更新矩阵

linear-algebra/exercise/1-determinant/determinant.tex

@@ -22,6 +22,8 @@
 % 数学公式
 \usepackage[colorlinks,linkcolor=black,urlcolor=blue]{hyperref}
 % 超链接
+\usepackage{rotating}
+% 用于旋转对象（旋转包）
 \author{Didnelpsun}
 \title{行列式}
 \date{}
@@ -76,16 +78,440 @@
 
 $\therefore\,-a_{11}a_{23}a_{32}a_{44}+a_{11}a_{23}a_{34}a_{42}$。
 
-\section{证明行列式值}
-
-与计算行列式值的题型不同的是，其行列式的值是固定给出的，一方面虽然约束了解题思路，一方面也给出了解题的方向，需要结果与给定值“靠近”。
-
-\textbf{例题：}
-
-\section{计算行列式值}
+\section{行列式}
 
 包含直接计算行列式的值和已知行列式值计算参数值两种体型，基本上求解方式一致。
 
+证明行列式值与计算行列式值的题型不同的是，其行列式的值是固定给出的，一方面虽然约束了解题思路，一方面也给出了解题的方向，需要结果与给定值“靠近”。
+
+\subsection{基本行列式与计算}
+
+\subsubsection{三角行列式}
+
+$\left|\begin{array}{cccc} 
+    a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
+     & \ddots & \cdots & a_{2n} \\
+     & & \ddots & \vdots  \\
+     & & & a_{nn}
+\end{array}\right|=
+\left|\begin{array}{cccc} 
+    a_{11} & & & \\
+    a_{21} & \ddots & & \\
+    \vdots & \cdots & \ddots &  \\
+    a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
+\end{array}\right|=
+\left|\begin{array}{cccc} 
+    a_{11} & & & \\
+     & \ddots & & \\
+     & & \ddots &  \\
+     & & & a_{nn}
+\end{array}\right|=a_{11}\cdots a_{nn}$
+
+\subsubsection{反三角行列式}
+
+$\left|\begin{array}{cccc} 
+    & & & a_{1n} \\
+    & & \begin{turn}{80}$\ddots$\end{turn} & a_{2n} \\
+    &  \begin{turn}{80}$\ddots$\end{turn} & \cdots & \vdots  \\
+   a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
+\end{array}\right|=
+\left|\begin{array}{cccc} 
+   a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
+   a_{21} & \cdots & \begin{turn}{80}$\ddots$\end{turn} & \\
+   \vdots & \begin{turn}{80}$\ddots$\end{turn} & & \\
+   a_{n1} & & &
+\end{array}\right|=
+\left|\begin{array}{cccc} 
+    & & & a_{1n} \\
+    & & \begin{turn}{80}$\ddots$\end{turn} & \\
+    & \begin{turn}{80}$\ddots$\end{turn} & & \\
+   a_{n1} & & &
+\end{array}\right|=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}a_{1n}\cdots a_{n1}$
+
+\subsubsection{范德蒙德行列式}
+
+$\left|\begin{array}{cccc} 
+    1 & 1 & \cdots & 1 \\
+    a_1 & a_2  & \cdots & a_n \\
+    \cdots & \cdots & \vdots & \cdots \\
+    a_1^{n-1} & a_2^{n-1} & \cdots & a_n^{n-1} \\
+\end{array}\right|=\sum\limits_{1\leqslant j<i\leqslant n}(a_i-a_j)$
+
+\subsubsection{分块行列式}
+
+$\left|\begin{array}{cc}
+    A & O \\
+    O & B
+\end{array}\right|=
+\left|\begin{array}{cc}
+    A & * \\
