更新随机变量与分布

probability-theory-and-mathematical-statistics/exercise/2-random-variables-and-distribution/random-variables-and-distribution.tex

@@ -71,4 +71,39 @@ $\therefore p=\left\{X\leqslant\dfrac{1}{2}\right\}=\int_0^\frac{1}{2}2x\,\textr
 
 $\therefore P\{Y=k\}=(k-1)\left(\dfrac{1}{8}\right)^2\cdot\left(\dfrac{7}{8}\right)^{k-2}$。
 
+\section{均匀分布}
+
+\textbf{例题：}已知随机变量$X\sim U(a,b)$（$a>0$）且$P\{0<X<3\}=\dfrac{1}{4}$，$P\{X>4\}=\dfrac{1}{2}$，求$X$的概率密度以及$P\{1<X<5\}$。
+
+解：$\because P\{X>4\}=\dfrac{1}{2}$，4在其区间中点上，$\dfrac{a+b}{2}=4$。
+
+$\because P\{0<X<3\}=\dfrac{1}{4}$，$3$若在$a$左边则概率为0，所以必然在右边。
+
+$\therefore P\{a<X<3\}=\dfrac{1}{4}$，$P\{<3X<4\}=1-\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}$，$\dfrac{4-3}{b-a}=\dfrac{1}{4}$。
+
+解得$a=2$，$b=6$，$X\sim U(2,6)=f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
+    \dfrac{1}{4}, & 2<x<6 \\
+    0, & \text{其他}
+\end{array}\right.$。
+
+$P\{1<X<5\}=\dfrac{5-2}{6-2}=\dfrac{3}{4}$。
+
+\section{指数分布}
+
+\textbf{例题：}已知随机变量$X\sim E(1)$，$a$为常数且大于0，求$P\{X\leqslant a+1|X>a\}$。
+
+解：$P\{X\leqslant a+1|X>a\}=\dfrac{P\{a<X\leqslant a+1\}}{P\{X>a\}}=\dfrac{\int_a^{a+1}e^{-x}\,\textrm{d}x}{\int_a^{+\infty}e^{-x}\,\textrm{d}x}=1-\dfrac{1}{e}$。
+
+也可以根据指数分布的无记忆性：$P\{X\leqslant a+1|X>a\}=1-P\{X>a+1|X>a\}=1-P\{X>1\}=P\{X\leqslant1\}=F(1)=1-\dfrac{1}{e}$。
+
+\section{正态分布}
+
+\textbf{例题：}已知随机变量$X\sim N(0,1)$，对给定的$\alpha$（$0<\alpha>1$），数$\mu_\alpha$满足$P\{X>\mu_\alpha\}=\alpha$，若$P\{\vert X\vert<x\}=\alpha$，求$x$。
+
+解：$P\{X>\mu_\alpha\}=\alpha$即表示$\mu_\alpha$为标准正态分布的上$\alpha$分位点。
+
+又$P\{\vert X\vert<x\}=\alpha$，即$-x<X<x$的面积为$\alpha$，所以两边的面积各为$\dfrac{1-\alpha}{2}$，$P\{X<x\}=P\{X>x\}=\dfrac{1-\alpha}{2}$。
+
+$\because$面积为$\alpha$的下标为$\alpha$，$\therefore$面积为$\dfrac{1-\alpha}{2}$的下标为$\dfrac{1-\alpha}{2}$，$x=\mu_\frac{1-\alpha}{2}$。
+
 \end{document}

probability-theory-and-mathematical-statistics/knowledge/2-random-variables-and-distribution/random-variables-and-distribution.tex

