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更新线性方程组
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Didnelpsun
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@@ -2,6 +2,7 @@
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% UTF8编码，ctexart现实中文
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\usepackage{color}
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% 使用颜色
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\definecolor{orange}{RGB}{255,127,0}
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\usepackage{geometry}
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\setcounter{tocdepth}{4}
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\setcounter{secnumdepth}{4}
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@@ -22,6 +23,8 @@
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% 数学公式
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\usepackage[colorlinks,linkcolor=black,urlcolor=blue]{hyperref}
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% 超链接
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\usepackage{arydshln}
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% 增广矩阵长虚线
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\author{Didnelpsun}
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\title{向量}
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\date{}
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@@ -37,8 +40,146 @@
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\section{线性相关性}
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\subsection{代入重组}
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若要求线性相关的式子由其他向量构成，则将式子代入表示目标式子。
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\textbf{例题：}设$\alpha_1$，$\alpha_2$，$\beta_1$，$\beta_2$，$\beta_3$都是$n$维向量，$n\geqslant3$，且$\beta_1=\alpha_1+\alpha_2$，$\beta_2=\alpha_1-2\alpha_2$，$\beta_3=3\alpha+1+2\alpha_2$，证明向量组$\beta_1$，$\beta_2$，$\beta_3$线性相关。
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证明：若存在$k_1,k_2,k_3$使得$k_1\beta_1+k_2\beta_2+k_3\beta_3=0$。
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代入$\alpha$表示$\beta$的式子：$k_1(\alpha_1+\alpha_2)+k_2(\alpha_1-2\alpha_2)+k_3(3\alpha_1+2\alpha_2)=0$。
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$\therefore(k_1+k_2+3k_3)\alpha_1+(k_1-2k_2+2k_3)\alpha_2=0$。
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$\therefore k_1+k_2+3k_3=0$，且$k_1-2k_2+2k_3=0$即可。
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而未知数的个数大于方程个数，所以有无穷多解，从而必然有非零解，从而$\beta_1$，$\beta_2$，$\beta_3$线性相关。
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\subsection{同乘}
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若要求线性相关的式子存在一定的乘积关系，则可以用同乘一步步消去系数。
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\textbf{例题：}设$A$是$n$阶矩阵，若存在正整数$k$，使得线性方程组$A^kx=0$有解向量$\alpha$，且$A^{k-1}\alpha\neq0$，证明向量组$\alpha,A\alpha,\cdots,A^{k-1}\alpha$线性无关。
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证明：
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证明：假设$\alpha,A\alpha,\cdots,A^{k-1}\alpha$线性相关，则设存在系数$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_k$使得$\lambda_1\alpha+\lambda_2A\alpha+\cdots+\lambda_kA^{k-1}\alpha=0$。
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$\because A^kx=0$的解为$\alpha$，$\therefore A^k\alpha=0$，$\therefore\cdots=A^{k+2}\alpha=A^{k+1}\alpha=A^k\alpha=0$。
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左乘$A^{k-1}$，得到$\lambda_1A^{k-1}\alpha+\lambda_2A^k\alpha+\cdots+\lambda_kA^{2k-2}\alpha=\lambda_1A^{k-1}\alpha=0$。
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$\because A^{k-1}\alpha\neq0$，$\therefore\lambda_1=0$，消去$\lambda_1$：$\lambda_2A\alpha+\lambda_3A^2\alpha+\cdots+\lambda_kA^{k-1}\alpha=0$。
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左乘$A^{k-2}$，得到$\lambda_2A^{k-1}\alpha+\lambda_3A^k\alpha+\cdots+\lambda_kA^{2k-3}\alpha=\lambda_2A^{k-1}\alpha=0$。
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$\because A^{k-1}\alpha\neq0$，$\therefore\lambda_2=0$，消去$\lambda_2$：$\lambda_3A^2\alpha+\lambda_4A^3\alpha+\cdots+\lambda_kA^{k-1}\alpha=0$。
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同理依次左乘$A^n$，所以$\lambda_1=\lambda_2=\cdots=\lambda_k=0$，所以$\alpha,A\alpha,\cdots,A^{k-1}\alpha$线性无关。
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\subsection{行列式}
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对向量的线性相关性可以从其向量组组成的行列式来计算，若行列式值为0则线性相关，若行列式值不为0则线性无关。
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\textbf{例题：}设$a_1,a_2,\cdots,a_s$是$s$个互不相同的数，探究$s$个$n$维列向量$\alpha_i=[1,a_i,a_i^a,\cdots,a_i^{n-1}]^T$（$i=1,2,\cdots,s$）的线性相关性。
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解：当$s>n$时，有$n$个方程$s$个未知数，所以必然存在自由变量，从而必然线性相关性。
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当$s=n$时，$\vert\alpha_1 \alpha_2 \cdots \alpha_n\vert=\left|\begin{array}{cccc}
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1 & 1 & \cdots & 1 \\
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a_1 & a_2 & \cdots & a_n \\
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\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
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a_1^{n-1} & a_2^{n-1} & \cdots & a_n^{n-1}
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\end{array}\right|=\prod\limits_{1\leqslant j\leqslant i\leqslant n}(a_i-a_j)\neq0$。所以线性无关。
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当$s<n$时，对方程矩阵切割保留方形的$s$个$=\left|\begin{array}{cccc}
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1 & 1 & \cdots & 1 \\
