mirror of
https://github.com/Didnelpsun/Math.git
synced 2026-02-07 12:34:41 +08:00
更新矩阵
This commit is contained in:
Didnelpsun
BIN
linear-algebra/exercise/2-matrix/matrix.pdf
Normal file
BIN
linear-algebra/exercise/2-matrix/matrix.pdf
Normal file
Binary file not shown.
189
linear-algebra/exercise/2-matrix/matrix.tex
Normal file
189
linear-algebra/exercise/2-matrix/matrix.tex
Normal file
@@ -0,0 +1,189 @@
|
||||
\documentclass[UTF8, 12pt]{ctexart}
|
||||
% UTF8编码，ctexart现实中文
|
||||
\usepackage{color}
|
||||
% 使用颜色
|
||||
\usepackage{geometry}
|
||||
\setcounter{tocdepth}{4}
|
||||
\setcounter{secnumdepth}{4}
|
||||
% 设置四级目录与标题
|
||||
\geometry{papersize={21cm,29.7cm}}
|
||||
% 默认大小为A4
|
||||
\geometry{left=3.18cm,right=3.18cm,top=2.54cm,bottom=2.54cm}
|
||||
% 默认页边距为1英尺与1.25英尺
|
||||
\usepackage{indentfirst}
|
||||
\setlength{\parindent}{2.45em}
|
||||
% 首行缩进2个中文字符
|
||||
\usepackage{setspace}
|
||||
\renewcommand{\baselinestretch}{1.5}
|
||||
% 1.5倍行距
|
||||
\usepackage{amssymb}
|
||||
% 因为所以
|
||||
\usepackage{amsmath}
|
||||
% 数学公式
|
||||
\usepackage[colorlinks,linkcolor=black,urlcolor=blue]{hyperref}
|
||||
% 超链接
|
||||
\author{Didnelpsun}
|
||||
\title{矩阵}
|
||||
\date{}
|
||||
\begin{document}
|
||||
\maketitle
|
||||
\pagestyle{empty}
|
||||
\thispagestyle{empty}
|
||||
\tableofcontents
|
||||
\thispagestyle{empty}
|
||||
\newpage
|
||||
\pagestyle{plain}
|
||||
\setcounter{page}{1}
|
||||
\section{矩阵的幂}
|
||||
|
||||
\subsection{对应成比例}
|
||||
|
||||
因为矩阵运算不满足交换率但是满足结合率，且一行矩阵乘一列矩阵的乘积为一个数，所以可以推出矩阵的幂的运算方法。
|
||||
|
||||
这个方法要求$r(A)=1$，即对应成比例。
|
||||
|
||||
令$A$为$n$阶方阵，将$A$拆为$A=(a_1,a_2,\cdots,a_n)^T(b_1,b_2,\cdots,b_n)=\alpha^T\beta$，所以$A^n=\alpha^T\beta\alpha^T\beta\cdots\alpha^T\beta$，利用结合率：$\alpha^T(\beta\alpha^T)(\beta\cdots\alpha^T)\beta$，中间一共$n-1$个$\beta\alpha^T$，$\beta\alpha^T$是一个数，即$A^n=(\beta\alpha^T)^{n-1}\alpha^T\beta=(\beta\alpha^T)^{n-1}A$。\medskip
|
||||
|
||||
\textbf{例题：}$A=\left(\begin{array}{ccc}
|
||||
1 & 2 & 3 \\
