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Didnelpsun
Binary file not shown.
@@ -204,15 +204,15 @@ $$
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\subsubsection{有界性}
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函数指明定义域区间才能讨论函数是否有界。
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\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}函数$f(x)$的定义域$D$，数集$I\in D$，如果存在某正数$M$，对于任一$x\in I$，有$\vert f(x)\vert\leqslant M$，则$f(x)$在$I$上有界，否则无界。
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证明有界性：函数$f(x)$的定义域$D$，数集$I\in D$，如果存在某正数$M$，对于任一$x\in I$，有$\vert f(x)\vert\leqslant M$，则$f(x)$在$I$上有界，否则无界。
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函数指明定义域区间才能讨论函数是否有界。
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如果$f(x)\geqslant M$有下界，$f(x)\leqslant M$则有上界。
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\subsubsection{单调性}
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$y=f(x)\,x\in D$，如果$\forall x_1,x_2\in D$且$x_1<x_2$，有$f(x_1)<f(x_2)$，则函数在$D$上单调递增。反之则单调递减。
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\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}$y=f(x)\,x\in D$，如果$\forall x_1,x_2\in D$且$x_1<x_2$，有$f(x_1)<f(x_2)$，则函数在$D$上单调递增。反之则单调递减。
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\medskip
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@@ -289,9 +289,7 @@ $f(x+T)=f(x)$，其中T为周期。 \medskip
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\textbf{例题：}用定义证明$\lim\limits_{x\to\infty}\left[1+\dfrac{(-1)^n}{n}\right]=1$
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证明：
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\ding{172}计算距离：$\left\vert 1+\dfrac{(-1)^n}{n}-1\right\vert=\left\vert\dfrac{(-1)^n}{n}\right\vert<\varepsilon$。
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证明：\ding{172}计算距离：$\left\vert 1+\dfrac{(-1)^n}{n}-1\right\vert=\left\vert\dfrac{(-1)^n}{n}\right\vert<\varepsilon$。
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\ding{173}解得到：$\dfrac{1}{n}<\varepsilon$，反解为$n>\dfrac{1}{\varepsilon}$。
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@@ -303,9 +301,7 @@ $\therefore$证明完毕。
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\textbf{例题：}用定义证明$\lim\limits_{n\to\infty}q^n=0$（$q$为常数且$\vert q\vert<1$）。
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证明：
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\ding{172}$\vert q^n-0\vert<\varepsilon$。
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证明：\ding{172}$\vert q^n-0\vert<\varepsilon$。
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\ding{173}$\vert q^n\vert<\varepsilon$，取对数进行反解$n\ln\vert q\vert<\ln\varepsilon$，又因为$\vert q\vert<1$，所以$\ln\vert q\vert<0$，所以得到$n>\dfrac{\ln\varepsilon}{\ln\vert q\vert}$。（若$\varepsilon>1$则$n$就是负数，这样条件必然成立）
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@@ -317,9 +313,9 @@ $\therefore$当$n>N$时，必然$n>\dfrac{\ln\varepsilon}{\ln\vert q\vert}$，
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\subsubsection{数列绝对值}
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\textbf{例题：}证明若$\lim\limits_{x\to\infty}a_n=A$，则$\lim\limits_{x\to\infty}\vert a_n\vert=\vert A\vert$。
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\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}若$\lim\limits_{x\to\infty}a_n=A$，则$\lim\limits_{x\to\infty}\vert a_n\vert=\vert A\vert$。
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因为$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0,\exists N>0,\text{当}n>N$，恒有$\vert a_n-A\vert<\varepsilon$。
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证明：$\because\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0,\exists N>0,\text{当}n>N$，恒有$\vert a_n-A\vert<\varepsilon$。
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又由重要不等式$\vert\vert a\vert-\vert b\vert\vert\leqslant\vert a-b\vert$，所以$\vert\vert a_n-\vert A\vert\vert\leqslant\varepsilon$。
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@@ -350,9 +346,7 @@ $\therefore$当$n>N$时，必然$n>\dfrac{\ln\varepsilon}{\ln\vert q\vert}$，
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\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}若数列$\{x_n\}$收敛于$a$，则$a$是唯一的。
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证明：
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设$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A$且$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=B$且$A\neq B$。
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证明：设$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A$且$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=B$且$A\neq B$。
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不如设$A>B$。任意取$\varepsilon=\dfrac{A-B}{2}>0$。
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@@ -378,9 +372,7 @@ $\therefore\exists N_2>0$，当$n>N_2$时，$\vert a_n-B\vert<\dfrac{A-B}{2}$。
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即$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A$，则存在$M>0$，使得$\vert a_n\vert\leqslant M$。
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证明：
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由极限定义，取$\varepsilon=1$。
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证明：由极限定义，取$\varepsilon=1$。
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$\because\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A$
