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advanced-math/knowledge/4-indefinite-integral-and-definite-integral/indefinite-integral-and-definite-integral.tex

@@ -391,20 +391,6 @@ $\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x=F(b)-F(a)=F'(\xi)(b-a)=f(\xi)(b-a)$（$a<\xi<b$）。
     \item 若函数$f(x)$是连续的偶函数，则$\int_{-a}^af(x)\,\textrm{d}x=2\int_0^af(x)\,\textrm{d}x$。
     \item 若函数$f(x)$是连续的奇函数，则$\int_{-a}^af(x)\,\textrm{d}x=0$。
     \item 区间再现公式：若函数$f(x)$为连续函数，则$\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x=\int_a^bf(a+b-x)\,\textrm{d}x$。
-    \item 华里士公式（根据区间再现公式可知$\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^nx\,\textrm{d}x=\int_0^\frac{\pi}{2}\cos^nx\,\textrm{d}x$）：
-    $$\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^nx\,\textrm{d}x=\int_0^\frac{\pi}{2}\cos^nx\,\textrm{d}x=\left\{\begin{array}{ll}
-        \dfrac{n-1}{n}\cdot\dfrac{n-3}{n-2}\cdot\cdots\cdot\dfrac{2}{3}\cdot1, & n\text{为非}1\text{奇数} \\ \medskip
-        \dfrac{n-1}{n}\cdot\dfrac{n-3}{n-2}\cdot\cdots\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\pi}{2}, & n\text{为正偶数}
-    \end{array}\right.$$
-    \item $\int_0^\pi\sin^nx\,\textrm{d}x=2\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^nx\,\textrm{d}x$。
-    \item $\int_0^\pi\cos^nx\,\textrm{d}x=\left\{\begin{array}{lcl}
-        0, & & n\text{为正奇数} \\
-        2\int_0^\frac{\pi}{2}\cos^nx\,\textrm{d}x, & & n\text{为正偶数}
-    \end{array}\right.$。
-    \item $\int_0^{2\pi}\sin^nx\,\textrm{d}x=\int_0^{2\pi}\cos^nx\,\textrm{d}x=\left\{\begin{array}{lcl}
-        0, & & n\text{为正奇数} \\
-        4\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^nx\,\textrm{d}x, & & n\text{为正偶数}
-    \end{array}\right.$。
 \end{enumerate}
 
 证明定理第一条的第一个式子：根据积分区间可拆性：
@@ -441,6 +427,25 @@ $\therefore\int_0^{nT}xf(x)\,\textrm{d}x=\dfrac{1}{2}\int_0^{nT}nTf(t)\,\textrm{
 
 根据第一问的公式：$\int_0^{n\pi}x\vert\sin x\vert\,\textrm{d}x=\dfrac{n^2\pi}{2}\int_0^\pi\vert\sin x\vert\,\textrm{d}x=\dfrac{n^2\pi}{2}[-\cos x]_0^\pi=n^2\pi$。
 
+\paragraph{华里士公式} \leavevmode \medskip
+
+\begin{enumerate}
+    \item 华里士公式（根据区间再现公式可知$\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^nx\,\textrm{d}x=\int_0^\frac{\pi}{2}\cos^nx\,\textrm{d}x$）：
+    $$\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^nx\,\textrm{d}x=\int_0^\frac{\pi}{2}\cos^nx\,\textrm{d}x=\left\{\begin{array}{ll}
+        \dfrac{n-1}{n}\cdot\dfrac{n-3}{n-2}\cdot\cdots\cdot\dfrac{2}{3}\cdot1, & n\text{为非}1\text{奇数} \\ \medskip
+        \dfrac{n-1}{n}\cdot\dfrac{n-3}{n-2}\cdot\cdots\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\pi}{2}, & n\text{为正偶数}
+    \end{array}\right.$$
+    \item $\int_0^\pi\sin^nx\,\textrm{d}x=2\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^nx\,\textrm{d}x$。
+    \item $\int_0^\pi\cos^nx\,\textrm{d}x=\left\{\begin{array}{lcl}
+        0, & & n\text{为正奇数} \\
+        2\int_0^\frac{\pi}{2}\cos^nx\,\textrm{d}x, & & n\text{为正偶数}
+    \end{array}\right.$。
+    \item $\int_0^{2\pi}\sin^nx\,\textrm{d}x=\int_0^{2\pi}\cos^nx\,\textrm{d}x=\left\{\begin{array}{lcl}
+        0, & & n\text{为正奇数} \\
+        4\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^nx\,\textrm{d}x, & & n\text{为正偶数}
+    \end{array}\right.$。
+\end{enumerate}
+
 \textbf{例题：}求$\int_0^\pi x\sin^9x\,\textrm{d}x$。
 
