更新二重积分

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@@ -147,10 +147,6 @@ $\textrm{d}z=A\Delta x+B\Delta y=\dfrac{\partial z}{\partial x}\Delta x+\dfrac{\
     \item 写出极限$\lim\limits_{\substack{\Delta x\to0\\\Delta y\to0}}\dfrac{\Delta z-(A\Delta x+B\Delta y)}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}}$，若极限等于0，则$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$可微，否则不可微。
 \end{enumerate}
 
-% \textbf{例题：}已知函数$z=f(x,y)$的全微分$\textrm{d}z=2x\,\textrm{d}x+\sin y\,\textrm{d}y$且$f(1,0)=2$，求$f(x,y)$。
-
-% 解：
-
 \subsection{偏导数连续性}
 
 对$z=f(x,y)$，讨论其在某特殊点$(x_0,y_0)$处偏导数是否连续的步骤：
@@ -240,24 +236,123 @@ $\dfrac{\partial^2z}{\partial x\partial y}=\dfrac{\partial(f_1'\cdot e^x\sin y)}
 
 求导路径$f_1'-1-y$和$f_1'-2-y$：$=(f_{11}''e^x\cos y+f_{12}''2y)\cdot e^x\sin y+f_1'\cdot e^x\cos y$。
 
+其中$\dfrac{\partial(f_2'\cdot2x)}{\partial y}=2x\dfrac{\partial f_2'}{\partial y}$，求导路径$f_2'-1-y$和$f_2'-2-y$：$=2x(f_{21}''\cdot e^x\cos y+f_{22}''\cdot2y)$。
+
+$\therefore\dfrac{\partial^2z}{\partial x\partial y}=(f_{11}''e^x\cos y+f_{12}''2y)\cdot e^x\sin y+f_1'\cdot e^x\cos y+2x(f_{21}''\cdot e^x\cos y+f_{22}''\cdot2y)$。
+
+若$f$具有二阶连续偏导数，所以可以交换求导顺序，$f_{12}''=f_{21}''$。
+
+化简：$=f_1'e^x\cos y+f_{11}''e^{2x}\sin y\cos y+2e^xf_{12}''(y\sin y+x\cos y)+4f_{22}''xy$。
+
 \subsection{隐函数存在定理}
 
