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@@ -177,7 +177,7 @@ $\left\{\begin{array}{l}
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\item 若$\lambda$是$A$的特征值，则与$\vert\lambda E-A\vert=0$，通过该等式计算参数。
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\end{itemize}
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\subsubsection{具体矩阵}
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\subsubsection{两个矩阵对比}
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\textbf{例题：}已知$A=\left(\begin{array}{ccc}
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2 & 0 & 0 \\
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@@ -191,7 +191,45 @@ $\left\{\begin{array}{l}
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首先可以利用迹相等，则$2+0+x=2+y-1$，行列式值相等，则$-2=-2y$，解得$x=0$，$y=1$。
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\subsubsection{对角矩阵}
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\subsubsection{单矩阵}
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% \begin{itemize}
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% \item 定义法：若存在可逆矩阵$P$，使得$P^{-1}AP=B$，则$A\sim B$。
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% \item 性质：若$A\sim B$，则$r(A)=r(B)$，$\vert A\vert=\vert B\vert$，$tr(A)=tr(B)$，$\lambda_A=\lambda_B$。
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% \item 传递性：$A\sim\Lambda$，$\Lambda\sim B$，则$A\sim B$。
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% \end{itemize}
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% \begin{enumerate}
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% \item 首先要判断特征值是否相等（利用$\vert\lambda E-A\vert$）。
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% \item 判断矩阵是否可以相似对角化（先根据特征值拼出$\Lambda$，然后求矩阵的秩是否也有同样数量的特征向量）。
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% \end{enumerate}
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\begin{enumerate}
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\item 利用$\vert\lambda E-A\vert=0$求出特征值。判断得到$n$阶矩阵有$m$个不同特征值。（$m\leqslant n$）
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\item 利用$[\lambda E-A]$计算秩。利用$s=n-r$（自由变量的个数=未知数个数-矩阵秩）公式反解出秩$r$，并以此解出未知数。
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\end{enumerate}
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\textbf{例题：}已知矩阵$A=\left[\begin{array}{ccc}
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3 & 1 & 2 \\
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0 & 2 & a \\
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0 & 0 & 3
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\end{array}\right]$和对角矩阵相似，求$a$。\medskip
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解：由于$A$是对角矩阵，所以特征值为其迹$\lambda=(3,2,3)$。特征值有二重根。
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已知$A\sim\Lambda$，$\lambda=3$有两个线性无关的特征向量。即$(3E-A)x=0$有两个线性无关的解（自由变量）。即$r(3E-A)=1$。
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$3E-A=\left[\begin{array}{ccc}
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0 & -1 & -2 \\
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0 & 1 & -a \\
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0 & 0 & 0
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\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}
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0 & -1 & -2 \\
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0 & 0 & -a-2 \\
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0 & 0 & 0
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\end{array}\right]$，$\therefore a=-2$。
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\subsubsection{抽象型}
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首先要计算其特征值，再根据特征值反代特征方程，根据向量的构成判定秩的大小。
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@@ -223,7 +261,53 @@ $E-A=\left(\begin{array}{ccc}
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所以当$r(E-A)=1$时$x+y=0$。
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\subsection{反求矩阵}
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\subsection{相似矩阵}
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\subsubsection{抽象型}
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\textbf{例题：}设$A$是三阶矩阵，$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$是三维线性无关的列向量，且$A\alpha_1=\alpha_2+\alpha_3$，$A\alpha_2=\alpha_1+\alpha_3$，$A\alpha_3=\alpha_1+\alpha_2$，求$A$相似的矩阵。
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解：$A\sim\Lambda$，则$P^{-1}AP=\Lambda$。
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$A(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=(\alpha_2+\alpha_3,\alpha_1+\alpha_3,\alpha_1+\alpha_2)=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)\left[\begin{array}{ccc}
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0 & 1 & 1 \\
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1 & 0 & 1 \\
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1 & 1 & 0
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\end{array}\right]$。