 解：需要先把$x$消掉才能使用华里士公式，使用区间再现公式，令$x=\pi-t$：
@@ -449,6 +454,19 @@ $=\int_0^\pi(\pi-x)\sin^9(\pi-x)\,\textrm{d}x=\int_0^\pi\pi\sin^9x\,\textrm{d}x-
 
 $\therefore\int_0^\pi x\sin^9x\,\textrm{d}x=\dfrac{\pi}{2}\int_0^\pi\sin^9x\,\textrm{d}x=\pi\dfrac{8}{9}\dfrac{6}{7}\dfrac{4}{5}\dfrac{2}{3}=\dfrac{128}{315}\pi$。
 
+\paragraph{伽马公式} \leavevmode \medskip
+
+将阶乘化为积分：
+
+\begin{enumerate}
+    \item $\int_0^{+\infty}x^ne^{-x}\,\textrm{d}x=n!=\Gamma(n+1)$。（$n\in N^*$）
+    \item $\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}x^{2n}\,\textrm{d}x=\Gamma\left(\dfrac{2n+1}{2}\right)$。
+    \item $\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)$。
+    \item $\Gamma(p)\Gamma(1-p)=\dfrac{\pi}{\sin p\pi}$。
+    \item $n\to\infty$时，$\Gamma(n+1)=\sqrt{2\pi n}\left(\dfrac{n}{e}\right)^n$。
+    \item $\Gamma\left(\dfrac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}$。
+\end{enumerate}
+
 \subsection{牛顿-莱布尼茨公式}
 
 \textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}（微积分基本定理/牛顿-莱布尼茨公式）若函数$F(x)$是连续函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的一个原函数，则$\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x=F(b)-F(a)$。

linear-algebra/exercise/5-similar/similar.tex

@@ -55,7 +55,7 @@ $=\sum\limits_{i=1}^3\dfrac{\vert A\vert}{\lambda_i}=\sum\limits_{i=1}^3\dfrac{\
 
 \subsection{特征值}
 
-\subsubsection{已知对应特征向量}
+\subsubsection{对应特征向量}
 
 通过相关式子将逆矩阵转换为原矩阵。同一个向量的逆矩阵的特征值是原矩阵的特征值的倒数。
 
@@ -95,11 +95,27 @@ $=\sum\limits_{i=1}^3\dfrac{\vert A\vert}{\lambda_i}=\sum\limits_{i=1}^3\dfrac{\
 
 所以矩阵$A$对应的特征值为$-5$。
 
+\subsubsection{矩阵关系式}
+
+\textbf{例题：}已知$A$为3阶矩阵，$A^2+A-2E=0$，$\vert A\vert=-2$，求其特征值。
+
+解：需要求$A$特征值，但是$A$未知，特征向量也未知，如何求？
+
+首先要求特征值，就要首先设出特征方程：$A\xi=\lambda\xi$，$\xi\neq0$。
+
+又$A^2+A-2E=0$，所以代入方程：$(A^2+A-2E)\xi=(\lambda^2+\lambda-2)\xi=0$。
+
+$\because\xi\neq0$，$\lambda^2+\lambda-2=0$，解得$\lambda=-2$或$\lambda=1$。
+
+但是不知道这个特征值各是几重，只知道存在这两种特征值。
+
+又$\vert A\vert=\lambda_1\lambda_2\lambda_3=-2$，所以$\lambda_1=-2$，$\lambda_2=\lambda_3=1$。
+
 \subsection{特征向量}
 
