更新线代与微分方程

advanced-math/exercise/4-indefinite-integral-and-definite-integral/indefinite-integral-and-definite-integral.tex

@@ -2,7 +2,6 @@
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+% 因为所以
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+% 数学公式
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 \author{Didnelpsun}
 \title{向量代数与空间解析几何}
 \date{}

advanced-math/knowledge/6-differential-calculus-of-multivariate-functions/differential-calculus-of-multivariate-functions.tex

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+% 数学公式
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 \author{Didnelpsun}
 \title{多元函数微分学}
 \date{}

advanced-math/knowledge/7-integral-calculus-of-multivariate-functions/integral-calculus-of-multivariate-functions.tex

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 \author{Didnelpsun}
 \title{多元函数积分学}
 \date{}

advanced-math/knowledge/8-infinite-series/infinite-series.tex

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 \author{Didnelpsun}
 \title{无穷级数}
 \date{}

advanced-math/knowledge/9-differential-equation/differential-equation.tex

@@ -2,6 +2,7 @@
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 \author{Didnelpsun}
 \title{微分方程}
 \date{}
@@ -28,8 +35,53 @@
 \newpage
 \pagestyle{plain}
 \setcounter{page}{1}
-\section{}
 
+本节内容较少。
 
+\section{微分方程基本概念}
+
+表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，即含导数的方程就是微分方程。导数可能是一阶导数也可能是二阶以及以上阶数的导数。
+
+微分方程所出现的未知函数的最高阶导数的阶数就是该微分方程的阶。
+
+$n$阶微分方程的形式是$F(x,y,y',\cdots,y^{(n)})=0$。其中最高阶导数是必须出现的。
+
+若微分方程中的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，则就是微分方程的通解。如若$y''=3$，则$y'=3x+C_1$，$y=\dfrac{3}{2}x^2+C_1x+C_2$，此时含有两个任意常数$C_1C_2$，则微分方程的阶数也为2。
+
+当给出$x=x_0$时$y_0$与$y_0'$的值，那么这些条件就是初值条件，如上面的$y''=3$。
+
+微分方程的解的图形是一条曲线，叫做微分方程的积分曲线，初值问题的集几何意义就是求微分方程的通过某点的积分曲线。
+
+\section{可分离变量的微分方程}
+
+若可以变型为$g(y)\textrm{d}y=f(x)\textrm{d}x$的方程就是可分离变量的微分方程。即将含$y$的放在一边，含$x$的放在另一边。
+
+然后对两边求积分就得到$\int g(y)\,\textrm{d}y=\int f(x)\,\textrm{d}x$，解得$G(y)=F(x)+C$。如$y'=2$，所以$\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}=2$，$\textrm{d}y=2\,\textrm{d}x$，$\int\textrm{d}y=\int2\,\textrm{d}x$，$y=2x+C$。
+
+\textbf{例题：}求微分方程$\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}=2xy$。
+
+$\displaystyle{\int\dfrac{\textrm{d}y}{y}}=\int2x\,\textrm{d}x$，$\ln\vert y\vert=x^2+C$，$\vert y\vert=e^{x^2+C}$。
+
+$\therefore y=\pm e^{x^2}e^C=\pm C_1e^{x^2}=C_2e^{x^2}$。
+
+\textcolor{orange}{注意：}在微分方程部分可以直接$\ln y=x^2+C$而不用管正负号，因为正负号都会被归为常数中。
+
+\section{齐次方程}
+
+若一阶微分方程可化为$\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}=\psi\left(\dfrac{y}{x}\right)$，则这方程就是一个齐次方程。
+
+解决齐次方程问题的过程：令$u=\dfrac{y}{x}$；$y=xu$；$\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}=u+x\dfrac{\textrm{d}u}{\textrm{d}x}$。
+
+\textbf{例题：}求$y^2+x^2\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}=xy\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}$。
+
+得到$\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}=\dfrac{y^2}{xy-x^2}$。
+
+然后将这个等式化为$\dfrac{y}{x}$的形式，分子分母同时除以$x^2$：$\dfrac{\dfrac{y^2}{x^2}}{\dfrac{xy-x^2}{x^2}}=\dfrac{\left(\dfrac{y}{x}\right)^2}{\dfrac{y}{x}-1}$。
+
+从而到第三步：$u+x\dfrac{\textrm{d}u}{\textrm{d}x}=\dfrac{u^2}{u-1}$，$\therefore x\dfrac{\textrm{d}u}{\textrm{d}x}=\dfrac{u^2}{u-1}-u=\dfrac{u}{u-1}$。
+
+$\therefore\dfrac{u-1}{u}\textrm{d}u=\dfrac{\textrm{d}x}{x}$，$\therefore\displaystyle{\int\dfrac{u-1}{u}\textrm{d}u=\int\dfrac{\textrm{d}x}{x}}$，$u-\ln u=\ln x+C$，$\ln xu=u+C$。
+
+代入$u=\dfrac{y}{x}$，得到$\ln y=\dfrac{y}{x}+C$，所以得到$y=Ce^{\frac{y}{x}}$。
 
 \end{document}

linear-algebra/knowledge/1-determinant/determinant.tex

@@ -24,6 +24,8 @@
 % 超链接
 \usepackage{multicol}
 % 分栏
+\usepackage{rotating}
+% 用于旋转对象（旋转包）
 \author{Didnelpsun}
 \title{行列式}
 \date{}
@@ -39,7 +41,7 @@
 