|
||||
-2 & -4 & -6 \\
|
||||
3 & 6 & 9
|
||||
\end{array}\right)$，求$A^n$。\medskip
|
||||
|
||||
解：$A=(1,-2,3)^T(1,2,3)$，所以$A^n=((1,2,3)(1,-2,3)^T)^n(1,-2,3)^T(1,2,3)$
|
||||
|
||||
$=6^{n-1}A$。
|
||||
|
||||
若矩阵$A$的行与列都成比例，则$A^n=[tr(A)]^{n-1}A$，$[tr(A)]=\sum a_{ii}$，即矩阵迹为对角线元素值之和。
|
||||
|
||||
\subsection{试算归纳}
|
||||
|
||||
对$A$进行试算，如$A^2$，若$A^k$是一个数量阵，那么计算$A^n$就只用找规律就可以了。
|
||||
|
||||
\textbf{例题：}$A=\left(\begin{array}{cccc}
|
||||
1 & -1 & -1 & -1 \\
|
||||
-1 & 1 & -1 & -1 \\
|
||||
-1 & -1 & 1 & -1 \\
|
||||
-1 & -1 & -1 & 1 \\
|
||||
\end{array}\right)$，求$A^n$（$n\geqslant2$）。\medskip
|
||||
|
||||
解：通过计算得知$A^2=4E$，这是一个数量阵。\medskip
|
||||
|
||||
$\therefore A^n=\left\{\begin{array}{lcl}
|
||||
4^kE, & & n=2k \\
|
||||
4^kA, & & n=2k+1
|
||||
\end{array}\right.$。
|
||||
|
||||
\subsection{拆分矩阵}
|
||||
|
||||
将$A^n$拆分为两个矩阵$A^n=(B+C)^n$，其中$BC$应该是可逆的，即$BC=CB$，所以一般有一个是$E$。\medskip
|
||||
|
||||
\textbf{例题：}$A=\left(\begin{array}{ccc}
|
||||
1 & 1 & 0 \\
|
||||
0 & 1 & 1 \\
|
||||
0 & 0 & 1
|
||||
\end{array}\right)$，求$A^n$。\medskip
|
||||
|
||||
解：$A=E+B=\left(\begin{array}{ccc}
|
||||
1 & 0 & 0 \\
|
||||
0 & 1 & 0 \\
|
||||
0 & 0 & 1
|
||||
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}
|
||||
0 & 1 & 0 \\
|
||||
0 & 0 & 1 \\
|
||||
0 & 0 & 0
|
||||
\end{array}\right)$。\medskip
|
||||
|
||||
$\therefore A^n=(E+B)^n=C_n^0E^n+C_n^1E^{n-1}B+C_n^2E^{n-2}B^2+\cdots$。
|
||||
|
||||
又$B^2=\left(\begin{array}{ccc}
|
||||
0 & 1 & 0 \\
|
||||
0 & 0 & 1 \\
|
||||
0 & 0 & 0
|
||||
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}
|
||||
0 & 1 & 0 \\
|
||||
0 & 0 & 1 \\
|
||||
0 & 0 & 0
|
||||
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
|
||||
0 & 0 & 1 \\
|
||||
0 & 0 & 0 \\
|
||||
0 & 0 & 0
|
||||
\end{array}\right)$。
|
||||
|
||||
$B^3=B^2B=\left(\begin{array}{ccc}
|
||||
0 & 0 & 1 \\
|
||||
0 & 0 & 0 \\
|
||||
0 & 0 & 0
|
||||
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}
|
||||
0 & 1 & 0 \\
|
||||
0 & 0 & 1 \\