-\subsubsection{已知其他特征向量}
+\subsubsection{实对称矩阵}
 
-使用实对称矩阵性质，即实对称矩阵的不同特征值的特征向量相互正交（$B^TA=0$）。
+使用实对称矩阵性质，给出其他特征向量和特征值，即实对称矩阵的不同特征值的特征向量相互正交（$B^TA=0$）。
 
 \textbf{例题：}已知$A$为三阶实对称矩阵，特征值为$1,3，-2$，其中$\alpha_1=(1,2,-2)^T$，$\alpha_2=(4,-1,a)^T$分别属于特征值$\lambda=1$，$\lambda=3$的特征向量。求$A$属于特征值$\lambda=-2$的特征向量。
 

linear-algebra/knowledge/5-similar/similar.tex

@@ -59,6 +59,9 @@
 \begin{itemize}
     \item $\sum\limits_{i=1}^n\lambda_i=\sum\limits_{i=1}^n=tr(A)$。主对角线元素和即矩阵的迹。
     \item $\prod\limits_{i=1}^n\lambda_i=\vert A\vert$。
+    \item $f(A)\xi=f(\lambda)\xi$。
+    \item $A^{-1}\xi=\dfrac{1}{\lambda}\xi$。
+    \item $A^*\alpha=\dfrac{\vert A\vert}{\lambda}\xi$。
 \end{itemize}
 
 \subsubsection{特征向量性质}
@@ -67,6 +70,7 @@
     \item $k$重特征值$\lambda$至多只有$k$个线性无关的特征向量。一共有$k$个特征向量。
     \item 若$\xi_1$和$\xi_2$是$A$的属于不同特征值$\lambda_1$和$\lambda_2$的特征向量，则$\xi_1$和$\xi_2$线性无关。
     \item 若$\xi_1$和$\xi_2$是$A$的属于同特征值$\lambda$的特征向量，则$k_1\xi_1+k_2\xi_2$（$k_1k_2$不同时为0）仍是$A$的属于特征值$\lambda$的特征向量。
+    \item 若$A$可逆，则$A$、$A^{-1}$、$A^*$的特征向量相同。
 \end{itemize}
 
 证明性质二：利用定义法，首先$A\xi_1=\lambda_1\xi_1$，$A\xi_2=\lambda_2\xi_2$。

probability-theory-and-mathematical-statistics/exercise/2-random-variables-and-distribution/random-variables-and-distribution.tex