-主要对隐函数的微分。
+主要对隐函数的微分。隐函数的最大问题就是变量纠缠在一起，而公式法所得到的式子中变量都是独立的。
+
+若对每个$x\in D$对应的函数值$y$总是唯一的，这样定义的函数为\textbf{单值函数}。若给定一个对应法则，按法则对$x$总有$y$与之对应，但是$y$不唯一，此时就不是函数，而确定一个\textbf{多值函数}。
+
+只要满足着定义域的条件下，形如$y=f(x)$的函数就是\textbf{显函数}，如$y=\sin x$。由方程$F(x,y)=0$确定的函数为\textbf{隐函数}，如$x+y^3-1=0$显式表示为$y=\sqrt[3]{1-x}$。
+
+\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}设函数$F(x,y)$在点$P(x_0,y_0)$的某一邻域内具有连续偏导数，$F(x_0,y_0)$\\$=0$，$F_y'(x_0,y_0)\neq0$，则方程$F(x,y)=0$在点$(x_0,y_0)$的某一邻域内能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数$y=f(x)$，满足$y_0=f(x_0)$。
+
+\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}二元隐函数求导公式：$\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}=-\dfrac{F_x'}{F_y'}$。
+
+因为$y=y(x)$，所以对$F(x,y)$进行求导：$F_x'\cdot1+F_y'\cdot\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}=0$，就解出隐函数求导公式，$F_y'(x_0,y_0)\neq0$是定理关键。
+
+如给出一个圆的方程$F(x,y)=x^2+y^2-1=0$，$F_x'=2x$，$F_y'=2y$，$F(0,1)=0$，$F'_y(0,1)=2\neq0$。所以在$(0,1)$和$(0,-1)$是单值的，从而能确定一个连续导数的隐函数，而在$(\pm1,0)$的邻域内不存在，因为其切线是竖直的。
+
+\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}设函数$F(x,y,z)$在点$P(x_0,y_0,z_0)$的某一邻域内具有连续偏导数，$F(x_0,y_0,z_0)=0$，$F_z'(x_0,y_0,z_0)\neq0$，则方程$F(x,y,z)=0$在点$(x_0,y_0,z_0)$的某一邻域内能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数$z=f(x,y)$，满足$z_0=f(x_0,y_0)$。
+
+\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}三元隐函数求导公式：$\dfrac{\partial z}{\partial x}=-\dfrac{F_x'}{F_z'}$，$\dfrac{\partial z}{\partial y}=-\dfrac{F_y'}{F_z'}$。
+
+因为$x$是$x$的函数，$y$是$y$的函数，$z$是$xy$的函数。所以$F_x'\cdot1+F_z'\cdot\dfrac{\partial z}{\partial x}=0$，解得$\dfrac{\partial z}{\partial x}=-\dfrac{F_x'}{F_z'}$。同理$F_y'\cdot1+F_z'\cdot\dfrac{\partial z}{\partial y}$也可得。
+
+\textbf{例题：}设$z=f(x,y)$是由方程$z-y-x+xe^{z-y-x}=0$所确定的二元函数，求$\textrm{d}z$。
+
+解：$\textrm{d}z=\dfrac{\partial z}{\partial x}\textrm{d}x+\dfrac{\partial z}{\partial y}\textrm{d}y$。其中$F_x'=-1+e^{z-y-x}-xe^{z-y-x}$，$F_y'=-1-xe^{z-y-z}$，$F_z'=1+xe^{z-y-x}$。
+
+直接代入：$\dfrac{\partial z}{\partial x}\textrm{d}x+\dfrac{\partial z}{\partial y}\textrm{d}y=-\dfrac{F_x'}{F_z'}-\dfrac{F_y'}{F_z'}=\dfrac{1+(x-1)e^{z-y-x}}{1+xe^{z-y-x}}+1$。
+
+\textbf{例题：}已知函数$z=f(x,y)$的全微分$\textrm{d}z=2x\,\textrm{d}x+\sin y\,\textrm{d}y$且$f(1,0)=2$，求$f(x,y)$。
+
+解：$\because\textrm{d}z=2x\,\textrm{d}x+\sin y\,\textrm{d}y$，$\therefore\dfrac{\partial z}{\partial x}=2x$，$\dfrac{\partial z}{\partial y}=\sin y$。
+
+对偏导进行积分：$f(x,y)=x^2+\varphi(y)$，$\dfrac{\partial(x^2+\varphi(y))}{\partial y}=\varphi'(y)=\sin y$。
+
+又$\varphi(y)=-\cos y+C$，$f(x,y)=x^2-\cos y+C$，代入$f(1,0)=2$。
+
+$C=2$，$f(x,y)=x^2-\cos y+2$。
 
 \section{多元函数极值最值}
 
 \subsection{概念}
 
+\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}若存在$(x_0,y_0)$的某个邻域，使得在该邻域内的任意一点$(x,y)$均有$f(x,y)\leqslant f(x_0,y_0)$或$f(x,y)\geqslant f(x_0,y_0)$成立，则称$(x_0,y_0)$为$f(x,y)$的\textbf{广义的极大值点/极小值点}，$f(x_0,y_0)$为$f(x,y)$的\textbf{广义的极大值/极小值}。
+
+\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}若存在$(x_0,y_0)$的某个去心邻域，使得在该邻域内的任意一点$(x,y)$均有$f(x,y)<f(x_0,y_0)$或$f(x,y)>f(x_0,y_0)$成立，则称$(x_0,y_0)$为$f(x,y)$的\textbf{真正的极大值点/极小值点}，$f(x_0,y_0)$为$f(x,y)$的\textbf{真正的极大值/极小值}。
+
+\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}设$(x_0,y_0)$为$f(x,y)$定义域内一点，若对于$f(x,y)$的定义域内任意一点$(x,y)$均有$f(x,y)\leqslant f(x_0,y_0)$或$f(x,y)\geqslant f(x_0,y_0)$成立，则称$(x_0,y_0)$为$f(x,y)$的\textbf{广义的最大值点/最小值点}，$f(x_0,y_0)$为$f(x,y)$的\textbf{广义的最大值/最小值}。
+
+\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}设$(x_0,y_0)$为$f(x,y)$定义域内一点，若对于$f(x,y)$的定义域内任意一个异于$(x_0,y_0)$的点$(x,y)$均有$f(x,y)<f(x_0,y_0)$或$f(x,y)>f(x_0,y_0)$成立，则称$(x_0,y_0)$为$f(x,y)$的\textbf{真正的最大值点/最小值点}，$f(x_0,y_0)$为$f(x,y)$的\textbf{真正的最大值/最小值}。
+
 \subsection{无条件极值}
 