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@@ -408,9 +400,7 @@ $\forall n$，有$\vert a_n\vert\leqslant M$
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推论，戴帽法：若数列$\{a_n\}$从某项开始$a_n\geqslant b$，且$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=a$，则$a\geqslant b$。这里一定要带等号。
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证明：
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设$A>0$，取$\varepsilon=\dfrac{A}{2}>0$。
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证明：设$A>0$，取$\varepsilon=\dfrac{A}{2}>0$。
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$\because\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A$
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@@ -420,7 +410,7 @@ $\therefore\exists N>0$，当$n>N$时，$\vert a_n-A\vert<\dfrac{A}{2}\Rightarro
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\subsection{海涅定理（归结原则）}
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设$f(x)$在$\mathring{U}(x_0,\delta)$内有定义，则$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A$存在$\Leftrightarrow$对任何$\mathring{U}(x_0,\delta)$内以$x_0$为极限的数列$\{x_n\}(x_n\neq x_0)$，极限$\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)=A$存在。
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\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}设$f(x)$在$\mathring{U}(x_0,\delta)$内有定义，则$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A$存在$\Leftrightarrow$对任何$\mathring{U}(x_0,\delta)$内以$x_0$为极限的数列$\{x_n\}(x_n\neq x_0)$，极限$\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)=A$存在。
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海涅定理用来连接数列极限与函数极限。在极限存在下他们可以相互转换。
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@@ -452,7 +442,7 @@ $\therefore e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{x^2}\ln\frac{\tan x}{x}}=e^{\lim\lim
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\subsubsection{极限定义}
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设函数$f(x)$在点$x_0$的某一个去心邻域有定义，若存在常数$A$，对于任意给定的$\varepsilon>0$，总存在正数$\delta$，使得当$0<\vert x-x_0\vert<\delta$式，对应的函数值$f(x)$都满足不等式$\vert f(x)-A\vert <\varepsilon$，则$A$就是函数$f(x)$当$x\to x_0$时的极限，记作$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A$或$f(x)\rightarrow A(x\rightarrow x_0)$。
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\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}设函数$f(x)$在点$x_0$的某一个去心邻域有定义，若存在常数$A$，对于任意给定的$\varepsilon>0$，总存在正数$\delta$，使得当$0<\vert x-x_0\vert<\delta$式，对应的函数值$f(x)$都满足不等式$\vert f(x)-A\vert <\varepsilon$，则$A$就是函数$f(x)$当$x\to x_0$时的极限，记作$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A$或$f(x)\rightarrow A(x\rightarrow x_0)$。
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写成$\varepsilon-\delta$语言：$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0,\text{当}0<\vert x-x_0\vert<\delta$时，有$\vert f(x)-A\vert\varepsilon$。
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@@ -503,11 +493,11 @@ $\therefore e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{x^2}\ln\frac{\tan x}{x}}=e^{\lim\lim
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\subsubsection{唯一性}
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若极限存在，则极限唯一。
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\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}若极限存在，则极限唯一。
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\subsubsection{局部有界性}
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若极限存在且为$A$，则存在正常数$M$和$\delta$，使得当$0<\vert x-x_0\vert<\delta$时，有$\vert f(x)\vert\leqslant M$。
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\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}若极限存在且为$A$，则存在正常数$M$和$\delta$，使得当$0<\vert x-x_0\vert<\delta$时，有$\vert f(x)\vert\leqslant M$。
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\begin{enumerate}
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\item 极限存在是函数局部有界性的充分不必要条件。
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@@ -571,13 +561,11 @@ $\lim\limits_{x\to -1}\dfrac{\vert x\vert\sin(x-2)}{x(x-1)(x-2)^2}=-\dfrac{\sin
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\subsubsection{局部保号性}
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若极限存在，则存在常数$\delta>0$，使得当$0<\vert x-x_0\vert<\delta$时，$f(x)$与$A$同号。
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\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}若极限存在，则存在常数$\delta>0$，使得当$0<\vert x-x_0\vert<\delta$时，$f(x)$与$A$同号。
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简单来说，函数值在$x\to x_0$时函数值与极限值同号。
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证明局部保号性：
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首先根据极限存在定义：$\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0,0<\vert x-x_0\vert<\delta$时，恒有$\vert f(x)-A\vert<\varepsilon$。
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证明：首先根据极限存在定义：$\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0,0<\vert x-x_0\vert<\delta$时，恒有$\vert f(x)-A\vert<\varepsilon$。
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$\Rightarrow -\varepsilon<f(x)-A<\varepsilon$。
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@@ -710,9 +698,7 @@ $\Rightarrow A-\varepsilon<f(x)<A+\varepsilon$。
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\item 则$\lim\limits_{n\to\infty}x_n=a$。
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\end{enumerate}
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证明：