@@ -41,6 +41,74 @@
 
 分布函数变量区域左闭右开，概率密度则不要求。
 
+\section{分布概念}
+
+\subsection{分布函数存在性}
+
+分布函数的充要条件是：
+
+\begin{enumerate}
+    \item $F(x)$单调不减。
+    \item $\lim\limits_{x\to-\infty}F(x)=0$。
+    \item $\lim\limits_{x\to+\infty}F(x)=1$。
+    \item $F(x)$右连续。
+\end{enumerate}
+
+这也是下面的计算需要考虑的性质。
+
+\textbf{例题：}设随机变量$X$的分布函数$F(x)$，判断$F(ax)$、$F(x^2+1)$、$F(x^3-1)$、$F(\vert X\vert)$是否可以做出分布函数。
+
+解：逐个分析$F(g(x))$中的$g(x)$走向。
+
+$\lim\limits_{x\to+\infty}F(ax)=a\lim\limits_{x\to+\infty}F(x)=a$，不满足。
+
+由于$x^2+1$在$x\to-\infty$的趋向为$+\infty$而不是$-\infty$，$\lim\limits_{x\to-\infty}F(x^2+1)=\lim\limits_{x\to+\infty}F(x^2+1)=\lim\limits_{x\to-\infty}F(x)=1\neq0$，不满足。
+
+$F(x^3-1)$满足分布函数的四个条件，$g(x)=x^3-1$在两边趋向与原函数一致。
+
+$F(\vert x\vert)$的$g(x)=\vert x\vert$在$x\to-\infty$的趋向为$+\infty$而不是$-\infty$，不满足$\lim\limits_{x\to-\infty}F(x)=0$，不满足。
+
+\subsection{分布函数计算}
+
+这里所说的分布函数都是不定式，需要利用分布函数性质来换算。
+
+\textbf{例题：}随机变量$X$的概率密度函数$f(x)$满足$f(1+x)=f(1-x)$，且$\int_1^2f(x)\,\textrm{d}x=0.3$，则求分布函数$F(0)$的值。
+
+解：已知$f(1+x)=f(1-x)$，所以$f(x)$关于$x=1$对称。所以$\int_1^{+\infty}f(x)\,\textrm{d}x=\int_1^{-\infty}f(x)\,\textrm{d}x=\dfrac{1}{2}$。
+
+所以$\int_1^2f(x)\,\textrm{d}x=\int_0^1f(x)\,\textrm{d}x=0.3$。
+
+$F(0)=\int_{-\infty}^0f(x)\,\textrm{d}x=1-\int_0^{+\infty}f(x)\,\textrm{d}x=1-\int_1^{+\infty}f(x)\,\textrm{d}x-\int_0^1f(x)\,\textrm{d}x=0.2$。
+
+\subsection{概率密度存在性}
+
+分布函数的充要条件是：
+
+\begin{enumerate}
+    \item $f(x)\geqslant0$。
+    \item $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,\textrm{d}x=1$。
+\end{enumerate}
+
+\textbf{例题：}随机变量$X$的概率密度函数$f(x)$，判断$f(2x)$、$f(2-x)$是否可以作出概率密度函数。
+
+解：$\int_{-\infty}^{+\infty}f(2x)\,\textrm{d}x=\dfrac{1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty}f(2x)\,\textrm{d}(2x)=\dfrac{1}{2}\neq1$，不满足。
+
+$\int_{-\infty}^{+\infty}f(2-x)\,\textrm{d}x=-\int_{-\infty}^{+\infty}f(2-x)\,\textrm{d}(2-x)$，令$2-x=t$，则$x\to-\infty$时$t\to+\infty$，$x\to+\infty$时$t\to-\infty$，$=-\int_{+\infty}^{-\infty}f(t)\,\textrm{d}t=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\,\textrm{d}t=1$。
+
+\subsection{概率密度计算}
+
+\textbf{例题：}随机变量$X$的分布函数和概率密度函数为$F(x)$，$f(x)$，求$-X$的分布函数和概率密度。
+
+解：已知$F(x)=P\{X\leqslant x\}$，则$F'(-x)=\{-X\leqslant x\}$，即$F'(-x)=P\{X\geqslant-x\}=1-P\{X\leqslant-x\}=1-F(-x)$。
+
+对$F'(-x)$进行求导：$[1-F(-x)]'=f(-x)$。
+
+\textbf{例题：}随机变量$X$的概率密度为$f(x)$，求随机变量$2X+3$的概率密度函数。
+
+解：设$Y=2X+3$，所以$Y$的分布函数$F_Y(y)$为$F_Y(x)=P\{Y\leqslant x\}=P\{2X+3\leqslant x\}=P\left\{X\leqslant\dfrac{x-3}{2}\right\}=\int_{-\infty}^{\frac{t-3}{2}}f(x)\,\textrm{d}x$。
+
+所以其概率密度为$f_Y(x)=(\int_{-\infty}^{\frac{x-3}{2}}f(x)\,\textrm{d}x)'=\dfrac{1}{2}f\left(\dfrac{x-3}{2}\right)$。
+
 \section{一维随机变量}
 