-\subsubsection{隐函数}
+\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}二元函数取极值的必要条件：设$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$一阶偏导数存在且取极值，则$f_x'(x_0,y_0)=0$，$f_y'(x_0,y_0)=0$。三元及以上可以类推。
 
-\subsubsection{显函数}
+\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}二元函数取极值的充分条件：若对函数求二阶偏导$\left\{\begin{array}{l}
+    f_{xx}''(x_0,y_0)=A \\
+    f_{xy}''(x_0,y_0)=B \\
+    f_{yy}''(x_0,y_0)=C
+\end{array}\right.$，则$\Delta=B^2-AC=\left\{\begin{array}{l}
+    <0\Rightarrow\text{极值}\left\{\begin{array}{l}
+        A<0\Rightarrow\text{极大值} \\
+        A>0\Rightarrow\text{极小值}
+    \end{array}\right. \\
+    >0\Rightarrow\text{非极值} \\
+    =0\Rightarrow\text{方法失效，使用定义法}
+\end{array}\right.$。只适用于二元函数极值。
+
+\textbf{例题：}求函数$f(x,y)=x^4+y^4-(x+y)^2$的极值。
+
+解：$f_x'=4x^3-2(x+y)=0$，$f_y'=4y^3-2(x+y)=0$，解得$x=y=-1,0,1$。
+
+$f_{xx}''=12x^2-2$，$f_{xy}''=-2$，$f_{yy}''=12y^2-2$。各自代入：
+
+$P_1:A_1=10,B_1=-2,C_1=10,\Delta=B_1^2-A_1C_1=-96<0,A_1>0$，极小。
+
+同理$P3$也是极小值点。极小值为-2。
+
+$P2:A_2=-2,B_2=-2,C_2=-2,\Delta_2=B_2^2-A_2C_2=0$。该方法失效。
+
+取$y=x$的路径，$f(x,y)=f(x,x)=2x^4-4x^2=2x^2(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})<0$。
+
+取$y=-x$的路径，$f(x,y)=f(x,-x)=2x^4>0$。而$f(0,0)=0$。
+
+所以不同的路径上有大于该值的也有小于该值的，所以该点不为极值点。
+
+% \subsubsection{隐函数}
+
+% \subsubsection{显函数}
 
 \subsection{条件极值与拉格朗日乘数法}
 
-\subsubsection{闭区域边界最值}
+求目标函数$u=f(x,y,z)$在一组条件函数$\varphi_1(x,y,z)=0,\varphi_2(x,y,z)=0,\cdots,\varphi_n(x,y,z)=0$下的最值，则：
 
-\subsubsection{闭区域上最值}
+\begin{enumerate}
+    \item 构造辅助函数带$\lambda_i$：$F(x,y,z,\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n)=f(x,y,z)+\lambda_1\varphi_1(x,y,z)+$\\$\lambda_2\varphi_2(x,y,z)+\lambda_n\varphi_n(x,y,z)$，其中$\lambda_i\varphi_i$为\textbf{拉格朗日乘数}。
+    \item 对函数依次对$x,y,z,\lambda_i$求偏导并令为0：$F_x'=f_x'+\lambda_1\varphi_{1x}'+\lambda_2\varphi_{2x}'+\cdots+\lambda_n\varphi_{nx}'=0$，$F_y'=f_y'+\lambda_1\varphi_{1y}'+\lambda_2\varphi_{2y}'+\cdots+\lambda_n\varphi_{ny}'=0$，$F_z'=f_z'+\lambda_1\varphi_{1z}'+\lambda_2\varphi_{2z}'+\cdots+\lambda_n\varphi_{nz}'=0$，$F_{\lambda_i}'=\varphi_i(x,y,z)=0$。一共$3+n$个方程。
+    \item 解上述方程组得备选点$P_i$，$i=1,2,\cdots,n$，并求$f(P_i)$并取其最大值$m_{\max}$和最小值$u_{\min}$。
+\end{enumerate}
+
+\textbf{例题：}求函数$u=xyz$在约束条件$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{a}$（$x>0,y>0,z>0,a>0$）下的最小值。
+
+解：令$F(x,y,z,\lambda)=xyz+\lambda\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}-\dfrac{1}{a}\right)$。
+
+令$F_x'=yz+-\dfrac{\lambda}{x^2}=0$，$F_y'=xz+-\dfrac{\lambda}{y^2}=0$，$F_z'=xy+-\dfrac{\lambda}{z^2}=0$，$F_\lambda'=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}-\dfrac{1}{a}=0$。
+
+解得$x=y=z=3a$，从而最小值为$u_{\min}=27a^3$。
+
+% \subsubsection{闭区域边界最值}
+
+% \subsubsection{闭区域上最值}
 
