更新无穷级数

advanced-math/exercise/8-infinite-series/infinite-series.tex

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+\author{Didnelpsun}
+\title{无穷级数}
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+\maketitle
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+
+
+
+\end{document}

advanced-math/exercise/9-differential-equation/differential-equation.tex

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+\title{微分方程}
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+\setcounter{page}{1}
+
+\section{一阶微分方程}
+
+\subsection{可分离变量微分方程}
+
+\textbf{例题：}求$y\sin\dfrac{x}{2}\,\textrm{d}x-\cos\dfrac{x}{2}\,\textrm{d}y=0$的通解。
+
+解：$\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}=y\tan\dfrac{x}{2}$，$\dfrac{\textrm{d}y}{y}=\tan\dfrac{x}{2}\,\textrm{d}x$，$\displaystyle{\int\dfrac{\textrm{d}y}{y}=2\int\tan\dfrac{x}{2}\,\textrm{d}\dfrac{x}{2}}$。
+
+解得$\ln\vert y\vert=-\ln\left(\cos\dfrac{x}{2}\right)^2+\ln C_1$（取对数更好解），$\vert y\vert=\dfrac{C_1}{\left(\cos\dfrac{x}{2}\right)^2}$。
+
+$y=\dfrac{\pm C_1}{\left(\cos\dfrac{x}{2}\right)^2}$，令$C=\pm C_1$，得$y=\dfrac{C}{1+\cos x}$。
+
+注意在第一步时将$y$除到分母上，本来$y$为任意常数，变为$y\neq0$，所以解得最后$C\neq0$，而实际上$y$可以为0，所以$C$应该为任意常数。
+
+此时解为全部解，为通解加上$y=0$的奇解。
+
+\subsection{多项式换元}
+
+\textbf{例题：}求微分方程$\textrm{d}y=\sin(x+y+100)\,\textrm{d}x$的通解。
+
+解：令$u=x+y+100$，$\dfrac{\textrm{d}u}{\textrm{d}x}=1+\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}$，$\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}=\sin(x+y+100)$，$\therefore\dfrac{\textrm{d}u}{\textrm{d}x}=1+\sin u$。
+
+$\dfrac{\textrm{d}u}{1+\sin u}=\textrm{d}x$，$\displaystyle{\int\dfrac{\textrm{d}u}{1+\sin u}}=\int\textrm{d}x$，$\displaystyle{\int\dfrac{1-\sin u}{\cos^2u}}\textrm{d}u=x$。
+
+$\int\sec^2u-\tan u\sec u\,\textrm{d}u=x$，即$\tan u-\sec u=x+C$。代回$u=x+y+100$：
+
+通解$\tan(x+y+100)-\sec(x+y+100)=x+C$。
+
+所有解：$\tan(x+y+100)-\sec(x+y+100)=x+C$，$x+y+100=2k\pi-\dfrac{\pi}{2}$。
+
+\subsection{自然齐次方程}
+
+\textbf{例题：}设$L$是一条平面曲线，其上任意一点$P(x,y)$（$x>0$）到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在$y$轴上的截距，且$L$经过点$\left(\dfrac{1}{2},0\right)$，求$L$的方程。
+
+解：$(x,y)$到坐标原点的距离为$\sqrt{x^2+y^2}$。
+
+若$y=y(x)$，则切线为$Y-y=y'(X-x)$，令$X=0$，解得$Y=y-xy'$。
+
+$\therefore\sqrt{x^2+y^2}=y-xy'$，解得$y'=\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}=\dfrac{y-\sqrt{x^2+y^2}}{x}=\dfrac{y}{x}-\sqrt{1+\dfrac{y^2}{x^2}}$。
+
+令$\dfrac{y}{x}=u$，则$y=ux$，$\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}=\dfrac{\textrm{d}u}{\textrm{d}x}x+u$。代入$y'$：
+
+$\dfrac{\textrm{d}u}{\textrm{d}x}x+u=u-\sqrt{1+u^2}$，$\dfrac{\textrm{d}u}{\sqrt{1+u^2}}=-\dfrac{\textrm{d}x}{x}$，$\displaystyle{\int\dfrac{\textrm{d}u}{\sqrt{1+u^2}}=-\int\dfrac{\textrm{d}x}{x}}$。
+
+$\therefore\ln(u+\sqrt{1+u^2})=-\ln x+\ln C$，$u+\sqrt{1+u^2}=\dfrac{C}{x}$。
+
+代入$\dfrac{y}{x}+\sqrt{1+\dfrac{y^2}{x^2}}=\dfrac{C}{x}$，$y+\sqrt{x^2+y^2}=C$。
+
+\subsection{一阶线性方程}
+
+\textbf{例题：}求微分方程$y'+1=e^{-y}\sin x$的通解。
+
+解：已知对$e^{-y}\sin x$无法处理，所以必然需要对其转换，$e^yy'+e^y=\sin x$。
+
+$\therefore(e^y)'+e^y=\sin x$，令$e^y=u$，$u'+u=\sin x$，$P(x)=1$，$Q(x)=\sin x$。
+
+$e^y=u=e^{-\int\textrm{d}x}(\int e^{\int\textrm{d}x}\sin x\,\textrm{d}x+C)=e^{-x}(\int e^x\sin x\,\textrm{d}x+C)$，积分再现表格解出$\int e^x\sin x\,\textrm{d}x$：$=e^{-x}\left(\dfrac{1}{2}e^x(\sin x-\cos x)+C\right)$。
+
+\subsection{伯努利方程}
+
