更新

linear-algebra/exercise/5-similar/similar.tex

@@ -315,8 +315,14 @@ $E-A=\left(\begin{array}{ccc}
 
 \subsection{相似矩阵}
 
+\subsubsection{具体型}
+
+$\vert \lambda E-A\vert=0$或$(\lambda E-A)x=0$。
+
 \subsubsection{抽象型}
 
+定义$A\alpha=\lambda\alpha$。
+
 \textbf{例题：}设$A$是三阶矩阵，$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$是三维线性无关的列向量，且$A\alpha_1=\alpha_2+\alpha_3$，$A\alpha_2=\alpha_1+\alpha_3$，$A\alpha_3=\alpha_1+\alpha_2$，求$A$相似的矩阵。
 
 解：$A\sim\Lambda$，则$P^{-1}AP=\Lambda$。
@@ -337,7 +343,11 @@ $A(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=(\alpha_2+\alpha_3,\alpha_1+\alpha_3,\alpha_1+\al
 
 $\therefore AP=PB$，$P^{-1}AP=B$，$A\sim B$。
 
-\subsubsection{正交相似}
+\subsection{特殊矩阵}
+
+\subsubsection{实对称矩阵}
+
+根据实对称矩阵不同特征值的特征向量必然相互正交的性质求解。
 
 一般会给出特征值（全部）和对应的特征向量（部分）。
 
@@ -367,6 +377,69 @@ $\alpha_3^T\alpha_1=x_1-x_3=0$，$\alpha_3^T\alpha_2=x_2+x_3=0$，求$\lambda_3$
 
 最后对整个$Q$进行单位化：$\gamma_1=\dfrac{1}{\sqrt{2}}(1,0,-1)^T$，$\gamma_2=\dfrac{1}{\sqrt{6}}(1,2,1)^T$，$\gamma_3=\dfrac{1}{\sqrt{3}}(1,-1,1)^T$。
 
+\subsubsection{爪型矩阵}
+
+即类似于爪形行列式，且列数较大，不可能直接计算，所以就需要把常数项提出来。
+
+\textbf{例题：}设$n$（$n\geqslant2$）阶矩阵$A=\left[\begin{array}{ccccc}
+    a & 1 & 1 & \cdots & 1 \\
+    1 & a & 1 & \cdots & 1 \\
+    1 & 1 & a & \cdots & 1 \\
+    \vdots & \vdots & \vdots &  & \vdots \\
+    1 & 1 & 1 & \cdots & a
+\end{array}\right]$。求可逆矩阵$P$与对角矩阵$\Lambda$，使得$P^{-1}AP=\Lambda$，并求$r(A^*)$。
+
+解：矩阵$A$是个爪形，直接使用$\vert\lambda E-A\vert=0$计算特征值非常复杂，所以对其化简：
+
+$A=\left[\begin{array}{cccc}
+    a-1 \\
+    & a-1 \\
+    & & \cdots \\
+    & & & a-1
+\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cccc}
+    1 & 1 & \cdots & 1 \\
+    1 & 1 & \cdots & 1 \\
+    \vdots & \vdots & & \vdots \\
+    1 & 1 & \cdots & 1 \\
+\end{array}\right]=(a-1)E+B$。
+
+$\vert\lambda E-B\vert=\left\vert\begin{array}{cccc}
+    \lambda-1 & -1 & \cdots & -1 \\
+    -1 & \lambda-1 & \cdots & -1 \\
+    \vdots & \vdots & & \vdots \\
+    -1 & -1 & \cdots & \lambda-1
+\end{array}\right\vert=\left\vert\begin{array}{cccc}
+    \lambda-n & \lambda-n & \cdots & \lambda-n \\
+    -1 & \lambda-1 & \cdots & -1 \\
+    \vdots & \vdots & & \vdots \\
+    -1 & -1 & \cdots & \lambda-1
+\end{array}\right\vert=\left\vert\begin{array}{cccc}
+    \lambda-n & 0 & \cdots & 0 \\
+    -1 & \lambda & \cdots & 0 \\
+    \vdots & \vdots & & \vdots \\
+    -1 & 0 & \cdots & \lambda
+\end{array}\right\vert=0$，所以$\lambda_1=n$，$\lambda_2=\cdots=\lambda_n=0$。
+
+从而$A$的特征值为$n+a-1$、$a-1$、$\cdots$、$a-1$。
+
+所以根据特征值$(nE-B)x=0$，$x_1=(1,1,\cdots,1)^T$，$(0E-B)x=0$，$x_2=(1,-1,0,\cdots,0)^T$、$x_3=(1,0,-1,\cdots,0)^T$、$\cdots$、$x_n=(1,0,0,\cdots,-1)^T$。
+
+根据特征值和特征向量的性质，$x_i$也是$A$的特征向量。
+
+令$P=(x_1,x_2,\cdots,x_n)$，则$P^{-1}AP=diag(n+(a-1),a-1,\cdots,a-1)$。
+
+因为$A\sim\Lambda$，所以$\vert A\vert=\vert\Lambda\vert=(n+a-1)(a-1)^n-1$，所以：
+
+$r(A)=\left\{\begin{array}{ll}
+    n, & a\neq1-n,a\neq1 \\
+    n-1, & a=1-n \\
+    1, & a=1
+\end{array}\right.$，所以$r(A^*)=\left\{\begin{array}{ll}
+    n, & a\neq1-n,a\neq1 \\
+    1, & a=1-n \\
+    0, & a=1
+\end{array}\right.$。
+
 \subsection{矩阵关系式}
 