 \end{document}

advanced-math/knowledge/7-integral-calculus-of-multivariate-functions/integral-calculus-of-multivariate-functions.tex

@@ -2,6 +2,9 @@
 % UTF8编码，ctexart现实中文
 \usepackage{color}
 % 使用颜色
+\definecolor{orange}{RGB}{255,127,0} 
+\definecolor{violet}{RGB}{192,0,255} 
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 \usepackage{geometry}
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@@ -22,6 +25,8 @@
 % 数学公式
 \usepackage[colorlinks,linkcolor=black,urlcolor=blue]{hyperref}
 % 超链接
+\usepackage{tikz}
+% 绘图
 \author{Didnelpsun}
 \title{多元函数积分学}
 \date{}
@@ -34,6 +39,203 @@
 \newpage
 \pagestyle{plain}
 \setcounter{page}{1}
-\section{}
+\section{二重积分}
+
+\subsection{概念}
+
+\subsubsection{几何背景}
+
+二重积分的几何背景就是曲顶柱体的体积。定积分用极限的思想求出了二维平面的曲边梯形的面积，同样二重积分$\iint\limits_Df(x,y)\,\textrm{d}\sigma$。
+
+被积函数$f(x,y)$作为曲顶柱体在点$(x,y)$处柱体微元的高，用底面积$\textrm{d}\sigma>0$乘上高$f(x,y)$就得到一个小柱体体积，再把所有$D$上的柱体相加起来就是整个曲顶柱体的体积。
+
+\subsubsection{性质}
+
+\begin{itemize}
+    \item 求区域面积：$\iint\limits_D1\cdot\textrm{d}\sigma=\iint\limits_D\textrm{d}\sigma=A$，其中$A$为$D$的面积。
+    \item 可积函数必有界：当$f(x,y)$在有界闭区间$D$上可积时，$f(x,y)$在$D$上必有界。
+    \item 积分线性性质：$k_1,k_2$为常数，则$\iint\limits_D[k_1f(x,y)\pm k_2g(x,y)]\,\textrm{d}\sigma=\iint\limits_{D_1}f(x,y)\,\textrm{d}\sigma$\\$\pm k_2\iint\limits_{D_2}f(x,y)\,\textrm{d}\sigma$。
+    \item 积分可加性：当$f(x,y)$在有界闭区间$D$上可积时，且$D_1\cup D_2=D$，$D_1\cap U_2=\varnothing$，则$\iint\limits_Df(x,y)\,\textrm{d}\sigma=\iint\limits_{D_1}f(x,y)\,\textrm{d}\sigma+\iint\limits_{D_2}f(x,y)\,\textrm{d}\sigma$。
+    \item 积分保号性：当$f(x,y),g(x,y))$在有界闭区间$D$上可积时，若在$D$上有$f(x,y)\leqslant g(x,y)$，则$\iint\limits_Df(x,y)\,\textrm{d}\sigma\leqslant\iint\limits_Dg(x,y)\,\textrm{d}\sigma$，特别$\left\vert\iint\limits_Df(x,y)\,\textrm{d}\sigma\right\vert\leqslant\iint\limits_D\vert f(x,y)\vert\,\textrm{d}\sigma$。
+    \item 二重积分估值定理：设$M,m$，分别为$f(x,y)$在有界闭区域$D$上的最大值和最小值，$A$为$D$的面积，则有$mA\leqslant\iint\limits_Df(x,y)\,\textrm{d}\sigma\leqslant MA$。
+    \item 二重积分中值定理：设函数$f(x,y)$在有界闭区域$D$上连续，$A$为$D$的面积，则在$D$上至少存在一点$(\xi,\eta)$使得$\iint\limits_Df(x,y)\,\textrm{d}\sigma=f(\xi,\eta)A$。
+\end{itemize}
+
+\textbf{例题：}设$I_1=\iint\limits_D\cos\sqrt{x^2+y^2}\,\textrm{d}\sigma$，$I_2=\iint\limits_D\cos(x^2+y^2)\,\textrm{d}\sigma$，$I_3=\iint\limits_D\cos(x^2+y^2)^2\,\textrm{d}\sigma$，其中$D=\{(x,y)|x^2+y^2\leqslant1\}$，则()。
+
+$A.I_3>I_2>I_1$\qquad$B.I_1>I_2>I_3$\qquad$C.I_2>I_1>I_3$\qquad$D.I_3>I_1>I_2$
+
+解：令$x^2+y^2=t$，$\therefore0<t\leqslant1$。所以$1\geqslant\sqrt{t}\geqslant t\geqslant t^2\geqslant0$。
+
+又$\cos x$单调减，所以$A$。
+
+\subsubsection{对称性}
+
+普通对称性\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}设$D$关于$y$轴对称，$I=\iint\limits_Df(x,y)\,\textrm{d}\sigma$，将$D$分为对称的两部分$D_1D_2$，即$I=\left\{\begin{array}{ll}
+    2\iint\limits_{D_1}f(x,y)\,\textrm{d}\sigma, & f(x,y)=f(-x,y) \\