+\textbf{例题：}求$y\,\textrm{d}x=(1+x\ln y)x\,\textrm{d}y$（$y>0$）的通解。
+
+解：将导数放到一边：$\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}=\dfrac{y}{(1+x\ln y)x}$，这个算式无法处理。
+
+而颠倒$\dfrac{\textrm{d}x}{\textrm{d}y}=\dfrac{(1+x\ln y)x}{y}=\dfrac{1}{y}x+\dfrac{\ln y}{y}x^2$。
+
+凑伯努利方程：$x'+P(x)x=Q(x)x^n$：$x'-\dfrac{1}{y}x=\dfrac{\ln y}{y}x^2$。$P(x)=-\dfrac{1}{y}$，$Q(x)=\dfrac{\ln y}{y}$。
+
+乘$x^{-2}$降阶：$x^{-2}x'-\dfrac{1}{y}x^{-1}=\dfrac{\ln y}{y}$。令$z=x^{-1}$，$\dfrac{\textrm{d}z}{\textrm{d}y}=-\dfrac{1}{x^2}\dfrac{\textrm{d}x}{\textrm{d}y}$。代入方程：
+
+$-\dfrac{\textrm{d}z}{\textrm{d}y}-\dfrac{1}{y}z=\dfrac{\ln y}{y}$，$\dfrac{\textrm{d}z}{\textrm{d}y}+\dfrac{1}{y}z=-\dfrac{\ln y}{y}$，利用公式：
+
+$z=e^{-\int\frac{1}{y}\textrm{d}y}\left(\displaystyle{\int e^{\int\frac{1}{y}\textrm{d}y}\cdot\left(\dfrac{\ln y}{y}\right)+C}\right)=\dfrac{1}{y}(-\int\ln y\,\textrm{d}y+C)=\dfrac{1}{y}(-y(\ln y-1)+C)=-\ln y+1+\dfrac{C}{y}$。
+
+$\therefore x=\dfrac{y}{-y\ln y+y+C}$。
+
+\section{二阶可降阶微分方程}
+
+\subsection{\texorpdfstring{$y''=f(x,y')$}\ 型}
+
+\textbf{例题：}求$y''=\dfrac{2xy'}{1+x^2}$的通解。
+
+解：令$y'=p$，$p'=\dfrac{2xp}{1+x^2}$，$\dfrac{\textrm{d}p}{\textrm{d}x}=\dfrac{2xp}{1+x^2}$，$\dfrac{\textrm{d}p}{p}=\dfrac{2x}{1+x^2}$，$\displaystyle{\int\dfrac{\textrm{d}p}{p}=\int\dfrac{2x}{1+x^2}}$。
+
+$\ln\vert p\vert=\ln(1+x^2)+\ln C_1$，$p=\pm C_1(1+x^2)=C_2(1+x^2)$。
+
+$y'=C(1+x^2)$，$\therefore y=C_2\left(x+\dfrac{x^3}{3}+x\right)+C$。
+
+\subsection{\texorpdfstring{$y''=f(y,y')$}\ 型}
+
+\section{高阶线性微分方程}
+
+\subsection{常系数齐次线性微分方程}
+
+
+
+\subsection{常系数非齐次线性微分方程}
+
+先将常系数非齐次线性微分方程变为常系数齐次线性微分方程求解，然后加上非齐次方程的一个特解，就是非齐次方程的一个通解。
+
+\textbf{例题：}求$y''-4y'+4y=3xe^{2x}$的通解。
+
+解：变为常系数齐次线性微分方程：$y''-4y'+4y$。
+
+写出特征方程：$\lambda^2-4\lambda+4=0$，从而$(\lambda-2)^2=0$，$\lambda_1=\lambda_2=2$。
+
+从而$y$齐次方程的通解为$(C_1+C_2x)e^{2x}$。
+
+根据特解的设置方法，设$y^*=e^{2x}(ax+b)x^2$。
+
+代回二阶方程，$a=\dfrac{1}{2}$，$b=0$。通解为$(C_1+C_2x)e^{2x}+\dfrac{1}{2}x^3e^{2x}$。
+
+\textbf{例题：}微分方程$y''-4y'+3y=e^x\cos x+xe^{3x}$的通解。
+
+解：首先常系数齐次线性微分方程：$y''-4y'+3y=0$。
+
+特征方程为$\lambda^2-4\lambda+3=0$，解得特征值为$\lambda_1=1$，$\lambda_2=3$。
+
+所以该齐次方程的通解：$y=C_1e^x+C_2e^{3x}$。
+
+然后求特解，首先求后面$f_2(x)=xe^{3x}$的特解$y_2^*$。
+
+根据公式因为$\alpha$为单特征根，即$\aleph=3=\lambda_2\neq\lambda_1$，所以$y_2^*=e^{3x}(ax+b)x$。
+
+然后是求$f_1(x)=e^x\cos x$的特解$y_1^*$。
+
+其中$P_m(x)=1$，$P_n(x)=0$，$l=0$。所以设$P_m(x)=A$，$P_n(x)=B$。
+
+对$k$，自由项中$\alpha=\beta=1$，得到$1\pm i$。又$1\pm i\neq\lambda_1=1\neq\lambda_2=3$，$k=0$。
+
+最后$y_1^*=e^x(A\cos x+B\sin x)$。通解为$y=C_1e^x+C_2e^{3x}+e^x(A\cos x+B\sin x)+e^{3x}(ax+b)x$。
+
+\section{微分方程概念}
+
+对于有些方程并不需要求解后才能解决问题。
+
+\subsection{已知微分方程的解反求系数}
+
+\textbf{例题：}设$y_1,y_2$为一阶非齐次线性微分方程$y'+p(x)y=q(x)$的两个特解，若常数$\lambda,\mu$使得$\lambda y_1+\mu y_2$是该方程的解，$\lambda y_1-\mu y_2$是该方程对应的齐次方程的解，则()。
+
+$A.\lambda=\dfrac{1}{2},\mu=\dfrac{1}{2}$\qquad$B.\lambda=-\dfrac{1}{2},\mu=-\dfrac{1}{2}$\qquad$C.\dfrac{2}{3},\mu=\dfrac{1}{3}$\qquad$\lambda=\dfrac{2}{3},\mu=\dfrac{2}{3}$
+
+\subsection{不解微分方程，利用方程隐含信息}
+
+$F(y,y',y'',\cdots,y^{(n)})=0$反映了\textbf{未知函数及其各阶导数之间的关系}。
+
+\textbf{例题：}设$y=f(x)$是方程$y''-2y'+4y=0$的一个解，若$f(x_0)>0$，且$f'(x_0)=0$，则函数$f(x)$在点$x_0$()。
+
+$A.$取得最大值\qquad$B.$取得最小值\qquad$C.$某个邻域内单调增加\qquad$D.$某个邻域内单调减少
+
+解：因为$y=f(x)$是方程$y''-2y'+4y=0$的一个解，所以直接代入$x_0$：$y''(x_0)-2y'(x_0)+4y(x_0)=0$。又$f'(x_0)=0$。
+
+$y''(x_0)=-4y(x_0)<0$，所以该点为极大值点。
+
+\end{document}