+    O & B
+\end{array}\right|=
+\left|\begin{array}{cc}
+    A & O \\
+    * & B
+\end{array}\right|=\vert A\vert\cdot\vert B\vert$。
+
+\subsubsection{基本行列式计算}
+
+基本的计算方式是对角线法则计算与行列式展开两种方法。若符合基本特殊行列式的可以按照公式。
+
+但是对于一般的高阶行列式而言计算方式如下：
+
+\begin{itemize}
+    \item 通过行列式的对换让一行或一列只有一个元素不为0，进行行列式展开不断降阶，最后变成第三阶的时候使用对角线法则。
+    \item 通过行列式的对换从上往下让行列式变成上三角行列式，对角线相乘就得到结果。
+\end{itemize}
+
+\subsection{提取公因式}
+
+可以提取某一行或某一列的公因式。
+
+\textbf{例题：}证明$\left|\begin{array}{ccc} 
+    a^2 & ab & b^2 \\
+    2a & a+b & 2b \\
+    1 & 1 & 1
+\end{array}\right|=(a-b)^3$。
+
+因为是证明题，而结果是$(a-b)$的变形，所以我们需要不断提取出$a-b$的形式。
+
+$=-\left|\begin{array}{ccc} 
+    1 & 1 & 1 \\
+    2a & a+b & 2b \\
+    a^2 & ab & b^2
+\end{array}\right|
+=-\left|\begin{array}{ccc} 
+    0 & 0 & 1 \\
+    a-b & a-b & 2b \\
+    a(a-b) & b(a-b) & b^2
+\end{array}\right|
+=-(a-b)^2\left|\begin{array}{ccc} 
+    0 & 0 & 1 \\
+    1 & 1 & 2b \\
+    a & b & b^2
+\end{array}\right|$
+
+$=-(a-b)^2\cdot1\cdot(-1)^{1+3}\left|\begin{array}{cc} 
+    1 & 1 \\
+    a & b
+\end{array}\right|=-(a-b)^2(b-a)=(a-b)^3$。
+
+\textbf{例题：}证明$\left|\begin{array}{cccc} 
+    1 & 1 & 1 & 1 \\
+    a & b & c & d \\
+    a^2 & b^2 & c^2 & d^2 \\
+    a^4 & b^4 & c^4 & d^4
+\end{array}\right|=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d)$。
+
+这个形式看起来像范德蒙德行列式，但是根据后面的结果，发现这无法通过范德蒙德行列式的公式来计算，所以按照一般方法相减得到因子：
+
+$=\left|\begin{array}{cccc} 
+    1 & 1 & 1 & 1 \\
+    0 & b-a & c-a & d-a \\
+    a^2-a^2 & b^2-ab & c^2-ac & d^2-ad \\
+    a^4-a^4 & b^4-a^2b^2 & c^4-a^2c^2 & d^4-a^2d^2
+\end{array}\right|$
+
+$=\left|\begin{array}{cccc} 
+    1 & 1 & 1 & 1 \\
+    0 & b-a & c-a & d-a \\
+    0 & b(b-a) & c(c-a) & d(d-a) \\
+    0 & b^2(b+a)(b-a) & c^2(c+a)(c-a) & d^2(d+a)(d-a)
+\end{array}\right|$
+
+$=(b-a)(c-a)(d-a)\left|\begin{array}{cccc} 
+    1 & 1 & 1 & 1 \\
+    0 & 1 & 1 & 1 \\
+    0 & b & c & d \\
+    0 & b^2(b+a) & c^2(c+a) & d^2(d+a)
+\end{array}\right|$
+
+$=(b-a)(c-a)(d-a)\cdot 1\cdot(-1)^{1+1}\left|\begin{array}{ccc}
+    1 & 1 & 1 \\
+    b & c & d \\
+    b^2(b+a) & c^2(c+a) & d^2(d+a)
+\end{array}\right|$
+
+$=(b-a)(c-a)(d-a)\left|\begin{array}{ccc}
+    1 & 1 & 1 \\
+    0 & c-b & d-b \\
+    0 & c(c^2+ac-ab-b^2) & d(d^2+ad-ab-b^2)
+\end{array}\right|$
+
+$=(b-a)(c-a)(d-a)\left|\begin{array}{ccc}
+    1 & 1 & 1 \\
+    0 & c-b & d-b \\
+    0 & c(a+b+c)(c-b) & d(a+b+d)(d-b)
+\end{array}\right|$
