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更新曲面积分与曲线积分
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Didnelpsun
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% 使用颜色
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% 设置四级目录与标题
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% 因为所以
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% 数学公式
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% 超链接
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% 圆圈序号
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% 绘图
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\author{Didnelpsun}
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\title{多元函数微分学}
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\date{}
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\begin{document}
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\maketitle
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\pagestyle{empty}
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\thispagestyle{empty}
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\tableofcontents
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\thispagestyle{empty}
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\newpage
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\pagestyle{plain}
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\setcounter{page}{1}
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\section{多元函数微分应用}
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\subsection{空间曲线的切线与法平面}
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\subsubsection{参数方程}
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设空间曲线$\varGamma$由参数方程$\left\{\begin{array}{l}
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x=\phi(t) \\
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y=\psi(t) \\
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z=\omega(t)
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||||
\end{array}\right.$给出，其中$\phi(t),\psi(t),\omega(t)$均可导，$P_0(x_0,y_0,z_0)$为$\varOmega$上的点，且当$t=t_0$时，$\phi'(t_0)$，$\psi'(t_0)$，$\omega'(t_0)$均不为0，则：
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\begin{itemize}
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||||
\item 曲线$\varGamma$在点$P_0(x_0,y_0,z_0)$处的切向量为$\vec{\tau}=(\phi'(t_0),\psi'(t_0),\omega'(t_0))$。
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||||
\item 曲线$\varGamma$在点$P_0(x_0,y_0,z_0)$处的切线方程为$\dfrac{x-x_0}{\phi'(t_0)}=\dfrac{y-y_0}{\psi'(t_0)}=\dfrac{z-z_0}{\omega'(t_0)}$。
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||||
\item 曲线$\varGamma$在点$P_0(x_0,y_0,z_0)$处的法平面（过$P_0$且与切线垂直的平面）方程为$\phi'(t_0)(x-x_0)+\psi'(t_0)(y-y_0)+\omega'(t_0)(z-z_0)=0$。
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||||
\end{itemize}
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\subsubsection{交面式方程}
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设空间曲线$\varGamma$由交面方程$\left\{\begin{array}{l}
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F(x,y,z)=0 \\
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G(x,y,z)=0
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||||
\end{array}\right.$给出，则：
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||||
\begin{itemize}
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||||
\item 曲线$\varGamma$在点$P_0(x_0,y_0,z_0)$处的切向量为\\$\vec{\tau}=\left(\left\vert\begin{array}{cc}
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||||
F_y' & F_z' \\
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G_y' & G_z'
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\end{array}\right\vert_{P_0},\left\vert\begin{array}{ll}
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F_z' & F_x' \\
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G_z' & G_x'
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\end{array}\right\vert_{P_0},\left\vert\begin{array}{ll}
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F_x' & F_y' \\
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G_x' & G_y'
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\end{array}\right\vert_{P_0}\right)$。
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||||
\item 曲线$\varGamma$在点$P_0(x_0,y_0,z_0)$处的切线方程为\\$\dfrac{x-x_0}{\left\vert\begin{array}{cc}
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||||
F_y' & F_z' \\
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G_y' & G_z'
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\end{array}\right\vert_{P_0}},\dfrac{y-y_0}{\left\vert\begin{array}{ll}
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F_z' & F_x' \\
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G_z' & G_x'
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\end{array}\right\vert_{P_0}},\dfrac{z-z_0}{\left\vert\begin{array}{ll}
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F_x' & F_y' \\
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G_x' & G_y'
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||||
\end{array}\right\vert_{P_0}}$。
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||||
\item 曲线$\varGamma$在点$P_0(x_0,y_0,z_0)$处的法平面方程为\\$\left\vert\begin{array}{cc}
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||||
F_y' & F_z' \\
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||||
G_y' & G_z'
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||||
\end{array}\right\vert_{P_0}(x-x_0)+\left\vert\begin{array}{ll}
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||||
F_z' & F_x' \\
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||||
G_z' & G_x'
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||||
\end{array}\right\vert_{P_0}(y-y_0)+\left\vert\begin{array}{ll}
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||||
F_x' & F_y' \\
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||||
G_x' & G_y'
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\end{array}\right\vert_{P_0}(z-z_0)=0$。
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\end{itemize}
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\subsection{空间曲面的切平面与法线}
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\subsubsection{隐式}
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设空间曲面$\varSigma$由方程$F(x,y,z)=0$给出，$P_0(x_0,y_0,z_0)$是$\varSigma$上的点，则：
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\begin{itemize}
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\item 曲面$\varSigma$在点$P_0(x_0,y_0,z_0)$处的法向量为$\vec{n}=(F_x'(x_0,y_0,z_0),F_y'(x_0,y_0,z_0),$\\$F_z'(x_0,y_0,z_0))$且法线方程为$\dfrac{x-x_0}{F_x'(x_0,y_0,z_0)}=\dfrac{y-y_0}{F_y'(x_0,y_0,z_0)}=\dfrac{z-z_0}{F_z'(x_0,y_0,z_0}$。