+    0, & f(x,y)=-f(-x,y)
+\end{array}\right.$。关于$x$轴对称也同理。
+
+轮换对称性\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}$xy$对调后区域$D$不变或关于$y=x$对称，$\iint\limits_Df(x,y)\,\textrm{d}x\textrm{d}y$\\$=\iint\limits_Df(y,x)\,\textrm{d}y\textrm{d}x$。类似积分值与积分变量无关。同理对于一元函数积分的不变性：$\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x=\int_a^bf(y)\,\textrm{d}y$。
+
+\textbf{例题：}设区域$D=\{(x,y)|x^2+y^2\leqslant1,x\geqslant0,y\geqslant0\}$，$f(x)$在$D$上的正值连续函数，$a,b$为常数，求$I=\displaystyle{\iint\limits_D\dfrac{a\sqrt{f(x)}+b\sqrt{f(y)}}{\sqrt{f(x)}+\sqrt{f(y)}}\textrm{d}\sigma}$。
+
+解：由于被积函数是抽象的，所以无法直接计算。但是由于$D$是圆，$xy$对调后$D$保持不败你，所以$D$关于$y=x$对称，根据轮换对称性：\medskip
+
+$I=\displaystyle{\iint\limits_D\dfrac{a\sqrt{f(x)}+b\sqrt{f(y)}}{\sqrt{f(x)}+\sqrt{f(y)}}\textrm{d}\sigma=\iint\limits_D\dfrac{a\sqrt{f(y)}+b\sqrt{f(x)}}{\sqrt{f(y)}+\sqrt{f(x)}}\textrm{d}\sigma}$。
+
+$\therefore2I=\displaystyle{\iint\limits_D\dfrac{a\sqrt{f(x)}+b\sqrt{f(y)}}{\sqrt{f(x)}+\sqrt{f(y)}}\textrm{d}\sigma+\iint\limits_D\dfrac{a\sqrt{f(y)}+b\sqrt{f(x)}}{\sqrt{f(y)}+\sqrt{f(x)}}\textrm{d}\sigma}=\iint\limits_D(a+b)\,\textrm{d}\sigma=(a+b)\dfrac{\pi}{4}$。
+
+解得$I=\dfrac{a+b}{8}\pi$。
+
+\subsection{计算}
+
+\subsubsection{直角坐标系}
+
+后积先定限，先内画条线，先交写下限，后交写上限。
+
+\paragraph{\texorpdfstring{$X$}型区域} \leavevmode \medskip
+
+\begin{minipage}{0.6\linewidth}
+    也称为上下型区域。
+
+    $\iint\limits_Df(x,y)\,\textrm{d}\sigma=\int_a^b\textrm{d}x\int_{\psi(x)}^{\phi(x)}f(x,y)\,\textrm{d}y$。
+\end{minipage}
+\hfill
+\begin{minipage}{0.3\linewidth}
+    \begin{tikzpicture}[scale=1]
+        \draw[-latex](-0.25,0) -- (3.5,0) node[below]{$x$};
+        \draw[-latex](0,-0.25) -- (0,3) node[above]{$y$};
+        \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$};
+        \draw[black, thick, domain=0.25:3] plot (\x,{pow(\x,0.5)*pow(e,-\x*\x/2)+2});
+        \filldraw[black] (1.75,3) node{$\phi(x)$};
+        \draw[black, thick, domain=0.25:3] plot (\x,{pow(\x,4)*pow(e,-\x*\x/2)/5+1});
+        \filldraw[black] (1.75,0.55) node{$\psi(x)$};
+        \draw[black, densely dashed](0.25,2.5) -- (0.25,0) node[below]{$a$};
+        \draw[black, densely dashed](3,2) -- (3,0) node[below]{$b$};
+    \end{tikzpicture}
+\end{minipage}
+
+\paragraph{\texorpdfstring{$Y$}型区域} \leavevmode \medskip
+
+\begin{minipage}{0.3\linewidth}
+    \begin{tikzpicture}[scale=1]
+        \draw[-latex](-0.25,0) -- (3.5,0) node[below]{$x$};
+        \draw[-latex](0,-0.25) -- (0,3) node[above]{$y$};
+        \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$};
+        \draw[black, thick, domain=2.05:2.57] plot (\x,{pow(\x-1.75,-1)-1});
+        \filldraw[black] (3,1.25) node{$\phi(y)$};
+        \draw[black, thick, domain=0.5:1] plot (\x,{pow(\x+0.25,6)*pow(e,-\x*\x/2)});