+
+$=(b-a)(c-a)(d-a)\left|\begin{array}{cc}
+    c-b & d-b \\
+    c(a+b+c)(c-b) & d(a+b+d)(d-b)
+\end{array}\right|$
+
+$=(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)\left|\begin{array}{cc}
+    1 & 1 \\
+    c(a+b+c) & d(a+b+d)
+\end{array}\right|$
+
+$=(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(c(a+b+c)-d(a+b+d))$
+
+$=(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(ca+cb+c^2-da-db-d^2)$
+
+$=(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(a(c-d)+b(c-d)+(c+d)(c-d))$
+
+$=(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(c-d)(a+b+c+d)$。
+
+\subsection{转换三角行列式}
+
+通过行变换或列变换将行列式转换三角行列式，然后就可以根据对角线乘积得到结果。
+
+\textbf{例题：}计算$\left|\begin{array}{cccc} 
+    1 & 2 & 3 & 4 \\
+    1 & 3 & 4 & 1 \\
+    1 & 4 & 1 & 2 \\
+    1 & 1 & 2 & 3
+\end{array}\right|$。
+
+$=\left|\begin{array}{cccc} 
+    1 & 2 & 3 & 4 \\
+    0 & 1 & 1 & -3 \\
+    0 & 1 & -3 & 1 \\
+    0 & -1 & -1 & -1
+\end{array}\right|
+=\left|\begin{array}{cccc} 
+    1 & 2 & 3 & 4 \\
+    0 & 1 & 1 & -3 \\
+    0 & 0 & -4 & 4 \\
+    0 & 0 & 0 & -4
+\end{array}\right|=16$。
+
+\subsection{成比例为0}
+
+当行列式行列变换后某一行或某一列与另一行或列成比例，则整个行列式值为0。
+
+\textbf{例题：}计算$\left|\begin{array}{cccc} 
+    2 & 1 & 4 & 1 \\
+    3 & -1  & 2 & 1 \\
+    1 & 2 & 3 & 2 \\
+    5 & 0 & 6 & 2 \\
+\end{array}\right|$。
+
+$=\left|\begin{array}{cccc} 
+    0 & -3 & -2 & -3 \\
+    0 & -7  & -7 & -5 \\
+    1 & 2 & 3 & 2 \\
+    0 & -10 & -9 & -8 \\
+\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc} 
+    1 & 2 & 3 & 2 \\
+    0 & -3 & -2 & -3 \\
+    0 & -7  & -7 & -5 \\
+    0 & -10 & -9 & -8 \\
+\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc} 
+    1 & 2 & 3 & 2 \\
+    0 & 3 & 2 & 3 \\
+    0 & 7  & 7 & 5 \\
+    0 & -10 & -9 & -8 \\
+\end{array}\right|$
+
+$=3\left|\begin{array}{cccc} 
+    1 & 2 & 3 & 2 \\
+    0 & 1 & \dfrac{2}{3} & 1 \\
+    0 & 7  & 7 & 5 \\
+    0 & -10 & -9 & -8 \\
+\end{array}\right|
+=3\left|\begin{array}{cccc} 
+    1 & 2 & 3 & 2 \\
+    0 & 1 & \dfrac{2}{3} & 1 \\
+    0 & 0  & \dfrac{7}{3} & -2 \\
+    0 & 0  & -\dfrac{7}{3} & 2 \\
+\end{array}\right|=0$。
+
+% \subsection{分块行列式}
+
+% 当行列式左下角和右上角的矩阵为零矩阵时可以只考虑对角线矩阵的乘积值。
+
+\subsection{拆项}
+
+若行列式某一行或一列是有两个值构成，则可以把其拆开，其他部分行列不变。
+
+\textbf{例题：}证明$\left|\begin{array}{ccc}
+    ax+by & ay+bz & az+bx \\
+    ay+bz & az+bx & ax+by \\
+    az+bx & ax+by & ay+bz