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||||
\item 曲面$\varSigma$在点$P_0(x_0,y_0,z_0)$处的切平面方程为$F_x'(x_0,y_0,z_0)(x-x_0)+F_y'$\\$(x_0,y_0,z_0)(y-y_0)+F_z'(x_0,y_0,z_0)(z-z_0)=0$。
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\end{itemize}
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\subsubsection{显式}
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设空间曲面$\varSigma$由方程$z=f(x,y)$给出，令$F(x,y,z)=f(x,y)-z$，假定法向量的方向向下，即其余$z$轴正向所成的角为钝角，即$z$为-1，则：
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\begin{itemize}
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||||
\item 曲面$\varSigma$在点$P_0(x_0,y_0,z_0)$处的法向量为$\vec{n}=(f_x'(x_0,y_0),f_y'(x_0,y_0),-1)$，且法线方程为$\dfrac{x-x_0}{f_x'(x_0,y_0)}=\dfrac{y-y_0}{f_y'(x_0,y_0)}=\dfrac{z-z_0}{-1}$。
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||||
\item 曲面$\varSigma$在点$P_0(x_0,y_0,z_0)$处的切平面方程为$f_x'(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y'(x_0,y_0)$\\$(y-y_0)-(z-z_0)=0$。
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\end{itemize}
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若是反之成锐角，则将里面所有的-1都换成1。
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若用$\alpha$，$\beta$，$\gamma$表示曲面$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0,z_0)$处的法向量的方向角，并这里假定法向量的方向是向上的，即其余$z$轴正向所成的角$\gamma$为锐角，则法向量\textbf{方向余弦}为$\cos\alpha=\dfrac{-f_x}{\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}}$，$\cos\beta=\dfrac{-f_y}{\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}}$，$\cos\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}}$，其中$f_x=f_x'(x_0,y_0)$，$f_y=f_y'(x_0,y_0)$。
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\textbf{例题：}设直线$L\left\{\begin{array}{l}
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x+y+b=0 \\
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x+ay-z-3=0
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\end{array}\right.$在平面$\pi$上，而平面$\pi$与曲面$z=x^2+y^2$相切于$(1,-2,5)$，求$ab$的值。
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解：$L$在$\pi$上且与曲面相切，则$\pi$为$L$的切平面。设曲面方程$F(x,y,z)=x^2+y^2-z$。
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曲面法向量为$\vec{n}=\{F_x',F_y',F_z'\}=\{2x,2y,-1\}$，代入$(1,-2,5)$，则法向量为$\{2,-4,-1\}$。
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又点法式：$\pi:2(x-1)-4(y+2)-(z-5)=0$，即$2x-4y-z-5=0$。
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联立直线方程，得到：$(5+a)x+4b+ab-2=0$，又$x$是任意的。
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解得$a=-5,b=-2$。
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\end{document}
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\subsection{方向导数}
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偏导数就是一个函数在坐标轴方向上的变化率，而方向导数就是函数在某点沿其他特定方向上的变化率。
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\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}设三元函数$u=u(x,y,z)$在点$P_0(x_0,y_0,z_0)$的某空间领域$U\in R^3$内有定义，$l$从点$P_0$出发的射线，$P(x,y,z)$为$l$上切在$U$内的任一点，则$\left\{\begin{array}{l}
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x-x_0=\Delta x=t\cos\alpha \\
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y-y_0=\Delta y=t\cos\beta \\
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z-z_0=\Delta z=t\cos\gamma
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\end{array}\right.$进行在坐标轴上投影。
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以$t=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2+(\Delta z)^2}$表示$P$与$P_0$之间的距离。若极限$\lim\limits_{t\to0^+}$\\$\dfrac{u(P)-u(P_0)}{t}=\lim\limits_{t\to0^+}\dfrac{u(x_0+t\cos\alpha,y_0+t\cos\beta,z_0+t\cos\gamma)-u(x_0,y_0,z_0)}{t}$存在，则称此极限为函数$u=u(x,y,z)$在点$P_0$沿方向$l$的\textbf{方向导数}，记为$\dfrac{\partial u}{\partial l}\bigg|_{P_0}$。
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方向导数计算公式\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}设三元函数$u=u(x,y,z)$在点$P_0(x_0,y_0,z_0)$处可微分，则$u=u(x,y,z)$在点$P_0$处沿任一方向$l$的方向导数都存在，且$\dfrac{\partial u}{\partial l}\bigg|_{P_0}=u_x'(P_0)\cos\alpha+u_y'(P_0)\cos\beta+u_z'(P_0)\cos\gamma$，其中$\cos\alpha$，$\cos\beta$，$\cos\gamma$为方向$l$的方向余弦。
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\textbf{例题：}求函数$z=xe^{2y}$在点$P(1,0)$处沿点$P(1,0)$指向$Q(2,-1)$方向的方向导数。
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解：这是一个隐式的三元函数，所以基本上解决方法类似。不过需要将$z$对$xy$求偏导。
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$\dfrac{\partial z}{\partial x}=e^{2y}$，$\dfrac{\partial z}{\partial y}=2xe^{2y}$，代入$P(1,0)$，得到$\{1,2\}$。
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然后求方向余弦，对于$\overrightarrow{PQ}={1,-1}$方向余弦就是除它的模$\left\{\dfrac{1}{\sqrt{2}},-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right\}$。
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方向导数就是相乘：$\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{2}{\sqrt{2}}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$。
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\subsection{梯度}
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在一个数量场中中，函数在给定点处沿不同的方向，其方向导数一般是不相同的。为研究哪个方向的方向导数最大，最大值为多少，增加速度最快，就引入了梯度。
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\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}设三元函数$u=u(x,y,z)$在点$P_0(x_0,y_0,z_0)$处具有一阶偏导数，定义$\text{grad}\,u|_{P_0}=(u'_x(P_0),u_y'(P_0),u_z'(P_0))$为函数$u=u(x,y,z)$在点$P_0$处的\textbf{梯度}。
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\subsection{方向导数与梯度关系}
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\subsection{散度}
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方向导数为梯度×梯度方向余弦。
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\subsection{旋度}
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函数在某点的梯度是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向是一致的，其模就是方向导数最大值。
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\subsection{散度与旋度}
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\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}设向量场$\vec{A}(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))$，则\textbf{散度}$\textrm{div}\,\vec{A}=\dfrac{\partial P}{\partial x}+\dfrac{\partial Q}{\partial y}+\dfrac{\partial R}{\partial z}$，\textbf{旋度}$\overrightarrow{\textrm{rot}}\,\vec{A}=\left\vert\begin{array}{ccc}
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\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
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\dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\
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P & Q & R
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\end{array}\right\vert$。
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\end{document}
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Binary file not shown.
