpage
|
||||
\pagestyle{plain}
|
||||
\setcounter{page}{1}
|
||||
\section{连续}
|
||||
|
||||
连续则极限值等于函数值。
|
||||
|
||||
\subsection{求连续区间}
|
||||
|
||||
若要考察一个函数的连续区间，必须要了解函数的所有部分，一般会给出分段函数，所以要了解分段函数的每段函数的性质。
|
||||
|
||||
对于函数$f(x)$是个极限表达形式，我们要简化这个极限，最好得到一个$x$的表达式，从而才能判断其连续区间。\medskip
|
||||
|
||||
\textbf{例题：}$f(x)=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{x+x^2e^{nx}}{1+e^{nx}}$，求函数连续区间。\medskip
|
||||
|
||||
注意到函数的形式为一个极限值，其极限趋向的变量为$n$（$n\to\infty$指$n\to+\infty$）。所以在该极限式子中将$x$当作类似$t$的常数。
|
||||
|
||||
需要先求出极限形式的$f(x)$，而$x$变量的取值会影响到极限，且求的就是$x$的取值范围。所以将其分为三段：
|
||||
|
||||
当$x<0$时，$nx\to-\infty$，$\therefore e^{nx}\to 0$，$x^2$在这个极限式子为一个常数，$\therefore x^2e^{nx}\to 0$，$f(x)=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{x+x^2e^{nx}}{1+e^{nx}}=\dfrac{x+0}{1+0}=x$。\medskip
|
||||
|
||||
当$x=0$时，$f(x)=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{x+x^2e^{nx}}{1+e^{nx}}=\dfrac{0}{2}=0$。\medskip
|
||||
|
||||
当$x>0$时，$e^{nx}$在$n\to\infty$时为$\infty$，上下都有这个无穷大的因子，所以上下都除以$e^{nx}$，$f(x)=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{x+x^2e^{nx}}{1+e^{nx}}=f(x)=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{xe^{-nx}+x^2}{1+e^{-nx}}=\dfrac{0+x^2}{1}=x^2$。\medskip
|
||||
|
||||
从而得到了$f(x)$关于$x$的表达式：\medskip
|
||||
|
||||
$f(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
|
||||
x, & & x<0 \\
|
||||
0, & & x=0 \\
|
||||
x^2, & & x>0
|
||||
\end{array}
|
||||
\right.$\medskip
|
||||
|
||||
又$\lim\limits_{x\to 0^-}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^-}x=\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^-}x^2=f(0)=0$。
|
||||
|
||||
$f(x)$在$R$上连续。
|
||||
|
||||
\subsection{已知连续区间求参数}
|
||||
|
||||
一般会给出带有参数的分段函数，要计算参数就必须了解连续区间与函数之间的关系。
|
||||
|
||||
\textbf{例题：}$f(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
|
||||
6, & & x\leqslant 0 \\
|
||||
\dfrac{e^{ax^3}-1}{x-\arcsin x}, & & x>0
|
||||
\end{array}
|
||||
\right.$，$g(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
|
||||
\dfrac{3\sin(x-1)}{x-1}, & & x<1 \\
|
||||
e^{bx}+1, & & x\geqslant 1
|
||||
\end{array}
|
||||
\right.$，\smallskip \\ 若$f(x)+g(x)$在$R$上连续，则求$a,b$。
|
||||
|
||||
解：已知$f(x)+g(x)$在$R$上连续，但是不能判断$f(x)$与$g(x)$的连续性。
|
||||
|
||||
所以分开讨论。
|
||||
|
||||
对于$f(x)$因为左侧为常数函数，所以若是$f(x)$连续，则必然：\medskip
|
||||
|
||||
$\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{e^{ax^3}-1}{x-\arcsin x}=6$\medskip
|
||||
|
||||
$\therefore\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{e^{ax^3}-1}{x-\arcsin x}$\medskip
|
||||
|
||||
$=\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{ax^3}{x-\arcsin x}$\medskip
|
||||
|
||||
$\text{令}t=\arcsin x\Rightarrow=\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{a\sin^3t}{\sin t-t}$
|
||||
|
||||
$=a\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{t^3}{\sin t-t}$\medskip
|
||||
|
||||
$=a\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{3t^2}{\cos t-1}=-6a=6$。\medskip
|
||||
|
||||
$\therefore a=-1$时$f(x)$在$R$上连续。\medskip
|
||||
|
||||
对于$g(x)$，当$x<1$时，$\lim\limits_{x\to 1^-}\dfrac{3\sin(x-1)}{x-1}=\lim\limits_{t\to 0^-}\dfrac{3\sin t}{t}=3$。\medskip
|
||||
|
||||
$\therefore\lim\limits_{x\to 1^+}e^{bx}+1=e^b+1=3$。\medskip
|
||||
|
||||
$\therefore b=\ln 2$时$g(x)$在$R$上连续。\medskip
|
||||
|
||||
$\therefore a=-1,b=\ln 2$时$f(x)+g(x)$在$R$上连续。而$a\neq -1$时$f(x)+g(x)$在$x=0$时不连续，$b\neq\ln 2$时$f(x)+g(x)$在$x=1$时不连续。
|
||||
|
||||
\section{间断}
|
||||
|
||||
\subsection{求间断点}
|
||||
|
||||
\subsection{已知间断点求参数}
|
||||
|
||||
这种题目已知间断点，而未知式子中的参数，只用将间断点代入式子并利用极限计算间断点的类型就可以了。
|
||||
|
||||
\textbf{例题：}$f(x)=\dfrac{e^x-b}{(x-a)(x-b)}$有无穷间断点$x=e$，可去间断点$x=1$，求$ab$的值。
|
||||
|
||||
已知有两个间断点$x=a,x=b$，其中无穷间断点指极限值为无穷的点，可去间断点表示极限值存在且两侧相等，但是与函数值不相等的点。
|
||||
|
||||
已经给出两个间断点的值为$x=1$和$x=e$，所以$ab$必然对应其中一个，但是不清楚到底谁是谁。
|
||||
|
||||
当$a=1,b=e$时，$f(x)=\dfrac{e^x-e}{(x-1)(x-e)}$。\medskip
|
||||
|
||||
当$x\to 1$时，$\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{e^x-e}{(x-1)(x-e)}$$=\dfrac{1}{1-e}\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{e^x-e}{x-1}$$=\dfrac{e}{1-e}\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{e^{x-1}-1}{x-1}$$=\dfrac{e}{1-e}\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{x-1}{x-1}$$=\dfrac{e}{1-e}$。\medskip
|
||||
|
||||
$\therefore x=1$为可去间断点。\medskip
|
||||
|
||||
当$x\to e$时，$\lim\limits_{x\to e}\dfrac{e^x-e}{(x-1)(x-e)}$$=\dfrac{1}{e-1}\lim\limits_{x\to e}\dfrac{e^x-e}{x-e}$$=\dfrac{e}{e-1}\lim\limits_{x\to e}\dfrac{e^{x-1}-1}{x-e}$\medskip$=\dfrac{e}{e-1}\lim\limits_{x\to e}\dfrac{x-1}{x-e}$$=\dfrac{e(e-1)}{e-1}\lim\limits_{x\to e}\dfrac{1}{x-e}=\infty$。\medskip
|
||||
|
||||
$\therefore x=e$为无穷间断点。\medskip
|
||||
|
||||
当$a=e,b=1$时，$f(x)=\dfrac{e^x-1}{(x-e)(x-1)}$。\medskip
|
||||
|
||||
而作为分子的$e^x-1$必然为一个常数，当式子趋向$1$或$e$的时候分母两个不等式中的一个不等式必然为一个常数，从而另一个不等式则变为了无穷小，所以$\lim\limits_{x\to 1}f(x)=\lim\limits_{x\to e}f(x)=\infty$。
|
||||
|
||||
$\therefore a=1,b=e$。
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
\documentclass[UTF8, 12pt]{ctexart}
|
||||
% UTF8编码，ctexart现实中文
|
||||
\usepackage{color}
|
||||
% 使用颜色
|
||||
\usepackage{geometry}
|
||||
\setcounter{tocdepth}{4}
|
||||
\setcounter{secnumdepth}{4}
|
||||
% 设置四级目录与标题
|
||||
\geometry{papersize={21cm,29.7cm}}
|
||||
% 默认大小为A4
|
||||
\geometry{left=3.18cm,right=3.18cm,top=2.54cm,bottom=2.54cm}
|
||||
% 默认页边距为1英尺与1.25英尺
|
||||
\usepackage{indentfirst}
|
||||
\setlength{\parindent}{2.45em}
|
||||
% 首行缩进2个中文字符
|
||||
\usepackage{setspace}
|
||||
\renewcommand{\baselinestretch}{1.5}
|
||||
% 1.5倍行距
|
||||
\usepackage{amssymb}
|
||||
% 因为所以
|
||||
\usepackage{amsmath}
|
||||
% 数学公式
|
||||
\usepackage[colorlinks,linkcolor=black,urlcolor=blue]{hyperref}
|
||||
% 超链接
|
||||
\author{Didnelpsun}
|
||||
\title{连续与间断}
|
||||
\date{}