 若有可逆矩阵$P$，使得$P^{-1}AP=\Lambda$，则：
@@ -387,7 +460,7 @@ $P$即是$A$特征向量的拼合。
 
 解：首先$A\sim\Lambda$，所以$A$能相似对角化。
 
-$\vert\lambda E-A\lambda=\left|\begin{array}{ccc}
+$\vert\lambda E-A\vert=\left|\begin{array}{ccc}
     \lambda-2 & -x & -1 \\
     0 & \lambda-3 & 0 \\
     -3 & 6 & \lambda

linear-algebra/exercise/6-quadratic-form/quadratic-form.tex

@@ -72,90 +72,6 @@ $=\left[x_1,x_2,x_3\right]\left[\begin{array}{c}
 
 即将二次型式子变为平方形式，再变量更换，变成矩阵形式。
 
-\subsection{配方法}
-
-\begin{enumerate}
-    \item 如果二次型有平方项，则首先从$x_1$开始往后不断配方，让最后的式子全部以平方加和的形式，从而不会有混合项。
-    \item 如果二次型没有平方项，则首先令$x_1=y_1+y_2$，$x_2=y_1-y_2$，$x_i=y_i$等然后带入$f(x)$强行出现平方项，然后配方，成功后再用$z_i$替换。
-    \item 如果总的完全平方项数小于变量个数，则令多余的$x_i$为$y_i$，系数为0。
-\end{enumerate}
-
-\subsubsection{平方项}
-
-即依次对存在$x_i$的式子进行整合配方。
-
-\textbf{例题：}将$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_1x_2+2x_1x_3-x_2^2-2x_2x_3-x_3^2$化为标准形并求出作的可逆线性变换。
-
-解：首先对$x_1$进行配方，因为有$x_1$因子的式子有$x_1^2+2x_1x_2+2x_1x_3$。
-
-所以将$x_1,x_2,x_3$全部配在一起：$(x_1+x_2+x_3)^2=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3$。
-
-所以$f(x)=(x_1+x_2+x_3)^2-2x_2^2-4x_2x_3-2x_3^2$，然后继续配$x_2$。
-
-因为还有$-2x_2^2-4x_2x_3$，所以配成$-2(x_2+x_3)^2$，正好全部配完了。
-
-$\therefore f(x)=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_2+x_3)^2$。
-
-令$y_1=x_1+x_2+x_3$，$y_2=x_2+x_3$，补$y_3=x_3$，$\therefore f=y_1^2-2y_2^2$。
-
-$(y_1,y_2,y_3)^T=\left(\begin{array}{ccc}
-    1 & 1 & 1 \\
-    0 & 1 & 1 \\
-    0 & 0 & 1
-\end{array}\right)(x_1,x_2,x_3)^T$，此时是$y=Dx$，但是我们要求的是$x=Cy$，所以$C=D^{-1}$，所以$D^{-1}$才是作出的可逆线性变换。
-
-所以得到的线性变换为$\left(\begin{array}{ccc}
-    1 & -1 & 0 \\
-    0 & 1 & -1 \\
-    0 & 0 & 1