@@ -355,86 +355,4 @@ $P2:A_2=-2,B_2=-2,C_2=-2,\Delta_2=B_2^2-A_2C_2=0$。该方法失效。
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% \subsubsection{闭区域上最值}
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\section{多元函数微分应用}
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\subsection{空间曲线的切线与法平面}
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\subsubsection{参数方程}
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设空间曲线$\varGamma$由参数方程$\left\{\begin{array}{l}
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x=\phi(t) \\
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||||
y=\psi(t) \\
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||||
z=\omega(t)
|
||||
\end{array}\right.$给出，其中$\phi(t),\psi(t),\omega(t)$均可导，$P_0(x_0,y_0,z_0)$为$\varOmega$上的点，且当$t=t_0$时，$\phi'(t_0)$，$\psi'(t_0)$，$\omega'(t_0)$均不为0，则：
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||||
|
||||
\begin{itemize}
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||||
\item 曲线$\varGamma$在点$P_0(x_0,y_0,z_0)$处的切向量为$\vec{\tau}=(\phi'(t_0),\psi'(t_0),\omega'(t_0))$。
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||||
\item 曲线$\varGamma$在点$P_0(x_0,y_0,z_0)$处的切线方程为$\dfrac{x-x_0}{\phi'(t_0)}=\dfrac{y-y_0}{\psi'(t_0)}=\dfrac{z-z_0}{\omega'(t_0)}$。
|
||||
\item 曲线$\varGamma$在点$P_0(x_0,y_0,z_0)$处的法平面（过$P_0$且与切线垂直的平面）方程为$\phi'(t_0)(x-x_0)+\psi'(t_0)(y-y_0)+\omega'(t_0)(z-z_0)=0$。
|
||||
\end{itemize}
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||||
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||||
\subsubsection{交面式方程}
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||||
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||||
设空间曲线$\varGamma$由交面方程$\left\{\begin{array}{l}
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||||
F(x,y,z)=0 \\
|
||||
G(x,y,z)=0
|
||||
\end{array}\right.$给出，则：
|
||||
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||||
\begin{itemize}
|
||||
\item 曲线$\varGamma$在点$P_0(x_0,y_0,z_0)$处的切向量为\\$\vec{\tau}=\left(\left\vert\begin{array}{cc}
|
||||
F_y' & F_z' \\
|
||||
G_y' & G_z'
|
||||
\end{array}\right\vert_{P_0},\left\vert\begin{array}{ll}
|
||||
F_z' & F_x' \\
|
||||
G_z' & G_x'
|
||||
\end{array}\right\vert_{P_0},\left\vert\begin{array}{ll}
|
||||
F_x' & F_y' \\
|
||||
G_x' & G_y'
|
||||
\end{array}\right\vert_{P_0}\right)$。
|
||||
\item 曲线$\varGamma$在点$P_0(x_0,y_0,z_0)$处的切线方程为\\$\dfrac{x-x_0}{\left\vert\begin{array}{cc}
|
||||
F_y' & F_z' \\
|
||||
G_y' & G_z'
|
||||
\end{array}\right\vert_{P_0}},\dfrac{y-y_0}{\left\vert\begin{array}{ll}
|
||||
F_z' & F_x' \\
|
||||
G_z' & G_x'
|
||||
\end{array}\right\vert_{P_0}},\dfrac{z-z_0}{\left\vert\begin{array}{ll}
|
||||
F_x' & F_y' \\
|
||||
G_x' & G_y'
|
||||
\end{array}\right\vert_{P_0}}$。
|
||||
\item 曲线$\varGamma$在点$P_0(x_0,y_0,z_0)$处的法平面方程为\\$\left\vert\begin{array}{cc}
|
||||
F_y' & F_z' \\
|
||||
G_y' & G_z'
|
||||
\end{array}\right\vert_{P_0}(x-x_0)+\left\vert\begin{array}{ll}
|
||||
F_z' & F_x' \\
|
||||
G_z' & G_x'
|
||||
\end{array}\right\vert_{P_0}(y-y_0)+\left\vert\begin{array}{ll}
|
||||
F_x' & F_y' \\
|
||||
G_x' & G_y'
|
||||
\end{array}\right\vert_{P_0}(z-z_0)=0$。
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\subsection{空间曲面的切平面与法线}
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||||
|
||||
\subsubsection{隐式}
|
||||
|
||||
设空间曲面$\varSigma$由方程$F(x,y,z)=0$给出，$P_0(x_0,y_0,z_0)$是$\varSigma$上的点，则：
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item 曲面$\varSigma$在点$P_0(x_0,y_0,z_0)$处的法向量为$\vec{n}=(F_x'(x_0,y_0,z_0),F_y'(x_0,y_0,z_0),$\\$F_z'(x_0,y_0,z_0))$且法线方程为$\dfrac{x-x_0}{F_x'(x_0,y_0,z_0)}=\dfrac{y-y_0}{F_y'(x_0,y_0,z_0)}=\dfrac{z-z_0}{F_z'(x_0,y_0,z_0}$。
|
||||
\item 曲面$\varSigma$在点$P_0(x_0,y_0,z_0)$处的切平面方程为$F_x'(x_0,y_0,z_0)(x-x_0)+F_y'$\\$(x_0,y_0,z_0)(y-y_0)+F_z'(x_0,y_0,z_0)(z-z_0)=0$。
|
||||
\end{itemize}
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||||
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||||
\subsubsection{显式}
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||||
设空间曲面$\varSigma$由方程$z=f(x,y)$给出，令$F(x,y,z)=f(x,y)-z$，假定法向量的方向向下，即其余$z$轴正向所成的角为钝角，即$z$为-1，则：
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item 曲面$\varSigma$在点$P_0(x_0,y_0,z_0)$处的法向量为$\vec{n}=(f_x'(x_0,y_0),f_y'(x_0,y_0),-1)$，且法线方程为$\dfrac{x-x_0}{f_x'(x_0,y_0)}=\dfrac{y-y_0}{f_y'(x_0,y_0)}=\dfrac{z-z_0}{-1}$。
|
||||
\item 曲面$\varSigma$在点$P_0(x_0,y_0,z_0)$处的切平面方程为$f_x'(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y'(x_0,y_0)$\\$(y-y_0)-(z-z_0)=0$。
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
若是反之成锐角，则将里面所有的-1都换成1。
|
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|
||||
若用$\alpha$，$\beta$，$\gamma$表示曲面$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0,z_0)$处的法向量的方向角，并这里假定法向量的方向是向上的，即其余$z$轴正向所成的角$\gamma$为锐角，则法向量\textbf{方向余弦}为$\cos\alpha=\dfrac{-f_x}{\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}}$，$\cos\beta=\dfrac{-f_y}{\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}}$，$\cos\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}}$，其中$f_x=f_x'(x_0,y_0)$，$f_y=f_y'(x_0,y_0)$。
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\end{document}
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@@ -6,9 +6,9 @@
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\definecolor{violet}{RGB}{192,0,255}
