更新行列式与矩阵

linear-algebra/exercise/1-determinant/determinant.tex

@@ -2,6 +2,7 @@
 % UTF8编码，ctexart现实中文
 \usepackage{color}
 % 使用颜色
+\definecolor{orange}{RGB}{255,127,0}
 \usepackage{geometry}
 \setcounter{tocdepth}{4}
 \setcounter{secnumdepth}{4}
@@ -167,6 +168,82 @@ $\left|\begin{array}{cc}
     B & *
 \end{array}\right|=(-1)^{mn}\vert A\vert\cdot\vert B\vert$。
 
+\subsubsection{爪形行列式}
+
+$\left|\begin{array}{cccc} 
+    a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
+    a_{21} & \ddots & & \\
+    \vdots & & \ddots &  \\
+    a_{n1} & & & a_{nn}
+\end{array}\right|$，$
+\left|\begin{array}{cccc} 
+    a_{11} & & & a_{1n} \\
+    a_{21} & & \begin{turn}{80}$\ddots$\end{turn} & \\
+    \vdots & \begin{turn}{80}$\ddots$\end{turn} & &  \\
+    a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
+\end{array}\right|$，$
+\left|\begin{array}{cccc} 
+    a_{11} & & & a_{1n} \\
+     & \ddots & & a_{2n} \\
+     & & \ddots & \vdots \\
+    a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
+\end{array}\right|$，
+
+$
+\left|\begin{array}{cccc} 
+    a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
+     & & \begin{turn}{80}$\ddots$\end{turn} & a_{2n} \\
+     & \begin{turn}{80}$\ddots$\end{turn} & & \vdots \\
+    a_{n1} & & & a_{nn}
+\end{array}\right|$。低阶直接进行展开，高阶需要使用递推法。
+
+\subsubsection{异爪形行列式}
+
+每种爪形行列式都能变为三种异爪形行列式，如$\left|\begin{array}{cccc} 
+    a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
+    a_{21} & \ddots & & \\
+    \vdots & & \ddots &  \\
+    a_{n1} & & & a_{nn}
+\end{array}\right|$：
+
+$\left|\begin{array}{cccc} 
+    a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
+    a_{21} & \ddots & & \\
+     & \ddots & \ddots &  \\
+     & & \ddots & a_{nn}
+\end{array}\right|$，$\left|\begin{array}{cccc} 
+    a_{11} & a_{12} & & \\
+    a_{21} & \ddots & \ddots & \\
+    \vdots & & \ddots & \ddots \\
+    a_{n1} & & & a_{nn}
+\end{array}\right|$，$\left|\begin{array}{cccc} 
+    a_{11} & a_{12} & & \\
+    a_{21} & \ddots & \ddots & \\
+     & \ddots & \ddots & \ddots \\
+     & & \ddots & a_{nn}
+\end{array}\right|$。
+
+基本方法是用斜着的数消去平的数，从而让异爪形行列式变为三角行列式。
+
+\textbf{例题：}计算$\left|\begin{array}{cccc} 
+    1 & 1 & 1 & 1 \\
+    1 & 2 & 0 & 0 \\
+    1 & 0 & 3 & 0 \\
+    1 & 0 & 0 & 4
+\end{array}\right|$。
+
+解：各行提取斜对角线数$=2\times3\times4\left|\begin{array}{cccc} 
+    1 & 1 & 1 & 1 \\
+    \dfrac{1}{2} & 0 & 0 & 0 \\
+    \dfrac{1}{3} & 0 & 1 & 0 \\
+    \dfrac{1}{4} & 0 & 0 & 1
+\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc} 
+    -\dfrac{1}{12} & 0 & 0 & 0 \\
+    \dfrac{1}{2} & 0 & 0 & 0 \\
+    \dfrac{1}{3} & 0 & 1 & 0 \\
+    \dfrac{1}{4} & 0 & 0 & 1
+\end{array}\right|=-2$。
+
 \subsubsection{基本行列式计算}
 