 \subsection{一维随机变量分布}
@@ -226,9 +294,21 @@ $\because$面积为$\alpha$的下标为$\alpha$，$\therefore$面积为$\dfrac{1
 
 \subsection{二维连续型随机变量}
 
+有两种主要方法，一个是分布函数法，一个是卷积公式法。如果给出联合概率密度使用分布函数法，如果给出边缘概率密度使用卷积公式法。
+
 \subsubsection{联合概率}
 
-\paragraph{概率函数} \leavevmode \medskip
+\paragraph{联合概率密度} \leavevmode \medskip
+
+利用联合概率函数来计算，有两种方式，一种是以概率形式，一种是以积分形式。
+
+\textbf{例题：}已知二维随机变量$(X_1,X_2)$的概率密度函数$f_1(x_1,x_2)$，求$Y_1=2X_1$，$Y_2=\dfrac{1}{3}X_2$的联合概率密度$f_2(y_1,y_2)$。
+
+解：概率形式：设$F_2(y_1,y_2)=P\{Y_1\leqslant y_1,Y_2\leqslant y_2\}=P\{2X_1\leqslant y_1,\dfrac{1}{3}X_2\leqslant y_2\}=P\{X_1\leqslant\dfrac{y_1}{2},X_2\leqslant3y_2\}=F_1(\dfrac{y_1}{2},3y_2)$。所以$f_2(y_1,y_2)=\dfrac{3}{2}f_1(\dfrac{y_1}{2},3y_2)$。
+
+积分形式：已知$\int_{-\infty}^{+\infty}\textrm{d}x_1\int_{-\infty}^{+\infty}f(x_1,x_2)\,\textrm{d}x_2=1$，将$x_1=\dfrac{y_1}{2}$，$x_2=3y_2$代入$\int_{-\infty}^{+\infty}\textrm{d}(\dfrac{y_1}{2})\int_{-\infty}^{+\infty}f(\dfrac{y_1}{2},3y_2)\,\textrm{d}(3y_2)=1$，$\dfrac{3}{2}\int_{-\infty}^{+\infty}\textrm{d}y_1\int_{-\infty}^{+\infty}f(\dfrac{y_1}{2},3y_2)\,\textrm{d}y_2=1$，所以$f_2(y_1,y_2)=\dfrac{3}{2}f_1(\dfrac{y_1}{2},3y_2)$。
+
+\paragraph{联合概率函数} \leavevmode \medskip
 
 已知联合概率密度，可以求概率函数，通过二重积分的方式，图像面积即是概率。
 

probability-theory-and-mathematical-statistics/exercise/3-digital-features/digital-features.tex

@@ -40,6 +40,8 @@
 
 \subsubsection{离散型随机变量}
 
+\paragraph{分布律变换} \leavevmode \medskip
+
 可以根据随机变量分布律的形式拟合出已知的离散型随机变量分布，从而得到已知的期望。
 
 \textbf{例题：}设随机变量$X$的分布律为$P\{X=k\}=\dfrac{1}{2^kk!(\sqrt{e}-1)}$，$k=1,2,\cdots$，求$EX$。
@@ -50,18 +52,56 @@ $P\{X=k\}=\dfrac{1}{2^kk!(\sqrt{e}-1)}=\dfrac{\sqrt{e}}{\sqrt{e}-1}\dfrac{\left(
 