advanced-math/knowledge/8-infinite-series/infinite-series.tex

@@ -2,6 +2,9 @@
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+% 圆圈序号
 \author{Didnelpsun}
 \title{无穷级数}
 \date{}
@@ -34,8 +39,159 @@
 \newpage
 \pagestyle{plain}
 \setcounter{page}{1}
-\section{}
+\section{常数项级数}
 
+\subsection{概念}
 
+级数的经典悖论为芝诺悖论。
+
+\subsubsection{基本概念}
+
+\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}给定义一个无穷数列$u_1,u_2,\cdots,u_n,\cdots$，将其各项用加号连起来的得到的记号$\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$，即$\sum\limits_{n=1}^\infty u_n=u_1+u_2+\cdots+u_n+\cdots$叫做\textbf{无穷级数}，简称\textbf{级数}，其中$u_n$称为该级数的\textbf{通项}。
+
+若$u_n$是常数而不是函数，则$\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$就被称为\textbf{常数项无穷级数}，简称\textbf{常数项级数}。
+
+$S_n=u_1+u_2+\cdots+u_n$称为级数的\textbf{部分和}，$\{S_n\}$是级数的\textbf{部分和数量}。
+
+\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}若$\lim\limits_{n\to\infty}S_n=S$，则$\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$\textbf{收敛}，并称$S$为该收敛级数$\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$的\textbf{和}；若$\lim\limits_{n\to\infty}S_n$不存在或为$\pm\infty$，则$\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$\textbf{发散}。
+
+研究$\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$收敛还是发散，就是研究级数$\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$的敛散性。
+
+在级数$\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$去掉前$m$项，得$\sum\limits_{n=m+1}^\infty u_n=u_{m+1}+u_{m+2}+\cdots$，称为级数$\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$的\textbf{$m$项后余项}
+
+\subsubsection{性质}
+
+\begin{enumerate}
+    \item 线性性质：若级数$\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$，$\sum\limits_{n=1}^\infty v_n$均收敛，且其和分别为$S$，$T$，则任给常数$a,b$，有$\sum\limits_{n=1}^\infty(au_n+bv_n)$也收敛，且其和为$aS+bT$，即$\sum\limits_{n=1}^\infty(au_n+bv_n)=a\sum\limits_{n=1}^\infty u_n+b\sum\limits_{n=1}^\infty v_n$。
+    \item 若级数$\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$收敛，则其任意$m$项后余项$\sum\limits_{n=m+1}^\infty u_n$也收敛；若存在$m$项后余项$\sum\limits_{n=m+1}^\infty u_n$收敛，则$\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$也收敛。
+    \item 级数收敛必要条件：若级数$\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$首先，则$\lim\limits_{n\to\infty}u_n=0$。
+\end{enumerate}
+
+证明性质三：$u_n=S_n-S_{n-1}$，所以$\lim\limits_{n\to\infty}=\lim\limits_{n\to\infty}(S_n-S_{n-1})=\lim\limits_{n\to\infty}S_n-\lim\limits_{n\to\infty}S_{n-1}=S-S=0$。极限为0不一定收敛。
+
+\subsection{级数敛散性判别}
+
+\subsubsection{正项级数}
+
+\paragraph{概念} \leavevmode \medskip
+
+\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}若通项$u_n\geqslant0$，$n=1,2,\cdots$，则$\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$为\textbf{正项级数}。
+
+\paragraph{收敛原则} \leavevmode \medskip
+
+\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}正项级数$\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$收敛的充要条件是其部分和数列$\{S_n\}$有界。（某一函数在固定区间内变化率是有界的，则变化范围是有界的）
+
+证明：必要性：由于$u_n\geqslant0$，$\therefore S_n=u_1+u_2+\cdots+u_n\geqslant0$，且$S_1\leqslant S_2\leqslant\cdots\leqslant S_n\leqslant\cdots$，$\{S_n\}$单调不减且下界为0。当$\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$收敛时，$\lim\limits_{n\to\infty}S_n$存在，则$\{S_n\}$必有上界。有上界下界则$\{S_n\}$有界。（某一函数在固定区间内变化率是有界的，则变化范围是有界的）
+
+充分性：由于$\{S_n\}$单调不减，所以根据单调有界准则，$\{S_n\}$收敛，即$\lim\limits_{n\to\infty}S_n$存在，于是$\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$收敛。
+
+基本就是使用放缩法判断是否有界。
+
+\textbf{例题：}判断级数$\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{1}{\sqrt{n}}$的敛散性。
+
+解：$S_n=1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\dfrac{1}{\sqrt{n}}>n\dfrac{1}{\sqrt{n}}=\sqrt{n}$，当$n\to\infty$时$\sqrt{n}\to\infty$，无上界所以发散。
+
+\paragraph{比较判别法} \leavevmode \medskip
+