+        \filldraw[black] (0.25,1.25) node{$\psi(y)$};
+        \draw[black, densely dashed](2.65,0.25) -- (0,0.25) node[left]{$c$};
+        \draw[black, densely dashed](2,2.35) -- (0,2.35) node[left]{$d$};
+    \end{tikzpicture}
+\end{minipage}
+\hfill
+\begin{minipage}{0.5\linewidth}
+    也称为左右型区域。
+
+    $\iint\limits_Df(x,y)\,\textrm{d}\sigma=\int_c^d\textrm{d}y\int_{\psi(y)}^{\phi(y)}f(x,y)\,\textrm{d}x$。
+\end{minipage}
+
+\paragraph{区域类型选择} \leavevmode \medskip
+
+若上下是两条曲线，那么就是$X$型，若左右是两条曲线，那么就是$Y$型。
+
+若同一个方向的函数有两种不同的表达式，则从另一个方向将$D$按照函数分段割开求积分。
+
+\subsubsection{极坐标系}
+
+按积分区域与极点位置关系的不同，将二重积分计算分为三种情况：
+
+根据$\theta$按角度切割区间，然后从极点开始按$\textrm{d}r$切割，变成一个个类似矩形的图形。图形一边为切割半径的改变量$\textrm{d}r$，另一条边为圆弧，等于半径乘改变角度$r\textrm{d}\theta$，所以最后$\textrm{d}\sigma=r\textrm{d}r\textrm{d}\theta$。
+
+基本上都是先积$r$后积$\theta$。
+
+从射线刚开始接触区域$D$的射线记为$\theta=\alpha$，要离开区域$D$的射线记为$\theta=\beta$，中间移动的射线为$\theta=\theta$。$\theta=\alpha$与$\theta=\beta$与$D$相交于两点，两点内靠近极点的$D$的边为\textbf{内曲线}，远离极点的边为\textbf{外曲线}。$\theta=\theta$与内曲线交于$r=r_1(\theta)$，与外曲线交于$r=r_2(\theta)$。
+
+\begin{enumerate}
+    \item 极点$O$在区域$D$外部：$\iint\limits_Df(x,y)\,\textrm{d}\sigma=\int_\alpha^\beta\textrm{d}\theta\int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)}f(r\cos\theta,r\sin\theta)r\,\textrm{d}r$。
+    \item 极点$O$在区域$D$边上：$\iint\limits_Df(x,y)\,\textrm{d}\sigma=\int_\alpha^\beta\textrm{d}\theta\int_0^{r(\theta)}f(r\cos\theta,r\sin\theta)r\,\textrm{d}r$。
+    \item 极点$O$在区域$D$内部：$\iint\limits_Df(x,y)\,\textrm{d}\sigma=\int_0^{2\pi}\textrm{d}\theta\int_0^{r(\theta)}f(r\cos\theta,r\sin\theta)r\,\textrm{d}r$。
+\end{enumerate}
+
+\subsubsection{极坐标系与直角坐标系选择}
+
+若给出一个二重积分：
+
+\begin{enumerate}
+    \item 被积函数是否为$f(x^2+y^2)$、$f\left(\dfrac{y}{x}\right)$、$f\left(\dfrac{x}{y}\right)$等形式。
+    \item 积分区域是否为圆或圆的一部分。
+    \item 如果上面两种都有，则优先使用极坐标系，否则优先考虑直角坐标系。
+\end{enumerate}
+
+\subsubsection{极直互化}
+
+对于极坐标系转换到直角坐标系：$x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$。
+
+\textbf{例题：}设区域$D=\{(x,y)|x^2+y^2\leqslant R^2\}$，计算$\displaystyle{\iint\limits_D\left(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}\right)\textrm{d}x\textrm{d}y}$。
+
+解：互换积分变量：$I=\displaystyle{\iint\limits_D\left(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}\right)\textrm{d}x\textrm{d}y}=\displaystyle{\iint\limits_D\left(\dfrac{y^2}{a^2}+\dfrac{x^2}{b^2}\right)\textrm{d}x\textrm{d}y}$。
+
+$\therefore2I=\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}\right)\displaystyle{\iint\limits_D(x^2+y^2)\textrm{d}x\textrm{d}y}$，$\therefore I=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}\right)\displaystyle{\iint\limits_D(x^2+y^2)\textrm{d}\sigma}$。
+
+根据公式三转换为极坐标系：$I=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}\right)\int_0^{2\pi}\textrm{d}\theta\int)^Rr^2r\,\textrm{d}r$。
+