 $\therefore EX=\dfrac{\sqrt{e}}{2\sqrt{e}-2}$。
 
+\paragraph{定义} \leavevmode \medskip
+
+对于已知$E(X)$和$X$的分布，要求$E(f(x))$的值，此时很难拟合到已知分布律，所以就需要按照离散随机变量的期望定义来计算。注意虽然$f(x)$对于$x$是变化了，但是对应的概率是不变的。
+
+\textbf{例题：}已知$X\sim P(\lambda)$，求$E(X)E\left(\dfrac{1}{1+X}\right)$。
+
+解：已知$X\sim P(\lambda)$，则$E(X)=\lambda$。而$E\left(\dfrac{1}{1+X}\right)$无法通过拟合求出，所以就要用到期望的定义。
+
+$E(X)E\left(\dfrac{1}{1+X}\right)=\lambda\cdot\sum\limits_{k=0}^\infty\dfrac{1}{1+k}\dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}=\lambda\cdot\sum\limits_{k=0}^\infty\dfrac{\lambda^k}{(k+1)!}e^{-\lambda}=\sum\limits_{k=0}^\infty\dfrac{\lambda^{k+1}}{(k+1)!}e^{-\lambda}\\=\sum\limits_{i=1}^\infty\dfrac{\lambda^i}{i!}e^{-\lambda}=\sum\limits_{i=0}^\infty\dfrac{\lambda^i}{i!}e^{-\lambda}-\dfrac{\lambda^0}{0!}e^{-\lambda}=1-e^{-\lambda}$。（$\sum\limits_{i=0}^\infty\dfrac{\lambda^i}{i!}e^{-\lambda}$为概率和等于1）
+
 \subsubsection{连续型随机变量}
 
+基本上都是以$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)x\,\textrm{d}x$的变式进行计算。
+
+\paragraph{概率密度} \leavevmode \medskip
+
+给出$X$概率密度。
+
 \textbf{例题：}连续型随机变量$X$的概率密度为$f(x)=\dfrac{1}{\pi(1+x^2)}$（$-\infty<x<+\infty$），求$EX$。
 
 解：$EX=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)\,\textrm{d}x=\int_{-\infty}^{+\infty}x\dfrac{1}{\pi(1+x^2)}\textrm{d}x=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\dfrac{\textrm{d}(1+x^2)}{1+x^2}=\dfrac{1}{2pi}\ln(^1+x^2)|_{-\infty}^{+\infty}$。发散，所以不存在。
 
-\subsubsection{连续型随机变量函数}
+\paragraph{概率密度函数} \leavevmode \medskip
+
+给出$X$概率密度与$X$的相关函数。
 
 \textbf{例题：}连续型随机变量$X$的概率密度为$f(x)=\dfrac{1}{\pi(1+x^2)}$（$-\infty<x<+\infty$），求$E(\min\{\vert X\vert,1\})$。
 
 解：$E(\min\{\vert X\vert,1\})=\displaystyle{\int_{-\infty}^{+\infty}}\min\{\vert x\vert,1\}\dfrac{1}{\pi(1+x^2)}\textrm{d}x=\dfrac{2}{\pi}\int_0^{+\infty}\min\{x,1\}$\\$\dfrac{1}{1+x^2}\textrm{d}x=\dfrac{2}{\pi}\displaystyle{\int_0^1}x\dfrac{1}{1+x^2}\textrm{d}x+\dfrac{2}{\pi}\int_1^{+\infty}1\cdot\dfrac{1}{1+x^2}\textrm{d}x=\dfrac{1}{\pi}\ln(1+x^2)|_0^1+\dfrac{2}{\pi}\arctan x|_1^{+\infty}$\\$=\dfrac{1}{\pi}\ln2+\dfrac{1}{2}$。
 