+\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}给出两个正项级数$\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$，$\sum\limits_{n=1}^\infty v_n$，若从某项开始有$u_n\leqslant v_n$成立，则：\ding{172}若$\sum\limits_{n=1}^\infty v_n$收敛，则$\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$也收敛；\ding{173}若$\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$发散，则$\sum\limits_{n=1}^\infty v_n$也发散。
+
+即大的收敛小的也收敛，小的发散大的也发散。
+
+\textbf{例题：}判断调和级数$\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n}$的敛散性。
+
+解：$\because x>0$，$x>\ln(1+x)$，$\therefore\dfrac{1}{n}>\ln\left(1+\dfrac{1}{n}\right)$。
+
+又对于$\ln\left(1+\dfrac{1}{n}\right)=\ln\dfrac{n+1}{n}=\ln(n+1)-\ln n$。
+
+$S_n=\ln\dfrac{2}{1}+\ln\dfrac{3}{2}+\cdots+\ln\dfrac{n+1}{n}=\ln2-\ln1+\ln3-\ln2+\cdots+\ln(n+1)-\ln n=\ln(n+1)$。当$\ln(n+1)$在$n\to\infty$时，$S_n\to\infty$。
+
+所以$\sum\limits_{n=1}^\infty\ln\left(1+\dfrac{1}{n}\right)$发散，则$\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n}$也发散。
+
+\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}$p$级数：$\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n^p}\left\{\begin{array}{l}
+    p>1, \text{收敛} \\
+    p\leqslant1, \text{发散}
+\end{array}\right.$。
+
+\paragraph{比较判别法极限性质} \leavevmode \medskip
+
+是比较判别法的推论，利用极限的阶数来比较。
+
+给出两个正项级数$\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$，$\sum\limits_{n=1}^\infty v_n$，$v_n\neq0$，且$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{u_n}{v_n}=A$：
+
+\begin{enumerate}
+    \item 若$A=0$，则当$\sum\limits_{n=1}^\infty v_n$收敛时，$\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$也收敛。
+    \item 当$A=+\infty$，当$\sum\limits_{n=1}^\infty v_n$发散时，$\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$也发散。
+    \item 若$0<A<+\infty$，则$\sum\limits_{n=1}^\infty v_n$与$\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$具有相同敛散性。
+\end{enumerate}
+
+\textbf{例题：}判断$\sum\limits_{n=1}^\infty\left(\dfrac{1}{n}-\sin\dfrac{1}{n}\right)$敛散性。
+
+解：令$\dfrac{1}{n}=x$，$n\to\infty$所以$x\to0^+$。当$x\to0^+$，$x-\sin x\sim\dfrac{1}{6}x^3$。
+
+$\therefore\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\dfrac{1}{n}-\sin\dfrac{1}{n}}{\dfrac{1}{n^3}}=\dfrac{1}{6}\neq0$，所以$\dfrac{1}{n}-\sin\dfrac{1}{n}$与$\dfrac{1}{n^3}$具有相同敛散性。
+
+根据$p$级数定理，$p=3>1$，所以$\sum\limits_{n=1}^\infty\left(\dfrac{1}{n}-\sin\dfrac{1}{n}\right)$收敛。
+
+\paragraph{比值判别法} \leavevmode \medskip
+
+也称为达朗贝尔判别法。
+
+\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}给出一正项级数$\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$，若$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\rho$，则：\ding{172}若$\rho<1$，则$\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$收敛；\ding{173}若$\rho>1$，则$\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$发散。
+
+\textcolor{orange}{注意：}$\rho=1$时无法根据此判断$\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$敛散性，如$\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n}$发散，但$\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n^2}$收敛。
+
+适用于含有$a^n$，$n!$，$n^n$的通项。
+
+\textbf{例题：}判断级数$\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{\vert a\vert^nn!}{n^n}$的敛散性，其中$a$为非零常数。
+
+解：
+
+\paragraph{根值判别法} \leavevmode \medskip
+
+也称为柯西判别法。
+
+\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}$\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$
+
+\subsubsection{交错级数}
+
+\paragraph{概念} \leavevmode \medskip
+
+\paragraph{莱布尼兹判别法} \leavevmode \medskip
+
+\subsubsection{任意项级数}
+
+\paragraph{绝对收敛} \leavevmode \medskip
+
+\paragraph{条件收敛} \leavevmode \medskip
+
+\section{幂级数}
+
+\subsection{概念与收敛域}
+
+\subsubsection{概念}
+
+\subsubsection{阿贝尔定理}
+
+\subsubsection{收敛域}
+
+\subsection{幂级数求和函数}
+
+\subsubsection{概念}
+
+\subsubsection{运算法则}
+
+\subsubsection{性质}
+
+\subsubsection{重要展开式}
+
+\subsection{函数展开为幂级数}
+
+\subsubsection{概念}
+
+\subsubsection{求法}
+
+\paragraph{直接法} \leavevmode \medskip
+
+\paragraph{间接法} \leavevmode \medskip
 