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\definecolor{aqua}{RGB}{0,255,255}
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\usepackage{geometry}
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\setcounter{tocdepth}{4}
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\setcounter{secnumdepth}{4}
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% 设置四级目录与标题
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\setcounter{tocdepth}{5}
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\setcounter{secnumdepth}{5}
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% 设置五级目录与标题
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\geometry{papersize={21cm,29.7cm}}
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% 默认大小为A4
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\geometry{left=3.18cm,right=3.18cm,top=2.54cm,bottom=2.54cm}
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@@ -27,6 +27,8 @@
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% 超链接
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\usepackage{tikz}
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% 绘图
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\usepackage{unicode-math}
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% 二重闭合积分
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\author{Didnelpsun}
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\title{多元函数积分学}
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\date{}
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@@ -84,7 +86,7 @@ $A.I_3>I_2>I_1$\qquad$B.I_1>I_2>I_3$\qquad$C.I_2>I_1>I_3$\qquad$D.I_3>I_1>I_2$
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$I=\displaystyle{\iint\limits_D\dfrac{a\sqrt{f(x)}+b\sqrt{f(y)}}{\sqrt{f(x)}+\sqrt{f(y)}}\textrm{d}\sigma=\iint\limits_D\dfrac{a\sqrt{f(y)}+b\sqrt{f(x)}}{\sqrt{f(y)}+\sqrt{f(x)}}\textrm{d}\sigma}$。
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$\therefore2I=\displaystyle{\iint\limits_D\dfrac{a\sqrt{f(x)}+b\sqrt{f(y)}}{\sqrt{f(x)}+\sqrt{f(y)}}\textrm{d}\sigma+\iint\limits_D\dfrac{a\sqrt{f(y)}+b\sqrt{f(x)}}{\sqrt{f(y)}+\sqrt{f(x)}}\textrm{d}\sigma}=\iint\limits_D(a+b)\,\textrm{d}\sigma=(a+b)\dfrac{\pi}{4}$。
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$\therefore2I=\displaystyle{\iint\limits_D\dfrac{a\sqrt{f(x)}+b\sqrt{f(y)}}{\sqrt{f(x)}+\sqrt{f(y)}}\textrm{d}\sigma+\iint\limits_D\dfrac{a\sqrt{f(y)}+b\sqrt{f(x)}}{\sqrt{f(y)}+\sqrt{f(x)}}\textrm{d}\sigma}=\iint\limits_D(a+b)\,\textrm{d}\sigma$\\$=(a+b)\dfrac{\pi}{4}$。
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解得$I=\dfrac{a+b}{8}\pi$。
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@@ -228,7 +230,7 @@ $\int_0^1\textrm{d}y\int_0^u\sin(\pi u^2)\,\textrm{d}x=\int_0^1\sin(\pi u^2)u\,\
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解：根据积分值与积分变量无关的性质：
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$I^2=(\int_0^{+\infty}e^{-x^2}\,\textrm{d}x)^2=\int_0^{+\infty}e^{-x^2}\,\textrm{d}x\cdot\int_0^{+\infty}e^{-y^2}\,\textrm{d}y=\int_0^{+\infty}\int_0^{+\infty}e^{-x^2-y^2}\,\textrm{d}x\textrm{d}y$。
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||||
$I^2=(\int_0^{+\infty}e^{-x^2}\,\textrm{d}x)^2=\int_0^{+\infty}e^{-x^2}\,\textrm{d}x\cdot\int_0^{+\infty}e^{-y^2}\,\textrm{d}y=\int_0^{+\infty}\int_0^{+\infty}e^{-x^2-y^2}\,\textrm{d}x\textrm{d}y$
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$\textrm{d}\sigma$是第一象限，可以看作一个广义的圆，半径无限大，转换为极坐标系。
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@@ -236,6 +238,368 @@ $=\int_0^\frac{\pi}{2}\textrm{d}\theta\int_0^{+\infty}e^{-r^2}r\,\textrm{d}r=\di
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\section{三重积分}
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\section{曲线曲面积分}
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\subsection{概念}
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三重积分的被积函数$f(x,y,z)$定义在三维空间$\Omega$上，是四维空间图形体积，非常抽象。
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所以利用质量描述，设一质量非均匀的物体，体积密度为$f(x,y,z)$，则三重积分就是以此为点密度的空间物体的质量。
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\subsubsection{定义}
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\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}设三元函数$z=f(x,y,z)$定义在有界闭区域$\Omega$上将区域$\Omega$任意分成$n$个子域$\Delta v_i$（$i=1,2,3,\cdots,n$）并以$\Delta v_i$表示第$i$个子域的体积。在$\Delta v_i$上任取一点$(\alpha_i,\beta_i,\gamma_i)$作和$\sum\limits_{i=1}^n\alpha_i\beta_i\gamma_i\Delta v_i$。如果当各个子域的直径中的最大值$\lambda$趋于零时，此和式的极限存在，则称此极限为函数$f(x,y,z)$在区域$\Omega$上的三重积分，记为$\iiint\limits_\Omega f(x,y,z)\,\textrm{d}v$，即$\iiint\limits_\Omega f(x,y,z)\,\textrm{d}v=\lim\limits_{\lambda\to0}\sum\limits_{i=1}^nf(x_i,y_i,z_i)\Delta y_i$，其中$\textrm{d}v$叫做体积元素。
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||||
其中$\iiint$称为三重积分号，$f(x,y,z)$为被积函数，$f(x,y,z)\textrm{d}v$称为被积表达式，$\textrm{d}v$称为体积元，$x$、$y$、$z$为积分变量，$\Omega$为积分区域，$\sum f(\alpha_i,\beta_i,\gamma_i)\Delta v_i$为积分和。
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\subsubsection{性质}
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假设$\Omega$为空间有界闭区域。
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\begin{itemize}
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\item 空间区域体积：$\iiint\limits_\Omega1\,\textrm{d}v=\iiint\limits_\Omega\textrm{d}v=V$，其中$V$为$\Omega$的体积。
