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linear-algebra/exercise/3-vector/vector.tex

@@ -44,6 +44,14 @@
 
 使用行列式不等于$0$的方法最方便，但是有时候行列不同就不能这么做了。
 
+\subsection{初等运算}
+
+多用于选择题，给出$n$维线性无关向量，判断向量组是否线性无关。如果向量组初等运算为0就代表线性相关。
+
+\textbf{例题：}已知$n$维向量$\alpha_1$，$\alpha_2$，$\alpha_3$线性无关，则判断线性相关性：$\alpha_1+\alpha_2$，$\alpha_2-\alpha_3$，$\alpha_3+\alpha_1$。
+
+解：$\alpha_1+\alpha_2$与$\alpha_2-\alpha_3$，共同出现了$\alpha_2$，首先要消掉$\alpha_2$，所以相减得到$\alpha_1+\alpha_3$，然后发现跟后面的$\alpha_3+\alpha_1$一样，所以直接一减得到0，表示线性相关。
+
 \subsection{代入重组}
 
 若要求线性相关的式子由其他向量构成，则将式子代入表示目标式子。

linear-algebra/exercise/4-linear-equations-system/linear-equations-system.tex

@@ -50,6 +50,16 @@
 
 已知特解为方程的一个解，知道通解，所以特解可以由通解线性表出，所以将通解和特解组成增广矩阵进行初等变换（如果是判断多个向量，则可以一起组成），通解矩阵的秩和增广矩阵的秩相同则代表可以线性表出，否则不能。
 
+\subsection{特解判断特解}
+
+已知特解，对特解进行初等变换，然后判断这个式子是否还是原方程的特解，可以直接将新式子代入原方程求得结果。
+
+\textbf{例题：}已知$\alpha_1$、$\alpha_2$是非齐次线性方程组$Ax=b$的两个不同解，则判断$3\alpha_1-2\alpha_2$是否为原方程的特解。
+
+解：已知$\alpha_1$、$\alpha_2$是非齐次线性方程组$Ax=b$的两个不同解，即$A\alpha_1=b$，$A\alpha_2=b$。
+
+代入$Ax=b$：$A(3\alpha_1-2\alpha_2)=3A\alpha_1-2A\alpha_2=3b-2b=b$，所以成立。
+
 \subsection{线性表出}
 
 \section{反求参数}

linear-algebra/exercise/5-similar/similar.tex

@@ -157,16 +157,22 @@ $\left\{\begin{array}{l}
 
 \section{相似理论}
 
+$P^{-1}AP=\Lambda$，$P$为特征向量组，$\Lambda$为特征值矩阵。
+
 \subsection{判断相似对角化}
 
 可以使用相似对角化的四个条件，但是最基本的使用还是$A$有$n$个无关的特征向量$\xi$。
 
+判断以下条件即可相似对角化：
+
 \begin{enumerate}
-    \item 判断是否为实对称矩阵，实对称矩阵必然相似于对角矩阵。
-    \item 特征值是否都是实单根，相似于对角矩阵。
-    \item 特征值为$n$重根，对应$n$个线性无关的特征向量，则相似于对角矩阵。如果小于则不相似。
+    \item 实对称矩阵，即所有元素关于主对角线对称。
+    \item 特征值都是实单根，即$n$个不同特征值，不存在重根。
+    \item 特征值存在$t$重根，相同特征值对应$t$个线性无关的特征向量。（如果小于$n$则不相似）
 \end{enumerate}
 
+一般都是第三种情况，判断存在重根后要使用$[\lambda E-A]$，然后计算$r(E-A)$，然后$s$自由变量值即无关特征向量值$=n-r$，如果$s=t$则可以相似对角化，如果$s<t$则不可以。
+
 \subsection{反求参数}
 
 常用方法：
@@ -179,6 +185,8 @@ $\left\{\begin{array}{l}
 
 \subsubsection{两个矩阵对比}
 
+两个矩阵相似的前提是可以相似对角化，如果存在$n$重根而没有$n$个线性无关的特征向量则必然不相似。
+
 \textbf{例题：}已知$A=\left(\begin{array}{ccc}
     2 & 0 & 0 \\
     0 & 0 & 1 \\

linear-algebra/knowledge/4-linear-equations-system/linear-equations-system.tex

@@ -202,6 +202,8 @@ $=\left(\begin{array}{ccc}
 
 对于$A=O$即不可逆，需要判断$b$是否为0，若不是则无实数解，若是则无穷解，这种判断需要用到增广矩阵，需要用到矩阵的秩判断。
 
+取自由变量时必须要保证取完后的矩阵行列式不为0，否则自由变量不能表示其他向量。
+
 \subsection{线性方程组的矩阵解表示}
 
 已知对于线性方程组$\begin{cases}

probability-theory-and-mathematical-statistics/knowledge/1-random-events-and-probability/random-events-and-probability.tex

@@ -188,7 +188,7 @@
 \begin{itemize}
     \item 逆事件概率公式：对于任一事件$A$，有$P(\overline{A})=1-P(A)$。
     \item 加法公式：对于任意两个事件$AB$，有$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$；对于三个事件$ABC$，$P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)$；对于四个事件$ABCD$，$P(A\cup B\cup C\cup D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)-P(AB)-P(AC)-P(AD)-P(BC)-P(BD)-P(CD)+P(ABC)+P(ABD)+P(ACD)+P(BCD)-P(ABCD)$；若$A_1,A_2,\cdots,A_n$两两互不相容，则$P(A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n)=P(A_1)+P(A_2)+\cdots+P(A_n)$。
-    \item 减法公式：$P(A-B)=P(A)-P(AB)=P(A\overline{B})$。
+    \item 减法公式：$P(A-B)=P(A)-P(AB)=P(A\omega)-P(AB)=P(A\overline{B})$。
     \item 条件概率公式：对于任意两个事件$AB$，若$P(A)>0$，我们称在已知事件$A$发生的条件下，事件$B$发生的概率为\textbf{条件概率}，记为$P(B|A)=\dfrac{P(AB)}{P(A)}$。$P(\overline{B}|A)=1-P(B|A)$，$P(B-C|A)=P(B|A)-P(BC|A)$。
     \item 乘法公式：若$P(A)>0$，则$P(AB)=P(A)P(B|A)$。一般而言，对于$n>2$，$P(A_1A_2\cdots A_{n-1})>0$，则$P(A_1A_2\cdots A_{n-1})=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1A_2)$\\$\cdots P(A_n|A_1A_2\cdots A_{n-1})$。（$A_i$的顺序不定）
     \item 全概率公式：若$\bigcup\limits_{i=1}^nA_i=\Omega$，$A_iA_j=\varnothing$（$i\neq j$，$i,j=1,2,\cdots,n$），$P(A_i)>0$，则对任一事件$B$，有$B=\bigcup\limits_{i=1}^nA_iB$，$P(B)=\sum\limits_{i=1}^nP(A_i)P(B|A_i)$。$P(B)=P(B\Omega)=P(B(\bigcup\limits_{i=1}^nA_i))=P(\bigcup\limits_{i=1}^nBA_i)=\sum\limits_{i=1}^nP(BA_i)=\sum\limits_{i=1}^nP(A_i)P(B|A_i)$。