 \end{document}

advanced-math/knowledge/9-differential-equation/differential-equation.tex

@@ -52,7 +52,9 @@
 
 \subsection{微分方程构成}
 
-\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，即含导数的方程就是微分方程。导数可能是一阶导数也可能是二阶以及以上阶数的导数。
+\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，即含导数的方程就是\textbf{微分方程}。导数可能是一阶导数也可能是二阶以及以上阶数的导数。
+
+常微分方程\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}未知函数是一元函数的微分方程。如$y'''-y''+6y=0$，$y\,\textrm{d}x-(x+\sqrt{x^2+y^2})\,\textrm{d}y=0$。
 
 \textcolor{violet}{\textbf{定义：}}微分方程所出现的未知函数的最高阶导数的阶数就是该微分方程的\textbf{阶}。
 
@@ -60,6 +62,8 @@ $n$阶微分方程的形式是$F(x,y,y',\cdots,y^{(n)})=0$。其中最高阶导
 
 \subsection{微分方程的解}
 
+微分方程的解是函数。
+
 \textcolor{violet}{\textbf{定义：}}若微分方程中的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，则就是微分方程的\textbf{通解}。
 
 如若$y''=3$，则$y'=3x+C_1$，$y=\dfrac{3}{2}x^2+C_1x+C_2$，此时含有两个任意常数$C_1C_2$，则微分方程的阶数也为2。
@@ -90,13 +94,13 @@ $-k^2(C_1\sin kt+C_2\sin kt)+k^2(C_1\cos kt+C_2\sin kt)\equiv0$，所以是解
 
 \section{可分离变量的微分方程}
 
-对于第一节的$\textrm{d}y=2x\,\textrm{d}x$可以直接求解，但是不是所有一阶微分方程都可以如此求通解，如$\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}=2xy^2$两端直接积分就可以得到通解$x^2+C$。
+对于第一节的$\textrm{d}y=2x\,\textrm{d}x$可以直接求解，如$\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}=2x$直接移项就可以得到通解$x^2+C$。
 
 但是并不是所有都是如此，如$\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}=2xy^2$求积分得$y=\int2xy^2\,\textrm{d}x$，这本身不能直接解，但是可以将$\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}=2xy^2$先两边同乘$\dfrac{\textrm{d}x}{y^2}$得到$\dfrac{\textrm{d}y}{y^2}=2x\textrm{d}x$，将$xy$分离在两端，然后两边同时积分得到$-\dfrac{1}{y}=x^2+C$，所以$y=-\dfrac{1}{x^2+C}$。
 
-即若可以变型为$g(y)\textrm{d}y=f(x)\textrm{d}x$的一阶导数方程就是可分离变量的微分方程。即将含$y$的放在一边，含$x$的放在另一边。
+\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}形如$y'=f(x)g(y)$的方程就是\textbf{变量可分离型}方程。
 