+即$I=\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}\right)\dfrac{\pi R^4}{4}$。
+
+\textbf{例题：}计算$I=\int_0^1\textrm{d}x\int_{1-x}^{\sqrt{1-x^2}}\dfrac{x+y}{x^2+y^2}\textrm{d}y$。
+
+解：根据上限$\sqrt{1-x^2}$和$1-x$所围成的图形$D$为第一象限的圆减去三角形。
+
+所以转换为极坐标系时，对于$\theta\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$，对于$r$在$(1-x,\sqrt{1-x^2})$。
+
+下限$x+y=1$，即$r\cos\theta+r\sin\theta=1$，解出$r=\dfrac{1}{\cos\theta+\sin\theta}$，上限是一个圆，所以为1。
+
+$=\int_0^\frac{\pi}{2}\textrm{d}\theta\int_\frac{1}{\cos\theta+\sin\theta}^1\cos\theta+\sin\theta\,\textrm{d}r=\int_0^\frac{\pi}{2}\cos\theta+\sin\theta-1\,\textrm{d}\theta=2-\dfrac{\pi}{2}$。
+
+\subsubsection{积分次序}
+
+积分次序即区域类型选择的问题，目的是为了简化计算，使得积分的函数更简单。
+
+从另一方面，也很可能是积分函数无法按此次序进行积分，所以需要更换积分顺序。
+
+存在许多有原函数但求不出初等函数形式的原函数。如$\dfrac{\sin x}{x}$、$\dfrac{\cos x}{x}$、$\dfrac{\tan x}{x}$、$\dfrac{e^x}{x}$、$\sin x^2$、$\cos x^2$、$\tan x^2$、$e^{ax^2+bx+c}$、$\dfrac{1}{\ln x}$等。
+
+\textbf{例题：}计算$\displaystyle{\int_1^2\textrm{d}x\int_{\sqrt{x}}^x\sin\dfrac{\pi x}{2y}\textrm{d}y+\int_2^4\textrm{d}x\int_{\sqrt{x}}^2\sin\dfrac{\pi x}{2y}\textrm{d}y}$。
+
+解：首先可以看出积分函数都是一样的，只是积分区域不同所以分开了，可见该函数的积分区域较复杂。
+
+积分函数为$\sin\dfrac{\pi x}{2y}$，若对$y$进行积分，则可以类比求$\displaystyle{\int\sin\dfrac{1}{x}\,\textrm{d}x}$，这个是积分积不出来的。所以必须更换积分顺序。先积$x$。
+
+首先根据被积函数上下限得到积分区域：$\sqrt{x}$、$x$、2围成的类三角形$\textrm{d}\sigma$。
+
+$I=\displaystyle{\iint\limits_D\sin\dfrac{\pi x}{2y}\textrm{d}\sigma}=\displaystyle{\int_1^2\textrm{d}y\int_y^{y^2}\sin\dfrac{\pi x}{2y}\textrm{d}x}=\displaystyle{\int_1^2\dfrac{2y}{\pi}\left(-\cos\dfrac{\pi y}{2}+\cos\dfrac{\pi}{2}\right)}\textrm{d}y=\dfrac{4}{\pi^3}(2+\pi)$。
+
+\subsubsection{二重积分处理一元积分}
+
+在面对有中间变量的一元积分时，可以使用二重积分。
+
+\textbf{例题：}设$f(x)=\int_x^1\sin(\pi u^2)\,\textrm{d}u$，求$\int_0^1f(x)\,\textrm{d}x$。（可以使用分部积分法）
+
+解：$\int_0^1f(x)\,\textrm{d}x=\int_0^1\textrm{d}x\int_x^1\sin(\pi u^2)\,\textrm{d}u$。又$\sin(\pi u^2)$无法对$x$积分。
+
+换做对$y$积分，$\textrm{d}\sigma$为$x=0$、$x=1$、$u=x$围成的三角形。交换积分次序：
+
+$\int_0^1\textrm{d}y\int_0^u\sin(\pi u^2)\,\textrm{d}x=\int_0^1\sin(\pi u^2)u\,\textrm{d}u=\dfrac{1}{2\pi}\int_0^1\sin(\pi u^2)\,\textrm{d}(\pi u^2)=-\dfrac{1}{2\pi}$\\$\cos\pi u^2|_0^1=-\dfrac{1}{2\pi}(-1-1)=\dfrac{1}{\pi}$。
+
+\textbf{例题：}利用广义二重积分求$\int_0^{+\infty}e^{-x^2}\,\textrm{d}x$。
+
+解：根据积分值与积分变量无关的性质：
+
+$I^2=(\int_0^{+\infty}e^{-x^2}\,\textrm{d}x)^2=\int_0^{+\infty}e^{-x^2}\,\textrm{d}x\cdot\int_0^{+\infty}e^{-y^2}\,\textrm{d}y=\int_0^{+\infty}\int_0^{+\infty}e^{-x^2-y^2}\,\textrm{d}x\textrm{d}y$。
+
+$\textrm{d}\sigma$是第一象限，可以看作一个广义的圆，半径无限大，转换为极坐标系。
+
+$=\int_0^\frac{\pi}{2}\textrm{d}\theta\int_0^{+\infty}e^{-r^2}r\,\textrm{d}r=\displaystyle{\int_0^\frac{\pi}{2}\dfrac{1}{2}\,\textrm{d}\theta}=\dfrac{\pi}{2}$。$\therefore I=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}$。
+
+\section{三重积分}
+
+\section{曲线曲面积分}
 