@@ -1,6 +1,6 @@
 \documentclass[UTF8, 12pt]{ctexart}
 % UTF8编码，ctexart现实中文
-\usepackage{color}
+\usepackage{xcolor}
 % 使用颜色
 \definecolor{orange}{RGB}{255,127,0}  
 \definecolor{violet}{RGB}{192,0,255}  
@@ -69,7 +69,7 @@
     \item $P(X=a)=F(a)-F(a-0)$。$\because P\{X\leqslant a\}=P\{X<a\cup X=a\}=P\{X<a\}+P\{X=a\}$，$\therefore P\{X=a\}=P\{X\leqslant a\}-P\{X<a\}=F(a)-F(a-0)$。
 \end{itemize}
 
-\section{一维离散随机变量}
+\section{一维离散型随机变量}
 
 \textcolor{violet}{\textbf{定义：}}若随机变量$X$只可能取有限个或可列各值$x_1,x_2,\cdots$，则称$X$为离散型随机变量。
 
@@ -155,7 +155,7 @@ $P\{X=x_i\}=P\{X\leqslant x_i\}-P\{X<x_i\}=F(x_i)-F(x_i-0)$，即某点的概率
 
 如有$N$件产品，其中$M$件正品，从而$N-M$件次品，任取$n$个，则取出$k$件正品的概率就是超几何分布。
 
-\section{一维连续随机变量}
+\section{一维连续型随机变量}
 
 \textcolor{violet}{\textbf{定义：}}若随机变量$X$的分布函数可以表示为$F(x)=\int_{-\infty}^xf(t)\,\textrm{d}t$（$x\in R$且取遍所有实数），其中$f(x)$是非负可积函数，则$X$为\textbf{连续型随机变量}。
 
@@ -165,7 +165,7 @@ $P\{X=x_i\}=P\{X\leqslant x_i\}-P\{X<x_i\}=F(x_i)-F(x_i-0)$，即某点的概率
 
 \subsection{性质}
 
-改变$f(x)$有限各点的值$f(x)$仍是概率密度，$f(x)$为某一随机变量$X$的概率密度的充分必要条件：$f(x)\geqslant0$，且$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,\textrm{d}x=1$。
+改变$f(x)$有限各点的值$f(x)$仍是概率密度（因为单个点没有面积），$f(x)$为某一随机变量$X$的概率密度的充分必要条件：$f(x)\geqslant0$，且$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,\textrm{d}x=1$。
 
 若$X$为连续型随机变量，$X\sim f(x)$，则对任意实数$c$有$P\{X=c\}=0$。
 
@@ -234,15 +234,270 @@ $\therefore F(x)=\left\{\begin{array}{ll}
     \filldraw[black] (-0.5,1) node{$F(x)$};
 \end{tikzpicture}
 