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
\pagestyle{empty}
|
||||
\thispagestyle{empty}
|
||||
\tableofcontents
|
||||
\thispagestyle{empty}
|
||||
\newpage
|
||||
\pagestyle{plain}
|
||||
\setcounter{page}{1}
|
||||
\section{连续}
|
||||
|
||||
连续则极限值等于函数值。
|
||||
|
||||
\subsection{求连续区间}
|
||||
|
||||
若要考察一个函数的连续区间，必须要了解函数的所有部分，一般会给出分段函数，所以要了解分段函数的每段函数的性质。
|
||||
|
||||
对于函数$f(x)$是个极限表达形式，我们要简化这个极限，最好得到一个$x$的表达式，从而才能判断其连续区间。\medskip
|
||||
|
||||
\textbf{例题：}$f(x)=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{x+x^2e^{nx}}{1+e^{nx}}$，求函数连续区间。\medskip
|
||||
|
||||
注意到函数的形式为一个极限值，其极限趋向的变量为$n$（$n\to\infty$指$n\to+\infty$）。所以在该极限式子中将$x$当作类似$t$的常数。
|
||||
|
||||
需要先求出极限形式的$f(x)$，而$x$变量的取值会影响到极限，且求的就是$x$的取值范围。所以将其分为三段：
|
||||
|
||||
当$x<0$时，$nx\to-\infty$，$\therefore e^{nx}\to 0$，$x^2$在这个极限式子为一个常数，$\therefore x^2e^{nx}\to 0$，$f(x)=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{x+x^2e^{nx}}{1+e^{nx}}=\dfrac{x+0}{1+0}=x$。\medskip
|
||||
|
||||
当$x=0$时，$f(x)=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{x+x^2e^{nx}}{1+e^{nx}}=\dfrac{0}{2}=0$。\medskip
|
||||
|
||||
当$x>0$时，$e^{nx}$在$n\to\infty$时为$\infty$，上下都有这个无穷大的因子，所以上下都除以$e^{nx}$，$f(x)=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{x+x^2e^{nx}}{1+e^{nx}}=f(x)=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{xe^{-nx}+x^2}{1+e^{-nx}}=\dfrac{0+x^2}{1}=x^2$。\medskip
|
||||
|
||||
从而得到了$f(x)$关于$x$的表达式：\medskip
|
||||
|
||||
$f(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
|
||||
x, & & x<0 \\
|
||||
0, & & x=0 \\
|
||||
x^2, & & x>0
|
||||
\end{array}
|
||||
\right.$\medskip
|
||||
|
||||
又$\lim\limits_{x\to 0^-}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^-}x=\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^-}x^2=f(0)=0$。
|
||||
|
||||
$f(x)$在$R$上连续。
|
||||
|
||||
\subsection{已知连续区间求参数}
|
||||
|
||||
一般会给出带有参数的分段函数，要计算参数就必须了解连续区间与函数之间的关系。
|
||||
|
||||
\textbf{例题：}$f(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
|
||||
6, & & x\leqslant 0 \\
|
||||
\dfrac{e^{ax^3}-1}{x-\arcsin x}, & & x>0
|
||||
\end{array}
|
||||
\right.$，$g(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
|
||||
\dfrac{3\sin(x-1)}{x-1}, & & x<1 \\
|
||||
e^{bx}+1, & & x\geqslant 1
|
||||
\end{array}
|
||||
\right.$，\smallskip \\ 若$f(x)+g(x)$在$R$上连续，则求$a,b$。
|
||||
|
||||
解：已知$f(x)+g(x)$在$R$上连续，但是不能判断$f(x)$与$g(x)$的连续性。
|
||||
|
||||
所以分开讨论。
|
||||
|
||||
对于$f(x)$因为左侧为常数函数，所以若是$f(x)$连续，则必然：\medskip
|
||||
|
||||
$\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{e^{ax^3}-1}{x-\arcsin x}=6$\medskip
|
||||
|
||||
$\therefore\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{e^{ax^3}-1}{x-\arcsin x}$\medskip
|
||||
|
||||
$=\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{ax^3}{x-\arcsin x}$\medskip
|
||||
|
||||
$\text{令}t=\arcsin x\Rightarrow=\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{a\sin^3t}{\sin t-t}$
|
||||
|
||||
$=a\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{t^3}{\sin t-t}$\medskip
|
||||
|
||||
$=a\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{3t^2}{\cos t-1}=-6a=6$。\medskip
|
||||
|
||||
$\therefore a=-1$时$f(x)$在$R$上连续。\medskip
|
||||
|
||||
对于$g(x)$，当$x<1$时，$\lim\limits_{x\to 1^-}\dfrac{3\sin(x-1)}{x-1}=\lim\limits_{t\to 0^-}\dfrac{3\sin t}{t}=3$。\medskip
|
||||
|
||||
$\therefore\lim\limits_{x\to 1^+}e^{bx}+1=e^b+1=3$。\medskip
|
||||
|
||||
$\therefore b=\ln 2$时$g(x)$在$R$上连续。\medskip
|
||||
|
||||
$\therefore a=-1,b=\ln 2$时$f(x)+g(x)$在$R$上连续。而$a\neq -1$时$f(x)+g(x)$在$x=0$时不连续，$b\neq\ln 2$时$f(x)+g(x)$在$x=1$时不连续。
|
||||
|
||||
\section{间断}
|
||||
|
||||
\subsection{求间断点}
|
||||
|
||||
\subsection{已知间断点求参数}
|
||||
|
||||
这种题目已知间断点，而未知式子中的参数，只用将间断点代入式子并利用极限计算间断点的类型就可以了。
|
||||
|
||||
\textbf{例题：}$f(x)=\dfrac{e^x-b}{(x-a)(x-b)}$有无穷间断点$x=e$，可去间断点$x=1$，求$ab$的值。
|
||||
|
||||
已知有两个间断点$x=a,x=b$，其中无穷间断点指极限值为无穷的点，可去间断点表示极限值存在且两侧相等，但是与函数值不相等的点。
|
||||
|
||||
已经给出两个间断点的值为$x=1$和$x=e$，所以$ab$必然对应其中一个，但是不清楚到底谁是谁。
|
||||
|
||||
当$a=1,b=e$时，$f(x)=\dfrac{e^x-e}{(x-1)(x-e)}$。\medskip
|
||||
|
||||
当$x\to 1$时，$\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{e^x-e}{(x-1)(x-e)}$$=\dfrac{1}{1-e}\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{e^x-e}{x-1}$$=\dfrac{e}{1-e}\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{e^{x-1}-1}{x-1}$$=\dfrac{e}{1-e}\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{x-1}{x-1}$$=\dfrac{e}{1-e}$。\medskip
|
||||
|
||||
$\therefore x=1$为可去间断点。\medskip
|
||||
|
||||
当$x\to e$时，$\lim\limits_{x\to e}\dfrac{e^x-e}{(x-1)(x-e)}$$=\dfrac{1}{e-1}\lim\limits_{x\to e}\dfrac{e^x-e}{x-e}$$=\dfrac{e}{e-1}\lim\limits_{x\to e}\dfrac{e^{x-1}-1}{x-e}$\medskip$=\dfrac{e}{e-1}\lim\limits_{x\to e}\dfrac{x-1}{x-e}$$=\dfrac{e(e-1)}{e-1}\lim\limits_{x\to e}\dfrac{1}{x-e}=\infty$。\medskip
|
||||
|
||||
$\therefore x=e$为无穷间断点。\medskip
|
||||
|
||||
当$a=e,b=1$时，$f(x)=\dfrac{e^x-1}{(x-e)(x-1)}$。\medskip
|
||||
|
||||
而作为分子的$e^x-1$必然为一个常数，当式子趋向$1$或$e$的时候分母两个不等式中的一个不等式必然为一个常数，从而另一个不等式则变为了无穷小，所以$\lim\limits_{x\to 1}f(x)=\lim\limits_{x\to e}f(x)=\infty$。
|
||||
|
||||
$\therefore a=1,b=e$。
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
@@ -1,320 +1,320 @@
|
||||
\documentclass[UTF8, 12pt]{ctexart}
|
||||
% UTF8编码，ctexart现实中文
|
||||
\usepackage{color}
|
||||
% 使用颜色
|
||||
\usepackage{geometry}
|
||||
\setcounter{tocdepth}{4}
|
||||
\setcounter{secnumdepth}{4}
|
||||
% 设置四级目录与标题
|
||||
\geometry{papersize={21cm,29.7cm}}
|
||||
% 默认大小为A4
|
||||
\geometry{left=3.18cm,right=3.18cm,top=2.54cm,bottom=2.54cm}
|
||||
% 默认页边距为1英尺与1.25英尺
|
||||
\usepackage{indentfirst}
|
||||
\setlength{\parindent}{2.45em}
|
||||
% 首行缩进2个中文字符
|
||||
\usepackage{setspace}
|
||||
\renewcommand{\baselinestretch}{1.5}
|
||||
% 1.5倍行距
|
||||
\usepackage{amssymb}
|
||||
% 因为所以
|
||||