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\item 可积函数必有界：设$f(x,y,z)$在$\Omega$上可积，则在$\Omega$上必有界。
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||||
\item 积分线性：设$k_1,k_2$为常数，则$\iiint\limits_\Omega[k_1f(x,y,z)\pm k_2g(x,y,z)]\textrm{d}v=k_1\iiint\limits_\Omega$\\$f(x,y,z)\,\textrm{d}v\pm k_2\iiint\limits_\Omega g(x,y,z)\,\textrm{d}v$。
|
||||
\item 积分可加性：设$f(x,y,z)$在$\Omega$上可积，且$\Omega_1\cup\Omega_2=\Omega$，$\Omega_1\cap\Omega_2=\varnothing$，则$\iiint\limits_\Omega f(x,y,z)\,\textrm{d}v=\iiint\limits_{\Omega_1}f(x,y,z)\,\textrm{d}v+\iiint\limits_{\Omega_2}f(x,y,z)\,\textrm{d}v$。
|
||||
\item 积分保号性：设$f(x,y,z)$，$g(x,y,z)$在$\Omega$上可积，且在$\Omega$上$f(x,y,z)\leqslant g(x,y,z)$，则有$\iiint\limits_\Omega f(x,y,z)\,\textrm{d}v\leqslant\iiint\limits_\Omega g(x,y,z)\,\textrm{d}v$。且利用不等式性质：$\vert\iiint\limits_\Omega f(x,y,z)\,\textrm{d}v\vert\leqslant\iiint\limits_\Omega\vert f(x,y,z)\vert\,\textrm{d}v$。
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||||
\item 三重积分估值定理：设$M,m$分别为$f(x,y,z)$在$\Omega$上的最大值和最小值，$V$为$\Omega$的体积，则$mV\leqslant\iiint\limits_\Omega f(x,y,z)\,\textrm{d}v\leqslant MV$。
|
||||
\item 三种积分中值定理：设$f(x,y,z)$在$\Omega$上连续，$V$为$\Omega$的体积，则$\Omega$上至少存在一点$(\xi,\eta,\zeta)$使得$\iiint\limits_\Omega f(x,y,z)\,\textrm{d}v=f(\xi,\eta,\zeta)V$。
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||||
\end{itemize}
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\subsubsection{对称性}
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分析方法与二重积分完全一样。
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\paragraph{普通对称性} \leavevmode \medskip
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假设$\Omega$关于$yOz$面对称，则$\iiint\limits_\Omega f(x,y,z)\,\textrm{d}v=$\\$\left\{\begin{array}{ll}
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||||
2\iiint\limits_{\Omega_1}f(x,y,z)\,\textrm{d}v, & f(x,y,z)=f(-x,y,z) \\
|
||||
0, & f(x,y,z)=-f(-x,y,z)
|
||||
\end{array}\right.$，其中$\Omega_1$为$\Omega$在$yOz$面前面的部分。
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||||
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\paragraph{轮换对称性} \leavevmode \medskip
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||||
若把$x$与$y$对调后，$\Omega$不变，则$\iiint\limits_\Omega f(x,y,z)\,\textrm{d}v=\iiint\limits_\Omega f(y,x,z)\,\textrm{d}v$，这就是\textbf{轮换对称性}。其他情况类似。
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||||
在使用轮换对称性的时候需要根据题目进行轮换，特别是根据所要求的被积函数$f(x)$，若$f(x)$中存在某些变量，则要将没有出现的变量换去。
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\subsection{计算}
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\subsubsection{基础方法}
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\paragraph{直角坐标系} \leavevmode \medskip
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即$\textrm{d}v=\textrm{d}x\textrm{d}y\textrm{d}z$，微元是一个长方体。
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\subparagraph{先一后二法} \leavevmode \medskip
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||||
先$z$后$xy$，也称为投影穿线法。先做定积分后做二重积分。
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||||
适用场合：$\Omega$有下曲面$z=z_1(x,y)$、上曲面$z=z_2(x,y)$，无侧面或侧面为柱面。
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如二重积分：后积先定限，限内画条线，先交写下限，后交写上限。
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$\iiint\limits_\Omega f(x,y,z)\,\textrm{d}v=\iint\limits_{D_{xy}}\textrm{d}\sigma\int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)\,\textrm{d}z$。
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||||
\textbf{例题：}计算三重积分$I=\displaystyle{\iiint\limits_D\dfrac{\textrm{d}x\textrm{d}y\textrm{d}z}{(1+x+y+z)^3}}$，其中$\Omega$是由平面$x=0,y=0,z=0$及$x+y+z=1$所围成的四面体。
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解：根据图形，已知是一个四面体，所以下底面是一个1×1的等腰直角三角形$D_{xy}$，上曲面为一个等边三角形$z=-1-x-y$，有两个侧柱面。
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则先将$I$消去$z$，再计算$xy$：$I=\displaystyle{\iint\limits_{D_{xy}}\textrm{d}\sigma\int_0^{1-x-y}\dfrac{1}{(1+x+y+z)^3}\textrm{d}z}$
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$=\displaystyle{\iint\limits_{D_{xy}}\textrm{d}\sigma\left(-\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{(1+x+y+z)^2}\bigg|_{z=0}^{z=1-x-y}\right)}=\displaystyle{\iint\limits_{D_{xy}}\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{(1+x+y)^2}-\dfrac{1}{4}\right)\,\textrm{d}\sigma}$\\$=\dfrac{1}{2}\int_0^1\textrm{d}x\int_0^{1-x}\left(\dfrac{1}{(1+x+y)^2}-\dfrac{1}{4}\right)\,\textrm{d}y=\dfrac{1}{2}\displaystyle{\int_0^1\left(-\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{1+x}-\dfrac{1}{4}\right)\,\textrm{d}x}$\\$=\left(-\dfrac{1}{8}x^2+\ln(1+x)-\dfrac{1}{4}x\right)\bigg|_0^1=\dfrac{1}{2}\left(\ln2-\dfrac{5}{8}\right)$。
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\subparagraph{先二后一法} \leavevmode \medskip
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先$xy$后$z$，也称为定限截面法。先做二重积分后做定积分。
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||||
适用场合：$\Omega$是旋转体，上面和下面都是平面，中间为曲面，旋转曲面方程为$\Sigma:z=z(x,y)$。
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后积先定限，限内截个面限。
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$\iiint\limits_\Omega f(x,y,z)\,\textrm{d}v=\int\limits_a^b\textrm{d}z\iint\limits_{D_z}f(x,y,z)\,\textrm{d}\sigma$。
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\paragraph{柱面坐标系} \leavevmode \medskip