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a_1 & a_2 & \cdots & a_n \\
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\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
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a_1^{n-1} & a_2^{n-1} & \cdots & a_n^{n-1} \\
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\vdots & \vdots & \vdots & \vdots
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\end{array}\right|$，上面因为范德蒙德行列式已经不等于0，即上面的方阵线性无关，原来无关延长无关，所以整个方程都线性无关。
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综上当$s>n$时线性相关，$s\leqslant n$时线性无关。
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\section{极大线性无关组与向量组秩}
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极大线性无关组一般与向量组秩在一起使用。一般解出极大线性无关组与秩，还要用极大线性无关组表示出其余的向量，基本步骤：
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\begin{enumerate}
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\item 将向量组拼接为矩阵$A$，对$A$进行初等行变换，化为最简行阶梯形矩阵，确定矩阵秩$r(A)$。
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\item 在最简行阶梯矩阵中按列找出一个秩为$r(A)$的子矩阵，即在每个台阶上找一列列向量，找$r(A)$列构成一个新矩阵，其就是一个极大线性无关组。
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\item 将其余向量依次与极大线性无关组进行对比解出表示方法。
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\end{enumerate}
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\textcolor{orange}{注意：}求向量组的秩可以进行初等变换，包括行变换和列变换。但是求极大线性无关组时最好只使用行变换，因为列变换会改变方程的解。从而解方程组只能做行变换。
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\section{等价向量组}
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$r(A)=r(B)=r(A|B)$，所以需要计算三个向量组构成的矩阵的秩就可以了。
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\textbf{例题：}设向量组$\alpha$：$\alpha_1=[1,0,2]^T$，$\alpha_2=[0,1,1]^T$，$\alpha_3=[2,-1,a+4]^T$，向量组$\beta$：$\beta_1=[1,2,4]^T$，$\beta_2=[1,-1,a+2]^T$，$\beta_3=[3,3,10]^T$。
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矩阵$A=\left(\begin{array}{ccc}
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1 & 0 & 2 \\
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0 & 1 & -1 \\
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2 & 1 & a+4
|
||||
\end{array}\right)$，$B=\left(\begin{array}{ccc}
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||||
1 & 1 & 3 \\
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||||
2 & -1 & 3 \\
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||||
4 & a+2 & 10
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\end{array}\right)$。\medskip
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(1)$AB$是否等价。
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(2)向量组$AB$是否等价。
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(1)解：化简$A=\left(\begin{array}{ccc}
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1 & 0 & 2 \\
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0 & 1 & -1 \\
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||||
0 & 0 & a+1
|
||||
\end{array}\right)$，$B=\left(\begin{array}{ccc}
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1 & 3 & 1 \\
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0 & 1 & 1 \\
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||||
0 & 0 & a
|
||||
\end{array}\right)$
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若$a\neq-1$，则$r(A)=3$，且$a\neq0$，则$r(B)=3$，此时$AB$等价。
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若$a=-1$，则$r(A)=2$，$r(B)=3$，$AB$不等价。
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若$a=0$，则$r(B)=2$，$r(A)=2$，$AB$不等价。
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(2)解：因为向量组$\alpha$拼接在一起就是$A$，$\beta$拼接在一起就是$B$，所以$r(\alpha)=r(A)$，$r(\beta)=r(B)$，$r(\alpha|\beta)=r(A|B)$。
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将$AB$拼在一起做行变换，得到$(A|B)=\left(\begin{array}{c:c}
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\begin{matrix}
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1 & 0 & 2 \\
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0 & 1 & -1 \\
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0 & 0 & a+1
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\end{matrix}&
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\begin{matrix}
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1 & 1 & 3 \\
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||||
2 & -1 & 3 \\
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0 & a+1 & 1
|
||||
\end{matrix}
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\end{array}\right)$。\medskip
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若$a\neq-1\neq0$，则$r(A)=r(B)=r(A|B)$。向量组等价。
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若$a=-1$或$a=0$，则$r(A)\neq r(B)$，所以不等价。
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\section{向量空间}
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\textbf{例题：}设$R^3$中有两个基$A$：$\alpha_1=[1,1,0]^T$，$\alpha_2=[0,1,1]^T$，$\alpha_3=[1,0,1]^T$，基$B$：$\beta_1=[1,0,0]^T$，$\beta_2=[1,1,0]^T$，$\beta_3=[1,1,1]^T$。
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(1)求基$B$到基$A$的过渡矩阵。
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(2)已知$\xi$在基$B$下的坐标为$[1,0,2]^T$，求$\xi$在基$A$下的坐标。
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(1)解：过渡矩阵为$A=BC$，即$B^{-1}A=C$。
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(2)解：令在基$A$下的坐标为$(x_1,x_2,x_3)^T$。
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$\therefore\xi=A(x_1,x_2,x_3)^T=B(1,0,2)^T$，$(x_1,x_2,x_3)^T=A^{-1}B(1,0,2)^T$。
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\end{document}
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Binary file not shown.