|
||||
0 & 0 & 0
|
||||
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
|
||||
0 & 0 & 0 \\
|
||||
0 & 0 & 0 \\
|
||||
0 & 0 & 0
|
||||
\end{array}\right)=O$。
|
||||
|
||||
$\therefore B^4=B^5=\cdots=O$。
|
||||
|
||||
$\therefore A^n=(E+B)^n=C_n^0E^n+C_n^1E^{n-1}B+C_n^2E^{n-2}B^2$。\medskip
|
||||
|
||||
$=\left(\begin{array}{ccc}
|
||||
1 & 0 & 0 \\
|
||||
0 & 1 & 0 \\
|
||||
0 & 0 & 1
|
||||
\end{array}\right)+n\left(\begin{array}{ccc}
|
||||
0 & 1 & 0 \\
|
||||
0 & 0 & 1 \\
|
||||
0 & 0 & 0
|
||||
\end{array}\right)+\dfrac{n(n-1)}{2}\left(\begin{array}{ccc}
|
||||
0 & 0 & 1 \\
|
||||
0 & 0 & 0 \\
|
||||
0 & 0 & 0
|
||||
\end{array}\right)$
|
||||
|
||||
\section{逆矩阵}
|
||||
|
||||
\subsection{定义法}
|
||||
|
||||
找出一个矩阵$B$，使得$AB=E$，则$A$可逆，$A^{-1}=B$。
|
||||
|
||||
\textbf{例题：}$A$，$B$均是$n$阶方阵，且$AB=A+B$，证明$A-E$可逆，并求$(A-E)^{-1}$。
|
||||
|
||||
解：要证明$A-E$，就要从$AB=A+B$中尽量凑出。
|
||||
|
||||
$AB=A+B$变为$AB-B=A$，从而提取$(A-E)B=A$，$(A-E)BA^{-1}=E$。
|
||||
|
||||
但是$A^{-1}$是未知的，所以$A-E$的逆矩阵不能用$BA^{-1}$来表示。
|
||||
|
||||
$AB-A=B$，所以提出$A(B-E)=B$，即$A(B-E)=B-E+E$，$(A-E)(B-E)=E$，所以$A-E$的逆矩阵就是$B-E$。
|
||||
|
||||
\subsection{分解乘积}
|
||||
|
||||
将$A$分解为若干个可逆矩阵的乘积。若$A=BC$，$B$，$C$可逆，则$A$可逆，且$A^{-1}=C^{-1}B^{-1}$。
|
||||
|
||||
\textbf{例题：}设$A$，$B$为同阶可逆方阵，且$A^{-1}+B^{-1}$可逆，求$(A+B)^{-1}$。
|
||||
|
||||
解：已知$A^{-1}+B^{-1}$可以用来表示其他式子，需要求$A+B$的逆，则需要将$A+B$转为其逆。
|
||||
|
||||
$\because A+B=A(E+A^{-1}B)=A(B^{-1}+A^{-1})B$。
|
||||
|
||||
$\therefore (A+B)^{-1}=B^{-1}(B^{-1}+A^{-1})^{-1}A^{-1}$。
|
||||
|
||||
\subsection{分块矩阵}
|
||||
|
||||
对于一些分块矩阵的逆，若$A$，$B$都可逆，则：$\left[\begin{array}{cc}
|
||||
A & O \\
|
||||
O & B
|
||||
\end{array}\right]^{-1}=\left[\begin{array}{cc}
|
||||
A^{-1} & O \\
|
||||
O & B^{-1}
|
||||
\end{array}\right]$，$\left[\begin{array}{cc}
|
||||
O & A \\
|
||||
B & O
|
||||
\end{array}\right]^{-1}=\left[\begin{array}{cc}
|
||||
O & B^{-1} \\
|
||||
A^{-1} & O
|
||||
\end{array}\right]$。
|
||||
|
||||
\end{document}
|
||||
Binary file not shown.