+几何概型在一维情况下就是几何分布。
+
+若$X$在区间$I$上的任一子区间取值的概率与该子区间的长度成正比，则$X\sim U(a,b)$。
 
 \subsubsection{指数分布}
 
+\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}如果$X$的概率密度或分布函数分别为$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
+    \lambda e^{-\lambda x}, & x>0 \\
+    0, & \text{其他}
+\end{array}\right.$，$F(x)=\left\{\begin{array}{ll}
+    1-e^{-\lambda x}, & x\geqslant0 \\
+    0, & x<0 \\
+\end{array}\right.$，则称$X$在区间$(a,b)$上服从参数为$\lambda$的\textbf{指数分布}，记为$X\sim E(\lambda)$。
+
+\begin{tikzpicture}[scale=2]
+    \draw[-latex](-0.25,0) -- (2,0) node[below]{$x$};
+    \draw[-latex](0,-0.25) -- (0,1.25) node[above]{$y$};
+    \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$};
+    \draw[black, thick, domain=0:2] plot (\x,{pow(e,-\x)});
+    \filldraw[black] (1,1) node{$f(x)$};
+\end{tikzpicture}
+\hspace{2.5em}
+\begin{tikzpicture}[scale=2]
+    \draw[-latex](-0.25,0) -- (2,0) node[below]{$x$};
+    \draw[-latex](0,-0.25) -- (0,1.25) node[above]{$y$};
+    \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$};
+    \draw[black, densely dashed](2,1) -- (0,1) node[left]{$1$};
+    \draw[black, thick, domain=0:2] plot (\x,{1-pow(e,-\x)});
+    \filldraw[black] (0.25,1.25) node{$F(x)$};
+\end{tikzpicture}
+
+指数分布中$\lambda$代表失效率，往往用来代表一个事物毁坏的过程，如灯泡毁坏。
+
+\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}无记忆性：若$X$服从指数分布，则$P\{X>s+t|X>s\}=P\{X>t\}$。
+
+即在指数分布下事情发生的概率与前面所经过的时间无关，如果$T$是某一元件的寿命，已知元件使用了$t$小时，它总共使用至少$s+t$小时的条件概率，与从开始使用时算起它使用至少$s$小时的概率相等。
+
+证明：$P\{X>s+t|X>s\}=\dfrac{P\{X>s+t\}}{P\{X>s\}}=\dfrac{1-P\{X\leqslant s+t\}}{1-P\{X\leqslant s\}}$
+
+$=\dfrac{1-F(s+t)}{1-F(x)}=\dfrac{1-(1-e^{-\lambda(s+t)})}{1-(1-e^{-\lambda s})}=\dfrac{e^{-\lambda(s+t)}}{e^{-\lambda s}}=e^{-\lambda t}=1-(1-e^{-\lambda t})$
+
+$=1-F(t)=1-P\{X\leqslant t\}=P\{X>t\}$。
+
 \subsubsection{正态分布}
 
+\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}如果$X$的概率密度为$f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi\delta}}e^{-\frac{1}{2}(\frac{x-\mu}{\delta})^2}$（$-\infty<x<+\infty$，$-\infty<\mu<+\infty$，$\delta>0$），则称$X$服从参数为$(\mu,\delta^2)$的\textbf{正态分布}，称$X$为\textbf{正态变量}，记为$X\sim N(\mu,\delta^2)$。
+
+$f(x)$的图形关于$x=\mu$对称，即$f(\mu-x)=f(\mu+x)$，并在$x=\mu$处有唯一最大值$f(\mu)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\delta}$。$\mu-\delta$和$\mu+\delta$为拐点。
+
+\begin{tikzpicture}[scale=2]
+    \draw[-latex](-2,0) -- (2,0) node[below]{$x$};
+    \draw[-latex](0,-0.25) -- (0,1.25) node[above]{$y$};
+    \filldraw[black] (0,0) node[below]{$O$};
+    \draw[black, thick, domain=-2:2] plot (\x,{pow(e,-\x*\x/2)});
+    \draw[black, densely dashed](-1,0.65) -- (-1,0) node[below]{$\mu-\delta$};
+    \draw[black, densely dashed](1,0.65) -- (1,0) node[below]{$\mu+\delta$};
+    \draw[black, densely dashed](0,1) -- (-1,1) node[left]{$\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\delta}$};
+    \filldraw[black] (0.35,0.25) node{$x=\mu$};
+    \filldraw[black] (1,1) node{$f(x)$};
+\end{tikzpicture}
+
+当$\mu=0$，$\delta=1$时的正态分布$N(0,1)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}$为\textbf{标准正态分布}，记为$\phi(x)$，分布函数为$\varPhi(x)=\displaystyle{\int_{-\infty}^x\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}}\,\textrm{d}t}$。$\phi(x)$为偶函数，$\varPhi(0)=\dfrac{1}{2}$，$\varPhi(-x)=1-\varPhi(x)$。
+
+若$X\sim N(0,1)$，$P\{X>\mu_\alpha\}=\alpha$，则称$\mu_\alpha$为标准正态分布的\textbf{上侧$\alpha$分位数/上$\alpha$分位点}。
+
+若$X\sim N(\mu,\delta^2)$，则
+
+\begin{itemize}
+    \item $F(x)=P\{X\leqslant x\}=P\left\{\dfrac{X-\mu}{\delta}\leqslant\dfrac{x-\mu}{\delta}\right\}=\varPhi\left(\dfrac{x-\mu}{\delta}\right)$。（标准化）
+    \item $F(\mu-x)+F(\mu+x)=1$。
+    \item $P\{a<X<b\}=\varPhi\left(\dfrac{b-\mu}{\delta}\right)-\varPhi\left(\dfrac{a-\mu}{\delta}\right)$。（标准化得到）
+    \item $aX+b\sim N(a\mu+b,a^2\theta^2)$（$a\neq0$）。
+\end{itemize}
+
 \section{一维随机变量函数分布}
 