-\end{array}\right)$。
-
-这样方法还要重新求逆，比较麻烦。实际上我们要求的是$x=Cy$，即用$y$来表示$x$，从而直接将$y$来表示$x$就可以了。
-
-首先$y_3=x_3$，所以$x_2=y_2-x_3=y_2-y_3$，$x_1=y_1-x_2-x_3=y_1-y_2+y_3-y_3=y_1-y_2$，综上$x_1=y_1-y_2$，$x_2=y_2-y_3$，$x_3=y_3$，也得到同样结果。
-
-\subsubsection{无平方项}
-
-\textbf{例题：}将二次型$f(x_1,x_2,x_3)=x_1x_2+x_1x_3-x_2x_3$化为规范形，并求所用的可逆线性变换。
-
-解：因为二次型中没有平方项式子，而如果进行配方一定会出现平方，就会产生冲突，所以希望把$x$代换称有平方的式子。
-
-令$x_1=y_1+y_2$，$x_2=y_1-y_2$，$x_3=y_3$，代入二次型中。
-
-$f=y_1^2-y_2^2+y_1y_3+y_2y_3-y_1y_3-+y_2y_3=y_1^2-y_2^2+2y_2y_3=y_1^2-y_2^2+2y_2y_3$。
-
-此时由没有平方项就变成了有平方项，所以就能进行配方。
-
-$=y_1^2-(y_2-y_3)^2+y_3^2$，继续之前的步骤，进行换元：
-
-令$z_1=y_1$，$z_2=y_2-y_3$，$z_3=y_3$，$f=z_1^2-z_2^2+z_3^2$得到标准形。
-
-对于$x$与$y$：$(x_1,x_2,x_3)^T=\left(\begin{array}{ccc}
-    1 & 1 & 0 \\
-    1 & -1 & 0 \\
-    0 & 0 & 1
-\end{array}\right)(y_1,y_2,y_3)^T$。$y$作为过渡变量。
-
-将$y$转换为$z$：$(z_1,z_2,z_3)^T=\left(\begin{array}{ccc}
-    1 & 0 & 0 \\
-    0 & 1 & -1 \\
-    0 & 0 & 1
-\end{array}\right)(y_1,y_2,y_3)^T$，我们需要$x=Cz$。
-
-$(x_1,x_2,x_3)^T=\left(\begin{array}{ccc}
-    1 & 1 & 0 \\
-    1 & -1 & 0 \\
-    0 & 0 & 1
-\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}
-    1 & 0 & 0 \\
-    0 & 1 & -1 \\
-    0 & 0 & 1
-\end{array}\right)^{-1}(z_1,z_2,z_3)^T$，从而得到$C=\left(\begin{array}{ccc}
-    1 & 1 & 1 \\
-    1 & -1 & -1 \\
-    0 & 0 & 1
-\end{array}\right)$。
-
 \subsection{初等变换法}
 
 $f(x)=X^TAX$，线性变换$X=CY$，$C^TAC=\Lambda$，又$C$可逆，$\therefore C=P_1P_2\cdots P_s$，$EP_1P_2\cdots P_s=C$，$\therefore(P_1P_2\cdots P_s)^TAP_1P_2\cdots P_3=\Lambda$，
@@ -238,8 +154,96 @@ $\therefore\Lambda=\left(\begin{array}{ccc}
     0 & 0 & 1
 \end{array}\right)$
 
