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advanced-math/knowledge/4-indefinite-integral-and-definite-integral/indefinite-integral-and-definite-integral.tex

@@ -701,11 +701,13 @@ $S=2\pi\int_\alpha^\beta\vert y(t)\vert\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}\,\textrm{d}t$
 
 \subsubsection{体积}
 
+圆和椭圆都是有参数方程的，所以对于这种所旋转产生的体积没办法使用参数方程计算。
+
 \paragraph{旋转体} \leavevmode \medskip
 
 对于一条曲线$y=f(x)$以及$x=a$，$x=b$（$a<b$）所围成的平面绕$x$轴进行旋转，可以看作从$x$轴沿$y$轴水平切割旋转体，就得到了以$x$轴为中心的一个圆柱，底边半径为$f(x)$，高度为$\textrm{d}x$，所以$\textrm{d}V_x=\pi f^2(x)\,\textrm{d}x$，所以$V_x=\pi\int_a^bf^2(x)\,\textrm{d}x$（如果用$y(x)$表达，就是$V_x=\pi\int_c^d\varphi^2(y)\,\textrm{d}y$）。
 
-对于一条曲线$y=f(x)$以及$x=a$，$x=b$（$a<b$）所围成的平面绕$y$轴进行旋转，可以看作从旋转中心向外围按同样的半径切割环形体，这个环形体从里到外半径与体积都在不断变大，然后将这个环形体展开为长方体来计算体积，其中长度为原来圆周$2\pi x$，宽度为$f(x)$，高度为$\textrm{d}x$，所以$\textrm{d}V_y=2\pi xf(x)\,\textrm{d}x$，所以$V_y=2\pi\int_a^bxf(x)\,\textrm{d}x$。（柱壳法）
+对于一条曲线$y=f(x)$以及$x=a$，$x=b$（$a<b$）所围成的平面绕$y$轴进行旋转，可以看作从旋转中心向外围按同样的半径切割环形体，这个环形体从里到外半径与体积都在不断变大，然后将这个环形体展开为长方体来计算体积，其中长度为原来圆周$2\pi x$，宽度为$f(x)$，高度为$\textrm{d}x$，所以$\textrm{d}V_y=2\pi xf(x)\,\textrm{d}x$，所以$V_y=2\pi\int_a^bx\vert f(x)\vert\,\textrm{d}x$。（柱壳法）
 
 对于两条曲线$y=f_1(x)\geqslant0$，$y=f_2(x)\geqslant0$以及$x=a$，$x=b$（$a<b$）所围成的平面绕$x$轴旋转一周，可以看做一个环形体，中间是空的，所以可以将外面的较大函数旋转得到的大体积减去里面的较小函数旋转得到小体积，体积为$V_x=\pi\int_a^b\vert f_1^2(x)-f_2^2(x)\vert\,\textrm{d}x$。