更新矩阵

linear-algebra/exercise/1-determinant/determinant.tex

@@ -36,11 +36,51 @@
 \setcounter{page}{1}
 \section{逆序}
 
+逆序一般只会考一个数列的逆序数，一般以自然数从小到大为标准次序。
+
+对于逆序数的计算一般是数，假设一共有$n$项，则需要依次从$i$向后判断各项与当前项的大小，最后相加。
+
+\subsection{有穷排列}
+
+对于给出几个数字的有限排列，只需要直接计算即可。
+
+\textbf{例题：}求2413的逆序数。
+
+2的逆序有21一个。4的逆序与41、43两个。1无逆序数，所以一共逆序数为3。
+
+\subsection{无穷排列}
+
+\textbf{例题：}求$13\cdots(2n-1)(2n)(2n-2)\cdots2$的逆序数。
+
+这个序列分为两个部分，第一个是前面的$13\cdots(2n-1)$部分，这个部分无逆序。
+
+第二个部分是后面的$(2n)(2n-2)\cdots2$，这个序列是全部逆序的，所以考虑其第二个内部一共有$n$个数，从前往后依次有$n,(n-1),\cdots,1$个逆序，所以逆序数为$\dfrac{n(n-1)}{2}$。
+
+然后是考虑第二个部分对于第一个部分的逆序。$2n-2$对$2n-1$产生一个逆序，到最后的2对前面的$3\cdots(2n-1)$都产生了逆序一共$n-1$个，所以一共$\dfrac{n(n-1)}{2}$个逆序。
+
+所以最后一共加起来与$n(n-1)$个逆序。
+
 \section{因式项}
 
+需要求出带有某些因子的因式项，其实就是对顺序的排列组合，若已经给出某些因式，则因式项的其他因子就必须是其他数值。
+
+且还要考虑因式项的正负号，即选择的值序列的逆序数。
+
+\textbf{例题：}写出四阶行列式中含有$a_{11}a_{23}$的因式项。
+
+因为是四阶行列式，且含有$a_{11}a_{23}$，所以余下来的$a_{3?}$和$a_{4?}$中的$?$只有2和4可选。
+
+若是$a_{11}a_{23}a_{32}a_{44}$，则列坐标序列为$1324$，从而逆序数为1，所以该项为$-a_{11}a_{23}a_{32}a_{44}$。
+
+若是$a_{11}a_{23}a_{34}a_{42}$，则列坐标序列为$1342$，从而逆序数为2，所以该项为$a_{11}a_{23}a_{34}a_{42}$。
+
+$\therefore\,-a_{11}a_{23}a_{32}a_{44}+a_{11}a_{23}a_{34}a_{42}$。
+
 \section{证明行列式值}
 
-与计算行列式值的体型不同的是，其行列式的值是固定给出的，一方面虽然约束了解题思路，一方面也给出了解题的方向，需要结果与给定值“靠近”。
+与计算行列式值的题型不同的是，其行列式的值是固定给出的，一方面虽然约束了解题思路，一方面也给出了解题的方向，需要结果与给定值“靠近”。
+
+\textbf{例题：}
 
 \section{计算行列式值}