@@ -28,6 +28,7 @@
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\usepackage{multicol}
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% 分栏
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\usepackage{arydshln}
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% 增广矩阵长虚线
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\setlength{\dashlinegap}{1pt}
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\setlength{\dashlinedash}{1pt}
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% 阶梯矩阵的虚线
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@@ -510,195 +511,6 @@ $=a_{1j}^2+a_{2j}^2+\cdots+a_{mj}^2=0$，所以$a_{1j}=a_{2j}=\cdots+a_{mj}=0$
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$\therefore A=O$。
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\section{线性方程组}
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矩阵是根据线性方程组得到。
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\subsection{线性方程组与矩阵}
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\begin{multicols}{2}
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$\begin{cases}
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a_{11}x_1+\cdots+a_{1n}x_n=0 \\
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||||
\cdots \\
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||||
a_{m1}x_1+\cdots+a_{mn}x_n=0
|
||||
\end{cases}$ \medskip
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||||
$n$元齐次线性方程组。
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$\begin{cases}
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||||
a_{11}x_1+\cdots+a_{1n}x_n=b_1 \\
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||||
\cdots \\
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||||
a_{m1}x_1+\cdots+a_{mn}x_n=b_n
|
||||
\end{cases}$ \medskip
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||||
$n$元非齐次线性方程组。
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\end{multicols}
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对于齐次方程，$x_1=\cdots=x_n=0$一定是其解，称为其\textbf{零解}，若有一组不全为零的解，则称为其\textbf{非零解}。其一定有零解，但是不一定有非零解。
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||||
对于非齐次方程，只有$b_1\cdots b_n$不全为零才是。\medskip
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令\textbf{系数矩阵}$A_{m\times n}=\left(
|
||||
\begin{array}{ccc}
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||||
a_{11} & \cdots & a_{1n} \\
|
||||
\cdots \\
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||||
a_{m1} & \cdots & a_{mn}
|
||||
\end{array}
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||||
\right)$，\textbf{未知数矩阵}$x_{n\times 1}=\left(
|
||||
\begin{array}{c}
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||||
x_1 \\
|
||||
\cdots \\
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||||
x_n
|
||||
\end{array}
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\right)$，\textbf{常数项矩阵}$b_{m\times 1}=\left(
|
||||
\begin{array}{c}
|
||||
b_1 \\
|
||||
\cdots \\
|
||||
b_m
|
||||
\end{array}
|
||||
\right)$，\textbf{增广矩阵}$B_{m\times(n+1)}=\left(
|
||||
\begin{array}{c:c}
|
||||
\begin{matrix}
|
||||
a_{11} & \cdots & a_{1n}\\
|
||||
\cdots \\
|
||||
a_{m1} & \cdots & a_{mn}
|
||||
\end{matrix}&
|
||||
\begin{matrix}
|
||||
b_1\\
|
||||
\\
|
||||
b_n
|
||||
\end{matrix}
|
||||
\end{array}
|
||||
\right)$。
|
||||
|
||||
所以$AX=\left(
|
||||
\begin{array}{c}
|
||||
a_11x_1+\cdots+a_{1n}x_n \\
|
||||
\cdots \\
|
||||
a_{m1}x_1+\cdots+a_{mn}x_n
|
||||
\end{array}
|
||||
\right)$。
|
||||
|
||||
从而$AX=b$等价于$\begin{cases}
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||||
a_{11}x_1+\cdots+a_{1n}x_n=b_1 \\
|
||||
\cdots \\
|
||||
a_{m1}x_1+\cdots+a_{mn}x_n=b_n
|
||||
\end{cases}$，当$b=O$就是齐次线性方程。
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||||
从而矩阵可以简单表示线性方程。
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\subsection{矩阵乘法与线性变换}
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矩阵乘法实际上就是线性方程组的线性变换，将一个变量关于另一个变量的关系式代入原方程组，得到与另一个变量的关系。
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||||
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||||
$\begin{cases}
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||||
y_1=a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1s}x_s \\
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||||
\cdots \\
|
||||
y_m=a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{ms}x_s
|
||||
\end{cases}\begin{cases}
|
||||
x_1=b_{11}t_1+b_{12}t_2+\cdots+b_{1n}t_n \\
|
||||
\cdots \\
|
||||
x_s=b_{s1}t_1+b_{s2}t_2+\cdots+b_{sn}t_n
|
||||
\end{cases}$\medskip
|
||||
|
||||
原本是线性方程分别是$y$与$x$和$x$与$t$的关系式，而如果将$t$关于$x$的关系式代入$x$关于$y$的关系式中，就会得到$t$关于$y$的关系式：\medskip
|
||||
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||||
$\begin{cases}
|
||||
y_1=a_{11}(b_{11}t_1+\cdots+b_{1n}t_n)+\cdots+a_{1s}(b_{s1}t_1+b_{s2}t_2+\cdots+b_{sn}t_n) \\
|
||||
\cdots \\
|
||||
y_m=a_{m1}(b_{11}t_1+\cdots+b_{1n}t_n)+\cdots+a_{ms}(b_{s1}t_1+b_{s2}t_2+\cdots+b_{sn}t_n)
|
||||
\end{cases}$
|
||||
|
||||
$=\begin{cases}
|
||||
y_1=(a_{11}b_{11}+\cdots+a_{1s}b_{s1})t_1+\cdots+(a_{11}b_{1n}+\cdots+a_{1s}b_{sn})t_n \\
|
||||
\cdots \\
|
||||
y_m=(a_{m1}b_{11}+\cdots+a_{ms}b_{s1})t_1+\cdots+(a_{m1}b_{1n}+\cdots+a_{ms}b_{sn})t_m
|
||||
\end{cases}$ \medskip
|
||||
|
||||
这可以看作上面两个线性方程组相乘，也可以将线性方程组表示为矩阵，进行相乘就得到乘积，从而了解矩阵乘积与线性方程组的关系：\medskip
|
||||
|
||||