+设$X$为随机变量，函数$y=g(x)$，则以随机变量$X$作为自变量的函数$Y=g(X)$也是随机变量，称为\textbf{随机变量$X$的函数}。
+
+如$Y=aX^2+bX^+c$等等。
+
 \subsection{离散型}
 
+设$X$为离散型随机变量，其概率分布为$p_i=P\{X=x_i\}$（$i=1,2,\cdots$），则$X$的函数$Y=g(X)$也是离散型随机变量，其概率分布为$P\{Y=g(x_i)\}=p_i$（$i=1,2,\cdots$）。
+
+即$Y\sim\left(\begin{array}{ccc}
+    g(x_1) & g(x_2) & \cdots \\
+    p_1 & p_2 & \cdots
+\end{array}\right)$。
+
+若有若干个$g(x_i)$相同，则合并为一项，并将对应概率相加作为$Y$取$g(x_i)$的概率。
+
+离散型一维随机变量函数分布单独考的可能性很低。
+
+\textbf{例题：}设$X$是仅可能取6个值的离散型随机变量，分布为：\medskip
+
+\begin{tabular}{c|cccccc}
+    \hline
+    X & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline
+    P & 0.05 & 0.15 & 0.20 & 0.25 & 0.20 & 0.15 \\
+    \hline
+\end{tabular} \medskip
+
+求$Y=2X+1$，$Z=X^2$的概率分布。
+
+因为$Y=2X+1$是线性的，所以改变$X$变为$Y$，所对应的$P$不变：\medskip
+
+\begin{tabular}{c|cccccc}
+    \hline
+    Y & -3 & -1 & 1 & 3 & 5 & 7 \\ \hline
+    P & 0.05 & 0.15 & 0.20 & 0.25 & 0.20 & 0.15 \\
+    \hline
+\end{tabular} \medskip
+
+对于$Z=X^2$是一个平方，导致$Z$的值有些是一样的，所以概率合在一起：\medskip
+
+\begin{tabular}{c|cccc}
+    \hline
+    Z & 0 & 1 & 4 & 9 \\ \hline
+    P & 0.20 & 0.40 & 0.25 & 0.15 \\
+    \hline
+\end{tabular}
+
 \subsection{连续性}
 