 基本的计算方式是对角线法则计算与行列式展开两种方法。若符合基本特殊行列式的可以按照公式。
@@ -178,6 +255,8 @@ $\left|\begin{array}{cc}
     \item 通过行列式的对换从上往下让行列式变成上三角行列式，对角线相乘就得到结果。
 \end{itemize}
 
+这两种方式可以混合使用，直接展开可以在有足够多的0的情况下使用或阶数较低的情况下使用。\medskip
+
 \textbf{例题：}计算$\left|\begin{array}{cccccc} 
     a & b & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
     0 & a & b & \cdots & 0 & 0 \\
@@ -187,7 +266,7 @@ $\left|\begin{array}{cc}
     b & 0 & 0 & \cdots & 0 & a
 \end{array}\right|$。
 
-直接按第一列展开：
+解：直接按第一列展开：
 
 $=a(-1)^{1+1}\left|\begin{array}{ccccc} 
     a & b & \cdots & 0 & 0 \\
@@ -195,8 +274,16 @@ $=a(-1)^{1+1}\left|\begin{array}{ccccc}
     \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
     0 & 0 & \cdots & a & b \\
     0 & 0 & \cdots & 0 & a
+\end{array}\right|+b\cdot(-1)^{n+1}\left|\begin{array}{ccccc} 
+    b & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
+    a & b & \cdots & 0 & 0 \\
+    \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
+    0 & 0 & \cdots & b & 0 \\
+    0 & 0 & \cdots & a & b \\
 \end{array}\right|$
 
+$=a\cdot a^{n-1}+(-1)^{n+1}b\cdot b^{n-1}=a^n+(-1)^{n+1}b^n$。
+
 \subsection{提取公因式}
 
 可以提取某一行或某一列的公因式。
@@ -361,10 +448,6 @@ $=3\left|\begin{array}{cccc}
     0 & 0  & -\dfrac{7}{3} & 2 \\
 \end{array}\right|=0$。
 
-% \subsection{分块行列式}
-
-% 当行列式左下角和右上角的矩阵为零矩阵时可以只考虑对角线矩阵的乘积值。
-
 \subsection{拆项}
 
 若行列式某一行或一列是有两个值构成，则可以把其拆开，其他部分行列不变。
@@ -447,7 +530,7 @@ $
 
 \subsection{行列加和为定值}
 
-当行列式每一行或每一列相加都为一个固定的值，可以把第二行开始的各行都加到第一行，再提取公因式。
+当行列式每一行或每一列相加都为一个固定的值，可以把第二行开始的各行都加到第一行或列，再提取公因式，提出后第一行或第一列变为1，再依次对每行或每列进行消去，最终变成对角线行列式。
 
 \textbf{例题：}计算$\left|\begin{array}{cccc} 
     x & a & \cdots & a \\
@@ -498,7 +581,76 @@ $=(1+a_1+a_2+\cdots+a_n)\left|\begin{array}{cccc}
     a_n & 0 & \cdots & 1 \\
 \end{array}\right|=(1+a_1+a_2+\cdots+a_n)$。
 