|
||||
$\left(\begin{array}{ccc}
|
||||
a_{11} & \cdots & a_{1s} \\
|
||||
\vdots & \ddots & \vdots \\
|
||||
a_{m1} & \cdots & a_{ms}
|
||||
\end{array}\right)_{m\times s}\left(\begin{array}{ccc}
|
||||
b_{11} & \cdots & a_{1n} \\
|
||||
\vdots & \ddots & \vdots \\
|
||||
b_{s1} & \cdots & b_{sn}
|
||||
\end{array}\right)_{s\times n}$
|
||||
|
||||
$=\left(\begin{array}{ccc}
|
||||
a_{11}b_{11}+\cdots+a_{1s}b_{s1} & \cdots & a_{11}b_{1n}+\cdots+a_{1s}b_{sn} \\
|
||||
\vdots & \ddots & \vdots \\
|
||||
a_{m1}b_{11}+\cdots+a_{ms}b_{s1} & \cdots & a_{m1}b_{1n}+\cdots+a_{ms}b_{sn}
|
||||
\end{array}\right)_{m\times n}\text{。}$
|
||||
|
||||
\subsection{线性方程组的解}
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||||
对于一元一次线性方程：$ax=b$：
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\begin{itemize}
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||||
\item 当$a\neq 0$时，可以解得$x=\dfrac{b}{a}$。
|
||||
\item 当$a=0$时，若$b\neq 0$时，无解，若$b=0$时，无数解。
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
当推广到多元一次线性方程组：$Ax=b$，如何求出$x$这一系列的$x$的解？
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||||
|
||||
从数学逻辑上看，已知多元一次方程，有$m$个约束方程，有$n$个未知数，假定$m\leqslant n$。
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||||
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||||
当$m<n$时，就代表有更多的未知变量不能被方程约束，从而有$n-m$个自由变量，所以就是无数解，解组中其他解可以由自由变量来表示。
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||||
|
||||
当$m=n$时代表约束与变量数量相等，此时又要分三种情况。
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||||
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||||
当所有的约束条件其中存在线性相关，即一部分约束条件可以由其他约束表示，则代表这部分约束条件是没用的，实际上的约束条件变少，从而情况等于$m<n$，结果是无数解。
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||||
|
||||
当所有的约束条件不存在线性相关，但是一部分约束条件互相矛盾，则约束条件下就无法解出解，从而结果是无实数解。
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||||
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||||
当所有的约束条件不存在线性相关，且相互之间不存在矛盾情况，这时候才会解出一个实数解，从而结果是有唯一实解。
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||||
|
||||
若使用矩阵来解决线性方程组的问题，其系数矩阵$A_{m\times n}$。
|
||||
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||||
对于$A\neq O$，则$Ax=b$，若存在一个矩阵$B_{n\times n}$类似$\dfrac{1}{a}$，使得$BAx=Bb$，解得$Ex=x=Bb$，这个$B$就是$A$的逆矩阵。
|
||||
|
||||
对于$A=O$即不可逆，需要判断$b$是否为0，若不是则无实数解，若是则无穷解，这种判断需要用到增广矩阵，需要用到矩阵的秩判断。
|
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|
||||
\subsection{线性方程组的矩阵解表示}
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||||
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||||
已知对于线性方程组$\begin{cases}
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a_{11}x_1+\cdots+a_{1n}x_n=b_1 \\
|
||||
\cdots \\
|
||||
a_{m1}x_1+\cdots+a_{mn}x_n=b_n
|
||||
\end{cases}$。
|
||||
|
||||
按乘积表示为$A_{m\times n}x_{n\times 1}=b_{m\times 1}$，然后将$A$按列分块，$x$按行分块：\medskip
|
||||
|
||||
$(a_1,a_2,\cdots,a_n)\left(\begin{array}{c}
|
||||
x_1 \\
|
||||
x_2 \\
|
||||
\vdots \\
|
||||
x_n
|
||||
\end{array}\right)=b\text{，}\left(\begin{array}{c}
|
||||
a_{11} \\
|
||||
a_{21} \\
|
||||
\vdots \\
|
||||
a_{m1}
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||||
\end{array}\right)x_1+\cdots+\left(\begin{array}{c}
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a_{1n} \\
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a_{2n} \\
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\vdots \\
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a_{mn}
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\end{array}\right)x_n=\left(\begin{array}{c}
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b_1 \\
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b_2 \\
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\vdots \\
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b_m
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\end{array}\right)\text{。}$ \medskip
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这三种都是解的表示方法。
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\section{逆矩阵}
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\subsection{逆矩阵定义}
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@@ -929,4 +741,22 @@ $\thicksim\left(\begin{array}{ccccc}
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秩的本质就是组成矩阵的线性无关的向量个数。
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$r(kA)=r(A)$。
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$r(AB)\leqslant\min\{r(A),r(B)\}$。
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$r(A+B)\leqslant r(A|B)\leqslant r(A)+r(B)$。
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$r(A^*)=\left\{\begin{array}{l}
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n, r(A)=n \\
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1, r(A)=n-1 \\
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0, r(A)<n-1
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\end{array}\right.$。
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$AB=O$，$r(A)+r(B)\leqslant A$的列数。
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% 证明：$\because B=(\beta_1,\cdots,\beta_s)$，$\therefore(A\beta_1,\cdots,A\beta_s)=0$，$\therefore A\beta_i=0$，$i=1,2,\cdots,s$。
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||||
% 从而每个$\beta_i$都是$Ax=0$的解。
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\end{document}
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Binary file not shown.