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若二重积分部分$\iint\limits_{D_{xy}}\textrm{d}\sigma$适用于极坐标系（即与圆相关），使用极坐标系表示，令$x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，便有$\iiint\limits_\Omega f(x,y,z)\,\textrm{d}x\textrm{d}y\textrm{d}z=\iiint\limits_\Omega f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)r\,$\\$\textrm{d}r\textrm{d}\theta\textrm{d}z$。这就是柱面坐标系下三重积分的计算。
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||||
适用场合：被积函数含有$x^2+y^2$，积分区域为圆或部分圆。
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即一个定积分加上一个极坐标系下的二重积分。
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% 在直接坐标系的先二后一法，因为$\textrm{d}\sigma$是在与$z$相关的$D_z$区域，需要用$z$来表示函数，所以无法用两个变量来表示函数。
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||||
\textbf{例题：}计算$\iiint\limits_\Omega(x^2+y^2)\,\textrm{d}v$，其中$\Omega$是$\left\{\begin{array}{ll}
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y^2=2z \\
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x=0
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\end{array}\right.$绕$z$轴旋转一周形成的曲面与平面$z=8$所围成的区域。
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解：已知平面曲线绕$z$轴旋转，首先求这个旋转曲面。
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首先令$P_1(x_1,y_1,z_1)$在该曲线上，即得到两个方程：$y_1^2=2z_1$，$x_1=0$。
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||||
取在旋转轴$z$轴上一点$P_0(0,0,0)$，对于纬圆上任一点$P(x,y,z)$，其中$\vert P_0P_1\vert=\vert PP_0\vert$，即$x_1^2+y_1^2+z_1^2=x^2+y^2+z^2$。
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||||
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||||
且向量$\overrightarrow{PP_1}$垂直于旋转轴$z$轴，所以$(x_1-x,y_1-y,z_1-z)\bot(0,0,1)$，$z_1-z=0$，$z_1=z$。
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||||
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||||
代入方程所以$x_1^2+y_1^2=x^2+y^2$，再代入$y_1^2=2z$，$x_1=0$，得到$2z=x^2+y^2$。
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||||
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||||
旋转曲面为$z=\dfrac{x^2+y^2}{2}$。且于$z=8$所得到一个旋转体。
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因为选择体上下都是平面，侧面是曲面，所以使用先二后一法。其中$D:x^2+y^2\leqslant2z$。
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$I=\int_0^8\textrm{d}z\iint\limits_D(x^2+y^2)\,\textrm{d}\sigma=\int_0^8\textrm{d}z\int_0^{2\pi}\textrm{d}\theta\int_0^{\sqrt{2z}}r^2r\,\textrm{d}r=\dfrac{1024}{3}\pi$。
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\paragraph{球面坐标系} \leavevmode \medskip
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\subparagraph{适用场合} \leavevmode \medskip
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被积函数含有$x^2+y^2+z^2$或$x^2+y^2$，积分区域为球或球的部分，锥或锥的部分。
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\subparagraph{计算方法} \leavevmode \medskip
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利用三族面对$\Omega$进行切割：
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\begin{enumerate}
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\item 首先用$r=r_0$从原点开始向外做球体进行切割，求半径为$r_0$，增量为$\textrm{d}r$。$r_0\in[0,+\infty)$。
|
||||
\item 然后用$\phi=\phi_0$从$z$轴为中心，原点为定点，做半顶角为$\phi_0$的圆锥面进行切割，增量为$\textrm{d}\phi$。$\phi_0\in[0,\pi]$。
|
||||
\item 最后用$\theta=\theta_0$以$z$为轴做半平面，与$xOz$夹角为$\theta_0$，增量为$\textrm{d}\theta$。$\theta\in[0,2\pi]$。
|
||||
\end{enumerate}
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||||
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||||
首先在极坐标系中，弧长等于弧度乘半径，所以微元的由$\phi$确定的一边为$r\textrm{d}\phi$，对于$\theta$确定的一边，首先需要根据勾股定理得到弧长$r\sin\phi$，然后乘$\textrm{d}\theta$得到微元边长$r\sin\phi\textrm{d}\theta$，最后乘上$\textrm{d}r$，从而得到微元就是三边相乘：$r\textrm{d}\phi r\sin\phi\textrm{d}\theta\textrm{d}r$。
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||||
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||||
对$xyz$，由$\phi$推出的一个直角三角形的斜边为$r$，半顶角为$\phi$，所以$z$轴的直角边为$z=r\cos\phi$，又$x^2+y^2+z^2=r^2$，所以$x^2+y^2=r^2-z^2=r^2\sin^2\phi$，又$xOy$夹角为$\theta$，所以$x=r\sin\phi\cos\theta$，$y=r\sin\phi\sin\theta$。
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||||
$\iiint\limits_\Omega f(x,y,z)\,\textrm{d}x\textrm{d}y\textrm{d}z=\iiint\limits_\Omega f(r\sin\phi\cos\theta,r\sin\phi\sin\theta,r\cos\phi)r^2\sin\phi\,\textrm{d}\theta\textrm{d}\phi\textrm{d}r$
|
||||
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||||
\textbf{例题：}计算三重积分$\iiint\limits_\Omega(x^2+y^2)\,\textrm{d}v$，其中$\Omega$是半球面$x^2+y^2+z^2=a^2$（$y\geqslant0$）与$xOz$面所围成的区域。
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||||
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||||
解：根据图形是一个右半球，所以$\theta$是$x$正轴到负轴一共$\pi$，$\phi$到正轴到负轴一共$\pi$，$r$从原点到最外面一共$a$。$f(x)=x^2+y^2=r^2\sin^2\phi$。
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||||
$\therefore I=\int_0^\pi\textrm{d}\theta\int_0^\pi\textrm{d}\phi\int_0^a(r^2\sin^2\phi)r^2\sin\phi\textrm{d}r$
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\paragraph{对称性} \leavevmode \medskip
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\subparagraph{普通对称性} \leavevmode \medskip
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\textbf{例题：}计算$\iiint\limits_\Omega e^{\vert z\vert}\,\textrm{d}v$，其中$\Omega:x^2+y^2+z^2\leqslant1$。
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解：已知$\Omega$为一个半径为1的球体。且球体球心在原点，利用普通对称性代入：$f(x,y,z)\,\textrm{d}v=e^{\vert z\vert}\,\textrm{d}v=\textrm{d}m=f(x,y,-z)\,\textrm{d}v=e^{\vert z\vert}\,\textrm{d}v=\textrm{d}m$，所以对于$f(x,y,z)$，在球体上下积分相同。