-\subsection{X型矩阵}
+\subsection{分块行列式}
+
+就是分块行列式的拓展，也称为拉普拉斯展开式，当行列式左下角和右上角的矩阵为零矩阵时可以只考虑对角线矩阵的乘积值。
+
+\textbf{例题：}计算$\left|\begin{array}{cccc} 
+    a_1 & 0 & 0 & b_1 \\
+    0 & a_2 & b_2 & 0 \\
+    0 & b_3 & a_3 & 0 \\
+    b_4 & 0 & 0 & a_4
+\end{array}\right|$。
+
+$=-\left|\begin{array}{cccc} 
+    a_1 & b_1 & 0 & 0  \\
+    0 & 0 & a_2 & b_2 \\
+    0 & 0 & b_3 & a_3 \\
+    b_4 & a_4 & 0 & 0
+\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc} 
+    a_1 & b_1 & 0 & 0  \\
+    b_4 & a_4 & 0 & 0 \\
+    0 & 0 & b_3 & a_3 \\
+    0 & 0 & a_2 & b_2
+\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc} 
+    a_1 & b_1 \\
+    b_4 & a_4
+\end{array}\right|\left|\begin{array}{cc}
+    b_3 & a_3 \\
+    a_2 & b_2
+\end{array}\right|=(a_1a_4-b_1b_4)(a_2a_3-b_2b_3)$。
+
+\subsection{递推法}
+
+当行列式一共有$n$项，很多时候都需要使用到递推法，递推法也一般与其他方法共同使用。
+
+\textbf{例题：}计算$\left|\begin{array}{cccccc} 
+    2 & -1 & 0 & \cdots & 0 & 0  \\
+    -1 & 2 & -1 & \cdots & 0 & 0 \\
+    0 & -1 & 2 & \cdots & 0 & 0 \\
+    \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
+    0 & 0 & 0 & \cdots & 2 & -1 \\
+    0 & 0 & 0 & \cdots & -1 & 2
+\end{array}\right|_{n\times n}$
+
+解：这是一个爪形行列式，然而无法通过斜的数数据来消去平的数据，考虑将所有列都加到第一列：
+
+$D_n=\left|\begin{array}{cccccc} 
+    1 & -1 & 0 & \cdots & 0 & 0  \\
+    0 & 2 & -1 & \cdots & 0 & 0 \\
+    0 & -1 & 2 & \cdots & 0 & 0 \\
+    \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
+    0 & 0 & 0 & \cdots & 2 & -1 \\
+    1 & 0 & 0 & \cdots & -1 & 2
+\end{array}\right|=1\cdot(-1)^{1+1}\left|\begin{array}{ccccc} 
+    2 & -1 & \cdots & 0 & 0 \\
+    -1 & 2 & \cdots & 0 & 0 \\
+    \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
+    0 & 0 & \cdots & 2 & -1 \\
+    0 & 0 & \cdots & -1 & 2
+\end{array}\right|$
+
+$+1\cdot(-1)^{n+1}\left|\begin{array}{cccccc} 
+    -1 & 0 & \cdots & 0 & 0  \\
+    2 & -1 & \cdots & 0 & 0 \\
+    -1 & 2 & \ddots & 0 & 0 \\
+    \vdots & \vdots & \cdots & \ddots & \vdots \\
+    0 & 0 & \cdots & 2 & -1
+\end{array}\right|=D_{n-1}+1\cdot(-1)^{n+1}(-1)^{n-1}$
+
+$\therefore D_n=D_{n-1}+1$。这就是本题目的递推式。$D_n=D_1+n-1=2+n-1=1+n$。
+
+\textcolor{orange}{注意：}对于爪形和异爪形行列式的递推时，只能从爪尖开始消（行列式展开），不能从爪根部消，否则就不能保证爪的形状。
 
 \textbf{例题：}计算$\left|\begin{array}{ccccccc} 
     a & & & & & b \\
@@ -507,7 +659,7 @@ $=(1+a_1+a_2+\cdots+a_n)\left|\begin{array}{cccc}
      & & c & d \\
      & \begin{turn}{80}$\ddots$\end{turn} & & & \ddots \\
     c & & & & & d
-\end{array}\right|_{2n}$。
+\end{array}\right|_{2n\times 2n}$。
 
 解：将其$2n$行不断与$2n-1\cdots2$行对换，再将其$2n$列不断与$2n-1\cdots2$列对换，一共对换$2(2n-2)$次，一定是一个偶数：
 
@@ -520,7 +672,7 @@ $=\left|\begin{array}{cccccccc}
     \vdots & \vdots & \vdots & & c & d \\
     \vdots & \vdots & \vdots & \begin{turn}{80}$\ddots$\end{turn} & & & \ddots \\
     0 & 0 & c & & & & & d
-\end{array}\right|_{2n}$，根据分块行列式的计算方式：
+\end{array}\right|_{2n\times 2n}$，根据分块行列式的计算方式：
 