+\end{array}\right|=(a^3+b^3)\left|\begin{array}{ccc}
+    x & y & z \\
+    y & z & x \\
+    z & x & y
+\end{array}\right|$。
+
+首先因为上下因式的系数是$ab$，所以无论怎么样减都无法消去多余的$xy$或$z$得到结果的行列式中只有单个因子的情况，所以只能拆项，从第一个项开始拆：
+
+$=a\left|\begin{array}{ccc}
+    x & ay+bz & az+bx \\
+    y & az+bx & ax+by \\
+    z & ax+by & ay+bz
+\end{array}\right|+b\left|\begin{array}{ccc}
+    y & ay+bz & az+bx \\
+    z & az+bx & ax+by \\
+    x & ax+by & ay+bz
+\end{array}\right|$
+
+$=a^2\left|\begin{array}{ccc}
+    x & ay+bz & z \\
+    y & az+bx & x \\
+    z & ax+by & y
+\end{array}\right|+b^2\left|\begin{array}{ccc}
+    y & z & az+bx \\
+    z & x & ax+by \\
+    x & y & ay+bz
+\end{array}\right|=a^3\left|\begin{array}{ccc}
+    x & y & z \\
+    y & z & x \\
+    z & x & y
+\end{array}\right|+b^3\left|\begin{array}{ccc}
+    y & z & x \\
+    z & x & y \\
+    x & y & z
+\end{array}\right|$
+
+$=a^3\left|\begin{array}{ccc}
+    x & y & z \\
+    y & z & x \\
+    z & x & y
+\end{array}\right|+b^3\left|\begin{array}{ccc}
+    x & y & z \\
+    y & z & x \\
+    z & x & y
+\end{array}\right|=(a^3+b^3)\left|\begin{array}{ccc}
+    x & y & z \\
+    y & z & x \\
+    z & x & y
+\end{array}\right|
+$
+
+\subsection{行列乘积为定值}
+
+当行列式每一行或每一列相乘都为一个固定的值，可以把每行或每列的公因子提出来来简化计算。
+
+\textbf{例题：}计算$\left|\begin{array}{ccc} 
+    -ab & ac & ae \\
+    bd & -cd & de \\
+    bf & cf & -ef
+\end{array}\right|$。
+
+$=adf\left|\begin{array}{ccc} 
+    -b & c & e \\
+    b & -c & e \\
+    b & c & -e
+\end{array}\right|
+=abcdef\left|\begin{array}{ccc} 
+    -1 & 1 & 1 \\
+    1 & -1 & 1 \\
+    1 & 1 & -1
+\end{array}\right|=4abcdef$。
+
+\subsection{行列加和为定值}
+
+当行列式每一行或每一列相加都为一个固定的值，可以把第二行开始的各行都加到第一行，再提取公因式。
+
+\textbf{例题：}计算$\left|\begin{array}{cccc} 
+    x & a & \cdots & a \\
+    a & x & \cdots & a \\
+    \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
+    a & a & \cdots & x \\
+\end{array}\right|$。
+
+$=\left|\begin{array}{cccc} 
+    x+(n-1)a & x+(n-1)a & \cdots & x+(n-1)a \\
+    a & x & \cdots & a \\
+    \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
+    a & a & \cdots & x \\
+\end{array}\right|$
+
+$=(x+(n-1)a)\left|\begin{array}{cccc} 
+    1 & 1 & \cdots & 1 \\
+    a & x & \cdots & a \\
+    \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
+    a & a & \cdots & x \\
+\end{array}\right|=(x+(n-1)a)\left|\begin{array}{cccc} 
+    1 & 1 & \cdots & 1 \\
+     & x-a & &  \\