+设$X$为离散型随机变量，其分布函数、概率密度为$F_X(x)$与$f_X(x)$，随机变量$Y=g(X)$也是$X$的函数，则$Y$的分布函数或概率密度可用分布函数法得到$F_Y(y)=P\{Y\leqslant y\}=P\{g(X)\leqslant y\}=\int_{g(X)\leqslant y}f_X(x)\,\textrm{d}x$。
+
+若$F_Y(y)$连续，且除有限个点外，$F_Y'(y)$存在且连续，$Y$的概率密度为$f_Y(y)=F_Y'(y)$。
+
+首先已知$X$的概率密度函数为$f_X(x)$，分布函数为$F_X(x)$，已知$Y=g(X)$，即$Y$对$X$的映射关系。现在要求$Y$的概率规律，即要求$Y$的概率密度$f_Y(y)$与分布函数$F_Y(y)$。
+
+先求分布函数$F_Y(y)=P\{Y\leqslant y\}=P\{g(X)\leqslant y\}$，然后用$y$来表示$X$，这是连续性随机变量函数分布的重点。
+
+即$X$在以$y$表示的一个区间上，$X\in I_y$，所以解得$Y$分布函数$\int_{I_y}f_X(x)\,\textrm{d}x$。
+
+\textbf{例题：}设随机变量$X$的概率密度为$f_X(x)=\left\{\begin{array}{ll}
+    1+x, & -1\leqslant x<0 \\
+    1-x, & 0\leqslant x\leqslant1 \\
+    0, & \text{其他}
+\end{array}\right.$，求随机变量$Y=X^2+1$的分布函数。
+
+解：求随机变量$Y=X^2+1$的分布函数即求$F_Y(y)=P\{Y\leqslant y\}=P\{X^2+1\leqslant y\}$。即将$X^2+1$与$y$的概率关系解出，即求曲线$X^2+1$与直线$y$的关系。
+
+根据$X$的概率密度函数，所以只有$x\in [-1,1]$才有正概率，其他区间概率为0，即不能取，将$Y$的取值范围划在$[-1,1]$中。
+
+又由$f_X(x)$的关系知道$Y$的函数，是在$[-1,1]$的属于$[1,2]$的抛物线。
+
+当$y<1$时，$Y=X^2+1>1$恒成立，所以$X^2+1\leqslant y$不可能发生，概率为0，所以$F_Y(y)=0$。
+
+当$y>2$时，$Y=X^2+1$在$X\in[-1,1]$时$Y\in[1,2]$，所以$X^2+1\leqslant y$必然成立，所以所以$F_Y(y)=1$。
+
+当$1<y<2$时，解出$X^2+1\leqslant y$为$X=\pm\sqrt{y-1}$，所以$F_Y(y)=P\{-\sqrt{y-1}\leqslant X\leqslant\sqrt{y-1}\}=\int_{-\sqrt{y-1}}^{\sqrt{y-1}}f(x)\,\textrm{d}x=\int_{-\sqrt{y-1}}^01+x\,\textrm{d}x+\int_0^{\sqrt{y-1}}1-x\,\textrm{d}x=2\sqrt{y-1}-y+1$。
+
+\section{多维随机变量}
+
+\subsection{概念}
+
+多维随机变量\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}如果$X_1,X_2,\cdots,X_n$是定义在同一个样本空间上的$n$个随机变量，则称$(X_1,X_2,\cdots,X_n)$为\textbf{$n$维随机变量}或\textbf{$n$维随机向量}，$X_i$为第$i$个分量。
+
+当$n=2$时，$(X,Y)$为\textbf{二维随机变量/二维随机向量}。
+
+\subsection{联合分布函数}
+
+\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}对任意$n$个实数$x_1,x_2,\cdots,x_n$称为$n$元函数$F(x_1,x_2,\cdots,x_n)=P\{X_1\leqslant x_1,X_2\leqslant x_2,\cdots,X_n\leqslant x_n\}$为$n$为随机变量$(X_1,X_2,\cdots,X_n)$的\textbf{联合分布函数}。
+
+当$n=2$时对任意的实数$xy$称二元函数$F(x,y)=P\{X\leqslant x,Y\leqslant y\}$为二维随机变量$(X,Y)$的\textbf{联合分布函数}，简称\textbf{分布函数}，记为$(X,Y)\sim F(x,y)$。
+
+性质：
+
+\begin{itemize}
+    \item 单调性：$F(x,y)$是$xy$的单调不减函数。
+    \item 右连续性：$F(x,y)$在右边连续。
+    \item 有界性：当$x$或$y$趋向负无穷时值为0，当$x$和$y$趋向正无穷时值为1。
+    \item 非负性：对任意$x_1<x_2$，$y_1<y_2$有$P\{x_1<X\leqslant x_2,y_1<Y\leqslant y_2\}=F(x_2,y_2)-F(x_2,y_1)-F(x_1,y_2)+F(x_1,y_1)\geqslant0$。（由定义画图可知）
+\end{itemize}
+
+\subsection{边缘分布函数}
+
+\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}设二维随机变量$(X,Y)$的联合分布函数为$F(x,y)$，随机变量$X,Y$的分布函数$F_X(x)$与$F_Y(y)$分别称$(X,Y)$关于$X$与关于$Y$的\textbf{边缘分布函数}。