-然后对两边求积分就得到$\int g(y)\,\textrm{d}y=\int f(x)\,\textrm{d}x$，解得隐式解或隐式通解$G(y)=F(x)+C$。
+可以变型为$\dfrac{\textrm{d}y}{g(y)}=f(x)\textrm{d}x$，即将含$y$的放在一边，含$x$的放在另一边。然后对两边求积分就得到$\displaystyle{\int\dfrac{\textrm{d}y}{g(y)}=\int f(x)\textrm{d}x}$，解得隐式解或隐式通解$G(y)=F(x)+C$。最后可以将隐式解化为显式解。
 
 \textbf{例题：}求微分方程$\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}=2xy$。
 
@@ -106,12 +110,22 @@ $\therefore y=\pm e^{x^2}e^C=\pm C_1e^{x^2}=C_2e^{x^2}$。
 
 \textcolor{orange}{注意：}在微分方程部分可以直接$\ln y=x^2+C$而不用管正负号，因为正负号都会被归为常数中。
 
-\section{齐次方程}
+\section{可化为可分离变量型}
+
+\subsection{多项式换元}
+
+形如$\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}=f(ax+by+c)$的方程，其中$a,b,c$全不为0。
+
+令$u=ax+by+c$，则$\dfrac{\textrm{d}u}{\text{d}x}=a+b\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}$，代入原方程$\dfrac{\textrm{d}u}{\textrm{d}x}=a+bf(u)$。
 
 \subsection{自然齐次方程}
 
 若一阶微分方程可化为$\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}=\varphi\left(\dfrac{y}{x}\right)$，则这方程就是一个齐次方程。
 
+也可能出现$\dfrac{\textrm{d}x}{\textrm{d}y}=\varphi\left(\dfrac{x}{y}\right)$。
+
+令$u=\dfrac{y}{x}$，则$y=ux$变为$\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}=u+x\dfrac{\textrm{d}u}{\textrm{d}x}$，从而原方程变为$x\dfrac{\textrm{d}u}{\textrm{d}x}+u=\varphi(u)$，即$\dfrac{\textrm{d}u}{\varphi(u)-u}=\dfrac{\textrm{d}x}{x}$。
+
 如$(xy-y^2)\textrm{d}x-(x^2-2xy)\textrm{d}y=0$可以化为$\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}=\dfrac{xy-y^2}{x^2-2xy}$，即$\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}=\dfrac{\dfrac{y}{x}-\left(\dfrac{y}{x}\right)^2}{1-2\left(\dfrac{y}{x}\right)}$。
 
 解决齐次方程问题的过程：令$u=\dfrac{y}{x}$；$y=xu$；$\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}=u+x\dfrac{\textrm{d}u}{\textrm{d}x}$。
@@ -132,7 +146,7 @@ $\therefore\dfrac{u-1}{u}\textrm{d}u=\dfrac{\textrm{d}x}{x}$，$\therefore\displ
 
 代入$u=\dfrac{y}{x}$，得到$\ln y=\dfrac{y}{x}+C$，所以得到$y=Ce^{\frac{y}{x}}$。
 
-\subsection{* 可化为齐次方程}
+\subsection{可化为齐次方程}
 
 对于自然齐次方程，其形式如$\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}=\dfrac{A_1x+B_1y}{A_2x+B_2y}$，则可以除以$x$得到齐次方程。
 
@@ -166,7 +180,7 @@ $=\dfrac{(A_1\lambda+B_1)v+A_1C_2+B_1C_1}{\lambda v+C_2}$。此时未知数只
 
 若$Q(x)\equiv 0$，则是齐次一阶线性微分方程，可化为$\dfrac{\textrm{d}y}{y}=-P(x)\,\textrm{d}x$，$\ln y=\int P(x)\,\textrm{d}x+C'$，$y=e^{-\int P(x)\,\textrm{d}x}\cdot e^{C'}$，$y=Ce^{-\int P(x)\,\textrm{d}x}$。
 
-若$Q(x)\neq 0$，则是非齐次一阶线性微分方程，令$y=ue^{-\int P(x)\,\textrm{d}x}$，求$u$这个关于$x$的函数的具体值，这就是\textbf{常数变易法}。代入$\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}+P(x)y=Q(x)$，得到$u'e^{-\int P(x)\,\textrm{d}x}-ue^{-\int P(x)\,\textrm{d}x}P(x)+P(x)ue^{-\int P(x)\,\textrm{d}x}=Q(x)$，得到$u'e^{-\int P(x)\,\textrm{d}x}=Q(x)$，从而得到$u'$，再对$u'$积分得到$u=\displaystyle{\int Q(x)e^{\int P(x)\,\textrm{d}x}\,\textrm{d}x}+C$。从而代入$y=ue^{-\int P(x)\,\textrm{d}x}$，得到\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}$y=e^{-\int P(x)\,\textrm{d}x}\left(\displaystyle{\int Q(x)e^{\int P(x)\,\textrm{d}x}\,\textrm{d}x}+C\right)$。非齐次通解就是其齐次通解加上一个非齐次的特解。
+若$Q(x)\neq 0$，则是非齐次一阶线性微分方程，令$y=ue^{-\int P(x)\,\textrm{d}x}$，求$u$这个关于$x$的函数的具体值，这就是\textbf{常数变易法}。代入$\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}+P(x)y=Q(x)$，得到$u'e^{-\int P(x)\,\textrm{d}x}-ue^{-\int P(x)\,\textrm{d}x}P(x)+P(x)ue^{-\int P(x)\,\textrm{d}x}=Q(x)$，得到$u'e^{-\int P(x)\,\textrm{d}x}=Q(x)$，从而得到$u'$，再对$u'$积分得到$u=\displaystyle{\int Q(x)e^{\int P(x)\,\textrm{d}x}\,\textrm{d}x}+C$。从而代入$y=ue^{-\int P(x)\,\textrm{d}x}$，得到\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}$y=e^{-\int P(x)\,\textrm{d}x}(\int Q(x)e^{\int P(x)\,\textrm{d}x}\,\textrm{d}x+C)$。非齐次通解就是其齐次通解加上一个非齐次的特解。
 