+\paragraph{分布函数} \leavevmode \medskip
+
+给出$X$分布与$X$的相关函数。
+
+\textbf{例题：}随机变量$X\sim N(0,1)$，求$E[(X-2)^2e^{2X}]$。
+
+解：$E[(X-2)^2e^{2X}]=\int_{-\infty}^{+\infty}(x-2)^2e^{2x}\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}\,\textrm{d}x\\=e^2\int_{-\infty}^{+\infty}(x-2)^2\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-2)^2}{2}}\,\textrm{d}x=e^2\int_{-\infty}^{+\infty}t^2\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}}\,\textrm{d}t=e^2E(t^2)=e^2[DX+(EX)^2]=e^2(1+0^2)=e^2$。
+
+\subsubsection{抽象概率密度}
+
+主要是判断概率密度函数和期望之间的关系。期望的积分形式中的上下限与期望值无关，即如果改变期望的积分上下限那么其期望值是不确定的，只有概率密度变化才能算出具体的值。
+
+\textbf{例题：}设随机变量$X$的概率密度函数为$f(x)$，$E(X)=a$，判断$\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x+a)\,\textrm{d}x=0$，$\int_{-\infty}^axf(x)\,\textrm{d}x=\dfrac{1}{2}$。
+
+解：由于$E(X)=a$，则$\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)\,\textrm{d}x=a$。
+
+对于$\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x+a)\,\textrm{d}x=0$，令$x+a=t$，$x=t-a$，所以代入$\int_{-\infty}^{+\infty}(t-a)f(t)\,\textrm{d}(t-a)=\int_{-\infty}^{+\infty}tf(t)\,\textrm{d}t-a\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\,\textrm{d}t=a-a=0$，所以成立。
+
+对于$\int_{-\infty}^axf(x)\,\textrm{d}x=\dfrac{1}{2}$，其上下限变化，相当于积分值面积的底长是不确定的，$a$表示的是平均面积，这根底长的一半无关，所以不成立。
+
 \subsection{方差}
 
 \subsubsection{方差关系}
@@ -96,6 +136,14 @@ $P\{\vert X-EX\vert\leqslant\epsilon\}\leqslant\dfrac{DX}{\epsilon^2}$或$P\{\ve
 
 $Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$。
 
+\subsubsection{性质}
+
+\textbf{例题：}已知$XY$的相关系数$\rho_{XY}\neq0$，设$Z=aX+b$，$ab$为常数，则求出$\rho_{XY}=\rho_{YZ}$成立的充要条件。
+
+解：由于$Cov(Y,Z)=Cov(Y,aX+b)=aCov(Y,X)=aCov(X,Y)$，$DZ=D(aX+b)=a^2Dx$。
+
+$\rho_{YZ}=\dfrac{Cov(Y,Z)}{\sqrt{DY}\sqrt{DZ}}=\dfrac{aCov(X,Y)}{\sqrt{DY}\sqrt{a^2DX}}=\dfrac{a}{\vert a\vert}\rho_{XY}$，所以相等的条件是$\dfrac{a}{\vert a\vert}=1$，即$a>0$。
+
 \textbf{例题：}设随机变量$X_1,X_2,\cdots,X_n$独立同分布，且方差$\sigma^2>0$，$Y_1=\sum\limits_{i=2}^nX_i$和$Y_2=\sum\limits_{j=1}^{n-1}X_j$，求$Y_1$和$Y_n$的协方差$Cov(Y_1,Y_n)$。
 
 解：$\because Y_1=\sum\limits_{i=2}^nX_i$，$Y_2=\sum\limits_{j=1}^{n-1}X_j$，$DX_i=\sigma^2$。

probability-theory-and-mathematical-statistics/knowledge/2-random-variables-and-distribution/random-variables-and-distribution.tex

@@ -263,7 +263,7 @@ $P\{X=x_i\}=P\{X\leqslant x_i\}-P\{X<x_i\}=F(x_i)-F(x_i-0)$，即某点的概率
 
 指数分布中$\lambda$代表失效率，往往用来代表一个事物毁坏的过程，如灯泡毁坏。
 
-\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}无记忆性：若$X$服从指数分布，则$P\{X>s+t|X>s\}=P\{X>t\}$。
+无记忆性\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}若$X\sim E(\lambda)$，则$P\{X>s+t|X>s\}=P\{X>t\}=e^{-\lambda t}$。
 
 即在指数分布下事情发生的概率与前面所经过的时间无关，如果$T$是某一元件的寿命，已知元件使用了$t$小时，它总共使用至少$s+t$小时的条件概率，与从开始使用时算起它使用至少$s$小时的概率相等。
 
