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advanced-math/knowledge/3-applications-of-derivatives/applications-of-derivatives.tex

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+\section{函数中值定理}
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+都假定$f(x)$在$[a,b]$上连续。
+
+\subsection{有界与最值定理}
+
+\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}$m\leqslant f(x)\leqslant M$，其中$m$，$M$分别为$f(x)$在$[a,b]$上的最大值和最小值。
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+\subsection{介值定理}
+
+\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}当$m\leqslant\mu\leqslant M$，存在$\varepsilon\in[a,b]$，使得$f(\varepsilon)=\mu$。
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+\subsection{平均值定理}
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+\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}当$a<x_1<x_2<\cdots<x_n<b$时，在$[x_1,x_n]$内至少存在一点$\varepsilon$，使得$f(\varepsilon)=\dfrac{f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)}{n}$。
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+证明：已知$f(x)$在$[x_1,x_n]$上连续，根据有界与最值定理，$m\leqslant f(x)\leqslant M$。
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+即$m\leqslant f(x_1)\leqslant M$、$m\leqslant f(x_2)\leqslant M$……$m\leqslant f(x_n)\leqslant M$。
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+将这些式子全部相加，得到$nm\leqslant f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)\leqslant nM$。
+
+所以$m\leqslant\dfrac{f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)}{n}\leqslant m$。
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+由介值定理，可知存在$\varepsilon\in[a,b]$使得$f(\varepsilon)=\dfrac{f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)}{n}$。
+
+\subsection{零点定理}
+
+\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}当$f(a)\cdot f(b)<0$时，存在$\varepsilon\in(a,b)$，使得$f(\varepsilon)=0$。
+
 \section{微分中值定理}
 
 三个定理都是建立局部与整体的关系，利用导数控制函数，反之不能使用函数控制导数。
@@ -56,6 +86,8 @@ $\text{罗尔定理}\xrightleftharpoons[\text{特例：}f(a)=f(b)]{\text{泛化
 
 \subsection{罗尔定理}
 
+\subsubsection{定义}
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 极值\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}若$\exists\delta>0$，使$\forall x\in U(x_0,\delta)$恒有$f(x)\geqslant f(x_0)$，则$f(x)$在$x_0$处取极小值，恒有$f(x)\leqslant f(x_0)$，则$f(x)$在$x_0$处取极大值。
 
 费马引理\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}若$f(x)$在$x_0$处取得极值，且$f(x)$在$x_0$处可导，则$f'(x_0)=0$。
@@ -89,6 +121,15 @@ $\text{罗尔定理}\xrightleftharpoons[\text{特例：}f(a)=f(b)]{\text{泛化
     \end{tikzpicture}
 \end{minipage}
 
+\subsubsection{推广}
+
+\begin{itemize}
+    \item 设$f(x)$在$(a,b)$内可导，$\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=\lim\limits_{x\to b^-}f(x)=A$，则在$(a,b)$内至少存在一点$\varepsilon$，使得$f'(\varepsilon)=0$。
+    \item 设$f(x)$在$(a,b)$内可导，$\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=\lim\limits_{x\to b^-}f(x)=\pm\infty$，则在$(a,b)$内至少存在一点$\varepsilon$，使得$f'(\varepsilon)=0$。
+    \item 设$f(x)$在$(a,+\infty)$内可导，$\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=A$，则在$(a,+\infty)$内至少存在一点$\varepsilon$，使得$f'(\varepsilon)=0$。
+    \item 设$f(x)$在$(\infty,+\infty)$内可导，$\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=A$，则在$(-\infty,+\infty)$内至少存在一点$\varepsilon$，使得$f'(\varepsilon)=0$。
+\end{itemize}
+
 \subsection{拉格朗日中值定理}
 
 \begin{enumerate}
@@ -125,6 +166,18 @@ $\text{罗尔定理}\xrightleftharpoons[\text{特例：}f(a)=f(b)]{\text{泛化
 
 则$\exists\,\xi\in(a,b)$，使得$\dfrac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\dfrac{f'(\xi)}{F'(\xi)}$。
 
+\section{积分中值定理}
+
+\subsection{定理}
+
+\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}若$f(x)$在$[a,b]$上连续，则存在$\varepsilon\in[a,b]$，使得$\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x=f(\varepsilon)(b-a)$。
+
+\subsection{证明}
+
+已知$f(x)$在$[a,b]$上连续，根据有界与最值定理，$m\leqslant f(x)\leqslant M$，$m(b-a)\leqslant\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x\leqslant M(b-a)$，所以$m\leqslant\dfrac{1}{b-a}\int_a^bf(x)\,\textrm{d}\leqslant M$。
+
+由介值定理可知$\varepsilon\in[a,b]$，使得$f(\varepsilon)=\dfrac{1}{b-a}\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x$。
+
 \section{洛必达法则}
 
 \subsection{定理}