@@ -123,7 +123,7 @@ $A+B=\left(
|
||||
|
||||
\subsection{数乘矩阵}
|
||||
|
||||
数$\lambda$与矩阵$A$的乘积记为$\lambda A$或$A\lambda$，规定：
|
||||
数$\lambda$与矩阵$A$的乘积记为$\lambda A$或$A\lambda$，规定：\medskip
|
||||
|
||||
$\lambda A=A\lambda=\left(
|
||||
\begin{array}{cccc}
|
||||
@@ -132,7 +132,7 @@ $\lambda A=A\lambda=\left(
|
||||
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
|
||||
\lambda a_{m1} & \lambda a_{m2} & \cdots & \lambda a_{mn}
|
||||
\end{array}
|
||||
\right)$
|
||||
\right)$ \medskip
|
||||
|
||||
假设$A$、$B$都是$m\times n$的矩阵，$\lambda$、$\mu$为数：
|
||||
|
||||
@@ -159,7 +159,7 @@ $(a_{i1},a_{i2},\cdots,a_{is})\left(
|
||||
\cdots \\
|
||||
b_{sj}
|
||||
\end{array}
|
||||
\right)=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{is}b_{sj}=\sum\limits_{k=1}^sa_{ik}b_{kj}=c_{ij}$。
|
||||
\right)=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{is}b_{sj}=\sum\limits_{k=1}^sa_{ik}b_{kj}=c_{ij}$。\medskip
|
||||
|
||||
从而$AB=C$的$c_{ij}$就是$A$的第$i$行与$B$的$j$列的乘积。
|
||||
|
||||
@@ -208,7 +208,7 @@ $A^1=A\text{，}A^2=A^1A^1\text{，}\cdots\text{，}A^{k+1}=A^kA^1$
|
||||
|
||||
因为矩阵乘法一般不满足交换率，所以$(AB)^k\neq A^kB^k$。只有$AB$可交换时才相等。
|
||||
|
||||
若$A\neq 0$不能推出$A^k\neq 0$，如：
|
||||
若$A\neq 0$不能推出$A^k\neq 0$，如：\medskip
|
||||
|
||||
$A=\left(
|
||||
\begin{array}{cc}
|
||||
@@ -230,7 +230,7 @@ $A=\left(
|
||||
0 & 0 \\
|
||||
0 & 0
|
||||
\end{array}
|
||||
\right)=O$。
|
||||
\right)=O$。\medskip
|
||||
|
||||
$A=\left(
|
||||
\begin{array}{ccc}
|
||||
@@ -238,7 +238,7 @@ $A=\left(
|
||||
0 & 0 & 1 \\
|
||||
0 & 0 & 0
|
||||
\end{array}
|
||||
\right)$，$A^3=O$。
|
||||
\right)$，$A^3=O$。\medskip
|
||||
|
||||
矩阵幂可以同普通多项式进行处理。
|
||||
|
||||
@@ -258,7 +258,14 @@ $f(A)=A^2-A-6E=(A+2E)(A-3E)$。
|
||||
\item 若$m=n$，$\vert A\vert=\vert A^T\vert$。
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
对称矩阵或对称阵\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}元素以对角线为对称轴对应相等，$A=A^T$。
|
||||
对称矩阵或对称阵\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}矩阵$A$是方阵，且元素以对角线为对称轴对应相等，$A=A^T$。
|
||||
|
||||
反对称矩阵\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}矩阵$A$是方阵，且满足$-A=A^T$。即$\left\{\begin{array}{l}
|
||||
a_{ij}=-a_{ji},i\neq j \\
|
||||
a_{ii}=0
|
||||
\end{array}\right.$。
|
||||
|
||||
正交矩阵\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}矩阵$A$是方阵，且满足$A^TA=E$。