@@ -503,12 +503,16 @@ $p_{\cdot j}=P\{Y=y_i\}=\sum\limits_{i=1}^\infty P\{X=x_i,Y=y_j\}=\sum\limits_{i
 
 \textcolor{violet}{\textbf{定义：}}设$(X,Y)\sim f(x,y)$，则$X$的边缘分布函数为$P\{X\leqslant x\}=F_X(x)=F(-\infty,x)=\int_{-\infty}^x\left[\int_{-\infty}^{+\infty}f(u,v)\,\textrm{d}v\right]\textrm{d}u$，所以$X$为连续型随机变量，其概率密度$f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)\,\textrm{d}y$，称$f_X(x)$为$(X,Y)$关于$X$的\textbf{边缘概率密度}。同理$Y$也为连续型随机变量，关于$Y$的边缘分布函数为$P\{Y\leqslant y\}=F_Y(y)=\int_{-\infty}^y[\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)\,\textrm{d}x]\textrm{d}y$，其概率密度为$f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)\,\textrm{d}x$。
 
+联合概率密度决定边缘概率密度，所以相同联合概率密度的拥有同样边缘概率密度。
+
 \subsection{条件概率密度}
 
 \textcolor{violet}{\textbf{定义：}}设$(X,Y)\sim f(x,y)$，边缘概率密度$f_X(x)>0$，则称$f_{Y|X}(y|x)=\dfrac{f(x,y)}{f_X(x)}$为$Y$在$X=x$条件下的\textbf{条件概率密度}。同理$X$在$Y=y$条件下的条件概率密度为$f_{X|Y}(x|y)=\dfrac{f(x,y)}{f_Y(y)}$。
 
 若$f_X(x)>0$，$f_Y(y)>0$，则有概率密度乘法公式$f(x,y)=f_X(x)f_{Y|X}(y|x)=f_Y(y)f_{X|Y}(x|y)$。
 
+如果$XY$独立，则$f(x,y)=f(x)f(y)$，此时条件概率密度就等于边缘概率密度。
+
 \textcolor{violet}{\textbf{定义：}}$Y$在$X=x$条件下的\textbf{条件分布函数}为$F_{Y|X}(y|x)=\int_{-\infty}^yf_{Y|X}(y|x)\,\textrm{d}y=\displaystyle{\int_{-\infty}^y\dfrac{f(x,y)}{f_X(x)}\textrm{d}y}$，同理$X$在$Y=y$条件下的条件分布函数为$F_{X|Y}(x|y)=$\\$\int_{-\infty}^xf_{X|Y}(x|y)\,\textrm{d}x=\displaystyle{\int_{-\infty}^x\dfrac{f(x,y)}{f_Y(y)}}\textrm{d}x$。
 
 \subsection{二维均匀分布}
@@ -531,7 +535,7 @@ $p_{\cdot j}=P\{Y=y_i\}=\sum\limits_{i=1}^\infty P\{X=x_i,Y=y_j\}=\sum\limits_{i
 \begin{itemize}
     \item $X\sim N(\mu_1,\sigma_1^2)$，$Y\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)$，$\rho$为$X$与$Y$的相关系数，即$\rho=\dfrac{Cov(X,Y)}{\sqrt{DX}\sqrt{DY}}=\dfrac{Cov(X,Y)}{\sigma_1\sigma_2}$。
     \item $X,Y$的条件分布都是正态分布。
-    \item $aX+bY$（$a\neq0$或$b\neq0$）服从正态分布。
+    \item $aX\pm bY$（$a\neq0$或$b\neq0$）服从正态分布$N(a\mu_1\pm b\mu_2,a^2\sigma_1^2+b^2\sigma_2^2)$。
     \item $XY$相互独立的充要条件是$XY$不相关，即$\rho=0$。
 \end{itemize}