@@ -25,6 +25,8 @@
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% 数学公式
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\usepackage[colorlinks,linkcolor=black,urlcolor=blue]{hyperref}
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% 超链接
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\usepackage{pifont}
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% 圆圈序号
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\author{Didnelpsun}
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\title{向量}
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\date{}
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@@ -54,16 +56,86 @@ $k\alpha=[ka_1,ka_2,\cdots,ka_3]$。
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\subsection{向量组的线性概念}
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线性组合$\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}$$m$个$n$维向量$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$以及$m$个数$k_1,k_2,\cdots,k_m$，则向量$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_m\alpha_m$就是向量组$a_1,a_2,\cdots,a_m$的线性组合。
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||||
线性组合\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}$m$个$n$维向量$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$以及$m$个数$k_1,k_2,\cdots,k_m$，则向量$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_m\alpha_m$就是向量组$a_1,a_2,\cdots,a_m$的线性组合。
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线性表出$\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}$若向量$\beta$能表示成向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,a_m$的线性组合，则存在$m$个数$k_1,k_2,\cdots,k_m$，使得$\beta=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_m\alpha_m$，则成向量$\beta$能被向量组$a_1,a_2,\cdots,a_m$线性表出。否则不能被线性表出。
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||||
线性表出\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}若向量$\beta$能表示成向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,a_m$的线性组合，则存在$m$个数$k_1,k_2,\cdots,k_m$，使得$\beta=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_m\alpha_m$，则成向量$\beta$能被向量组$a_1,a_2,\cdots,a_m$线性表出。否则不能被线性表出。
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线性相关$\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}$对$m$个$n$维向量$a_1,a_2,\cdots,a_m$，存在一组不全为0的数$k_1,k_2,\cdots,k_m$，使得$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_m\alpha_m=0$，则称$a_1,a_2,\cdots,a_m$线性相关。
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||||
线性相关\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}对$m$个$n$维向量$a_1,a_2,\cdots,a_m$，存在一组不全为0的数$k_1,k_2,\cdots,k_m$，使得$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_m\alpha_m=0$，则称$a_1,a_2,\cdots,a_m$线性相关。
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含有零向量或成比例向量的向量组必然线性相关。
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线性无关$\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}$对$m$个$n$维向量$a_1,a_2,\cdots,a_m$，不存在一组不全为0的数$k_1,k_2,\cdots,k_m$，使得$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_m\alpha_m=0$，即仅当$k_1=k_2=\cdots=k_m=0$才成立，则称$a_1,a_2,\cdots,a_m$线性无关。
|
||||
线性无关\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}对$m$个$n$维向量$a_1,a_2,\cdots,a_m$，不存在一组不全为0的数$k_1,k_2,\cdots,k_m$，使得$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_m\alpha_m=0$，即仅当$k_1=k_2=\cdots=k_m=0$才成立，则称$a_1,a_2,\cdots,a_m$线性无关。
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||||
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||||
两个非零向量，不成比例向量的向量必然线性无关。
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\subsection{线性相关性}
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\begin{enumerate}
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||||
\item 向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$（$n\geqslant2$）线性相关的充要条件是向量组中至少有一个向量可由其他$n-1$个向量线性表出。若$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$线性无关的充要条件是向量组的任何一个向量都不能被其他$n-1$个向量线性表出。
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||||
\item 向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$线性无关，而$\beta,\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$线性相关，则$\beta$可由$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$线性表示，且表示方法唯一。
|
||||
\item 向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$可由向量组$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s$线性表示，且$n>s$，则$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$线性相关。（以少表多，多的相关）若向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$可由向量组$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s$线性表示，$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$线性无关，则$n\leqslant s$。
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||||
\item 设$m$个$n$维向量$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$，其中$\alpha_1=[a_{11},a_{12},\cdots,a_{m1}]^T$，$\cdots$，$\alpha_m=[a_{1m},a_{2m},\cdots,a_{mm}]^T$，则向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$线性相关的充要条件是齐次线性方程$Ax=0$有非零解，其中$A=[\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m]$，$x=[x_1,x_2,\cdots,x_m]^T$。$m$个$n$维向量$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$线性无关的充要条件是齐次线性方程$Ax=0$只有零解。
|
||||
\item 向量$\beta$可由向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$表出，则向量组$\alpha_1x_1+\alpha_2x_2+\cdots+\alpha_nx_n=[\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n][x_1,x_2,\cdots,x_n]^T=\beta$有解，即$r([\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n])=r([\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n,\beta])$。否则则不能表出，则方程无解，$r([\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n])+1=r([\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n,\beta])$