+\subsection{可逆线性变换法}
+
+即配方法，求可逆线性变换。
+
+\begin{enumerate}
+    \item 如果二次型有平方项，则首先从$x_1$开始往后不断配方，让最后的式子全部以平方加和的形式，从而不会有混合项。
+    \item 如果二次型没有平方项，则首先令$x_1=y_1+y_2$，$x_2=y_1-y_2$，$x_i=y_i$等然后带入$f(x)$强行出现平方项，然后配方，成功后再用$z_i$替换。
+    \item 如果总的完全平方项数小于变量个数，则令多余的$x_i$为$y_i$，系数为0。
+\end{enumerate}
+
+\subsubsection{平方项}
+
+即依次对存在$x_i$的式子进行整合配方。从$x_1$开始，后面含$x_1$的都提到一起配方，然后依次按这个方法进行配方。
+
+\textbf{例题：}将$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_1x_2+2x_1x_3-x_2^2-2x_2x_3-x_3^2$化为标准形并求出作的可逆线性变换。
+
+解：首先对$x_1$进行配方，因为有$x_1$因子的式子有$x_1^2+2x_1x_2+2x_1x_3$。
+
+所以将$x_1,x_2,x_3$全部配在一起：$(x_1+x_2+x_3)^2=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3$。
+
+所以$f(x)=(x_1+x_2+x_3)^2-2x_2^2-4x_2x_3-2x_3^2$，然后继续配$x_2$。
+
+因为还有$-2x_2^2-4x_2x_3$，所以配成$-2(x_2+x_3)^2$，正好全部配完了。
+
+$\therefore f(x)=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_2+x_3)^2$。
+
+令$y_1=x_1+x_2+x_3$，$y_2=x_2+x_3$，补$y_3=x_3$，$\therefore f=y_1^2-2y_2^2$。
+
+$(y_1,y_2,y_3)^T=\left(\begin{array}{ccc}
+    1 & 1 & 1 \\
+    0 & 1 & 1 \\
+    0 & 0 & 1
+\end{array}\right)(x_1,x_2,x_3)^T$，此时是$y=Dx$，但是我们要求的是$x=Cy$，所以$C=D^{-1}$，所以$D^{-1}$才是作出的可逆线性变换。
+
+所以得到的线性变换为$\left(\begin{array}{ccc}
+    1 & -1 & 0 \\
+    0 & 1 & -1 \\
+    0 & 0 & 1
+\end{array}\right)$。
+
+这样方法还要重新求逆，比较麻烦。实际上我们要求的是$x=Cy$，即用$y$来表示$x$，从而直接将$y$来表示$x$就可以了。
+
+首先$y_3=x_3$，所以$x_2=y_2-x_3=y_2-y_3$，$x_1=y_1-x_2-x_3=y_1-y_2+y_3-y_3=y_1-y_2$，综上$x_1=y_1-y_2$，$x_2=y_2-y_3$，$x_3=y_3$，也得到同样结果。
+
+\subsubsection{无平方项}
+
+\textbf{例题：}将二次型$f(x_1,x_2,x_3)=x_1x_2+x_1x_3-x_2x_3$化为规范形，并求所用的可逆线性变换。
+
+解：因为二次型中没有平方项式子，而如果进行配方一定会出现平方，就会产生冲突，所以希望把$x$代换称有平方的式子。
+
+令$x_1=y_1+y_2$，$x_2=y_1-y_2$，$x_3=y_3$，代入二次型中。
+
+$f=y_1^2-y_2^2+y_1y_3+y_2y_3-y_1y_3-+y_2y_3=y_1^2-y_2^2+2y_2y_3=y_1^2-y_2^2+2y_2y_3$。
+
+此时由没有平方项就变成了有平方项，所以就能进行配方。
+
+$=y_1^2-(y_2-y_3)^2+y_3^2$，继续之前的步骤，进行换元：
+
+令$z_1=y_1$，$z_2=y_2-y_3$，$z_3=y_3$，$f=z_1^2-z_2^2+z_3^2$得到标准形。
+
+对于$x$与$y$：$(x_1,x_2,x_3)^T=\left(\begin{array}{ccc}
+    1 & 1 & 0 \\
+    1 & -1 & 0 \\
+    0 & 0 & 1
+\end{array}\right)(y_1,y_2,y_3)^T$。$y$作为过渡变量。
+
+将$y$转换为$z$：$(z_1,z_2,z_3)^T=\left(\begin{array}{ccc}
+    1 & 0 & 0 \\
+    0 & 1 & -1 \\
+    0 & 0 & 1
+\end{array}\right)(y_1,y_2,y_3)^T$，我们需要$x=Cz$。
+
+$(x_1,x_2,x_3)^T=\left(\begin{array}{ccc}
+    1 & 1 & 0 \\
+    1 & -1 & 0 \\
+    0 & 0 & 1
+\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}
+    1 & 0 & 0 \\
+    0 & 1 & -1 \\
+    0 & 0 & 1
+\end{array}\right)^{-1}(z_1,z_2,z_3)^T$，从而得到$C=\left(\begin{array}{ccc}
+    1 & 1 & 1 \\
+    1 & -1 & -1 \\
+    0 & 0 & 1
+\end{array}\right)$。
+
 \subsection{正交变换法}
 