 \textbf{例题：}求$\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}=\dfrac{1}{x+y}$。
 
@@ -176,11 +190,17 @@ $=\dfrac{(A_1\lambda+B_1)v+A_1C_2+B_1C_1}{\lambda v+C_2}$。此时未知数只
 
 或令$x+y=u$，所以$y=u-x$，$\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}=\dfrac{\textrm{d}u}{\textrm{d}x}-1$，$\dfrac{\textrm{d}u}{\textrm{d}x}=\dfrac{1+u}{u}$，$\dfrac{u}{1+u}\textrm{d}u=\textrm{d}x$。
 
-\subsection{* 伯努利方程}
+\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}一阶线性方程时，$\displaystyle{\int\dfrac{1}{x}\textrm{d}x}=\ln\vert x\vert=\ln x$。
 
-形如$\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}+P(x)y=Q(x)y^n$就是伯努利方程。若$y=0$则是齐次方程，若$y=1$则是一阶线性方程。
+证明：令$p=\dfrac{1}{x}$，$\int p\,\textrm{d}x=\displaystyle{\int\dfrac{1}{x}\textrm{d}x}=\ln\vert x\vert$。
 
-变形：$y^{-n}\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}+P(x)y^{1-n}=Q(x)$，又令$y^{1-n}=z$，$\dfrac{\textrm{d}z}{\textrm{d}x}=(1-n)y^{-n}\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}$，从而$\dfrac{1}{1-n}\dfrac{\textrm{d}z}{\textrm{d}x}=y^{-n}\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}$，代入$\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}+P(x)y=Q(x)y^n$得到$\dfrac{1}{1-n}\dfrac{\textrm{d}z}{\textrm{d}x}+P(x)z=Q(x)$，从而$\dfrac{\textrm{d}z}{\textrm{d}x}=(1-n)P(x)z=(1-n)Q(x)$，将$(1-n)P(x)$当作$P(x)$，$(1-n)Q(x)$当中$Q(x)$代入得到$z$的关系式，再求$y$。
+根据公式$y=e^{-\ln\vert x\vert}(\int e^{\ln\vert x\vert}Q(x)\,\textrm{d}x+C)=\dfrac{1}{\vert x\vert}(\int\vert x\vert Q(x)\,\textrm{d}x+C)=\dfrac{1}{\pm x}$\\$(\int(\pm x)Q(x)\,\textrm{d}x+C)=\dfrac{1}{x}(\int xQ(x)\,\textrm{d}x\pm C)=\dfrac{1}{x}(\int xQ(x)\,\textrm{d}x+D)$。
+
+\subsection{伯努利方程}
+
+形如$\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}+P(x)y=Q(x)y^n$就是伯努利方程。若$y=1$则是可分离变量方程，若$y=0$则是一阶线性方程。
+
+变形：$y^{-n}\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}+P(x)y^{1-n}=Q(x)$，又令$y^{1-n}=z$，$\dfrac{\textrm{d}z}{\textrm{d}x}=(1-n)y^{-n}\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}$，从而$\dfrac{1}{1-n}\dfrac{\textrm{d}z}{\textrm{d}x}=y^{-n}\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}$，代入$\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}+P(x)y=Q(x)y^n$得到$\dfrac{1}{1-n}\dfrac{\textrm{d}z}{\textrm{d}x}+P(x)z=Q(x)$，从而$\dfrac{\textrm{d}z}{\textrm{d}x}=(1-n)P(x)z=(1-n)Q(x)$，将$(1-n)P(x)$当作$P(x)$，$(1-n)Q(x)$当中$Q(x)$代入得到$z$的关系式，再利用上面线性方程的公式求$y$。
 
 \section{可降阶的高阶微分方程}
 
@@ -236,6 +256,24 @@ $\dfrac{\textrm{d}p}{p}=\dfrac{2x}{1+x^2}\textrm{d}x$，$\ln p=\ln(1+x^2)+C'$，
 
 第三部分就是本节的高阶线性微分方程，$y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\cdots+a_{n-1}(x)y'+a_n(x)y=0$就是$n$阶齐次线性微分方程，$y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\cdots+a_{n-1}(x)y'+a_n(x)y=f(x)$就是$n$阶非齐次线性微分方程
 