\usepackage{amsmath}
|
||||
% 数学公式
|
||||
\usepackage[colorlinks,linkcolor=black,urlcolor=blue]{hyperref}
|
||||
% 超链接
|
||||
\author{Didnelpsun}
|
||||
\title{导数与微分}
|
||||
\date{}
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
\pagestyle{empty}
|
||||
\thispagestyle{empty}
|
||||
\tableofcontents
|
||||
\thispagestyle{empty}
|
||||
\newpage
|
||||
\pagestyle{plain}
|
||||
\setcounter{page}{1}
|
||||
\section{一阶导数}
|
||||
\subsection{幂指函数求导}
|
||||
|
||||
形如$f(x)^{g(x)}$的幂指函数求导也可以类似幂指函数的求极限方法。既可以取$e$为底的指数也可以取对数。
|
||||
|
||||
\textbf{例题：}求$f(x)=x^{\sin x}(x>0)$的导数。
|
||||
|
||||
取对数：
|
||||
|
||||
$\therefore\ln y=\sin x\ln x$
|
||||
|
||||
求导：
|
||||
|
||||
$\dfrac{y'}{y}=\cos\ln x+\dfrac{\sin x}{x}$
|
||||
|
||||
$\therefore y'=x^{\sin x}\left(\cos\ln x+\dfrac{\sin x}{x}\right)$。
|
||||
|
||||
取指数：
|
||||
|
||||
$x^{\sin x}=e^{\sin x\cdot\ln x}$
|
||||
|
||||
求导：
|
||||
|
||||
$e^{\sin x\cdot\ln x}(\sin x\cdot\ln x)'=x^{\sin x}\left(\cos\ln x+\dfrac{\sin x}{x}\right)$。
|
||||
|
||||
\subsection{分段函数导数}
|
||||
|
||||
当给出一个分段函数，要求求出该函数的导数时，最重要的就是分段点是否可导，计算分段点的导数，如果两边的导数不相等，则需要挖去该点。\medskip
|
||||
|
||||
\textbf{例题：}设$f(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
|
||||
\arctan x, & & x\leqslant 1 \\
|
||||
\dfrac{1}{2}(e^{x^2-1}-x)+\dfrac{\pi}{4}, & & x>1
|
||||
\end{array}
|
||||
\right.$，求$f'(x)$。
|
||||
|
||||
当$x\leqslant 1$时，$f'(x)=\dfrac{1}{1+x^2}$，当$x>1$时，$f'(x)=xe^{x^2-1}-\dfrac{1}{2}$。
|
||||
|
||||
然后需要查看分段点两边的导数是否一样：$f'_-(1)=\dfrac{1}{1+x^2}\,\bigg\vert_{x=1}=\dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}$，$f'_+(1)=xe^{x^2-1}-\dfrac{1}{2}\,\bigg\vert_{x=1}=1\cdot e^{1-1}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$。\medskip
|
||||
|
||||
$\therefore f'_-(1)=f'_+(1)$，所以该点可导。\medskip
|
||||
|
||||
$f(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
|
||||
\dfrac{1}{1+x^2}, & & x\leqslant 1 \\
|
||||
xe^{x^2-1}-\dfrac{1}{2}, & & x>1
|
||||
\end{array}
|
||||
\right.$。
|
||||
|
||||
\subsection{导数存在性}
|
||||
|
||||
导数存在即可导。而该点左右导数都相等该点才可导。
|
||||
|
||||
可导必连续，连续不一定可导。
|
||||
|
||||
导数的定义：$\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$或$\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$。
|
||||
|
||||
导数的存在性：若$\lim\limits_{x\to x_0}f'(x)$存在，则$f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}f'(x)$。\medskip
|
||||
|
||||
\textbf{例题：}设$f(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
|
||||
\dfrac{\ln(1+bx)}{x}, & & x\neq 0 \\
|
||||
-1, & & x=0
|
||||
\end{array}
|
||||
\right.$，其中$b$为某常数，$f(x)$在定义域上处处可导，求$f'(x)$。
|
||||
|
||||
首先需要求出参数$b$，而定义域上可导则在分段点$x=0$处也必然可导。
|
||||
|
||||
而可导必连续，所以当$x=0$时$f(x)$也是连续的，而连续的定义就是两边极限相等，且两边极限等于该点函数值。\medskip
|
||||
|
||||
$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln(1+bx)}{x}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{bx}{x}=b=-1$。从而可以完善函数与定义域。\medskip
|
||||
|
||||
$\therefore f(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
|
||||
\dfrac{\ln(1-x)}{x}, & & x<1,x\neq 0 \\
|
||||
-1, & & x=0
|
||||
\end{array}
|
||||
\right.$。
|
||||
|
||||
这样就能转换为直接求导数问题。
|
||||
|
||||
对于定义域的$x<1,x\neq 0$部分：\medskip
|
||||
|
||||
$f'(x)=\dfrac{\dfrac{-x}{1-x}-\ln(1-x)}{x^2}=\dfrac{x-(x-1)\ln(1-x)}{x^2(x-1)}\,(x<1,x\neq 0)$。
|
||||
|
||||
然后需要求分段点$x=0$处的导数。
|
||||
|
||||
可以由导数的定义：、
|
||||
|
||||
根据导数的定义是某点偏移量的极限值$\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$：
|
||||
|
||||
$f'(0)=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}$\medskip
|
||||
|
||||
$=\dfrac{\dfrac{\ln(1-x)}{x}-(-1)}{x-0}$\medskip
|
||||
|
||||
$=\dfrac{\dfrac{\ln(1-x)}{x}+1}{x}$\medskip
|
||||
|
||||
$=\dfrac{\ln(1-x)+x}{x^2}$
|
||||
|
||||
泰勒公式：$=\dfrac{-x-\dfrac{1}{2}x^2+o(x^2)+x}{x^2}=-\dfrac{1}{2}$。\medskip
|
||||
|
||||
$\therefore f'(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
|
||||
\dfrac{x-(x-1)\ln(1-x)}{x^2(x-1)}, & & x<1,x\neq 0 \\
|
||||
-\dfrac{1}{2}, & & x=0
|
||||
\end{array}
|
||||
\right.$。\medskip
|
||||
|
||||
同样也可以使用导数的存在性：
|
||||
|
||||
$\because f(x)$在$x=0$处连续，$\therefore x=0$的空心邻域上可导。从而$\lim\limits_{x\to x_0}f'(x)$存在。
|
||||
|
||||
$\therefore f'(0)=\lim\limits_{x\to 0}f'(x)$。计算过程类似。
|
||||
|
||||
\subsection{导数连续性}
|
||||
|
||||
导数具有连续性与之前的函数连续性类似，不过要对函数求导数罢了。
|
||||
|
||||
要求导数两侧的极限并让其相等。\medskip
|
||||
|
||||
\textbf{例题：}设$f(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
|
||||
x^2, & & x\leqslant 0 \\
|
||||
x^\alpha\sin\dfrac{1}{x}, & & x>0
|
||||
\end{array}
|
||||
\right.$，若$f'(x)$连续，则$\alpha$应该满足？
|
||||
|
||||
若导数连续，则两侧导数相等。
|
||||
|
||||
$\lim\limits_{x\to 0^-}f'(x)=\lim\limits_{x\to 0^-}2x=0$。
|
||||
|
||||
$\lim\limits_{x\to 0^+}f'(x)=\lim\limits_{x\to 0^+}\alpha x^{\alpha-1}\sin\dfrac{1}{x}-x^{\alpha-2}\cos\dfrac{1}{x}=\lim\limits_{x\to 0^+}x^{\alpha-2}\left(\alpha x\sin\dfrac{1}{x}-\cos\dfrac{1}{x}\right)$。
|
||||
|
||||
$\because x\to 0^+$时，$\sin\dfrac{1}{x}\in[-1,1]$，$\therefore\alpha x\sin\dfrac{1}{x}=0$，$-\cos\dfrac{1}{x}\in[-1,1]$，$\therefore \alpha x\sin\dfrac{1}{x}-\cos\dfrac{1}{x}$为一个不为0的常数。
|
||||
|
||||
又$\lim\limits_{x\to 0^+}f'(x)=\lim\limits_{x\to 0^+}x^{\alpha-2}\left(\alpha x\sin\dfrac{1}{x}-\cos\dfrac{1}{x}\right)=\lim\limits_{x\to 0^-}f'(x)=0$。
|
||||
|
||||
$\therefore\lim\limits_{x\to 0^+}x^{\alpha-2}=0$。
|
||||
|
||||
$\therefore\alpha-2>0$，从而$\alpha>2$。
|
||||
|
||||
\subsection{已知导数求极限}
|
||||
|
||||
题目会给出对应的导数以及相关条件，并要求求一个极限，这个极限式子并不是个随机的式子，而一个是与导数定义相关的极限式子，所需要的就是将极限式子转换为导数定义的相关式子。
|
||||
|
||||
\subsubsection{导数定义式子}
|
||||
|
||||
有时极限式子可以直接转换为导数定义式子，先稍微变换就可以代入导数。
|
||||
|
||||
\textbf{例题：}设$f(x)$是以3为周期的可导函数，且是偶函数，$f'(-2)=-1$，求$\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{h}{f(5-2\sin h)-f(5)}$。\medskip
|
||||
|
||||
根据导数与函数的基本性质，原函数为偶函数，则其导函数为奇函数，所以$f'(5)=f'(2)=-f'(-2)=1$。
|
||||
|
||||