 $D_{2n}=D_2D_{2(n-1)}=(ad-bc)D_{2(n-1)}$，所以不断递推可以得到结果为$(ad-bc)^n$。
 

linear-algebra/knowledge/1-determinant/determinant.tex

@@ -274,7 +274,7 @@ $，
 
 \section{行列式展开}
 
-\subsection{代数余子式}
+\subsection{余子式}
 
 $
 D=\left|\begin{array}{cccc} 
@@ -287,6 +287,10 @@ $
 
 \textcolor{violet}{\textbf{定义：}}$\forall a_{ij}$，$D$中划去$i$行，$j$列余下元素而成的$n-1$阶行列式记为$M_{ij}$，其就是$a_{ij}$的余子式。
 
+余子式$a_{ij}$只与$ij$即位置有关，与$a_{ij}$大小无关。
+
+\subsection{代数余子式}
+
 令$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$，其就是$a_{ij}$的\textbf{代数余子式}。
 
 \textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}若一个$n$阶行列式，若其中第$i$行所有元素除$(i,j)$元$a_{ij}$外都是零，则行列式值$D=a_{ij}A_{ij}$。

linear-algebra/knowledge/2-matrix/matrix.tex

@@ -103,14 +103,14 @@
 
 设与两个矩阵都是同型矩阵$m\times n$，$A=(a_{ij})$和$B=(b_{ij})$，则其加法就是$A+B$。
 
-$$A+B=\left(
+$A+B=\left(
     \begin{array}{cccc}
         a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & \cdots & a_{1n}+b_{1n} \\
         a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & \cdots & a_{2n}+b_{2n} \\
         \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
         a_{m1}+b_{m1} & a_{m2}+b_{m2} & \cdots & a_{m+n}+b_{m+n}
     \end{array}
-\right)$$
+\right)$
 
 \begin{itemize}
     \item $A+B=B+A$。
@@ -125,14 +125,14 @@ $$A+B=\left(
 
 数$\lambda$与矩阵$A$的乘积记为$\lambda A$或$A\lambda$，规定：
 
-$$\lambda A=A\lambda=\left(
+$\lambda A=A\lambda=\left(
     \begin{array}{cccc}
         \lambda a_{11} & \lambda a_{12} & \cdots & \lambda a_{1n} \\
         \lambda a_{21} & \lambda a_{22} & \cdots & \lambda a_{2n} \\
         \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
         \lambda a_{m1} & \lambda a_{m2} & \cdots & \lambda a_{mn}
     \end{array}
-\right)$$
+\right)$
 
 假设$A$、$B$都是$m\times n$的矩阵，$\lambda$、$\mu$为数：
 
@@ -146,7 +146,9 @@ $$\lambda A=A\lambda=\left(
 
 \subsection{矩阵相乘}
 
-设$A=(a_{ij})$是一个$m\times s$的矩阵，$B=(b_{ij})$是一个$s\times n$的矩阵，那么$A\times B=AB=C_{m\times n}=(c_{ij})$。即：$c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{is}b_{sj}=\sum\limits_{k=1}^sa_{ik}b_{kj}\,\text{（}i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots,n\text{）}$
+设$A=(a_{ij})$是一个$m\times s$的矩阵，$B=(b_{ij})$是一个$s\times n$的矩阵，那么$A\times B=AB=C_{m\times n}=(c_{ij})$。即：$c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{is}b_{sj}=\sum\limits_{k=1}^sa_{ik}b_{kj}\,\text{（}i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots,n\text{）}$。
+
+即前一个矩阵的行乘后一个矩阵的列就得到当前元素的值。
 
 所以按此定义一个$1\times s$行矩阵与$s\times 1$列矩阵的乘积就是一个1阶方针即一个数：
 
@@ -197,7 +199,7 @@ $AB=A(\beta_1,\cdots,\beta_s)=(A\beta_1,\cdots,A\beta_n)$。
 
 若$A$是$n$阶方阵，所以：
 
-$$A^1=A\text{，}A^2=A^1A^1\text{，}\cdots\text{，}A^{k+1}=A^kA^1$$
+$A^1=A\text{，}A^2=A^1A^1\text{，}\cdots\text{，}A^{k+1}=A^kA^1$
 
 \begin{itemize}
     \item $A^kA^l=A^{k+l}$。
@@ -253,6 +255,7 @@ $f(A)=A^2-A-6E=(A+2E)(A-3E)$。
     \item $(A+B)^T=A^T+B^T$。
     \item $(\lambda A)^T=\lambda A^T$。
     \item $(AB)^T=B^TA^T$。
+    \item 若$m=n$，$\vert A\vert=\vert A^T\vert$。
 \end{itemize}
 