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由于$\lim\limits_{n\to\infty}y_n=a,\lim\limits_{n\to\infty}z_n=a$。
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证明：由于$\lim\limits_{n\to\infty}y_n=a,\lim\limits_{n\to\infty}z_n=a$。
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则$\forall\varepsilon>0$，$\exists N$，当$n>N$时，$\vert y_n<\varepsilon$，$\vert z_n<\varepsilon$。
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@@ -877,9 +863,7 @@ $\therefore\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$。
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书上通过数列进行单调有界定理证明极限存在性。
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证明：
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$\lim\limits_{x\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x=\lim\limits_{x\to\infty}e^{\ln(1+\frac{1}{x})^x}=\lim\limits_{x\to\infty}e^{x\ln(1+\frac{1}{x})}=e^{\lim\limits_{x\to\infty}x\ln(1+\frac{1}{x})}=e^{\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\ln(1+\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}}$
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证明：$\lim\limits_{x\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x=\lim\limits_{x\to\infty}e^{\ln(1+\frac{1}{x})^x}=\lim\limits_{x\to\infty}e^{x\ln(1+\frac{1}{x})}=e^{\lim\limits_{x\to\infty}x\ln(1+\frac{1}{x})}=e^{\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\ln(1+\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}}$
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$=e^{\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\left(\frac{1}{1+\frac{1}{x}}\right)\cdot\left(-\frac{1}{x^2}\right)}{-\frac{1}{x^2}}}=e^{\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{1+x}}=e$\medskip
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@@ -971,7 +955,7 @@ $=e^{\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\left(\frac{1}{1+\frac{1}{x}}\right)\cdot\lef
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\subsubsection{可去间断点（可补间断点）}
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若$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A\neq f(x_0)$（甚至可以没有定义）。
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\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}若$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A\neq f(x_0)$（甚至可以没有定义）。
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\begin{tikzpicture}
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\draw[-latex](-0.5,0) -- (3,0) node[below]{$x$};
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@@ -988,7 +972,7 @@ $=e^{\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\left(\frac{1}{1+\frac{1}{x}}\right)\cdot\lef
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\subsubsection{跳跃间断点}
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若$\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)$与$\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)$都存在，但是$\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)\neq\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)$。
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\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}若$\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)$与$\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)$都存在，但是$\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)\neq\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)$。
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\begin{tikzpicture}
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\draw[-latex](-0.5,0) -- (3,0) node[below]{$x$};
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@@ -1008,7 +992,7 @@ $=e^{\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\left(\frac{1}{1+\frac{1}{x}}\right)\cdot\lef
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\subsubsection{无穷间断点}
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若$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\infty$，或至少一个方向为无穷大（定义分歧）。如$y=\dfrac{1}{x}$在$x=0$处为无穷间断点。
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\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}若$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\infty$，或至少一个方向为无穷大（定义分歧）。如$y=\dfrac{1}{x}$在$x=0$处为无穷间断点。
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\begin{tikzpicture}
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\draw[-latex](-2,0) -- (2,0) node[below]{$x$};
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@@ -1020,7 +1004,7 @@ $=e^{\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\left(\frac{1}{1+\frac{1}{x}}\right)\cdot\lef
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\subsubsection{振荡间断点}
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若$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$为振荡不存在。如$\lim\limits_{x\to 0}\sin\dfrac{1}{x}$的$x=0$就是振荡间断点。
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\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}若$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$为振荡不存在。如$\lim\limits_{x\to 0}\sin\dfrac{1}{x}$的$x=0$就是振荡间断点。
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\begin{tikzpicture}
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\draw[-latex](-2,0) -- (2,0) node[below]{$x$};
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Binary file not shown.