然后需要转换目标的极限式子，因为目标式子倒过来的式子类似于导数定义的$f'(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$结构。所以我们可以先求其倒数式子：\medskip
|
||||
|
||||
$=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(5-2\sin h)-f(5)}{h}$
|
||||
|
||||
$=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(5-2\sin h)-f(5)}{-2\sin h}\cdot\dfrac{-2\sin h}{h}$
|
||||
|
||||
$=-2f'(5)=-2\times 1=-2$
|
||||
|
||||
$\therefore\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{h}{f(5-2\sin h)-f(5)}=-\dfrac{1}{2}$。
|
||||
|
||||
\subsubsection{定义近似式子}
|
||||
|
||||
有时候极限式子不为导数定义的近似式子，这时候就需要先根据求极限的计算方式简化目标极限式子。
|
||||
|
||||
\textbf{例题：}设$f(x)$在$x=0$处可导且$f(0)=1$，$f'(0)=3$，则数列极限$I=\lim\limits_{n\to\infty}\left(f\left(\dfrac{1}{n}\right)\right)^{\frac{\frac{1}{n}}{1-\cos\frac{1}{n}}}$。\medskip
|
||||
|
||||
设$\dfrac{1}{n}=x$，则：
|
||||
|
||||
$=\lim\limits_{x\to 0}(f(x))^{\frac{x}{1-\cos x}}$
|
||||
|
||||
$=e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{x}{1-\cos x}\ln f(x)}$
|
||||
|
||||
$=e^{2\lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln f(x)}{x}}$
|
||||
|
||||
$=e^{2\lim\limits_{x\to 0}\frac{f(x)-1}{x}}$
|
||||
|
||||
$=e^{2\lim\limits_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}}$
|
||||
|
||||
$=e^{2f'(0)}=e^6$。
|
||||
|
||||
\section{高阶导数}
|
||||
|
||||
\subsection{导数存在性}
|
||||
|
||||
\subsection{携带未知数的多项式求高阶导}
|
||||
|
||||
当所需要的求导的式子为一个多项式的时候，这个求导必然是有规律的。
|
||||
|
||||
当所求高阶导数的$x$值为一个常数时，那么这个常数值代入求导的式子必然是会消去一部分的，最常用的常数为$x=0$。
|
||||
|
||||
\textbf{例题：}已知$f(x)=x^2(x+1)^2(x+2)^2\cdots(x+n)^2$，求$f''(0)$。
|
||||
|
||||
因为式子中带有未知数$n$，所以结果很可能会带有$n$。
|
||||
|
||||
而这个式子项数为$n+1$项，所以求导结果必然很大，所以一定会消去一部分。
|
||||
|
||||
又求导的自变量$x=0$，而0代入很多式子都会被消去，所以这就是个突破口。
|
||||
|
||||
因为求导是求二阶导数，所以很可能这种求导是消去一部分而不是得到一个规律，因为阶数太低很难看出规律。
|
||||
|
||||
首先对$f(x)$求一阶导数（需要记住乘积的导数为各项求导的和）：
|
||||
|
||||
$f'(x)=2x(x+1)^2(x+2)^2\cdots(x+n)^2$
|
||||
|
||||
$\quad\quad\quad+x^22(x+1)(x+2)^2\cdots(x+n)^2$
|
||||
|
||||
$\quad\quad\quad+x^2(x+1)^22(x+2)\cdots(x+n)^2$
|
||||
|
||||
$\quad\quad\quad\cdots$
|
||||
|
||||
$\quad\quad\quad+x^2(x+1)^2(x+2)^2\cdots 2(x+n)$
|
||||
|
||||
原式子一共1项，一阶导数后变为$n+1$项和，然后求二阶导数，会变为$(n+1)^2$项和。这时候我们应该回头看目标求的式子为$f''(0)$，而根据式子，只要乘积项中含有$x$项，那么这一整个项就都为0。
|
||||
|
||||
一阶导数中除一项每个项都含有$x^2$，所以求二阶导数的时候，$x^2$会变为$2x$在$x=0$处二阶导数为0，所以求二阶导数的时候一次导数的第一项后面$n$项在$x=0$处都是0，可以不用考虑。
|
||||
|
||||
而一阶导数的第一项只有对第一个$x$求导时会消去这个$x$变为$2(x+1)^2(x+2)^2\cdots(x+n)^2$，其他的$n$项二阶导数仍然含有$x$的项，所以结果也为0。
|
||||
|
||||
所以求$f''(0)$时，只有对一阶导数的第一项的第一个$x$求导所得到的导数项不为0，其他都是0，所以最后$f''(0)=2(x+1)^2(x+2)^2\cdots(x+n)^2=2(n!)^2$。
|
||||
|
||||
\subsection{反函数高阶导数}
|
||||
|
||||
已知一阶导数的时候，反函数的导数为原函数导数的倒数（$g'(x)=\dfrac{1}{f'(x)}$）。
|
||||
|
||||
因为原函数的一阶导数是$\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}$，而反函数就是对原函数的$xy$对调，所以其反函数的一阶导数为$\dfrac{\textrm{d}x}{\textrm{d}y}$。
|
||||
|
||||
\textbf{例题：}已知$y=x+e^x$，求其反函数的二阶导数。
|
||||
|
||||
$y=x+e^x$的反函数的一阶导数为$\dfrac{\textrm{d}x}{\textrm{d}y}=\dfrac{1}{1+e^x}$。
|
||||
|
||||
所以二阶导数为$\dfrac{\textrm{d}^2x}{\textrm{d}y^2}=\dfrac{\textrm{d}\left(\dfrac{1}{1+e^{x}}\right)}{\textrm{d}y}=\dfrac{\dfrac{\textrm{d}\left(\dfrac{1}{1+e^{x}}\right)}{\textrm{d}x}}{\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}}=-\dfrac{e^x}{(1+e^x)^3}$。
|
||||
|
||||
\section{微分}
|
||||
|
||||
\section{隐函数与参数方程}
|
||||
|
||||
隐函数与参数方程求导基本上只用记住：\medskip
|
||||
|
||||
$\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}=\dfrac{\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}t}}{\dfrac{\textrm{d}x}{\textrm{d}t}}$。
|
||||
|
||||
\textbf{例题：}已知$y=y(x)$由参数方程$\left\{\begin{array}{lcl}
|
||||
x=\dfrac{1}{2}\ln(1+t^2) \\
|
||||
y=\arctan t
|
||||
\end{array}
|
||||
\right.$确定，求其一阶导数与二阶导数。
|
||||
|
||||
$\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}=\dfrac{\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}t}}{\dfrac{\textrm{d}x}{\textrm{d}t}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2t}{1+t^2}}{\dfrac{1}{1+t^2}}=\dfrac{1}{t}$。
|
||||
|
||||
$\dfrac{\textrm{d}^2y}{\textrm{d}x^2}=\dfrac{\textrm{d}\left(\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}\right)}{\textrm{d}x}=\dfrac{\dfrac{\textrm{d}\left(\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}\right)}{\textrm{d}t}}{\dfrac{\textrm{d}x}{\textrm{d}t}}=\dfrac{-\dfrac{1}{t^2}}{\dfrac{t}{1+t^2}}=-\dfrac{1+t^2}{t^3}$。
|
||||
|
||||
\section{导数应用}
|
||||
|
||||
\subsection{单调性与凹凸性}
|
||||
|
||||
\subsection{极值与最值}
|
||||
|
||||
\subsection{函数图像}
|
||||
|
||||
\subsection{曲率}
|
||||
|
||||
曲率公式：$k=\left\lvert\dfrac{\textrm{d}\alpha}{\textrm{d}s}\right\rvert=\dfrac{\vert y''\vert}{(1+y'^2)^{\frac{3}{2}}}$。
|
||||
|
||||
\subsubsection{一般计算}
|
||||
|
||||
\textbf{例题：}求$y=\sin x$在$x=\dfrac{\pi}{4}$对应的曲率
|
||||
|
||||
$y'=\cos x$，$y'(\dfrac{\pi}{4})=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$。
|
||||
|
||||
$y''=-\sin x$，$y''(\dfrac{\pi}{4})=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$。
|
||||
|
||||
$\therefore k=\dfrac{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{\dfrac{3}{2}\cdot\sqrt{\dfrac{3}{2}}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{9}$。
|
||||
|
||||
所以$y=\sin x$在$x=\dfrac{\pi}{4}$的点$(\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\sqrt{2}}{2})$的曲率为$\dfrac{2\sqrt{3}}{9}$。
|
||||
|
||||
\subsubsection{最值}
|
||||
|
||||
\textbf{例题：}求$y=x^2-4x+11$曲率最大值所在的点。
|
||||
|
||||
简单得$y'=2x-4$，$y''=2$。
|
||||
|
||||
曲率为$\dfrac{2}{[1+(2x-4)^2]^{\frac{3}{2}}}$。
|
||||
|
||||
当$2x-4=0$时即在$(2,7)$时曲率最大为2。
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
\documentclass[UTF8, 12pt]{ctexart}
|
||||
% UTF8编码，ctexart现实中文
|
||||
\usepackage{color}
|
||||
% 使用颜色
|
||||
\usepackage{geometry}
|
||||
\setcounter{tocdepth}{4}
|
||||
\setcounter{secnumdepth}{4}
|
||||
% 设置四级目录与标题
|
||||
\geometry{papersize={21cm,29.7cm}}
|
||||