 对称矩阵或对称阵\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}元素以对角线为对称轴对应相等，$A=A^T$。
@@ -267,16 +270,18 @@ $f(A)=A^2-A-6E=(A+2E)(A-3E)$。
     \item $\vert AB\vert=\vert A\vert\cdot\vert B\vert=\vert BA\vert$。
 \end{itemize}
 
+一般而言：$\vert A+B\vert\neq\vert A\vert+\vert B\vert$，$\vert A\vert\neq O\nRightarrow\vert A\vert\neq0$，$A\neq B\nRightarrow\vert A\vert\neq\vert B\vert$。
+
 伴随矩阵或伴随阵\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}行列式$\vert A\vert$各个元素的代数余子式$A_{ij}$转置构成的矩阵。
 
-$$A^*=\left(
+$A^*=\left(
     \begin{array}{cccc}
         A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\
         A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\
         \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
         A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn}
     \end{array}
-\right)$$
+\right)$
 
 其中$AA^*=A^*A=\vert A\vert E$。
 
@@ -292,7 +297,7 @@ $$A^*=\left(
 
 \textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}若$AB$矩阵行列数相同，采用相同的分块法，则
 
-$$A=\left(
+$A=\left(
     \begin{array}{ccc}
         A_{11} & \cdots & A_{1r} \\
         \vdots & & \vdots \\
@@ -304,15 +309,15 @@ $$A=\left(
         \vdots & & \vdots \\
         B_{s1} & \cdots & B_{sr}
     \end{array}
-\right)$$
+\right)$
 
-$$A+B=\left(
+$A+B=\left(
     \begin{array}{ccc}
         A_{11}+B_{11} & \cdots & A_{1r}+B_{1r} \\
         \vdots & & \vdots \\
         A_{s1}+B_{s1} & \cdots & A_{sr}+B_{sr}
     \end{array}
-\right)\text{。}$$
+\right)\text{。}$
 
 \textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}设$A=\left(
     \begin{array}{ccc}
@@ -330,7 +335,7 @@ $$A+B=\left(
 
 \textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}若$A_{m\times l}$，$B_{l\times n}$，采用相同的分块法，则
 
-$$A=\left(
+$A=\left(
     \begin{array}{ccc}
         A_{11} & \cdots & A_{1t} \\
         \vdots & & \vdots \\
@@ -342,15 +347,15 @@ $$A=\left(
         \vdots & & \vdots \\
         B_{t1} & \cdots & B_{sr}
     \end{array}
-\right)$$
+\right)$
 
-$$AB=\left(
+$AB=\left(
     \begin{array}{ccc}
         C_{11} & \cdots & C_{1r} \\
         \vdots & & \vdots \\
         C_{s1} & \cdots & C_{sr}
     \end{array}
-\right)\text{，}C_{ij}=\sum\limits_{k=1}^tA_{ik}B_{kj}\text{。}$$
+\right)\text{，}C_{ij}=\sum\limits_{k=1}^tA_{ik}B_{kj}\text{。}$
 
 \textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}设$A=\left(
     \begin{array}{ccc}
@@ -404,28 +409,30 @@ $$AB=\left(
 
 若对于$A_{m\times s}$与$B_{s\times n}$的乘积矩阵$AB=C=(c_{ij})_{m\times n}$，若将$A$按行分为$m$块，$B$按列分为$n$块，则有：
 