|
||||
|
||||
\subsection{方阵行列式}
|
||||
|
||||
@@ -272,6 +279,8 @@ $f(A)=A^2-A-6E=(A+2E)(A-3E)$。
|
||||
|
||||
一般而言：$\vert A+B\vert\neq\vert A\vert+\vert B\vert$，$\vert A\vert\neq O\nRightarrow\vert A\vert\neq0$，$A\neq B\nRightarrow\vert A\vert\neq\vert B\vert$。
|
||||
|
||||
\subsection{伴随矩阵}
|
||||
|
||||
伴随矩阵或伴随阵\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}行列式$\vert A\vert$各个元素的代数余子式$A_{ij}$转置构成的矩阵。
|
||||
|
||||
$A^*=\left(
|
||||
@@ -283,7 +292,30 @@ $A^*=\left(
|
||||
\end{array}
|
||||
\right)$
|
||||
|
||||
其中$AA^*=A^*A=\vert A\vert E$。
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item 任何方阵都有伴随矩阵，其中$AA^*=A^*A=\vert A\vert E$。
|
||||
\item $A^*=\vert A\vert A^{-1}$，$A^{-1}=\dfrac{1}{\vert A\vert}A^*$，$A=\vert A\vert(A^*)^{-1}$。
|
||||
\item $\vert A^*\vert=\vert A\vert^{n-1}$，$(kA)(kA)^*=\vert kA\vert E$，$A^T(A^T)^*=\vert A^T\vert E$，$A^{-1}(A^{-1})^*=\vert A^{-1}\vert E$，$A^*(A^*)^*=\vert A^*\vert E$。
|
||||
\item $(A^T)^*=(A^*)^T$，$(A^{-1})^*=(A^*)^{-1}$，$(AB)^*=B^*A^*$，$(A^*)^*=\vert A\vert^{n-2}A$。
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\textbf{例题：}假设$A$为$n$阶方阵，求$\vert A^*\vert$与$(A^*)^*$。
|
||||
|
||||
解：$\because AA^*=A^*A=\vert A\vert E$，$\therefore A^*(A^*)^*=\vert A^*\vert E$。
|
||||
|
||||
$(A^*)^{-1}A^*(A^*)^*=(A^*)^*=(A^*)^{-1}\vert A^*\vert E$，又$AA^*=\vert A\vert E$，$\vert AA^*\vert=\vert\vert A\vert E\vert$，
|
||||
|
||||
$\therefore\vert A\vert\vert A^*\vert=\vert A\vert^n\vert E\vert$，$\therefore\vert A^*\vert=\vert A\vert^{n-1}$。
|
||||
|
||||
又$AA^*=\vert A\vert E$，$\therefore A^*=\vert A\vert A^{-1}$，$(A^*)^{-1}=(\vert A\vert A^{-1})^{-1}=\dfrac{1}{\vert A\vert}A$。
|
||||
|
||||
$\because(A^*)^*=(A^*)^{-1}\vert A^*\vert E$，$\therefore=\dfrac{1}{\vert A\vert}A\vert A^*\vert=\dfrac{1}{\vert A\vert}A\vert A\vert^{n-1}=\vert A\vert^{n-2}A$。
|
||||
|
||||
\textbf{例题：}假设$A$为$n$阶方阵，求$(kA)^*$。
|
||||
|
||||
解：根据$AA^*=\vert A\vert E$，$\therefore (kA)(kA)^*=\vert kA\vert E$，推出$(kA)^*=\vert kA\vert(kA)^{-1}$。
|
||||
|
||||
$=k^n\vert A\vert\dfrac{1}{k}A^{-1}=k^{n-1}\vert A\vert A^{-1}=k^{n-1}A^*$。
|
||||
|
||||
\subsection{分块矩阵}
|
||||
|
||||
@@ -295,7 +327,7 @@ $A^*=\left(
|
||||
|
||||
分块矩阵的计算法则与普通矩阵计算类似。
|
||||
|
||||
\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}若$AB$矩阵行列数相同，采用相同的分块法，则