+
+$F_X(x)=P\{X\leqslant x\}=P\{X\leqslant x,Y<+\infty\}=\lim\limits_{y\to+\infty}P\{X\leqslant x,Y\leqslant y\}=\lim\limits_{y\to+\infty}F(x,y)=F(x,+\infty)$。同理$F_Y(y)=F(+\infty,y)$。
+
+所以就可以通过联合分布函数推出边缘分布函数。
+
+\section{二维离散型随机变量}
+
+\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}若二维随机变量$(X,Y)$只能取有限或可列对值$(x_1,y_1),(x_2,y_2),\cdots$则称$(X,Y)$为\textbf{二维离散型随机变量}。
+
+\subsection{联合分布律}
+
+\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}$p_{ij}=P\{X=x_i,Y=y_j\}$，$i,j=1,2,\cdots$为$(X,Y)$的\textbf{分布律}或随机变量$X$和$Y$的\textbf{联合分布律}，记为$(X,Y)\sim p_{ij}$。
+
+数列$\{p_{ij}\}$，$i,j=1,2,\cdots$是某一二维离散型随机变量的概率分布的充要条件是$p_{ij}\geqslant0$，$\sum\limits_{i=1}^\infty\sum\limits_{j=1}^\infty p_{ij}=1$。
+
+\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}若$p_{ij}$，$i,j=1,2,\cdots$为$(X,Y)$的概率分布，则$(X,Y)$的\textbf{联合分布函数}为$F(x,y)=P\{X\leqslant x,Y\leqslant y\}=\sum\limits_{x_i\leqslant x}\sum\limits_{y_j\leqslant y}p_{ij}$。
+
+联合分布函数是以$(x,y)$为定点的左下角平面上$(X,Y)$所有可能取值的概率的和。
+
+设$G$是平面上某个区域，则$P\{(X,Y)\in G\}=\sum\limits_{(x_i,y_j)\in G}p_{ij}$。
+
+\subsection{边缘分布律}
+
+\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}对于同一个$x$值的所有$y$取值的概率的和，就是该$x$值的\textbf{边缘分布律}。同理对于同一个$y$值的所有$x$取值的概率的和，就是该$y$值的\textbf{边缘分布律}。
+
+即$p_{i\cdot}=P\{X=x_i\}=\sum\limits_{j=1}^\infty P\{X=x_i,Y=y_j\}=\sum\limits_{j=1}^\infty p_{ij}$（$i=1,2,\cdots$）。
+
+$p_{\cdot j}=P\{Y=y_i\}=\sum\limits_{i=1}^\infty P\{X=x_i,Y=y_j\}=\sum\limits_{i=1}^\infty p_{ij}$（$j=1,2,\cdots$）。
+
+\subsection{条件分布律}
+
+条件分布律类比随机事件概率中的条件概率。
+
+\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}如果$(X,Y)\sim p_{ij}$（$i,j=1,2,\cdots$），对固定的$j$，如果$p_{\cdot j}=P\{Y=y_j\}>0$，则称$P\{X=x_i|Y=y_j\}=\dfrac{P\{X=x_i,Y=y_j\}}{P\{Y=y_j\}}=\dfrac{p_{ij}}{p_{\cdot j}}$（$i=1,2,\cdots$）为$X$在$Y=y_j$条件下的\textbf{条件分布}。
+
+同理\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}$Y$在$X=x_i$条件下的\textbf{条件分布}为$P\{Y=y_j|X=x_i\}=\dfrac{p_{ij}}{p_{i\cdot}}$（$j=1,2,\cdots$）。
+
+\section{二维连续型随机变量}
+
+\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}如果二维随机变量$(X,Y)$的联合分布函数$F(x,y)$可表示为$F(x,y)=\int_{-\infty}^x\int_{-\infty}^yf(u,v)\,\textrm{d}u\textrm{d}v$，（$(x,y)\int R^2$），其中$f(x,y)$为非负可积函数，则称$(X,Y)$为\textbf{二维连续型随机变量}，$f(x,y)$为$(X,Y)$的\textbf{概率密度}，记为$(X,Y)\sim f(x,y)$。
+
+二元函数$f(x,y)$是概率密度的充要条件$f(x,y)\geqslant0$，$\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)\,\textrm{d}x\textrm{d}y$\\$=1$。
+
+改变$f(x,y)$有限个点值（仍取非负值），$f(x,y)$仍是概率密度。
+
+\subsection{联合概率密度}