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记$P=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$，$B=\left[\begin{array}{ccc}
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0 & 1 & 1 \\
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1 & 0 & 1 \\
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1 & 1 & 0
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\end{array}\right]$。\medskip
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又$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$是三维线性无关的列向量，$\therefore\vert\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\vert\neq0$，所以$P$可逆。
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$\therefore AP=PB$，$P^{-1}AP=B$，$A\sim B$。
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\subsubsection{正交相似}
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\textbf{例题：}已知$A$是三阶实对称矩阵，若正交矩阵$Q$使得$Q^{-1}AQ=\left[\begin{array}{ccc}
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3 & 0 & 0 \\
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0 & 3 & 0 \\
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0 & 0 & 6
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\end{array}\right]$，如果$\alpha_1=(1,0,-1)^T$和$\alpha_2=(0,1,1)^T$是矩阵$A$属于特征值$\lambda=3$的特征向量，求$Q$。
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解：首先由正交矩阵就可以知道各特征值正交。令$\alpha_3=(x_1,x_2,x_3)^T$。对应的$\lambda_3=6$。
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$\alpha_3^T\alpha_1=x_1-x_3=0$，$\alpha_3^T\alpha_2=x_2+x_3=0$，求$\lambda_3$的特征值，则不如令$x_3=1$，则解得$\alpha_3=(1,-1,1)^T$。
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这样$Q=\left[\begin{array}{ccc}
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1 & 0 & 1 \\
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0 & 1 & -1 \\
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-1 & 1 & 1
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\end{array}\right]$，还需要将$Q$正交单位化。可知$\alpha_3$根据正交规律求出来，一定是正交的，而$\alpha_1^T\alpha_2=-1\neq0$所以需要正交。
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令$\beta_1=\alpha_1=(1,0,-1)^T$，$\beta_2=\alpha_2-\dfrac{<\alpha_2,\beta_1>}{<\beta_1,\beta_1>}\beta_1=(0,1,1)^T+\dfrac{1}{2}(1,0,-1)^T=(\dfrac{1}{2},1,\dfrac{1}{2})^T$。
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最后对整个$Q$进行单位化：$\gamma_1=\dfrac{1}{\sqrt{2}}(1,0,-1)^T$，$\gamma_2=\dfrac{1}{\sqrt{6}}(1,2,1)^T$，$\gamma_3=\dfrac{1}{\sqrt{3}}(1,-1,1)^T$。
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\subsection{矩阵关系式}
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若有可逆矩阵$P$，使得$P^{-1}AP=\Lambda$，则：
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@@ -261,81 +345,4 @@ $\vert\lambda E-A\lambda=\left|\begin{array}{ccc}
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令$P=(\xi_1,\xi_2,\xi_3)$，所以$A=P\Lambda P^{-1}$，$A^{100}=P\Lambda^{100}P^{-1}$。
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\subsection{相似性}
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% \begin{itemize}
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% \item 定义法：若存在可逆矩阵$P$，使得$P^{-1}AP=B$，则$A\sim B$。
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% \item 性质：若$A\sim B$，则$r(A)=r(B)$，$\vert A\vert=\vert B\vert$，$tr(A)=tr(B)$，$\lambda_A=\lambda_B$。
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% \item 传递性：$A\sim\Lambda$，$\Lambda\sim B$，则$A\sim B$。
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% \end{itemize}
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\begin{enumerate}
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\item 首先要判断特征值是否相等（利用$\vert\lambda E-A\vert$）。
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\item 判断矩阵是否可以相似对角化（先根据特征值拼出$\Lambda$，然后求矩阵的秩是否也有同样数量的特征向量）。
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\end{enumerate}
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\textbf{例题：}已知矩阵$A=\left[\begin{array}{ccc}
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3 & 1 & 2 \\
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0 & 2 & a \\
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0 & 0 & 3
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\end{array}\right]$和对角矩阵相似，求$a$。\medskip
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解：由于$A$是对角矩阵，所以特征值为其迹$\lambda=(3,2,3)$。特征值有二重根。
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已知$A\sim\Lambda$，$\lambda=3$有两个线性无关的特征向量。即$(3E-A)x=0$有两个线性无关的解。即$r(3E-A)=1$。
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$3E-A=\left[\begin{array}{ccc}
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0 & -1 & -2 \\
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0 & 1 & -a \\
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0 & 0 & 0
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\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}
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0 & -1 & -2 \\
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0 & 0 & -a-2 \\
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0 & 0 & 0
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\end{array}\right]$，$\therefore a=-2$。
