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linear-algebra/exercise/3-vector/vector.tex

@@ -44,6 +44,8 @@
 
 使用行列式不等于$0$的方法最方便，但是有时候行列不同就不能这么做了。
 
+基本是证明题，若证明$\alpha$、$\beta$线性无关，则令$k_1\alpha+k_2\beta=0$，判断$k_i$的值，如果只有零解则代表$k$矩阵为满秩，从而线性无关。
+
 \subsection{初等运算}
 
 多用于选择题，给出$n$维线性无关向量，判断向量组是否线性无关。如果向量组初等运算为0就代表线性相关。
@@ -119,11 +121,11 @@ $\because A^{k-1}\alpha\neq0$，$\therefore\lambda_2=0$，消去$\lambda_2$：$\
 
 当向量的个数与维数不同时就不能使用行列式去分析，而只能用矩阵的秩来分析。当矩阵满秩则线性无关，当矩阵降秩则线性相关。
 
-\subsubsection{线性相关性}
-
 当谈到多个向量是否线性相关时可以将向量组组成矩阵，判断其秩。满秩就是线性无关，降秩就是线性相关。
 
-\subsubsection{线性表出}
+\section{线性表出}
+
+\subsection{矩阵秩}
 
 当谈到一个向量是否能被其他向量线性表出时，要将这些向量全部组成一起，判断能否被其他向量表出的向量放在最右边，然后判断增广矩阵的秩。
 
@@ -161,6 +163,20 @@ $\therefore a=3$。
 
 \textcolor{orange}{注意：}求向量组的秩可以进行初等变换，包括行变换和列变换。但是求极大线性无关组时最好只使用行变换，因为列变换会改变方程的解。从而解方程组只能做行变换。
 
+\subsection{向量组线性标出}
+
+若对于多个向量组成的向量组$B$是否能线性表出向量组$A$（而不是单个向量$\alpha$），把$A$和$B$合并，则若合并后的向量组$C$的秩大于$B$的，那么向量组$B$不能线性表示向量组$A$。
+
+解决方法跟单个向量表出一样，将$B$和$A$合并为增广矩阵，然后进出行变换。
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+也给出这样的结论，若$B$自身线性相关，则无法线性表出其他矩阵。
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+\textbf{例题：}设向量组$\alpha_1=(1,0,1)^T$、$\alpha_2=(0,1,1)^T$、$\alpha_3=(1,3,5)^T$不能由向量组$\beta_1=(1,1,1)^T$、$\beta_2=(1,2,3)^T$、$\beta_3=(3,4,a)^T$线性表示，求$a$。
+
+解：已知题目，则$(\beta_1,\beta_2,\beta_3)$线性相关。
+
+对其行变换，解得$a=5$。
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 \section{等价向量组}
 
 $r(A)=r(B)=r(A|B)$，所以需要计算三个向量组构成的矩阵的秩就可以了。