|
||||
\item 向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$存在一部分向量线性相关，则整个向量组线性相关。若$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$线性无关，则任意一部分向量组线性无关。
|
||||
\item 设$m$个$n$维向量$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$线性无关，则把这些向量中每个各任意添加$s$个分量所得到的新向量组（$n+s$维）$\alpha_1^*,\alpha_2^*,\cdots,\alpha_m^*$也是线性无关的；如果$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$线性相关，则每个各去掉相同的若干分量得到的新向量组也线性相关。（原来无关延长无关，原来相关缩短相关）
|
||||
\end{enumerate}
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\section{极大线性无关组}
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\subsection{概念}
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极大线性无关组\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}在向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$中，若存在部分$a_i,a_j,\cdots,a_k$满足：\ding{172}$a_i,a_j,\cdots,a_k$线性无关。\ding{173}向量组中任一向量$a_s$（$i=1,2,\cdots,n$）均可由$a_i,a_j,\cdots,a_k$线性表出。则称向量组$a_i,a_j,\cdots,a_k$为原向量组的极大线性无关组。
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|
||||
不包含无用约束方程的最简方程组的系数矩阵就是极大线性无关组。
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向量组的极大线性无关组一般不唯一，只由一个零向量组成的向量组不存在极大线性无关组，一个线性无关向量组的极大线性无关组就是其本身。
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\section{向量组秩}
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向量组构成矩阵的秩等于行向量组的秩等于列向量组的秩。
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若$A$通过初等行变换为$B$，则$AB$的行向量组是等价向量组，任何对应的部分列向量组都具有同样的线性相关性。
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||||
若向量组$B$均可由$A$线性表出，则$r(B)\leqslant r(A)$。
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\section{等价向量组}
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||||
任何一个组都可以由其极大线性无关组来代表。
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\subsection{定义}
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||||
设两个向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$和$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_m$，若这两个向量组可以互相线性表出，则称其为等价向量组，记为$\alpha\cong\beta$。
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具有的性质：
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\begin{enumerate}
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\item $A\cong A$（反身性）。
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\item $A\cong B$，则$B\cong A$（对称性）。
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||||
\item $A\cong B$，$B\cong C$，则$A\cong C$（传递性）。
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||||
\end{enumerate}
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||||
向量组和其极大线性无关组是等价向量组。
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\subsection{判定}
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若$r(A)=r(B)=r(A|B)$，则向量组等价。
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\subsection{与等价矩阵区别}
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||||
对于矩阵而言，若$A\cong B$，则$AB$同型且$r(A)=r(B)$。
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||||
对于向量组而言，若$A\cong B$，则$AB$同维（行数相同）且$r(A)=r(B)=r(A|B)$。
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\section{向量空间}
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\subsection{基本概念}
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若$\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n$是$n$维向量空间$R^n$中的线性无关的有序向量组，则任意向量$\alpha\in R^n$均可由$\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n$线性表出，记为$\alpha=a_1\xi_1+a_2\xi_2+\cdots+a_n\xi_n$，类似一个极大线性无关组，则称有序向量组$\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n$为$R^n$的一个\textbf{基}，基向量的个数$n$为向量空间的\textbf{维数}，而$[a_1,a_2,\cdots,a_n]([a_1,a_2,\cdots,a_n]^T)$为向量$\alpha$在基$\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n$下的\textbf{坐标}，或称为$\alpha$的坐标行列向量。
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||||
\subsection{基变换与坐标变换}
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||||
若$\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n$和$\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n$是$R^n$中两个基，且有关系：$[\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n]=[\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n]C_{n\times n}$，则这个式子称为基$\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n$到基$\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n$的\textbf{基变换公式}，矩阵$C$就是基$\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n$到基$\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n$的\textbf{过渡矩阵}，$C$可逆，$C$的第$i$列就是$\eta_i$在基$\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n$下的坐标列向量。
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||||
$\alpha$在基$\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n$和基$\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n$下坐标分别为$x=[x_1,x_2,\cdots,x_n]^T$，$y=[y_1,y_2,\cdots,y_n]^T$，即$\alpha=[\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n]x=[\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n]y$。又$C$是基$\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n$到基$\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n$的过渡矩阵，则$[\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n]=[\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n]C$，则$\alpha=[\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n]x=[\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n]y=[\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n]Cy$，从而$x=Cy$或$y=C^{-1}x$，这个就是\textbf{坐标变换公式}。
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\end{document}
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Binary file not shown.