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\subsection{抽象型}
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\textbf{例题：}设$A$是三阶矩阵，$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$是三维线性无关的列向量，且$A\alpha_1=\alpha_2+\alpha_3$，$A\alpha_2=\alpha_1+\alpha_3$，$A\alpha_3=\alpha_1+\alpha_2$，求$A$相似的矩阵。
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解：$A\sim\Lambda$，则$P^{-1}AP=\Lambda$。
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$A(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=(\alpha_2+\alpha_3,\alpha_1+\alpha_3,\alpha_1+\alpha_2)=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)\left[\begin{array}{ccc}
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0 & 1 & 1 \\
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1 & 0 & 1 \\
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1 & 1 & 0
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\end{array}\right]$。
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记$P=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$，$B=\left[\begin{array}{ccc}
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0 & 1 & 1 \\
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1 & 0 & 1 \\
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1 & 1 & 0
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\end{array}\right]$。\medskip
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又$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$是三维线性无关的列向量，$\therefore\vert\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\vert\neq0$，所以$P$可逆。
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$\therefore AP=PB$，$P^{-1}AP=B$，$A\sim B$。
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\subsection{正交相似}
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\textbf{例题：}已知$A$是三阶实对称矩阵，若正交矩阵$Q$使得$Q^{-1}AQ=\left[\begin{array}{ccc}
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3 & 0 & 0 \\
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0 & 3 & 0 \\
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0 & 0 & 6
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\end{array}\right]$，如果$\alpha_1=(1,0,-1)^T$和$\alpha_2=(0,1,1)^T$是矩阵$A$属于特征值$\lambda=3$的特征向量，求$Q$。
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解：首先由正交矩阵就可以知道各特征值正交。令$\alpha_3=(x_1,x_2,x_3)^T$。对应的$\lambda_3=6$。
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$\alpha_3^T\alpha_1=x_1-x_3=0$，$\alpha_3^T\alpha_2=x_2+x_3=0$，求$\lambda_3$的特征值，则不如令$x_3=1$，则解得$\alpha_3=(1,-1,1)^T$。
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这样$Q=\left[\begin{array}{ccc}
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1 & 0 & 1 \\
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0 & 1 & -1 \\
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-1 & 1 & 1
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\end{array}\right]$，还需要将$Q$正交单位化。可知$\alpha_3$根据正交规律求出来，一定是正交的，而$\alpha_1^T\alpha_2=-1\neq0$所以需要正交。
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令$\beta_1=\alpha_1=(1,0,-1)^T$，$\beta_2=\alpha_2-\dfrac{<\alpha_2,\beta_1>}{<\beta_1,\beta_1>}\beta_1=(0,1,1)^T+\dfrac{1}{2}(1,0,-1)^T=(\dfrac{1}{2},1,\dfrac{1}{2})^T$。
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最后对整个$Q$进行单位化：$\gamma_1=\dfrac{1}{\sqrt{2}}(1,0,-1)^T$，$\gamma_2=\dfrac{1}{\sqrt{6}}(1,2,1)^T$，$\gamma_3=\dfrac{1}{\sqrt{3}}(1,-1,1)^T$。
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\end{document}
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Binary file not shown.
@@ -759,12 +759,24 @@ $r(A^*)=\left\{\begin{array}{l}
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0, r(A)<n-1
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\end{array}\right.$。
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$AB=O$，$r(A)+r(B)\leqslant A$的列数。
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$AB=O$，$r(A)+r(B)\leqslant$阶数，即变量数或列数。
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% 证明：$\because B=(\beta_1,\cdots,\beta_s)$，$\therefore(A\beta_1,\cdots,A\beta_s)=0$，$\therefore A\beta_i=0$，$i=1,2,\cdots,s$。
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% 从而每个$\beta_i$都是$Ax=0$的解。
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\subsection{子式}
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在矩阵中，任取$k$行和$k$列 ，位于这些行和列的交点上的 个元素原来的次序所组成的$k$阶方阵的行列式，叫做$A$的一个$k$阶子式。
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当$r(A)=r$时：
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\begin{itemize}
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\item $A$中一定有$r$阶子式不为0，但并不要求所有的$r$阶子式都不为0。即至少存在一个不为0的$r$阶子式让原式秩保持$r$。
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\item $A$中一定有$r-1$阶子式不为0，但并不要求所有的$r-1$阶子式都不为0。
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\item 而$r+1$阶子式则必须全为0。
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\end{itemize}
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\section{等价矩阵}
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\subsection{定义}
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