% 默认大小为A4
|
||||
\geometry{left=3.18cm,right=3.18cm,top=2.54cm,bottom=2.54cm}
|
||||
% 默认页边距为1英尺与1.25英尺
|
||||
\usepackage{indentfirst}
|
||||
\setlength{\parindent}{2.45em}
|
||||
% 首行缩进2个中文字符
|
||||
\usepackage{setspace}
|
||||
\renewcommand{\baselinestretch}{1.5}
|
||||
% 1.5倍行距
|
||||
\usepackage{amssymb}
|
||||
% 因为所以
|
||||
\usepackage{amsmath}
|
||||
% 数学公式
|
||||
\usepackage[colorlinks,linkcolor=black,urlcolor=blue]{hyperref}
|
||||
% 超链接
|
||||
\author{Didnelpsun}
|
||||
\title{导数与微分}
|
||||
\date{}
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
\pagestyle{empty}
|
||||
\thispagestyle{empty}
|
||||
\tableofcontents
|
||||
\thispagestyle{empty}
|
||||
\newpage
|
||||
\pagestyle{plain}
|
||||
\setcounter{page}{1}
|
||||
\section{一阶导数}
|
||||
\subsection{幂指函数求导}
|
||||
|
||||
形如$f(x)^{g(x)}$的幂指函数求导也可以类似幂指函数的求极限方法。既可以取$e$为底的指数也可以取对数。
|
||||
|
||||
\textbf{例题：}求$f(x)=x^{\sin x}(x>0)$的导数。
|
||||
|
||||
取对数：
|
||||
|
||||
$\therefore\ln y=\sin x\ln x$
|
||||
|
||||
求导：
|
||||
|
||||
$\dfrac{y'}{y}=\cos\ln x+\dfrac{\sin x}{x}$
|
||||
|
||||
$\therefore y'=x^{\sin x}\left(\cos\ln x+\dfrac{\sin x}{x}\right)$。
|
||||
|
||||
取指数：
|
||||
|
||||
$x^{\sin x}=e^{\sin x\cdot\ln x}$
|
||||
|
||||
求导：
|
||||
|
||||
$e^{\sin x\cdot\ln x}(\sin x\cdot\ln x)'=x^{\sin x}\left(\cos\ln x+\dfrac{\sin x}{x}\right)$。
|
||||
|
||||
\subsection{分段函数导数}
|
||||
|
||||
当给出一个分段函数，要求求出该函数的导数时，最重要的就是分段点是否可导，计算分段点的导数，如果两边的导数不相等，则需要挖去该点。\medskip
|
||||
|
||||
\textbf{例题：}设$f(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
|
||||
\arctan x, & & x\leqslant 1 \\
|
||||
\dfrac{1}{2}(e^{x^2-1}-x)+\dfrac{\pi}{4}, & & x>1
|
||||
\end{array}
|
||||
\right.$，求$f'(x)$。
|
||||
|
||||
当$x\leqslant 1$时，$f'(x)=\dfrac{1}{1+x^2}$，当$x>1$时，$f'(x)=xe^{x^2-1}-\dfrac{1}{2}$。
|
||||
|
||||
然后需要查看分段点两边的导数是否一样：$f'_-(1)=\dfrac{1}{1+x^2}\,\bigg\vert_{x=1}=\dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}$，$f'_+(1)=xe^{x^2-1}-\dfrac{1}{2}\,\bigg\vert_{x=1}=1\cdot e^{1-1}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$。\medskip
|
||||
|
||||
$\therefore f'_-(1)=f'_+(1)$，所以该点可导。\medskip
|
||||
|
||||
$f(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
|
||||
\dfrac{1}{1+x^2}, & & x\leqslant 1 \\
|
||||
xe^{x^2-1}-\dfrac{1}{2}, & & x>1
|
||||
\end{array}
|
||||
\right.$。
|
||||
|
||||
\subsection{导数存在性}
|
||||
|
||||
导数存在即可导。而该点左右导数都相等该点才可导。
|
||||
|
||||
可导必连续，连续不一定可导。
|
||||
|
||||
导数的定义：$\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$或$\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$。
|
||||
|
||||
导数的存在性：若$\lim\limits_{x\to x_0}f'(x)$存在，则$f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}f'(x)$。\medskip
|
||||
|
||||
\textbf{例题：}设$f(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
|
||||
\dfrac{\ln(1+bx)}{x}, & & x\neq 0 \\
|
||||
-1, & & x=0
|
||||
\end{array}
|
||||
\right.$，其中$b$为某常数，$f(x)$在定义域上处处可导，求$f'(x)$。
|
||||
|
||||
首先需要求出参数$b$，而定义域上可导则在分段点$x=0$处也必然可导。
|
||||
|
||||
而可导必连续，所以当$x=0$时$f(x)$也是连续的，而连续的定义就是两边极限相等，且两边极限等于该点函数值。\medskip
|
||||
|
||||
$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln(1+bx)}{x}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{bx}{x}=b=-1$。从而可以完善函数与定义域。\medskip
|
||||
|
||||
$\therefore f(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
|
||||
\dfrac{\ln(1-x)}{x}, & & x<1,x\neq 0 \\
|
||||
-1, & & x=0
|
||||
\end{array}
|
||||
\right.$。
|
||||
|
||||
这样就能转换为直接求导数问题。
|
||||
|
||||
对于定义域的$x<1,x\neq 0$部分：\medskip
|
||||
|
||||
$f'(x)=\dfrac{\dfrac{-x}{1-x}-\ln(1-x)}{x^2}=\dfrac{x-(x-1)\ln(1-x)}{x^2(x-1)}\,(x<1,x\neq 0)$。
|
||||
|
||||
然后需要求分段点$x=0$处的导数。
|
||||
|
||||
可以由导数的定义：、
|
||||
|
||||
根据导数的定义是某点偏移量的极限值$\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$：
|
||||
|
||||
$f'(0)=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}$\medskip
|
||||
|
||||
$=\dfrac{\dfrac{\ln(1-x)}{x}-(-1)}{x-0}$\medskip
|
||||
|
||||
$=\dfrac{\dfrac{\ln(1-x)}{x}+1}{x}$\medskip
|
||||
|
||||
$=\dfrac{\ln(1-x)+x}{x^2}$
|
||||
|
||||
泰勒公式：$=\dfrac{-x-\dfrac{1}{2}x^2+o(x^2)+x}{x^2}=-\dfrac{1}{2}$。\medskip
|
||||
|
||||
$\therefore f'(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
|
||||
\dfrac{x-(x-1)\ln(1-x)}{x^2(x-1)}, & & x<1,x\neq 0 \\
|
||||
-\dfrac{1}{2}, & & x=0
|
||||
\end{array}
|
||||
\right.$。\medskip
|
||||
|
||||
同样也可以使用导数的存在性：
|
||||
|
||||
$\because f(x)$在$x=0$处连续，$\therefore x=0$的空心邻域上可导。从而$\lim\limits_{x\to x_0}f'(x)$存在。
|
||||
|
||||
$\therefore f'(0)=\lim\limits_{x\to 0}f'(x)$。计算过程类似。
|
||||
|
||||
\subsection{导数连续性}
|
||||
|
||||
导数具有连续性与之前的函数连续性类似，不过要对函数求导数罢了。
|
||||
|
||||
要求导数两侧的极限并让其相等。\medskip
|
||||
|
||||
\textbf{例题：}设$f(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
|
||||
x^2, & & x\leqslant 0 \\
|
||||
x^\alpha\sin\dfrac{1}{x}, & & x>0
|
||||
\end{array}
|
||||
\right.$，若$f'(x)$连续，则$\alpha$应该满足？
|
||||
|
||||
若导数连续，则两侧导数相等。
|
||||
|
||||
$\lim\limits_{x\to 0^-}f'(x)=\lim\limits_{x\to 0^-}2x=0$。
|
||||
|
||||
$\lim\limits_{x\to 0^+}f'(x)=\lim\limits_{x\to 0^+}\alpha x^{\alpha-1}\sin\dfrac{1}{x}-x^{\alpha-2}\cos\dfrac{1}{x}=\lim\limits_{x\to 0^+}x^{\alpha-2}\left(\alpha x\sin\dfrac{1}{x}-\cos\dfrac{1}{x}\right)$。
|
||||
|
||||
$\because x\to 0^+$时，$\sin\dfrac{1}{x}\in[-1,1]$，$\therefore\alpha x\sin\dfrac{1}{x}=0$，$-\cos\dfrac{1}{x}\in[-1,1]$，$\therefore \alpha x\sin\dfrac{1}{x}-\cos\dfrac{1}{x}$为一个不为0的常数。
|
||||
|
||||
又$\lim\limits_{x\to 0^+}f'(x)=\lim\limits_{x\to 0^+}x^{\alpha-2}\left(\alpha x\sin\dfrac{1}{x}-\cos\dfrac{1}{x}\right)=\lim\limits_{x\to 0^-}f'(x)=0$。
|
||||
|
||||
$\therefore\lim\limits_{x\to 0^+}x^{\alpha-2}=0$。
|
||||
|
||||
$\therefore\alpha-2>0$，从而$\alpha>2$。
|
||||
|
||||
\subsection{已知导数求极限}
|
||||
|
||||
题目会给出对应的导数以及相关条件，并要求求一个极限，这个极限式子并不是个随机的式子，而一个是与导数定义相关的极限式子，所需要的就是将极限式子转换为导数定义的相关式子。
|
||||
|