|
||||
\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}若$AB$矩阵行列数相同，采用相同的分块法，则 \medskip
|
||||
|
||||
$A=\left(
|
||||
\begin{array}{ccc}
|
||||
@@ -333,7 +365,7 @@ $A+B=\left(
|
||||
\end{array}
|
||||
\right)$。\medskip
|
||||
|
||||
\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}若$A_{m\times l}$，$B_{l\times n}$，采用相同的分块法，则
|
||||
\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}若$A_{m\times l}$，$B_{l\times n}$，采用相同的分块法，则 \medskip
|
||||
|
||||
$A=\left(
|
||||
\begin{array}{ccc}
|
||||
@@ -398,7 +430,7 @@ $AB=\left(
|
||||
\vdots \\
|
||||
a_{mj}
|
||||
\end{array}
|
||||
\right)$，则$A$可以按列分块为$A=(a_1,a_2,\cdots,a_n)$。
|
||||
\right)$，则$A$可以按列分块为$A=(a_1,a_2,\cdots,a_n)$。\medskip
|
||||
|
||||
其$m$行称为$A$的$m$个行向量，若第$i$行记为$a_i^T=(a_{i1},a_{i2},\cdots,a_{in})$，则$A$可以按行分块为$A=\left(\begin{array}{c}
|
||||
a_1^T \\
|
||||
@@ -407,7 +439,7 @@ $AB=\left(
|
||||
a_{m}^T
|
||||
\end{array}\right)$。
|
||||
|
||||
若对于$A_{m\times s}$与$B_{s\times n}$的乘积矩阵$AB=C=(c_{ij})_{m\times n}$，若将$A$按行分为$m$块，$B$按列分为$n$块，则有：
|
||||
若对于$A_{m\times s}$与$B_{s\times n}$的乘积矩阵$AB=C=(c_{ij})_{m\times n}$，若将$A$按行分为$m$块，$B$按列分为$n$块，则有：\medskip
|
||||
|
||||
$AB=\left(
|
||||
\begin{array}{c}
|
||||
@@ -438,7 +470,7 @@ $=\left(
|
||||
|
||||
证明：$\because A=O$，$\therefore A^T=O$，$A^TA=O$。
|
||||
|
||||
设$A=(a_{ij})_{m\times n}$，将$A$按列分块为$A=(a_1,a_2,\cdots,a_n)$，则
|
||||
设$A=(a_{ij})_{m\times n}$，将$A$按列分块为$A=(a_1,a_2,\cdots,a_n)$，则 \medskip
|
||||
|
||||
$A^TA=\left(
|
||||
\begin{array}{c}
|
||||
@@ -454,11 +486,11 @@ $A^TA=\left(
|
||||
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
|
||||
a_{m}^Ta_1 & a_{m}^Ta_2 & \cdots & a_{m}^Ta_n
|
||||
\end{array}
|
||||
\right)\text{。}$
|
||||
\right)\text{。}$\medskip
|
||||
|
||||
所以$A^TA$的元为$a^T_ia_j$，又$\because A^TA=O$，$\therefore a^T_ia_j=0$（$i,j=1,2,\cdots n$）。
|
||||
|
||||
$\therefore a^T_ja_j=0$（$j=1,2,\cdots n$），对角线元素全部为0。
|
||||
$\therefore a^T_ja_j=0$（$j=1,2,\cdots n$），对角线元素全部为0。\medskip
|
||||
|
||||
且$a^T_ja_j=\left(
|
||||
\begin{array}{cccc}
|
||||
@@ -472,7 +504,7 @@ $\therefore a^T_ja_j=0$（$j=1,2,\cdots n$），对角线元素全部为0。
|
||||
a_{2j} \\
|
||||
\vdots \\
|
||||
a_{mj}
|
||||
\end{array}\right)$
|
||||
\end{array}\right)$ \medskip
|
||||
|
||||