+即求正交变换。
+
 \textbf{例题：}将二次型$f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+5x_2^2+5x_3^2+4x_1x_2-4x_1x_3-8x_2x_3$使用正交变换法化为标准形，并求所作的正交变换。
 
 已知将二次型通过矩阵表示：$=(x_1,x_2,x_3)\left(\begin{array}{ccc}
@@ -258,6 +262,26 @@ $\therefore\Lambda=\left(\begin{array}{ccc}
      & & 10
 \end{array}\right)(y_1,y_2,y_3)^T=y_1^2+y_2^2+10y_3^2$
 
+\section{规范形}
+
+由于只有少部分二次型能转换为规范形，所以基本上都是选择题考察。
+
+\subsection{惯性定理}
+
+多用于规范形的判断。
+
+\textbf{例题：}二次型$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+4x_2^2+4x_3^2-4x_1x_2+4x_1x_3-8x_2x_3$的规范形为()。
+
+$A.f=z_1^2\qquad B.f=z_1^2-z_2^2\qquad C.f=z_1^2+z_2^2+z_3^2\qquad D.f=z_1^2+z_2^2-z_3^2$
+
+解：
+
+已知$f$的二次型矩阵表示$A=\left[\begin{array}{ccc}
+    1 & -1 & 2 \\
+    -2 & 4 & -4 \\
+    2 & -4 & 4
+\end{array}\right]$，根据特征方程$\vert\lambda E-A\vert=\lambda^2(\lambda-9)=0$，$\lambda_1=9$，$\lambda_2=\lambda_3=0$，所以根据特征值符号，正惯性系数$p=1$，负惯性系数$q=0$，所以选择$A$。
+
 \section{合同}
 
 \subsection{合同判断}

linear-algebra/knowledge/6-quadratic-form/quadratic-form.tex

@@ -167,7 +167,7 @@ $\Lambda=\left(\begin{array}{cccc}
 
 是对实对称矩阵相似对角化的正交变换的延申。
 
-任何二次型均可通过正交变换法化为标准形，即对于任何实对称矩阵$A$，必存在正交矩阵$Q$，使得$Q^TAQ=Q^{-1}AQ=\Lambda$，其中$\Lambda=\left(\begin{array}{cccc}
+任何二次型均可通过正交变换法化为标准形（规范形不一定能表示出），即对于任何实对称矩阵$A$，必存在正交矩阵$Q$，使得$Q^TAQ=Q^{-1}AQ=\Lambda$，其中$\Lambda=\left(\begin{array}{cccc}
     \lambda_1 \\
      & \lambda_2 \\
      & & \ddots \\