||||
\subsubsection{导数定义式子}
|
||||
|
||||
有时极限式子可以直接转换为导数定义式子，先稍微变换就可以代入导数。
|
||||
|
||||
\textbf{例题：}设$f(x)$是以3为周期的可导函数，且是偶函数，$f'(-2)=-1$，求$\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{h}{f(5-2\sin h)-f(5)}$。\medskip
|
||||
|
||||
根据导数与函数的基本性质，原函数为偶函数，则其导函数为奇函数，所以$f'(5)=f'(2)=-f'(-2)=1$。
|
||||
|
||||
然后需要转换目标的极限式子，因为目标式子倒过来的式子类似于导数定义的$f'(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$结构。所以我们可以先求其倒数式子：\medskip
|
||||
|
||||
$=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(5-2\sin h)-f(5)}{h}$
|
||||
|
||||
$=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(5-2\sin h)-f(5)}{-2\sin h}\cdot\dfrac{-2\sin h}{h}$
|
||||
|
||||
$=-2f'(5)=-2\times 1=-2$
|
||||
|
||||
$\therefore\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{h}{f(5-2\sin h)-f(5)}=-\dfrac{1}{2}$。
|
||||
|
||||
\subsubsection{定义近似式子}
|
||||
|
||||
有时候极限式子不为导数定义的近似式子，这时候就需要先根据求极限的计算方式简化目标极限式子。
|
||||
|
||||
\textbf{例题：}设$f(x)$在$x=0$处可导且$f(0)=1$，$f'(0)=3$，则数列极限$I=\lim\limits_{n\to\infty}\left(f\left(\dfrac{1}{n}\right)\right)^{\frac{\frac{1}{n}}{1-\cos\frac{1}{n}}}$。\medskip
|
||||
|
||||
设$\dfrac{1}{n}=x$，则：
|
||||
|
||||
$=\lim\limits_{x\to 0}(f(x))^{\frac{x}{1-\cos x}}$
|
||||
|
||||
$=e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{x}{1-\cos x}\ln f(x)}$
|
||||
|
||||
$=e^{2\lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln f(x)}{x}}$
|
||||
|
||||
$=e^{2\lim\limits_{x\to 0}\frac{f(x)-1}{x}}$
|
||||
|
||||
$=e^{2\lim\limits_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}}$
|
||||
|
||||
$=e^{2f'(0)}=e^6$。
|
||||
|
||||
\section{高阶导数}
|
||||
|
||||
\subsection{导数存在性}
|
||||
|
||||
\subsection{携带未知数的多项式求高阶导}
|
||||
|
||||
当所需要的求导的式子为一个多项式的时候，这个求导必然是有规律的。
|
||||
|
||||
当所求高阶导数的$x$值为一个常数时，那么这个常数值代入求导的式子必然是会消去一部分的，最常用的常数为$x=0$。
|
||||
|
||||
\textbf{例题：}已知$f(x)=x^2(x+1)^2(x+2)^2\cdots(x+n)^2$，求$f''(0)$。
|
||||
|
||||
因为式子中带有未知数$n$，所以结果很可能会带有$n$。
|
||||
|
||||
而这个式子项数为$n+1$项，所以求导结果必然很大，所以一定会消去一部分。
|
||||
|
||||
又求导的自变量$x=0$，而0代入很多式子都会被消去，所以这就是个突破口。
|
||||
|
||||
因为求导是求二阶导数，所以很可能这种求导是消去一部分而不是得到一个规律，因为阶数太低很难看出规律。
|
||||
|
||||
首先对$f(x)$求一阶导数（需要记住乘积的导数为各项求导的和）：
|
||||
|
||||
$f'(x)=2x(x+1)^2(x+2)^2\cdots(x+n)^2$
|
||||
|
||||
$\quad\quad\quad+x^22(x+1)(x+2)^2\cdots(x+n)^2$
|
||||
|
||||
$\quad\quad\quad+x^2(x+1)^22(x+2)\cdots(x+n)^2$
|
||||
|
||||
$\quad\quad\quad\cdots$
|
||||
|
||||
$\quad\quad\quad+x^2(x+1)^2(x+2)^2\cdots 2(x+n)$
|
||||
|
||||
原式子一共1项，一阶导数后变为$n+1$项和，然后求二阶导数，会变为$(n+1)^2$项和。这时候我们应该回头看目标求的式子为$f''(0)$，而根据式子，只要乘积项中含有$x$项，那么这一整个项就都为0。
|
||||
|
||||
一阶导数中除一项每个项都含有$x^2$，所以求二阶导数的时候，$x^2$会变为$2x$在$x=0$处二阶导数为0，所以求二阶导数的时候一次导数的第一项后面$n$项在$x=0$处都是0，可以不用考虑。
|
||||
|
||||
而一阶导数的第一项只有对第一个$x$求导时会消去这个$x$变为$2(x+1)^2(x+2)^2\cdots(x+n)^2$，其他的$n$项二阶导数仍然含有$x$的项，所以结果也为0。
|
||||
|
||||
所以求$f''(0)$时，只有对一阶导数的第一项的第一个$x$求导所得到的导数项不为0，其他都是0，所以最后$f''(0)=2(x+1)^2(x+2)^2\cdots(x+n)^2=2(n!)^2$。
|
||||
|
||||
\subsection{反函数高阶导数}
|
||||
|
||||
已知一阶导数的时候，反函数的导数为原函数导数的倒数（$g'(x)=\dfrac{1}{f'(x)}$）。
|
||||
|
||||
因为原函数的一阶导数是$\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}$，而反函数就是对原函数的$xy$对调，所以其反函数的一阶导数为$\dfrac{\textrm{d}x}{\textrm{d}y}$。
|
||||
|
||||
\textbf{例题：}已知$y=x+e^x$，求其反函数的二阶导数。
|
||||
|
||||
$y=x+e^x$的反函数的一阶导数为$\dfrac{\textrm{d}x}{\textrm{d}y}=\dfrac{1}{1+e^x}$。
|
||||
|
||||
所以二阶导数为$\dfrac{\textrm{d}^2x}{\textrm{d}y^2}=\dfrac{\textrm{d}\left(\dfrac{1}{1+e^{x}}\right)}{\textrm{d}y}=\dfrac{\dfrac{\textrm{d}\left(\dfrac{1}{1+e^{x}}\right)}{\textrm{d}x}}{\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}}=-\dfrac{e^x}{(1+e^x)^3}$。
|
||||
|
||||
\section{微分}
|
||||
|
||||
\section{隐函数与参数方程}
|
||||
|
||||
隐函数与参数方程求导基本上只用记住：\medskip
|
||||
|
||||
$\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}=\dfrac{\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}t}}{\dfrac{\textrm{d}x}{\textrm{d}t}}$。
|
||||
|
||||
\textbf{例题：}已知$y=y(x)$由参数方程$\left\{\begin{array}{lcl}
|
||||
x=\dfrac{1}{2}\ln(1+t^2) \\
|
||||
y=\arctan t
|
||||
\end{array}
|
||||
\right.$确定，求其一阶导数与二阶导数。
|
||||
|
||||
$\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}=\dfrac{\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}t}}{\dfrac{\textrm{d}x}{\textrm{d}t}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2t}{1+t^2}}{\dfrac{1}{1+t^2}}=\dfrac{1}{t}$。
|
||||
|
||||
$\dfrac{\textrm{d}^2y}{\textrm{d}x^2}=\dfrac{\textrm{d}\left(\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}\right)}{\textrm{d}x}=\dfrac{\dfrac{\textrm{d}\left(\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}\right)}{\textrm{d}t}}{\dfrac{\textrm{d}x}{\textrm{d}t}}=\dfrac{-\dfrac{1}{t^2}}{\dfrac{t}{1+t^2}}=-\dfrac{1+t^2}{t^3}$。
|
||||
|
||||
\section{导数应用}
|
||||
|
||||
\subsection{单调性与凹凸性}
|
||||
|
||||
\subsection{极值与最值}
|
||||
|
||||
\subsection{函数图像}
|
||||
|
||||
\subsection{曲率}
|
||||
|
||||
曲率公式：$k=\left\lvert\dfrac{\textrm{d}\alpha}{\textrm{d}s}\right\rvert=\dfrac{\vert y''\vert}{(1+y'^2)^{\frac{3}{2}}}$。
|
||||
|
||||
\subsubsection{一般计算}
|
||||
|
||||
\textbf{例题：}求$y=\sin x$在$x=\dfrac{\pi}{4}$对应的曲率
|
||||
|
||||
$y'=\cos x$，$y'(\dfrac{\pi}{4})=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$。
|
||||
|
||||
$y''=-\sin x$，$y''(\dfrac{\pi}{4})=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$。
|
||||
|
||||
$\therefore k=\dfrac{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{\dfrac{3}{2}\cdot\sqrt{\dfrac{3}{2}}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{9}$。
|
||||
|
||||
所以$y=\sin x$在$x=\dfrac{\pi}{4}$的点$(\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\sqrt{2}}{2})$的曲率为$\dfrac{2\sqrt{3}}{9}$。
|
||||
|
||||
\subsubsection{最值}
|
||||
|
||||
\textbf{例题：}求$y=x^2-4x+11$曲率最大值所在的点。
|
||||
|
||||
简单得$y'=2x-4$，$y''=2$。
|
||||
|
||||
曲率为$\dfrac{2}{[1+(2x-4)^2]^{\frac{3}{2}}}$。
|
||||
|
||||
当$2x-4=0$时即在$(2,7)$时曲率最大为2。