+\subsection{概念}
+
+\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}方程$y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x)$称为\textbf{二阶变系数线性微分方程}，其中$P(x)$，$Q(x)$为系数函数，$f(x)$为自由项，都是已知的连续方程。
+
+当$f(x)\equiv0$时，$y''+P(x)y'+Q(x)y=0$为\textbf{齐次方程}。
+
+当$f(x)$不恒为0时，$y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x)$为\textbf{非齐次方程}。
+
+\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}方程$y''+py'+qy=f(x)$称为\textbf{二阶常系数线性微分方程}，其中$p$，$q$为常数，$f(x)$为自由项，都是已知的连续方程。
+
+当$f(x)\equiv0$时，$y''+py'+qy=0$为\textbf{齐次方程}。
+
+当$f(x)$不恒为0时，$y''+py'+qy=f(x)$为\textbf{非齐次方程}。
+
+考试基本上只考常系数线性微分方程。
+
+\subsection{解的结构}
+
 若$\varphi_1(x)$与$\varphi_2(x)$为两个函数，当$\varphi_1(x)$与$\varphi_2(x)$不成比例，则称$\varphi_1(x)$与$\varphi_2(x)$线性无关，否则$\varphi_1(x)$与$\varphi_2(x)$线性相关。
 
 \textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}若$\varphi_1(x)$与$\varphi_2(x)$为$y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\cdots+a_{n-1}(x)y'+a_n(x)y=0$的解，则$y=C_1\varphi_1(x)+C_2\varphi_2(x)$也为其解。
@@ -266,4 +304,34 @@ $(\varphi_2''+a(x)\varphi_2'+b(x)\varphi_2)-(\varphi_1''+a(x)\varphi_1'+b(x)\var
 
 $f(x)-f(x)=0$，所以得证。
 
+\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}若$\varphi_1(x)$与$\varphi_2(x)$分别为$y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\cdots+a_{n-1}(x)y'+a_n(x)y=f_1(x)$与$y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\cdots+a_{n-1}(x)y'+a_n(x)y=f_2(x)$的解，则$y=\varphi_1(x)+\varphi_2(x)$为$y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\cdots+a_{n-1}(x)y'+a_n(x)y=f_1(x)+f_2(x)$的解。
+
+\subsection{二阶常系数齐次线性微分方程的通解}
+
+可以根据高阶微分方程的解的结构得到二阶的通解。
+
+对于$y''+py'+qy=0$，其对应的特征方程为$\lambda^2+p\lambda+q=0$，求其特征根，有三种情况（$\lambda_1\lambda_2$为任意常数）：
+
+\begin{enumerate}
+    \item 若$p^2-4q>0$，设$\lambda_1,\lambda_2$是特征方程的两个不等实根，即$\lambda_1\neq\lambda_2$，其通解为$y=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}$。
+    \item 若$p^2-4q=0$，设$\lambda_1,\lambda_2$是特征方程的两个相等实根，即二重根，令$\lambda=\lambda_1=\lambda_2$，其通解为$y=(C_1+C_2x)e^{\lambda x}$。
+    \item 若$p^2-4q<0$，设$\alpha\pm\beta i$是特征方程的一对共轭复根，$\lambda_{1,2}=\dfrac{-p\pm\sqrt{4q-p^2}i}{2}$\\$=-\dfrac{p}{2}\pm\dfrac{\sqrt{4q-p^2}}{2}i$，记为$\alpha\pm\beta i$，其通解为$y=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)$。
+\end{enumerate}
+
+\subsection{二阶常系数非齐次线性微分方程的特解}
+
+设$P_n(x)$，$P_m(x)$分别为$x$的$n$次$m$次多项式。
+
+\begin{enumerate}
+    \item 当自由项$f(x)=P_n(x)e^{\alpha x}$时，特解设为$y^*=e^{\alpha x}Q_n(x)x^k$，其中$e^{\alpha x}$照抄，$Q_n(x)$为$x$的$n$次多项式，且$k=\left\{\begin{array}{ll}
+        0, & \alpha\text{不是特征根} \\
+        1， & \alpha\text{是单特征根} \\
+        2, & \alpha\text{是二重特征根}
+    \end{array}\right.$。
+    \item 当自由项$f(x)=e^{\alpha x}[P_m(x)\cos\beta x+P_n(x)\sin\beta x]$时，特解设为$y^*=e^{\alpha x}[Q_l^{(1)}(x)\cos\beta x+Q_l^{(2)}(x)\sin\beta x]x^k$，其中$e^{\alpha x}$照抄，$l=\max\{m,n\}$，$Q_l^{(1)}$、$Q_l^{(2)}$为$x$的两个不同的$l$次多项式，且$k=\left\{\begin{array}{ll}
+        0, & \alpha\pm\beta i\text{不是特征根} \\
+        1， & \alpha\pm\beta i\text{是特征根} \\
+    \end{array}\right.$。
+\end{enumerate}
+
 \end{document}