@@ -77,11 +77,11 @@ $f'_+(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0^+}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\D
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若$f(x)$在$x_0$处导数为无穷，如$y=x^{\frac{1}{3}}$在$0$处利用导数的极限定义计算得到为正无穷，那么该点的导数为无穷导数，在考研中被认为是不存在的。
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\textbf{例题：}证明若$f(x)$为可导的偶函数，则$f'(x)$为奇函数，若$f(x)$为可导的奇函数，则$f'(x)$为偶函数。
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\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}若$f(x)$为可导的偶函数，则$f'(x)$为奇函数，若$f(x)$为可导的奇函数，则$f'(x)$为偶函数。
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该证明是准备部分的定理。
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首先已知$f(-x)=f(x)$，证明$f'(-x)=-f'(x)$。
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证明：首先已知$f(-x)=f(x)$，证明$f'(-x)=-f'(x)$。
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$\therefore$
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@@ -96,9 +96,9 @@ $
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同理得证$f(-x)=-f(x)\Rightarrow f'(-x)=f'(x)$。
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\textbf{例题：}证明$f(x)$为可导的周期为$T$的周期函数，则$f'(x)$也是以$T$为周期的周期函数。
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\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}$f(x)$为可导的周期为$T$的周期函数，则$f'(x)$也是以$T$为周期的周期函数。
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已知$f(x+T)=f(x)$，求证$f'(x+T)=f'(x)$。\medskip
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证明：已知$f(x+T)=f(x)$，求证$f'(x+T)=f'(x)$。\medskip
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$\therefore f'(x+T)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+T+\Delta x)-f(x+T)}{\Delta x}$
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@@ -130,17 +130,15 @@ $=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{x^\alpha\left[\left(1+\dfrac{\Delta x}{x}\ri
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\subsection{可导与连续的关系}
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可导必连续，连续不一定可导。
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\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}可导必连续，连续不一定可导。
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\textbf{例题：}证明可导必连续。
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已知连续定义：$\lim\limits_{\Delta x\to 0}f(x+\Delta x)=f(x)$，即$\lim\limits_{\Delta x\to 0}f(x+\Delta x)-f(x)=0$。
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证明：已知连续定义：$\lim\limits_{\Delta x\to 0}f(x+\Delta x)=f(x)$，即$\lim\limits_{\Delta x\to 0}f(x+\Delta x)-f(x)=0$。
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可导定义：$f'(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} = A$
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$\lim\limits_{\Delta x\to 0}f(x+\Delta x)-f(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\cdot\Delta x=A\cdot 0=0$
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\textbf{例题：}若$f(x)$在$x=x_0$处连续，且$\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{x-x_0}=A$，则$f(x_0)=0$且$f'(x_0)=A$。
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\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}若$f(x)$在$x=x_0$处连续，且$\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{x-x_0}=A$，则$f(x_0)=0$且$f'(x_0)=A$。
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证明：$\because\text{连续，}\therefore f(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{x-x_0}(x-x_0)=A\cdot 0=0$。
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@@ -160,9 +158,9 @@ $\lim\limits_{\Delta x\to 0}f(x+\Delta x)-f(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac
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\item 商的导数：$\left[\dfrac{u(x)}{v(x)}\right]'=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}$，$v(x)\neq 0$。
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\end{enumerate}
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\textbf{例题：}证明$(uv)'=u'v+uv'$。
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证明$(uv)'=u'v+uv'$。
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令$f(x)=u(x)v(x)$。
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证明：令$f(x)=u(x)v(x)$。
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$(u\cdot v)'$
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@@ -212,7 +210,7 @@ $\because y=f(x)$，$\therefore x=\varphi(y)$，$x_{yy}''=\varphi''(y)=-\dfrac{y
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\subsection{复合函数的导数}
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$u=g(x)$在$x$可导，$y=f(u)$在$u=g(x)$处可导，则$\{f[g(x)]\}'=f'[g(x)]g'(x)$。
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\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}$u=g(x)$在$x$可导，$y=f(u)$在$u=g(x)$处可导，则$\{f[g(x)]\}'=f'[g(x)]g'(x)$。
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\textbf{例题：}设$f(x)=\prod\limits_{n=1}^{100}\left(\tan\dfrac{\pi x^n}{4}-n\right)$，则$f'(1)$为？
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@@ -350,7 +348,7 @@ $y^{(n)}=\sin(x+\dfrac{\pi}{2}\cdot n)$
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\subsection{莱布尼茨公式}