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
File diff suppressed because it is too large
Load Diff
File diff suppressed because it is too large
Load Diff
File diff suppressed because it is too large
Load Diff
File diff suppressed because it is too large
Load Diff
File diff suppressed because it is too large
Load Diff
@@ -1,33 +1,33 @@
|
||||
\documentclass[UTF8, 12pt]{ctexart}
|
||||
% UTF8编码，ctexart现实中文
|
||||
\usepackage{color}
|
||||
% 使用颜色
|
||||
\usepackage{geometry}
|
||||
\setcounter{tocdepth}{4}
|
||||
\setcounter{secnumdepth}{4}
|
||||
% 设置四级目录与标题
|
||||
\geometry{papersize={21cm,29.7cm}}
|
||||
% 默认大小为A4
|
||||
\geometry{left=3.18cm,right=3.18cm,top=2.54cm,bottom=2.54cm}
|
||||
% 默认页边距为1英尺与1.25英尺
|
||||
\usepackage{indentfirst}
|
||||
\setlength{\parindent}{2.45em}
|
||||
% 首行缩进2个中文字符
|
||||
\usepackage{setspace}
|
||||
\renewcommand{\baselinestretch}{1.5}
|
||||
% 1.5倍行距
|
||||
\author{Didnelpsun}
|
||||
\title{向量代数与空间解析几何}
|
||||
\date{}
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
\pagestyle{empty}
|
||||
\thispagestyle{empty}
|
||||
\tableofcontents
|
||||
\thispagestyle{empty}
|
||||
\newpage
|
||||
\pagestyle{plain}
|
||||
\setcounter{page}{1}
|
||||
\section{}
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
\documentclass[UTF8, 12pt]{ctexart}
|
||||
% UTF8编码，ctexart现实中文
|
||||
\usepackage{color}
|
||||
% 使用颜色
|
||||
\usepackage{geometry}
|
||||
\setcounter{tocdepth}{4}
|
||||
\setcounter{secnumdepth}{4}
|
||||
% 设置四级目录与标题
|
||||
\geometry{papersize={21cm,29.7cm}}
|
||||
% 默认大小为A4
|
||||
\geometry{left=3.18cm,right=3.18cm,top=2.54cm,bottom=2.54cm}
|
||||
% 默认页边距为1英尺与1.25英尺
|
||||
\usepackage{indentfirst}
|
||||
\setlength{\parindent}{2.45em}
|
||||
% 首行缩进2个中文字符
|
||||
\usepackage{setspace}
|
||||
\renewcommand{\baselinestretch}{1.5}
|
||||
% 1.5倍行距
|
||||
\author{Didnelpsun}
|
||||
\title{向量代数与空间解析几何}
|
||||
\date{}
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
\pagestyle{empty}
|
||||
\thispagestyle{empty}
|
||||
\tableofcontents
|
||||
\thispagestyle{empty}
|
||||
\newpage
|
||||
\pagestyle{plain}
|
||||
\setcounter{page}{1}
|
||||
\section{}
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
@@ -1,33 +1,33 @@
|
||||
\documentclass[UTF8, 12pt]{ctexart}
|
||||
% UTF8编码，ctexart现实中文
|
||||
\usepackage{color}
|
||||
% 使用颜色
|
||||
\usepackage{geometry}
|
||||
\setcounter{tocdepth}{4}
|
||||
\setcounter{secnumdepth}{4}
|
||||
% 设置四级目录与标题
|
||||
\geometry{papersize={21cm,29.7cm}}
|
||||
% 默认大小为A4
|
||||
\geometry{left=3.18cm,right=3.18cm,top=2.54cm,bottom=2.54cm}
|
||||
% 默认页边距为1英尺与1.25英尺
|
||||
\usepackage{indentfirst}
|
||||
\setlength{\parindent}{2.45em}
|
||||
% 首行缩进2个中文字符
|
||||
\usepackage{setspace}
|
||||
\renewcommand{\baselinestretch}{1.5}
|
||||
% 1.5倍行距
|
||||
\author{Didnelpsun}
|
||||
\title{多元函数微分学}
|
||||
\date{}
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
\pagestyle{empty}
|
||||
\thispagestyle{empty}
|
||||
\tableofcontents
|
||||
\thispagestyle{empty}
|
||||
\newpage
|
||||
\pagestyle{plain}
|
||||
\setcounter{page}{1}
|
||||
\section{}
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
\documentclass[UTF8, 12pt]{ctexart}
|
||||
% UTF8编码，ctexart现实中文
|
||||
\usepackage{color}
|
||||
% 使用颜色
|
||||
\usepackage{geometry}
|
||||
\setcounter{tocdepth}{4}
|
||||
\setcounter{secnumdepth}{4}
|
||||
% 设置四级目录与标题
|
||||
\geometry{papersize={21cm,29.7cm}}
|
||||
% 默认大小为A4
|
||||
\geometry{left=3.18cm,right=3.18cm,top=2.54cm,bottom=2.54cm}
|
||||
% 默认页边距为1英尺与1.25英尺
|
||||
\usepackage{indentfirst}
|
||||
\setlength{\parindent}{2.45em}
|
||||
% 首行缩进2个中文字符
|
||||
\usepackage{setspace}
|
||||
\renewcommand{\baselinestretch}{1.5}
|
||||
% 1.5倍行距
|
||||
\author{Didnelpsun}
|
||||
\title{多元函数微分学}
|
||||
\date{}
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
\pagestyle{empty}
|
||||
\thispagestyle{empty}
|
||||
\tableofcontents
|
||||
\thispagestyle{empty}
|
||||
\newpage
|
||||
\pagestyle{plain}
|
||||
\setcounter{page}{1}
|
||||
\section{}
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
@@ -1,33 +1,33 @@
|
||||
\documentclass[UTF8, 12pt]{ctexart}
|
||||
% UTF8编码，ctexart现实中文
|
||||
\usepackage{color}
|
||||
% 使用颜色
|
||||
\usepackage{geometry}
|
||||
\setcounter{tocdepth}{4}
|
||||
\setcounter{secnumdepth}{4}
|
||||
% 设置四级目录与标题
|
||||
\geometry{papersize={21cm,29.7cm}}
|
||||
% 默认大小为A4
|
||||
\geometry{left=3.18cm,right=3.18cm,top=2.54cm,bottom=2.54cm}
|
||||
% 默认页边距为1英尺与1.25英尺
|
||||
\usepackage{indentfirst}
|
||||
\setlength{\parindent}{2.45em}
|
||||
% 首行缩进2个中文字符
|
||||
\usepackage{setspace}
|
||||
\renewcommand{\baselinestretch}{1.5}
|
||||
% 1.5倍行距
|
||||
\author{Didnelpsun}
|
||||
\title{多元函数积分学}
|
||||
\date{}
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
\pagestyle{empty}
|
||||
\thispagestyle{empty}
|
||||
\tableofcontents
|
||||
\thispagestyle{empty}
|
||||
\newpage
|
||||
\pagestyle{plain}
|
||||
\setcounter{page}{1}
|
||||
\section{}
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
\documentclass[UTF8, 12pt]{ctexart}
|
||||
% UTF8编码，ctexart现实中文
|
||||
\usepackage{color}
|
||||
% 使用颜色
|
||||
\usepackage{geometry}
|
||||
\setcounter{tocdepth}{4}
|
||||
\setcounter{secnumdepth}{4}
|
||||
% 设置四级目录与标题
|
||||
\geometry{papersize={21cm,29.7cm}}
|
||||
% 默认大小为A4
|
||||
\geometry{left=3.18cm,right=3.18cm,top=2.54cm,bottom=2.54cm}
|
||||
% 默认页边距为1英尺与1.25英尺
|
||||
\usepackage{indentfirst}
|
||||
\setlength{\parindent}{2.45em}
|
||||
% 首行缩进2个中文字符
|
||||
\usepackage{setspace}
|
||||
\renewcommand{\baselinestretch}{1.5}
|
||||
% 1.5倍行距
|
||||
\author{Didnelpsun}
|
||||
\title{多元函数积分学}
|
||||
\date{}
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
\pagestyle{empty}
|
||||
\thispagestyle{empty}
|
||||