|
||||
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||||
$\therefore\iiint\limits_\Omega e^{\vert z\vert}\,\textrm{d}v=2\iiint\limits_{\Omega_1}e^z\,\textrm{d}v$，其中$\Omega_1$为上半球体，即$\Omega_1:x^2+y^2+z^2\leqslant1,z\geqslant0$。
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||||
由于$f(x)=e^z$，只包含$z$的变量，所以使用先二后一法更简单。
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||||
由于截面是一个圆，所以令$z=z$，代入方程得到面积：$D:x^2+y^2\leqslant1-z^2$。所以这个圆的半径的平方就是$r^2=1-z^2$，面积为$\pi r^2=\pi(1-z^2)$。
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||||
$=2\int_0^1\textrm{d}z\iint\limits_De^z\,\textrm{d}\sigma=2\int_0^1e^z\cdot\pi(1-z^2)\,\textrm{d}z=2\pi$。
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||||
\subparagraph{轮换对称性} \leavevmode \medskip
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||||
\textbf{例题：}设$\Omega=\{(x,y,z)|x^2+y^2+z^2\leqslant1\}$，求$\iiint\limits_\Omega z^2\,\textrm{d}x\textrm{d}y\textrm{d}z$。
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||||
解：利用轮换对称性可知$\iiint\limits_\Omega x^2\,\textrm{d}x\textrm{d}y\textrm{d}z=\iiint\limits_\Omega y^2\,\textrm{d}x\textrm{d}y\textrm{d}z=\iiint\limits_\Omega z^2\,\textrm{d}x\textrm{d}y\textrm{d}z$。
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||||
$\therefore I=\dfrac{1}{3}\iiint\limits_\Omega(x^2+y^2+z^2)\,\textrm{d}x\textrm{d}y\textrm{d}z$。
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\paragraph{形心公式逆用} \leavevmode \medskip
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由$\overline{x}=\dfrac{\iiint\limits_\Omega x\,\textrm{d}v}{\iiint\limits_\Omega\textrm{d}v}$推出$\iiint\limits_\Omega x\,\textrm{d}v=\overline{x}\cdot V$，其中$V$是$\Omega$的体积。
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\section{第一型曲线积分}
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是由定积分推广而来。
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\subsection{概念}
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\subsubsection{定义}
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\subsubsection{性质}
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\subsubsection{对称性}
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||||
\subsection{计算}
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||||
\subsubsection{基础方法}
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即化为定积分。一投（投影）二代（代入关系方程）三计算（$\textrm{d}s$转换为$\textrm{d}x$等）。
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||||
\paragraph{平面} \leavevmode \medskip
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\textbf{例题：}计算$\oint_\Gamma\vert y\vert\,\textrm{d}s$，其中$Gamma$为球面$x^2+y^2+z^2=2$与平面$x=y$的交线。
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解：根据普通对称性，对于$\vert y\vert$而言，其他象限的函数值都与第一象限区域的函数相等。令第一象限区域为$\Gamma_1$：
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$\therefore\oint_\Gamma\vert y\vert\,\textrm{d}s=4\oint_{\Gamma_1}y\,\textrm{d}s$
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||||
根据交线方程进行联立，得到$x=\cos t$，$y=\cos t$，$z=\sqrt{2}\sin t$。
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||||
对于$\Gamma_1$，其角度为$t\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$，$y=\cos t$。
|
||||
|
||||
又$\textrm{d}s=\sqrt{x_t'^2+y_t'^2+z_t'^2}$，所以$\textrm{d}t=\sqrt{2}\,\textrm{d}t$
|
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||||
$=4\int_0^\frac{\pi}{2}\cos t\sqrt{2}\,\textrm{d}t=4\sqrt{2}$。
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\paragraph{空间} \leavevmode \medskip
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\subsubsection{技术方法}
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\paragraph{边界方程代入被积函数} \leavevmode \medskip
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\paragraph{对称性} \leavevmode \medskip
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\paragraph{形心公式逆用} \leavevmode \medskip
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\section{第一型曲面积分}
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$\textrm{d}S$为面微分。
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\subsection{概念}
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\subsubsection{定义}
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\subsubsection{性质}
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\subsubsection{对称性}
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\subsection{计算}
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还是一投二代三计算。
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\subsubsection{基础方法}
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即化为二重积分。
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\textbf{例题：}设曲面$\Sigma:\vert x\vert+\vert y\vert+\vert z\vert=1$，求$\oiint\limits_\Sigma(x+\vert y\vert)\,\textrm{d}S$。
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解：曲面$\Sigma$是一个正八面体。又普通对称性得$\oiint\limits_\Sigma x\,\textrm{d}S=0$。
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令第一卦限为$\Sigma_1$，所以根据普通对称性$\oiint\limits_\Sigma\vert y\vert\,\textrm{d}S=8\iint\limits_{\Sigma_1}y\,\textrm{d}S$
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因为$x+y+z=1$和$\textrm{d}S=\sqrt{1+z_x'^2+z_y'^2}\,\textrm{d}x\textrm{d}y$交换$xy$保持不变。
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根据轮换对称性$\iint\limits_{\Sigma_1}y\,\textrm{d}S=\iint\limits_{\Sigma_1}x\,\textrm{d}S$。