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\documentclass[UTF8, 12pt]{ctexart}
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% UTF8编码，ctexart现实中文
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\usepackage{color}
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% 使用颜色
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\setcounter{tocdepth}{4}
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\setcounter{secnumdepth}{4}
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% 设置四级目录与标题
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\geometry{papersize={21cm,29.7cm}}
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% 首行缩进2个中文字符
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% 1.5倍行距
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\usepackage{amssymb}
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% 因为所以
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\usepackage{amsmath}
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% 数学公式
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\usepackage[colorlinks,linkcolor=black,urlcolor=blue]{hyperref}
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% 超链接
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\usepackage{multicol}
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% 分栏
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\usepackage{arydshln}
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% 增广矩阵长虚线
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\author{Didnelpsun}
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||||
\title{线性方程组}
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\date{}
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\begin{document}
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\maketitle
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\pagestyle{empty}
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\thispagestyle{empty}
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\tableofcontents
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\thispagestyle{empty}
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\newpage
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\pagestyle{plain}
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\setcounter{page}{1}
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\section{基本概念}
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矩阵是根据线性方程组得到。线性方程组和向量组本质上是一致的。
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\subsection{线性方程组与矩阵}
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\begin{multicols}{2}
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||||
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||||
$\begin{cases}
|
||||
a_{11}x_1+\cdots+a_{1n}x_n=0 \\
|
||||
\cdots \\
|
||||
a_{m1}x_1+\cdots+a_{mn}x_n=0
|
||||
\end{cases}$ \medskip
|
||||
|
||||
$n$元齐次线性方程组。
|
||||
|
||||
$\begin{cases}
|
||||
a_{11}x_1+\cdots+a_{1n}x_n=b_1 \\
|
||||
\cdots \\
|
||||
a_{m1}x_1+\cdots+a_{mn}x_n=b_n
|
||||
\end{cases}$ \medskip
|
||||
|
||||
$n$元非齐次线性方程组。
|
||||
|
||||
\end{multicols}
|
||||
|
||||
$m$是方程个数，即方程组行数，$n$是方程未知数个数，即类似方程组的列数。
|
||||
|
||||
对于齐次方程，$x_1=\cdots=x_n=0$一定是其解，称为其\textbf{零解}，若有一组不全为零的解，则称为其\textbf{非零解}。其一定有零解，但是不一定有非零解。
|
||||
|
||||
对于非齐次方程，只有$b_1\cdots b_n$不全为零才是。\medskip
|
||||
|
||||
令\textbf{系数矩阵}$A_{m\times n}=\left(
|
||||
\begin{array}{ccc}
|
||||
a_{11} & \cdots & a_{1n} \\
|
||||
\cdots \\
|
||||
a_{m1} & \cdots & a_{mn}
|
||||
\end{array}
|
||||
\right)$，\textbf{未知数矩阵}$x_{n\times 1}=\left(
|
||||
\begin{array}{c}
|
||||
x_1 \\
|
||||
\cdots \\
|
||||
x_n
|
||||
\end{array}
|
||||
\right)$，\textbf{常数项矩阵}$b_{m\times 1}=\left(
|
||||
\begin{array}{c}
|
||||
b_1 \\
|
||||
\cdots \\
|
||||
b_m
|
||||
\end{array}
|
||||
\right)$，\textbf{增广矩阵}$B_{m\times(n+1)}=\left(
|
||||
\begin{array}{c:c}
|
||||
\begin{matrix}
|
||||
a_{11} & \cdots & a_{1n}\\
|
||||
\cdots \\
|
||||
a_{m1} & \cdots & a_{mn}
|
||||
\end{matrix}&
|
||||
\begin{matrix}
|
||||
b_1\\
|
||||
\\
|
||||
b_n
|
||||
\end{matrix}
|
||||
\end{array}
|
||||
\right)$。
|
||||
|
||||
所以$AX=\left(
|
||||
\begin{array}{c}
|
||||
a_11x_1+\cdots+a_{1n}x_n \\
|
||||
\cdots \\
|
||||
a_{m1}x_1+\cdots+a_{mn}x_n
|
||||
\end{array}
|
||||
\right)$。
|
||||
|
||||
从而$AX=b$等价于$\begin{cases}
|
||||
a_{11}x_1+\cdots+a_{1n}x_n=b_1 \\
|
||||
\cdots \\
|
||||
a_{m1}x_1+\cdots+a_{mn}x_n=b_n
|
||||
\end{cases}$，当$b=O$就是齐次线性方程。
|
||||
|
||||
从而矩阵可以简单表示线性方程。
|
||||
|
||||
\subsection{矩阵乘法与线性变换}
|
||||
|
||||
矩阵乘法实际上就是线性方程组的线性变换，将一个变量关于另一个变量的关系式代入原方程组，得到与另一个变量的关系。
|
||||
|
||||
$\begin{cases}
|
||||
y_1=a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1s}x_s \\
|
||||
\cdots \\
|
||||
y_m=a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{ms}x_s
|
||||
\end{cases}\begin{cases}
|
||||
x_1=b_{11}t_1+b_{12}t_2+\cdots+b_{1n}t_n \\
|
||||
\cdots \\
|
||||
x_s=b_{s1}t_1+b_{s2}t_2+\cdots+b_{sn}t_n
|
||||
\end{cases}$\medskip
|
||||
|
||||
原本是线性方程分别是$y$与$x$和$x$与$t$的关系式，而如果将$t$关于$x$的关系式代入$x$关于$y$的关系式中，就会得到$t$关于$y$的关系式：\medskip
|
||||
|
||||
$\begin{cases}
|
||||
y_1=a_{11}(b_{11}t_1+\cdots+b_{1n}t_n)+\cdots+a_{1s}(b_{s1}t_1+b_{s2}t_2+\cdots+b_{sn}t_n) \\
|
||||
\cdots \\
|
||||
y_m=a_{m1}(b_{11}t_1+\cdots+b_{1n}t_n)+\cdots+a_{ms}(b_{s1}t_1+b_{s2}t_2+\cdots+b_{sn}t_n)
|
||||
\end{cases}$
|
||||
|
||||
$=\begin{cases}
|
||||
y_1=(a_{11}b_{11}+\cdots+a_{1s}b_{s1})t_1+\cdots+(a_{11}b_{1n}+\cdots+a_{1s}b_{sn})t_n \\
|
||||
\cdots \\
|
||||
y_m=(a_{m1}b_{11}+\cdots+a_{ms}b_{s1})t_1+\cdots+(a_{m1}b_{1n}+\cdots+a_{ms}b_{sn})t_m
|
||||
\end{cases}$ \medskip
|
||||
|
||||
这可以看作上面两个线性方程组相乘，也可以将线性方程组表示为矩阵，进行相乘就得到乘积，从而了解矩阵乘积与线性方程组的关系：\medskip
|
||||
|
||||
|
||||
$\left(\begin{array}{ccc}
|
||||