 \end{document}

advanced-math/knowledge/9-differential-equation/differential-equation.tex

@@ -3,6 +3,7 @@
 \usepackage{color}
 % 使用颜色
 \definecolor{orange}{RGB}{255,127,0} 
+\definecolor{violet}{RGB}{192,0,255} 
 \definecolor{aqua}{RGB}{0,255,255}
 \usepackage{geometry}
 \setcounter{tocdepth}{4}
@@ -49,19 +50,23 @@
 
 \section{微分方程基本概念}
 
-表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，即含导数的方程就是微分方程。导数可能是一阶导数也可能是二阶以及以上阶数的导数。
+\subsection{微分方程构成}
 
-微分方程所出现的未知函数的最高阶导数的阶数就是该微分方程的\textbf{阶}。
+\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，即含导数的方程就是微分方程。导数可能是一阶导数也可能是二阶以及以上阶数的导数。
+
+\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}微分方程所出现的未知函数的最高阶导数的阶数就是该微分方程的\textbf{阶}。
 
 $n$阶微分方程的形式是$F(x,y,y',\cdots,y^{(n)})=0$。其中最高阶导数是必须出现的。若能从中解出最高阶导数，则可得微分方程$y^{(n)}=f(x,y,y',\cdots,y^{(n-1)})$。
 
-若微分方程中的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，则就是微分方程的\textbf{通解}。
+\subsection{微分方程的解}
+
+\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}若微分方程中的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，则就是微分方程的\textbf{通解}。
 
 如若$y''=3$，则$y'=3x+C_1$，$y=\dfrac{3}{2}x^2+C_1x+C_2$，此时含有两个任意常数$C_1C_2$，则微分方程的阶数也为2。
 
-确定通解中任意常数后，就得到微分方程的\textbf{特解}。
+\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}确定通解中任意常数后，就得到微分方程的\textbf{特解}。
 
-当给出$x=x_0$时$y_0$与$y_0'$的值，那么这些条件就是\textbf{初值条件}，如上面的$y''=3$。
+\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}当给出$x=x_0$时$y_0$与$y_0'$的值，那么这些条件就是\textbf{初值条件}，如上面的$y''=3$。
 
 求微分方程$y'=f(x,y)$满足初值条件$y\vert_{x=x_0}=y_0$的特解这样的问题，就是一阶微分方程的初值问题，记为$\left\{\begin{array}{l}
     y'=f(x,y) \\