-$$AB=\left(
+$AB=\left(
     \begin{array}{c}
         a_1^T \\
         a_2^T \\
         \vdots \\
         a_{m}^T
     \end{array}
-\right)(b_1,b_2,\cdots,b_n)=\left(
+\right)(b_1,b_2,\cdots,b_n)$
+
+$=\left(
     \begin{array}{cccc}
         a_1^Tb_1 & a_1^Tb_2 & \cdots & a_1^Tb_n \\
         a_2^Tb_1 & a_2^Tb_2 & \cdots & a_2^Tb_n \\
         \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
         a_{m}^Tb_1 & a_{m}^Tb_2 & \cdots & a_{m}^Tb_n
     \end{array}
-\right)=(c_{ij})_{m\times n}\text{。}$$
+\right)=(c_{ij})_{m\times n}\text{。}$
 
-$$c_{ij}=a_i^Tb_j=(a_{i1},a_{i2},\cdots,a_{is})\left(\begin{array}{c}
+其中：$c_{ij}=a_i^Tb_j=(a_{i1},a_{i2},\cdots,a_{is})\left(\begin{array}{c}
     b_{1j} \\
     b_{2j} \\
     \vdots \\
     b_{sj}
-\end{array}\right)=\sum\limits_{k=1}^s=a_{ik}b_{kj}\text{。}$$
+\end{array}\right)=\sum\limits_{k=1}^s=a_{ik}b_{kj}\text{。}$
 
 \textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}$A=O$的充要条件是$A^TA=O$。
 
@@ -433,7 +440,7 @@ $$c_{ij}=a_i^Tb_j=(a_{i1},a_{i2},\cdots,a_{is})\left(\begin{array}{c}
 
 设$A=(a_{ij})_{m\times n}$，将$A$按列分块为$A=(a_1,a_2,\cdots,a_n)$，则
 
-$$A^TA=\left(
+$A^TA=\left(
     \begin{array}{c}
         a_1^T \\
         a_2^T \\
@@ -447,7 +454,7 @@ $$A^TA=\left(
         \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
         a_{m}^Ta_1 & a_{m}^Ta_2 & \cdots & a_{m}^Ta_n
     \end{array}
-\right)\text{。}$$
+\right)\text{。}$
 
 所以$A^TA$的元为$a^T_ia_j$，又$\because A^TA=O$，$\therefore a^T_ia_j=0$（$i,j=1,2,\cdots n$）。
 
@@ -554,34 +561,34 @@ $\therefore A=O$。
 
 矩阵乘法实际上就是线性方程组的线性变换，将一个变量关于另一个变量的关系式代入原方程组，得到与另一个变量的关系。
 
-$$\begin{cases}
+$\begin{cases}
     y_1=a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1s}x_s \\
     \cdots \\
     y_m=a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{ms}x_s
-\end{cases}\text{，}\begin{cases}
+\end{cases}\begin{cases}
     x_1=b_{11}t_1+b_{12}t_2+\cdots+b_{1n}t_n \\
     \cdots \\
     x_s=b_{s1}t_1+b_{s2}t_2+\cdots+b_{sn}t_n
-\end{cases}\text{。}$$
+\end{cases}$
 
 原本是线性方程分别是$y$与$x$和$x$与$t$的关系式，而如果将$t$关于$x$的关系式代入$x$关于$y$的关系式中，就会得到$t$关于$y$的关系式：
 
-$$\begin{cases}
-    y_1=a_{11}(b_{11}t_1+b_{12}t_2+\cdots+b_{1n}t_n)+\cdots+a_{1s}(b_{s1}t_1+b_{s2}t_2+\cdots+b_{sn}t_n) \\
+$\begin{cases}
+    y_1=a_{11}(b_{11}t_1+\cdots+b_{1n}t_n)+\cdots+a_{1s}(b_{s1}t_1+b_{s2}t_2+\cdots+b_{sn}t_n) \\
     \cdots \\
-    y_m=a_{m1}(b_{11}t_1+b_{12}t_2+\cdots+b_{1n}t_n)+\cdots+a_{ms}(b_{s1}t_1+b_{s2}t_2+\cdots+b_{sn}t_n)
-\end{cases}$$
+    y_m=a_{m1}(b_{11}t_1+\cdots+b_{1n}t_n)+\cdots+a_{ms}(b_{s1}t_1+b_{s2}t_2+\cdots+b_{sn}t_n)
+\end{cases}$
 