a_{11} & \cdots & a_{1s} \\
|
||||
\vdots & \ddots & \vdots \\
|
||||
a_{m1} & \cdots & a_{ms}
|
||||
\end{array}\right)_{m\times s}\left(\begin{array}{ccc}
|
||||
b_{11} & \cdots & a_{1n} \\
|
||||
\vdots & \ddots & \vdots \\
|
||||
b_{s1} & \cdots & b_{sn}
|
||||
\end{array}\right)_{s\times n}$
|
||||
|
||||
$=\left(\begin{array}{ccc}
|
||||
a_{11}b_{11}+\cdots+a_{1s}b_{s1} & \cdots & a_{11}b_{1n}+\cdots+a_{1s}b_{sn} \\
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\vdots & \ddots & \vdots \\
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a_{m1}b_{11}+\cdots+a_{ms}b_{s1} & \cdots & a_{m1}b_{1n}+\cdots+a_{ms}b_{sn}
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\end{array}\right)_{m\times n}\text{。}$
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\subsection{线性方程组的解}
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对于一元一次线性方程：$ax=b$：
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\begin{itemize}
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\item 当$a\neq 0$时，可以解得$x=\dfrac{b}{a}$。
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\item 当$a=0$时，若$b\neq 0$时，无解，若$b=0$时，无数解。
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\end{itemize}
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当推广到多元一次线性方程组：$Ax=b$，如何求出$x$这一系列的$x$的解？
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从数学逻辑上看，已知多元一次方程，有$m$个约束方程，有$n$个未知数，假定$m\leqslant n$。
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当$m<n$时，就代表有更多的未知变量不能被方程约束，从而有$n-m$个自由变量，所以就是无数解，解组中其他解可以由自由变量来表示。
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当$m=n$时代表约束与变量数量相等，此时又要分三种情况。
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当所有的约束条件其中存在线性相关，即一部分约束条件可以由其他约束表示，则代表这部分约束条件是没用的，实际上的约束条件变少，从而情况等于$m<n$，结果是无数解。
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当所有的约束条件不存在线性相关，但是一部分约束条件互相矛盾，则约束条件下就无法解出解，从而结果是无实数解。
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当所有的约束条件不存在线性相关，且相互之间不存在矛盾情况，这时候才会解出一个实数解，从而结果是有唯一实解。
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若使用矩阵来解决线性方程组的问题，其系数矩阵$A_{m\times n}$。
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对于$A\neq O$，则$Ax=b$，若存在一个矩阵$B_{n\times n}$类似$\dfrac{1}{a}$，使得$BAx=Bb$，解得$Ex=x=Bb$，这个$B$就是$A$的逆矩阵。
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对于$A=O$即不可逆，需要判断$b$是否为0，若不是则无实数解，若是则无穷解，这种判断需要用到增广矩阵，需要用到矩阵的秩判断。
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\subsection{线性方程组的矩阵解表示}
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已知对于线性方程组$\begin{cases}
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a_{11}x_1+\cdots+a_{1n}x_n=b_1 \\
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\cdots \\
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a_{m1}x_1+\cdots+a_{mn}x_n=b_n
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\end{cases}$。
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按乘积表示为$A_{m\times n}x_{n\times 1}=b_{m\times 1}$，然后将$A$按列分块，$x$按行分块：\medskip
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$(a_1,a_2,\cdots,a_n)\left(\begin{array}{c}
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x_1 \\
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x_2 \\
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\vdots \\
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x_n
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\end{array}\right)=b\text{，}\left(\begin{array}{c}
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a_{11} \\
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a_{21} \\
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\vdots \\
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a_{m1}
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\end{array}\right)x_1+\cdots+\left(\begin{array}{c}
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a_{1n} \\
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a_{2n} \\
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\vdots \\
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a_{mn}
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\end{array}\right)x_n=\left(\begin{array}{c}
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b_1 \\
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b_2 \\
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\vdots \\
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b_m
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\end{array}\right)\text{。}$
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这三种都是解的表示方法。
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\section{具体线性方程}
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\subsection{齐次方程组}
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\subsubsection{有解条件}
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\subsubsection{解的性质}
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\subsubsection{基础解系}
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\subsubsection{求解过程}
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\subsection{非齐次方程组}
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\subsubsection{有解条件}
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\subsubsection{解的性质}
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\subsubsection{求解过程}
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\section{抽象线性方程}
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\subsection{解的判定}
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\subsection{解的性质}
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\subsection{求解过程}
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\section{公共解}
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\section{通解方程组}
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\end{document}
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