$=a_{1j}^2+a_{2j}^2+\cdots+a_{mj}^2=0$，所以$a_{1j}=a_{2j}=\cdots+a_{mj}=0$。
|
||||
|
||||
@@ -506,7 +538,7 @@ $\therefore A=O$。
|
||||
|
||||
对于齐次方程，$x_1=\cdots=x_n=0$一定是其解，称为其\textbf{零解}，若有一组不全为零的解，则称为其\textbf{非零解}。其一定有零解，但是不一定有非零解。
|
||||
|
||||
对于非齐次方程，只有$b_1\cdots b_n$不全为零才是。
|
||||
对于非齐次方程，只有$b_1\cdots b_n$不全为零才是。\medskip
|
||||
|
||||
令\textbf{系数矩阵}$A_{m\times n}=\left(
|
||||
\begin{array}{ccc}
|
||||
@@ -569,9 +601,9 @@ $\begin{cases}
|
||||
x_1=b_{11}t_1+b_{12}t_2+\cdots+b_{1n}t_n \\
|
||||
\cdots \\
|
||||
x_s=b_{s1}t_1+b_{s2}t_2+\cdots+b_{sn}t_n
|
||||
\end{cases}$
|
||||
\end{cases}$\medskip
|
||||
|
||||
原本是线性方程分别是$y$与$x$和$x$与$t$的关系式，而如果将$t$关于$x$的关系式代入$x$关于$y$的关系式中，就会得到$t$关于$y$的关系式：
|
||||
原本是线性方程分别是$y$与$x$和$x$与$t$的关系式，而如果将$t$关于$x$的关系式代入$x$关于$y$的关系式中，就会得到$t$关于$y$的关系式：\medskip
|
||||
|
||||
$\begin{cases}
|
||||
y_1=a_{11}(b_{11}t_1+\cdots+b_{1n}t_n)+\cdots+a_{1s}(b_{s1}t_1+b_{s2}t_2+\cdots+b_{sn}t_n) \\
|
||||
@@ -583,9 +615,9 @@ $=\begin{cases}
|
||||
y_1=(a_{11}b_{11}+\cdots+a_{1s}b_{s1})t_1+\cdots+(a_{11}b_{1n}+\cdots+a_{1s}b_{sn})t_n \\
|
||||
\cdots \\
|
||||
y_m=(a_{m1}b_{11}+\cdots+a_{ms}b_{s1})t_1+\cdots+(a_{m1}b_{1n}+\cdots+a_{ms}b_{sn})t_m
|
||||
\end{cases}$
|
||||
\end{cases}$ \medskip
|
||||
|
||||
这可以看作上面两个线性方程组相乘，也可以将线性方程组表示为矩阵，进行相乘就得到乘积，从而了解矩阵乘积与线性方程组的关系：
|
||||
这可以看作上面两个线性方程组相乘，也可以将线性方程组表示为矩阵，进行相乘就得到乘积，从而了解矩阵乘积与线性方程组的关系：\medskip
|
||||
|
||||
|
||||
$\left(\begin{array}{ccc}
|
||||
@@ -641,7 +673,7 @@ $=\left(\begin{array}{ccc}
|
||||
a_{m1}x_1+\cdots+a_{mn}x_n=b_n
|
||||
\end{cases}$。
|
||||
|
||||
按乘积表示为$A_{m\times n}x_{n\times 1}=b_{m\times 1}$，然后将$A$按列分块，$x$按行分块：
|
||||
按乘积表示为$A_{m\times n}x_{n\times 1}=b_{m\times 1}$，然后将$A$按列分块，$x$按行分块：\medskip
|
||||
|
||||
$(a_1,a_2,\cdots,a_n)\left(\begin{array}{c}
|
||||
x_1 \\
|
||||
@@ -663,15 +695,19 @@ $(a_1,a_2,\cdots,a_n)\left(\begin{array}{c}
|
||||
b_2 \\
|
||||
\vdots \\
|
||||
b_m
|
||||
\end{array}\right)\text{。}$
|
||||
\end{array}\right)\text{。}$ \medskip
|
||||
|
||||
这三种都是解的表示方法。
|
||||
|
||||
\section{逆矩阵}
|
||||
|
||||
\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}逆矩阵类比倒数，若对于$n$阶矩阵$A$，有一个$n$阶矩阵$B$，使得$AB=BA=E$，则$A$可逆，$B$是$A$的逆矩阵也称为逆阵，且逆矩阵唯一，记为$B=A^{-1}$。
|
||||
\subsection{逆矩阵定义}
|
||||
|
||||
\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}若矩阵$A$可逆，则$\vert A\vert\neq 0$。