-$$=\begin{cases}
+$=\begin{cases}
     y_1=(a_{11}b_{11}+\cdots+a_{1s}b_{s1})t_1+\cdots+(a_{11}b_{1n}+\cdots+a_{1s}b_{sn})t_n \\
     \cdots \\
     y_m=(a_{m1}b_{11}+\cdots+a_{ms}b_{s1})t_1+\cdots+(a_{m1}b_{1n}+\cdots+a_{ms}b_{sn})t_m
-\end{cases}$$
+\end{cases}$
 
 这可以看作上面两个线性方程组相乘，也可以将线性方程组表示为矩阵，进行相乘就得到乘积，从而了解矩阵乘积与线性方程组的关系：
 
 
-$$\left(\begin{array}{ccc}
+$\left(\begin{array}{ccc}
     a_{11} & \cdots & a_{1s} \\
     \vdots & \ddots & \vdots \\
     a_{m1} & \cdots & a_{ms}
@@ -589,13 +596,13 @@ $$\left(\begin{array}{ccc}
     b_{11} & \cdots & a_{1n} \\
     \vdots & \ddots & \vdots \\
     b_{s1} & \cdots & b_{sn}
-\end{array}\right)_{s\times n}$$
+\end{array}\right)_{s\times n}$
 
-$$=\left(\begin{array}{ccc}
+$=\left(\begin{array}{ccc}
     a_{11}b_{11}+\cdots+a_{1s}b_{s1} & \cdots & a_{11}b_{1n}+\cdots+a_{1s}b_{sn} \\
     \vdots & \ddots & \vdots \\
     a_{m1}b_{11}+\cdots+a_{ms}b_{s1} & \cdots & a_{m1}b_{1n}+\cdots+a_{ms}b_{sn}
-\end{array}\right)_{m\times n}\text{。}$$
+\end{array}\right)_{m\times n}\text{。}$
 
 \subsection{线性方程组的解}
 
@@ -636,7 +643,7 @@ $$=\left(\begin{array}{ccc}
 
 按乘积表示为$A_{m\times n}x_{n\times 1}=b_{m\times 1}$，然后将$A$按列分块，$x$按行分块：
 
-$$(a_1,a_2,\cdots,a_n)\left(\begin{array}{c}
+$(a_1,a_2,\cdots,a_n)\left(\begin{array}{c}
     x_1 \\
     x_2 \\
     \vdots \\
@@ -656,7 +663,7 @@ $$(a_1,a_2,\cdots,a_n)\left(\begin{array}{c}
     b_2 \\
     \vdots \\
     b_m
-\end{array}\right)\text{。}$$
+\end{array}\right)\text{。}$
 
 这三种都是解的表示方法。
 
@@ -795,7 +802,7 @@ $(A\vdots B)\overset{r}{\thicksim}(E\vdots A^{-1})$，$\left(\begin{array}{c}
 
 解：因为$AX=B$，所以左乘$A^{-1}$：$A^{-1}AX=EX=A^{-1}B$，增广矩阵行变换：
 
-$$(A,B)=\left(\begin{array}{ccccc}
+$(A,B)=\left(\begin{array}{ccccc}
     2 & 1 & -3 & 1 & -1 \\
     1 & 2 & -2 & 2 & 0 \\
     -1 & 3 & 2 & -2 & 5
@@ -803,7 +810,7 @@ $$(A,B)=\left(\begin{array}{ccccc}
     1 & 2 & -2 & 2 & 0 \\
     0 & -3 & 1 & -3 & -1 \\
     0 & 5 & 0 & 0 & 5
-\end{array}\right)$$
+\end{array}\right)$
 
 $\thicksim\left(\begin{array}{ccccc}
     1 & 2 & -2 & 2 & 0 \\
@@ -821,4 +828,6 @@ $\thicksim\left(\begin{array}{ccccc}
 
 \section{矩阵秩}
 
+秩的本质就是组成矩阵的线性无关的向量个数。
+
 \end{document}