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设$u=u(x)$，$v=v(x)$均$n$阶可导，则$(uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^nC_n^ku^{(n-k)}v^{(k)}$。
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\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}设$u=u(x)$，$v=v(x)$均$n$阶可导，则$(uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^nC_n^ku^{(n-k)}v^{(k)}$。
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展开：$(uv)^{(n)}=C_n^0u^{(n)}v^{(0)}+C_n^1u^{(n-1)}v'+\cdots+C_n^nu^{(0)}v^{(n)}$。
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@@ -446,7 +444,7 @@ $
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\subsection{参数方程函数导数}
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设函数$y=y(x)$由参数方程$\left\{
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\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}设函数$y=y(x)$由参数方程$\left\{
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\begin{array}{l}
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x=\varphi(t) \\
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y=\psi(t)
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@@ -537,7 +535,7 @@ $\therefore \textrm{d}y\vert_{x=x_0}=A\Delta x=y'(x_0)\cdot\Delta x=y'(x_0)\cdot
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\subsubsection{微分形式不变性}
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设$y=f(u)$可微，$u=g(x)$可微，则$y=f(g(x))$可微，且$\textrm{d}y=y'_{x}\textrm{d}x=y'_{u}\textrm{d}u$。即对哪个变量求导都是一样的，即$\textrm{d}\{f\,[g(x)]\}=f\,'[g(x)]g'(x)\textrm{d}x$。
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\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}设$y=f(u)$可微，$u=g(x)$可微，则$y=f(g(x))$可微，且$\textrm{d}y=y'_{x}\textrm{d}x=y'_{u}\textrm{d}u$。即对哪个变量求导都是一样的，即$\textrm{d}\{f\,[g(x)]\}=f\,'[g(x)]g'(x)\textrm{d}x$。
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一阶微分形式不变性指：$\textrm{d}f\,(\varsigma)=f\,'(\varsigma)\textrm{d}\varsigma$，无论$\varsigma$是什么（类似导数的链式求导法则）。
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Binary file not shown.
@@ -258,9 +258,9 @@ $\therefore \dfrac{y^{(6)}(0)}{6!}=-\dfrac{1}{6}\Rightarrow y^{(6)}(0)=-5!=-120$
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$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x-\sin x}{x^3}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x-\left[x-\dfrac{1}{6}x^3+o(x^3)\right]}{x^3}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\dfrac{1}{6}x^3+o(x^3)}{x^3}=\dfrac{1}{6}$
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\subsubsection{\texorpdfstring{$A-B$}\ 型，幂次最低}
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\subsubsection{\texorpdfstring{$A-B$}\ 型，幂次最高}
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将$A$，$B$分别展到他们系数不相等的$x$的最低次幂为止。
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将$A$，$B$分别展到他们系数不相等的$x$的最高次幂为止。
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如已知当$x\to 0$时，$\cos x-e^{-\frac{x^2}{2}}$与$ax^k$为等价无穷小，求$a$，$b$。
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@@ -484,7 +484,7 @@ $\forall x\in U(x_0,\delta)$恒有$f(x)\leqslant f(x_0)$，则$f(x)$在$x_0$取
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曲率\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}表明曲线在某一点的弯曲程度的数值，针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，通过微分来定义，表明曲线偏离直线的程度。曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大。
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曲率的倒数就是曲率半径。\medskip
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曲率的倒数就是\textbf{曲率半径}。\medskip
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\begin{minipage}{0.5\linewidth}
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两点切线改变角相同时，弯曲程度与两点之间的弧长度成反比。
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@@ -548,12 +548,12 @@ $\forall x\in U(x_0,\delta)$恒有$f(x)\leqslant f(x_0)$，则$f(x)$在$x_0$取
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$\therefore\dfrac{\textrm{d}\alpha}{\textrm{d}x}=\dfrac{y''}{1+y'^2}\Rightarrow\textrm{d}\alpha=\dfrac{y''}{1+y\,'^2}\textrm{d}x$。
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$\therefore k=\left\lvert\dfrac{\textrm{d}\alpha}{\textrm{d}s}\right\rvert=\dfrac{\vert y''\vert}{(1+y'^2)^{\frac{3}{2}}}$。
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$\therefore \textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}k=\left\lvert\dfrac{\textrm{d}\alpha}{\textrm{d}s}\right\rvert=\dfrac{\vert y''\vert}{(1+y'^2)^{\frac{3}{2}}}$。
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\subsection{曲率半径}
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\begin{minipage}{0.5\linewidth}
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$\bigcirc O$为函数$L$在点$X$处的曲率圆，该圆与$L$在$X$处相切，切线为$T$。
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$\odot\,O$为函数$L$在点$X$处的曲率圆，该圆与$L$在$X$处相切，切线为$T$。
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该点的曲率半径为$R$，其中$R=\dfrac{1}{K}$。
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\end{minipage}
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Binary file not shown.