+     & & \ddots & \\
+     & & & x-a \\
+\end{array}\right|$
+
+$=(x+(n-1)a)(x-a)^{n-1}$。
+
+\textbf{例题：}计算$\left|\begin{array}{cccc} 
+    1+a_1 & a_1 & \cdots & a_1 \\
+    a_2 & 1+a_2 & \cdots & a_2 \\
+    \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
+    a_n & a_n & \cdots & 1+a_n \\
+\end{array}\right|$。
+
+$=(1+a_1+a_2+\cdots+a_n)\left|\begin{array}{cccc} 
+    1 & 1 & \cdots & 1 \\
+    a_2 & 1+a_2 & \cdots & a_2 \\
+    \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
+    a_n & a_n & \cdots & 1+a_n \\
+\end{array}\right|$
+
+$=(1+a_1+a_2+\cdots+a_n)\left|\begin{array}{cccc} 
+    1 & 0 & \cdots & 0 \\
+    a_2 & 1 & \cdots & 0 \\
+    \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
+    a_n & 0 & \cdots & 1 \\
+\end{array}\right|=(1+a_1+a_2+\cdots+a_n)$。
+
+\subsection{X型矩阵}
+
+\textbf{例题：}计算$\left|\begin{array}{ccccccc} 
+    a & & & & & b \\
+     & \ddots  & & & \begin{turn}{80}$\ddots$\end{turn} & \\
+     & & a & b \\
+     & & c & d \\
+     & \begin{turn}{80}$\ddots$\end{turn} & & & \ddots \\
+    c & & & & & d
+\end{array}\right|_{2n}$。
+
+将其$2n$行不断与$2n-1\cdots2$行对换，再将其$2n$列不断与$2n-1\cdots2$列对换，一共对换$2(2n-2)$次，一定是一个偶数：
+
+$=\left|\begin{array}{cccccccc} 
+    a & b & 0 & & & \cdots & & 0 \\
+    c & d & 0 & & & \cdots & & 0 \\
+    0 & 0 & a & & & & & b \\
+    \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & & & \begin{turn}{80}$\ddots$\end{turn} & \\
+    \vdots & \vdots & \vdots & & a & b \\
+    \vdots & \vdots & \vdots & & c & d \\
+    \vdots & \vdots & \vdots & \begin{turn}{80}$\ddots$\end{turn} & & & \ddots \\
+    0 & 0 & c & & & & & d
+\end{array}\right|_{2n}$，根据分块行列式的计算方式：
+
+$D_{2n}=D_2D_{2(n-1)}=(ad-bc)D_{2(n-1)}$，所以不断递推可以得到结果为$(ad-bc)^n$。
+
 \section{代数余子式}
 
+已知某一行或列展开就是每一行或列的元素乘对应的代数余子式，就可以得到整个矩阵的值。若是求某一行或某一列的代数余子式的值，将其系数代入矩阵求就可以了。
+
+\textbf{例题：}设$D=\left|\begin{array}{cccc} 
+    3 & 1 & -1 & 2 \\
+    -5 & 1 & 3 & -4 \\
+    2 & 0 & 1 & -1 \\
+    1 & -5 & 3 &-3
+\end{array}\right|$，$D$的$(i,j)$元的代数余子式设为$A_{ij}$，求$A_{31}+3A_{32}-2A_{33}+2A_{34}$。
+
+$A_{31}+3A_{32}-2A_{33}+2A_{34}=\left|\begin{array}{cccc} 
+    3 & 1 & -1 & 2 \\
+    -5 & 1 & 3 & -4 \\
+    1 & 3 & -2 & 2 \\
+    1 & -5 & 3 &-3
+\end{array}\right|
+=\left|\begin{array}{cccc} 
+    1 & 3 & -2 & 2 \\
+    0 & 8 & -5 & 5 \\
+    0 & 0 & 3 & -4 \\
+    0 & 0 & 0 & 1
+\end{array}\right|=24$。
+
 \end{document}