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linear-algebra/exercise/5-similar/similar.tex

@@ -171,6 +171,34 @@ $\left\{\begin{array}{l}
 
 即$\xi=(1,1,1)^T$。
 
+\subsection{矩阵}
+
+即根据$A=P\Lambda P^{-1}$的特征向量矩阵和特征值矩阵来反求矩阵。
+
+\subsection{行列式值}
+
+一般会给出特征值，求$A$的行列式值。
+
+\subsubsection{特征方程}
+
+题目要求$\vert f(A)-E\vert$的形式，即求$f(A)$的特征值。
+
+\textbf{例题：}设$A$为三阶矩阵，已知$-3E+A$不可逆，$\vert2E+A\vert=0$，$(E-A)x=0$有非零解，求$\vert A^*-E\vert$。
+
+解：前三个条件都是为了指明$\vert-3E+A\vert=\vert3E-A\vert=0$，$\vert-2E-A\vert=0$，$\vert E-A\vert=0$，即得到$A$的三个特征值$\lambda_1=3$、$\lambda_2=-2$、$\lambda_3=1$。
+
+求$\vert A^*-E\vert$即求$A^*$的特征值，然后再乘起来，即得到行列式的值。
+
+又$A^{-1}=\dfrac{A^*}{\vert A\vert}$，所以$A^*=\dfrac{\vert A\vert}{A}$。
+
+$\vert A\vert$等于特征值的乘积$-6$，对应的特征值即为$\mu_1=\dfrac{-6}{3}=-2$，$\mu_2=\dfrac{-6}{-2}=3$，$\mu_3=\dfrac{-6}{1}=-6$。
+
+对应$A^*-E$的特征值为$-3$，$2$，$-6$，所以最后的行列式值为$42$。
+
+\subsubsection{矩阵函数}
+
+题目要求$\vert f(A)\vert$的形式，即求$f(A)$的特征值，然后求其乘积就是矩阵方程的行列式值。
+
 \section{相似理论}
 
 $P^{-1}AP=\Lambda$，$P$为特征向量组，$\Lambda$为特征值矩阵。

linear-algebra/exercise/6-quadratic-form/quadratic-form.tex

@@ -34,9 +34,44 @@
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 \pagestyle{plain}
 \setcounter{page}{1}
+\section{二次型}
+
+即最基本的将二次型式子变为矩阵形式。
+
+\subsection{配方法}
+
+\subsection{矩阵乘法}
+
+由于二次型是$X^TAX$的形式，所以最后的左右两边都存在所有的$x_i$，所以可以依次把$x_i$缺的项进行补齐$x_n$与其他所有$x_i$乘积的和的形式。
+
+\textbf{例题：}将二次型$f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+2x_2^2+2x_3^2-2x_1x_2-2x_2x_3+2x_1x_3$化为矩阵。
+
+解：$f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+2x_2^2+2x_3^2-2x_1x_2-2x_2x_3+2x_1x_3=2x_1^2-2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2^2-2x_2x_3+2x_3^2=2x_1^2-x_1x_2+x_1x_3+2x_2^2-x_1x_2-x_2x_3+2x_3^2+x_1x_3-x_2x_3=x_1(2x_1-x_2+x_3)+x_2(-x_1+2x_2-x_3)+x_3(x_1-x_2+2x_3)$
+
+$=\left[x_1,x_2,x_3\right]\left[\begin{array}{c}
+    2x_1-x_2+x_3 \\
+    -x_1+2x_2-x_3 \\\
+    x_1-x_2+2x_3
+\end{array}\right]=[x_1,x_2,x_3]\left[\begin{array}{ccc}
+    2 & -1 & 1\\
+    -1 & 2 & -1\\
+    1 & -1 & 2
+\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
+    x_1 \\
+    x_2 \\
+    x_3
+\end{array}\right]$。
+
+即$A=\left[\begin{array}{ccc}
+    2 & -1 & 1\\
+    -1 & 2 & -1\\
+    1 & -1 & 2
+\end{array}\right]$。
 
 \section{标准形}
 
+即将二次型式子变为平方形式，再变量更换，变成矩阵形式。
+
 \subsection{配方法}
 
 \begin{enumerate}
@@ -47,6 +82,8 @@
 
 \subsubsection{平方项}
 
+即依次对存在$x_i$的式子进行整合配方。
+
 \textbf{例题：}将$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_1x_2+2x_1x_3-x_2^2-2x_2x_3-x_3^2$化为标准形并求出作的可逆线性变换。
 
 解：首先对$x_1$进行配方，因为有$x_1$因子的式子有$x_1^2+2x_1x_2+2x_1x_3$。
@@ -222,4 +259,17 @@ $\therefore\Lambda=\left(\begin{array}{ccc}
 \end{array}\right)(y_1,y_2,y_3)^T=y_1^2+y_2^2+10y_3^2$
 
 \section{正定二次型}
+
+\subsection{具体型}
+
+\begin{enumerate}
+    \item 顺序主子式全部大于0。
+    \item 特征值全部大于0。
+    \item 配方化为全平方和的标准型，正惯性指数$p=n$（未知数个数）。
+    \item 矩阵乘法配方为完全平方和，内积$D^TD$不等于0。
+    \item 。
+\end{enumerate}
+
+\subsection{抽象型}
+
 \end{document}