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且对于$x+y+z=1$和用$xz$替换$y$（把微元曲面投到不同的坐标轴平面）：$\textrm{d}S=\sqrt{1+y_x'^2+y_z'^2}\,\textrm{d}x\textrm{d}z$交换$xz$保持不变。
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根据轮换对称性$\iint\limits_{\Sigma_1}y\,\textrm{d}S=\iint\limits_{\Sigma_1}x\,\textrm{d}S=\iint\limits_{\Sigma_1}z\,\textrm{d}S$。
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$\therefore8\iint\limits_{\Sigma_1}y\,\textrm{d}S=\dfrac{8}{3}\iint\limits_{\Sigma_1}(x+y+z)\,\textrm{d}S=\dfrac{8}{3}\iint\limits_{\Sigma_1}\textrm{d}S=\dfrac{8}{3}S_{\Sigma_1}=\dfrac{8}{3}\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{4}{3}\sqrt{3}$。
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\subsubsection{技术方法}
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\paragraph{边界方程代入被积函数} \leavevmode \medskip
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\paragraph{对称性} \leavevmode \medskip
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\paragraph{形心公式逆用} \leavevmode \medskip
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\section{多元积分应用}
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包括二重积分、三重积分、一型曲线积分、一型曲面积分四个部分。
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\subsection{几何量}
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\subsubsection{平面区域}
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\subsubsection{空间区域}
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\subsubsection{空间曲线}
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\subsubsection{空间曲面}
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是考试的重点。
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\subsection{重心与形心}
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当密度$\rho$为一个固定常数时重心就是形心。
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\subsubsection{平面薄片}
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\subsubsection{空间物体}
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是考试的重点。
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\textbf{例题：}设空间物体$\Omega=\{(x,y,z)|x^2+y^2\leqslant z\leqslant1\}$，求$\Omega$的形心的竖坐标$\overline{z}$。
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% 解：形心公式$\overline{z}=\dfrac{}{}$
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\subsubsection{空间曲线}
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\subsubsection{空间曲面}
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\subsection{转动惯量}
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可能会考到。
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\subsubsection{平面薄片}
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\subsubsection{空间物体}
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\subsubsection{空间曲线}
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\subsubsection{空间曲面}
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\subsection{引力}
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考的可能性很小。
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\subsubsection{平面薄片}
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\subsubsection{空间物体}
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\subsubsection{空间曲线}
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\subsubsection{空间曲面}
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\section{第二型曲线积分}
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第二型与第一型的差别就是第二型具有物理意义是有向的，而第一型具有几何意义是无向的。
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\subsection{概念}
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\subsubsection{场的概念}
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\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}就是空间区域$\Omega$上的一种对应法则。
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数量场就是对应数量没有方向。向量场就是有数量也有方向。
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\subsubsection{变力沿曲线做功}
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\subsubsection{定义}
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\subsubsection{性质}
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\subsection{计算}
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\subsubsection{基础方法}
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即化为定积分。
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\subsubsection{格林公式}
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是考试的重点，基本上都会考到。非常重要。
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\section{第二型曲面积分}
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\subsection{概念}
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\subsubsection{向量场的通量}
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\subsubsection{定义}
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\subsubsection{性质}
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\subsection{计算}
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\subsubsection{基础方法}
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即化为二重积分。
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\subsubsection{高斯公式}
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是考试的重点，基本上都会考到。非常重要。
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\section{空间第二型曲线积分计算}
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是第二型曲线积分的应用。使用的是斯托克斯公式。
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\end{document}
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