+
+\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}设$(X,Y)$的联合分布函数为$F(x,y)$，概率密度为$f(x,y)$，则
+
+\begin{itemize}
+    \item $F(x,y)$为$(x,y)$的二元连续函数，且$F(x,y)=P\{X\leqslant x,Y\leqslant y\}=\int_{-\infty}^x\int_{-\infty}^xf(u,v)\,\textrm{d}u\textrm{d}v$。
+    \item 设$G$为平面上某个区域，则$P\{(X,Y)\in G\}=\iint\limits_Gf(x,y)\,\textrm{d}x\textrm{d}y$。
+    \item 若$f(x,y)$在点$(x,y)$处连续，则$\dfrac{\partial^2F(x,y)}{\partial x\partial y}=f(x,y)$。
+    \item 若$F(x,y)$连续可导，则$(X,Y)$是连续型随机变量，则$\dfrac{\partial^2F(x,y)}{\partial x\partial y}$是其概率密度。
+\end{itemize}
+
+\subsection{边缘概率密度}
+
+\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}设$(X,Y)\sim f(x,y)$，则$X$的边缘分布函数为$F_X(x)=F(x,+\infty)=\int_{-\infty}^x\left[\int_{-\infty}^{+\infty}f(u,v)\,\textrm{d}v\right]\textrm{d}u$，所以$X$为连续型随机变量，其概率密度$f_X(x)=$\\$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)\,\textrm{d}y$，称$f_X(x)$为$(X,Y)$关于$X$的\textbf{边缘概率密度}。同理$Y$也为连续型随机变量，其概率密度为$f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)\,\textrm{d}x$。
+
+\subsection{条件概率密度}
+
+\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}设$(X,Y)\sim f(x,y)$，边缘概率密度$f_X(x)>0$，则称$f_{Y|X}(y|x)=\dfrac{f(x,y)}{f_X(x)}$为$Y$在$X=x$条件下的\textbf{条件概率密度}。同理$X$在$Y=y$条件下的条件概率密度为$f_{X|Y}(x|y)=\dfrac{f(x,y)}{f_Y(y)}$。
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+若$f_X(x)>0$，$f_Y(y)>0$，则有概率密度乘法公式$f(x,y)=f_X(x)f_{Y|X}(y|x)=f_Y(y)f_{X|Y}(x|y)$。
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+\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}$Y$在$X=x$条件下的\textbf{条件分布函数}为$F_{Y|X}(y|x)=\int_{-\infty}^yf_{Y|X}(y|x)\,\textrm{d}y=\int_{-\infty}^y\dfrac{f(x,y)}{f_X(x)}\textrm{d}y$，同理$X$在$Y=y$条件下的条件分布函数为$F_{X|Y}(x|y)$
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+\subsection{二维均匀分布}
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+\subsection{二维正态分布}
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+\section{随机变量独立性}
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+\subsection{概念}
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+\subsection{充要条件}
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+\subsection{性质}
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+\section{二维随机变量函数分布}
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+\subsection{离散型}
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+\subsection{连续型}
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+\subsection{混合型}
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 \end{document}