|
||||
逆矩阵就是类似矩阵的除运算。
|
||||
|
||||
\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}逆矩阵类比倒数，若对于$n$阶方阵$A$，有一个$n$阶方阵$B$，使得$AB=BA=E$，则$A$可逆，$B$是$A$的逆矩阵也称为逆阵，且逆矩阵唯一，记为$B=A^{-1}$。
|
||||
|
||||
\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}若方阵$A$可逆，则$\vert A\vert\neq 0$。
|
||||
|
||||
证明：若$A$可逆，则$AA^{-1}=E$，所以$\vert A\vert\cdot\vert A^{-1}\vert=\vert E\vert=1$，$\vert A\vert\neq 0$。
|
||||
|
||||
@@ -689,14 +725,33 @@ $(a_1,a_2,\cdots,a_n)\left(\begin{array}{c}
|
||||
|
||||
\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}若$AB=E$或$BA=E$，则$B=A^{-1}$。
|
||||
|
||||
\subsection{逆矩阵性质}
|
||||
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item 若$A$可逆，则$(A^{-1})^{-1}=A$。
|
||||
\item 若$A$可逆，数$\lambda\neq0$，则$(\lambda A)^{-1}=\dfrac{1}{\lambda}A^{-1}$。
|
||||
\item 若$AB$为同阶矩阵且都可逆，则$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$。
|
||||
\item 若$A$可逆，则$(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$。
|
||||
\item 若$A$可逆，则$\vert A^{-1}\vert=\vert A\vert^{-1}$。
|
||||
\item 若$A$可逆，$\lambda\mu$为整数时，$A^\lambda A^\mu=A^{\lambda+\mu}$，$(A^\lambda)^\mu=A^{\lambda\mu}$。
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
若$A$、$B$可逆，则$A+B$不一定可逆，且$(A+B)^{-1}\neq A^{-1}+B^{-1}$。
|
||||
|
||||
\subsection{求逆矩阵}
|
||||
|
||||
\subsubsection{伴随矩阵}
|
||||
|
||||
根据伴随矩阵的定义，即求出矩阵所代表行列式的各行元素的代数余子式，然后按列进行排列。
|
||||
|
||||
只能求四阶以下的矩阵，过高阶的矩阵很难求出。
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item 求出$\vert A\vert$，判断是否为0。
|
||||
\item 写出$A^*$。
|
||||
\item 计算$A^{-1}=\dfrac{1}{\vert A\vert}A^*$。
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
\section{矩阵初等变换}
|
||||
|
||||
求逆矩阵可以使用伴随矩阵来求，但是只针对三阶以及以下的矩阵，若阶数过高则会十分困难。可以使用矩阵初等变换来实现求逆矩阵。且初等变换还可以用来求线性方程组的解。
|
||||
@@ -778,7 +833,7 @@ $(a_1,a_2,\cdots,a_n)\left(\begin{array}{c}
|
||||
|
||||
\subsection{初等行变换求逆}
|
||||
|
||||
已知$A^{-1}=\dfrac{A^*}{\vert A\vert}$，但是伴随矩阵计算非常麻烦，并且若矩阵在三阶以上计算就很难办到，所以还有一种方法，就是若该矩阵$A$是可逆矩阵，就将$AX=B$的增广矩阵$(A,B)$化为最简形矩阵，从而得到方程解。
|
||||
已知$A^{-1}=\dfrac{A^*}{\vert A\vert}$，但是伴随矩阵计算非常麻烦，并且若矩阵在三阶以上计算就很难办到，所以还有一种方法，就是若该矩阵$A$是可逆矩阵，就将$AX=B$的增广矩阵$(A,B)$化为最简形矩阵，从而得到方程解。\medskip
|
||||
|
||||
$(A\vdots B)\overset{r}{\thicksim}(E\vdots A^{-1})$，$\left(\begin{array}{c}
|
||||
A \\
|
||||
|
||||
Reference in New Issue
Block a user