\tableofcontents
|
||||
\thispagestyle{empty}
|
||||
\newpage
|
||||
\pagestyle{plain}
|
||||
\setcounter{page}{1}
|
||||
\section{}
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
@@ -1,35 +1,35 @@
|
||||
\documentclass[UTF8, 12pt]{ctexart}
|
||||
% UTF8编码，ctexart现实中文
|
||||
\usepackage{color}
|
||||
% 使用颜色
|
||||
\usepackage{geometry}
|
||||
\setcounter{tocdepth}{4}
|
||||
\setcounter{secnumdepth}{4}
|
||||
% 设置四级目录与标题
|
||||
\geometry{papersize={21cm,29.7cm}}
|
||||
% 默认大小为A4
|
||||
\geometry{left=3.18cm,right=3.18cm,top=2.54cm,bottom=2.54cm}
|
||||
% 默认页边距为1英尺与1.25英尺
|
||||
\usepackage{indentfirst}
|
||||
\setlength{\parindent}{2.45em}
|
||||
% 首行缩进2个中文字符
|
||||
\usepackage{setspace}
|
||||
\renewcommand{\baselinestretch}{1.5}
|
||||
% 1.5倍行距
|
||||
\author{Didnelpsun}
|
||||
\title{无穷级数}
|
||||
\date{}
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
\pagestyle{empty}
|
||||
\thispagestyle{empty}
|
||||
\tableofcontents
|
||||
\thispagestyle{empty}
|
||||
\newpage
|
||||
\pagestyle{plain}
|
||||
\setcounter{page}{1}
|
||||
\section{}
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
\documentclass[UTF8, 12pt]{ctexart}
|
||||
% UTF8编码，ctexart现实中文
|
||||
\usepackage{color}
|
||||
% 使用颜色
|
||||
\usepackage{geometry}
|
||||
\setcounter{tocdepth}{4}
|
||||
\setcounter{secnumdepth}{4}
|
||||
% 设置四级目录与标题
|
||||
\geometry{papersize={21cm,29.7cm}}
|
||||
% 默认大小为A4
|
||||
\geometry{left=3.18cm,right=3.18cm,top=2.54cm,bottom=2.54cm}
|
||||
% 默认页边距为1英尺与1.25英尺
|
||||
\usepackage{indentfirst}
|
||||
\setlength{\parindent}{2.45em}
|
||||
% 首行缩进2个中文字符
|
||||
\usepackage{setspace}
|
||||
\renewcommand{\baselinestretch}{1.5}
|
||||
% 1.5倍行距
|
||||
\author{Didnelpsun}
|
||||
\title{无穷级数}
|
||||
\date{}
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
\pagestyle{empty}
|
||||
\thispagestyle{empty}
|
||||
\tableofcontents
|
||||
\thispagestyle{empty}
|
||||
\newpage
|
||||
\pagestyle{plain}
|
||||
\setcounter{page}{1}
|
||||
\section{}
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
@@ -1,33 +1,35 @@
|
||||
\documentclass[UTF8, 12pt]{ctexart}
|
||||
% UTF8编码，ctexart现实中文
|
||||
\usepackage{color}
|
||||
% 使用颜色
|
||||
\usepackage{geometry}
|
||||
\setcounter{tocdepth}{4}
|
||||
\setcounter{secnumdepth}{4}
|
||||
% 设置四级目录与标题
|
||||
\geometry{papersize={21cm,29.7cm}}
|
||||
% 默认大小为A4
|
||||
\geometry{left=3.18cm,right=3.18cm,top=2.54cm,bottom=2.54cm}
|
||||
% 默认页边距为1英尺与1.25英尺
|
||||
\usepackage{indentfirst}
|
||||
\setlength{\parindent}{2.45em}
|
||||
% 首行缩进2个中文字符
|
||||
\usepackage{setspace}
|
||||
\renewcommand{\baselinestretch}{1.5}
|
||||
% 1.5倍行距
|
||||
\author{Didnelpsun}
|
||||
\title{微分方程}
|
||||
\date{}
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
\pagestyle{empty}
|
||||
\thispagestyle{empty}
|
||||
\tableofcontents
|
||||
\thispagestyle{empty}
|
||||
\newpage
|
||||
\pagestyle{plain}
|
||||
\setcounter{page}{1}
|
||||
\section{}
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
\documentclass[UTF8, 12pt]{ctexart}
|
||||
% UTF8编码，ctexart现实中文
|
||||
\usepackage{color}
|
||||
% 使用颜色
|
||||
\usepackage{geometry}
|
||||
\setcounter{tocdepth}{4}
|
||||
\setcounter{secnumdepth}{4}
|
||||
% 设置四级目录与标题
|
||||
\geometry{papersize={21cm,29.7cm}}
|
||||
% 默认大小为A4
|
||||
\geometry{left=3.18cm,right=3.18cm,top=2.54cm,bottom=2.54cm}
|
||||
% 默认页边距为1英尺与1.25英尺
|
||||
\usepackage{indentfirst}
|
||||
\setlength{\parindent}{2.45em}
|
||||
% 首行缩进2个中文字符
|
||||
\usepackage{setspace}
|
||||
\renewcommand{\baselinestretch}{1.5}
|
||||
% 1.5倍行距
|
||||
\author{Didnelpsun}
|
||||
\title{微分方程}
|
||||
\date{}
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
\pagestyle{empty}
|
||||
\thispagestyle{empty}
|
||||
\tableofcontents
|
||||
\thispagestyle{empty}
|
||||
\newpage
|
||||
\pagestyle{plain}
|
||||
\setcounter{page}{1}
|
||||
\section{}
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
@@ -1,32 +1,32 @@
|
||||
\documentclass[UTF8, 12pt]{ctexart}
|
||||
% UTF8编码，ctexart现实中文
|
||||
\usepackage{color}
|
||||
% 使用颜色
|
||||
\usepackage{geometry}
|
||||
\setcounter{tocdepth}{4}
|
||||
\setcounter{secnumdepth}{4}
|
||||
% 设置四级目录与标题
|
||||
\geometry{papersize={21cm,29.7cm}}
|
||||
% 默认大小为A4
|
||||
\geometry{left=3.18cm,right=3.18cm,top=2.54cm,bottom=2.54cm}
|
||||
% 默认页边距为1英尺与1.25英尺
|
||||
\usepackage{indentfirst}
|
||||
\setlength{\parindent}{2.45em}
|
||||
% 首行缩进2个中文字符
|
||||
\usepackage{setspace}
|
||||
\renewcommand{\baselinestretch}{1.5}
|
||||
% 1.5倍行距
|
||||
\author{Didnelpsun}
|
||||
\title{标题}
|
||||
\date{}
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
\pagestyle{empty}
|
||||
\thispagestyle{empty}
|
||||
\tableofcontents
|
||||
\thispagestyle{empty}
|
||||
\newpage
|
||||
\pagestyle{plain}
|
||||
\setcounter{page}{1}
|
||||
\section{}
|
||||
\end{document}
|
||||
\documentclass[UTF8, 12pt]{ctexart}
|
||||
% UTF8编码，ctexart现实中文
|
||||
\usepackage{color}
|
||||
% 使用颜色
|
||||
\usepackage{geometry}
|
||||
\setcounter{tocdepth}{4}
|
||||
\setcounter{secnumdepth}{4}
|
||||
% 设置四级目录与标题
|
||||
\geometry{papersize={21cm,29.7cm}}
|
||||
% 默认大小为A4
|
||||
\geometry{left=3.18cm,right=3.18cm,top=2.54cm,bottom=2.54cm}
|
||||
% 默认页边距为1英尺与1.25英尺
|
||||
\usepackage{indentfirst}
|
||||
\setlength{\parindent}{2.45em}
|
||||
% 首行缩进2个中文字符
|
||||
\usepackage{setspace}
|
||||
\renewcommand{\baselinestretch}{1.5}
|
||||
% 1.5倍行距
|
||||
\author{Didnelpsun}
|
||||
\title{标题}
|
||||
\date{}
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
\pagestyle{empty}
|
||||
\thispagestyle{empty}
|
||||
\tableofcontents
|
||||
\thispagestyle{empty}
|
||||
\newpage
|
||||
\pagestyle{plain}
|
||||
\setcounter{page}{1}
|
||||
\section{}
|
||||
\end{document}
|
||||
|
||||
Reference in New Issue
Block a user