 高数研究连续的问题，而代数研究离散的问题。
 
-行列式本质是研究线性方程组的问题。
+行列式本质是研究线性方程组的问题。行列式本质是一个数，必须是一个长宽相等的形式。
 
 \section{行列式概念}
 
@@ -78,11 +80,13 @@ $
 
 行列式是一个数，是不同行不同列元素乘积的代数和。
 
+横排为行，竖排为列，数$a_{ij}$为元素或元，第一个下标$i$为行标，第二个下标$j$为列标。
+
 二阶三阶行列式的值就是所有左对角线的值减去所有右对角线的值。
 
 \subsection{排列、逆序、逆序数}
 
-由$1,2,\cdots,n$任意组成的有序数组称为一个$n$阶排列，通常用$j_1j_2\cdots j_n$表示$n$阶排列。如9 5 4 7就是一个4阶排列。
+由$1,2,\cdots,n$任意组成的有序数组称为一个$n$阶排列（全排列），通常用$j_1j_2\cdots j_n$表示$n$阶排列。如9 5 4 7就是一个4阶排列。
 
 一个排列中，若一个大的数排在一个小的数的前面，就称为这两个数构成一个逆序。如9 5 4 7的9和4就构成一个逆序。
 
@@ -92,6 +96,12 @@ $
 
 若是1 2 $\cdots$ n按序排列，称为这个排列为自然排列，逆序数为0，是偶排列。
 
+将任意两个元素对调，其他元素不动就是对换，若这两个元素相邻则是相邻对换。
+
+一个排列中任意两个元素对换，排列奇偶性变化。
+
+奇排列对换成标准排列（一般为自然排列）的对换次数为奇数，偶排列的对换次数为偶数。
+
 \subsection{n阶行列式}
 
 $
@@ -128,13 +138,36 @@ $\left|\begin{array}{cccc}
      & & & a_{nn}
 \end{array}\right|=a_{11}\cdots a_{nn}$
 
-    上三角行列式：包括主对角线的右上部分元素不全为0，左下部分元素全为0。
+上三角行列式：包括主对角线的右上部分元素不全为0，左下部分元素全为0。
 
 
-    下三角行列式：包括主对角线的左下部分元素不全为0，右上部分元素全为0。
+下三角行列式：包括主对角线的左下部分元素不全为0，右上部分元素全为0。
 
 
-    对角行列式：省略号处的元素不全为0，其他主对角线外的元素全为0。
+对角行列式：省略号处的元素不全为0，其他主对角线外的元素全为0。
+
+\subsubsection{反三角行列式}
+
+$\left|\begin{array}{cccc} 
+     & & & a_{1n} \\
+     & & \begin{turn}{80}$\ddots$\end{turn} & a_{2n} \\
+     &  \begin{turn}{80}$\ddots$\end{turn} & \cdots & \vdots  \\
+    a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
+\end{array}\right|=
+\left|\begin{array}{cccc} 
+    a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
+    a_{21} & \cdots & \begin{turn}{80}$\ddots$\end{turn} & \\
+    \vdots & \begin{turn}{80}$\ddots$\end{turn} & & \\
+    a_{n1} & & &
+\end{array}\right|=
+\left|\begin{array}{cccc} 
+     & & & a_{1n} \\
+     & & \begin{turn}{80}$\ddots$\end{turn} & \\
+     & \begin{turn}{80}$\ddots$\end{turn} & & \\
+    a_{n1} & & &
+\end{array}\right|=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}a_{1n}\cdots a_{n1}$
+
+可以从第$n$行开始向上相邻对换$n-1$次到达第$1$层，依此类推，反下三角可以对换成上三角行列式，对换次数为$(n-1),(n-2),\cdots,1$一共$\dfrac{n(n-1)}{2}$次，反上三角行列式也同理。
 
 \subsubsection{范德蒙德行列式}
 
@@ -143,7 +176,7 @@ $\left|\begin{array}{cccc}
     $\left|\begin{array}{cccc} 
         1 & 1 & \cdots & 1 \\
         a_1 & a_2  & \cdots & a_n \\
-        \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
+        \cdots & \cdots & \vdots & \cdots \\
         a_1^{n-1} & a_2^{n-1} & \cdots & a_n^{n-1} \\
     \end{array}\right|$
 
@@ -241,8 +274,16 @@ $\forall a_{ij}$，$D$中划去$i$行，$j$列余下元素而成的$n-1$阶行
 
 令$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$，其就是$a_{ij}$的代数余子式。
 
+若一个$n$阶行列式，若其中第$i$行所有元素除$(i,j)$元$a_{ij}$外都是零，则行列式值$D=a_{ij}A_{ij}$。
+
 \subsection{展开公式}
 
-\section{克拉默法则}
+行列式等于其任一行或列的各元素与对应的代数余子式乘积之和。
+
+即$D=a_{i1}A_{i1}+\cdots+a_{in}A_{in}$或$D=a_{1j}A_{1j}+\cdots+a_{nj}A_{nj}$。
+
+若元素与不对应的代数余子式乘积之和必然为0。
+
+即$a_{i1}A_{k1}+\cdots+a_{in}A_{kn}=0$。
 
 \end{document}

linear-algebra/knowledge/2-matrix/matrix.tex

@@ -34,5 +34,9 @@
 \newpage
 \pagestyle{plain}
 \setcounter{page}{1}
-\section{}
+
+矩阵本质是一个表格。
+
+\section{矩阵定义}
+
 \end{document}