@@ -43,13 +43,13 @@
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\subsection{定义}
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设$f(x)$定义在区间$I$上，若存在可导函数$F(x)$，使得$F'(x)=f(x)$对于任意$x\in I$都成立，则称$F(x)$为$f(x)$在区间$I$上的一个原函数。
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设$f(x)$定义在区间$I$上，若存在可导函数$F(x)$，使得$F'(x)=f(x)$对于任意$x\in I$都成立，则称$F(x)$为$f(x)$在区间$I$上的一个\textbf{原函数}。
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连续函数必有原函数。而反之有原函数不一定是连续函数。
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\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}连续函数必有原函数。而反之有原函数不一定是连续函数。
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任意的两个原函数只相差一个常数。
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\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}任意的两个原函数只相差一个常数。
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在区间$I$上，函数$f(x)$带有任意常数项的原函数$F(x)+C$称为$f(x)/f(x)\,\textrm{d}x$在该区间上的不定积分，记为$\int f(x)\,\textrm{d}x$，其中$\int$为积分号，$f(x)$为被积函数，$f(x)\,\textrm{d}x$为被积表达式，$x$为积分变量。
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在区间$I$上，函数$f(x)$带有任意常数项的原函数$F(x)+C$称为$f(x)/f(x)\,\textrm{d}x$在该区间上的不定积分，记为$\int f(x)\,\textrm{d}x$，其中$\int$为\textbf{积分号}，$f(x)$为\textbf{被积函数}，$f(x)\,\textrm{d}x$为\textbf{被积表达式}，$x$为\textbf{积分变量}。
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积分就是导数的逆运算。$\int f(x)\,\textrm{d}x=F(x)+C$，$F'(x)=f(x)$。
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@@ -241,6 +241,8 @@ $\therefore\int\sec^3x\,\textrm{d}x =\dfrac{\sec x\tan x+\ln\vert\sec x+\tan x\v
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当然如果多项式是无法拆分为一次的多个式子，那就无法使用有理函数积分的化简方式。
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\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}
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$\dfrac{P}{(A_0x^a+A_1x^{a-1}+\cdots+A_ax^0)\cdots(N_0x^n+N_1x^{n-1}+\cdots+N_nx^0)}$ \medskip
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$=\dfrac{a_0x^{a-1}+a_1x^{a-2}+\cdots+a_{a-1}x^0}{A_0x^a+A_1x^{a-1}+\cdots+A_ax^0}+\cdots+\dfrac{n_0x^{n-1}+n_1x^{n-2}+\cdots+n_{n-1}x^0}{N_0x^n+N_1x^{n-1}+\cdots+N_nx^0}$ \medskip
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@@ -273,6 +275,8 @@ $=(A+B+C)x^3+(5A+4B+3C+D)x^2+(7A+4B+2C+3D)x+(2A+B+2D)$
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所以$\dfrac{2x}{(x+1)(x+2)(x^2+3x+1)}=-\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{2x+3}{x^2+3x+1}$。\medskip
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\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}
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$\dfrac{P}{x^n}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B_0x+B_1}{x^2}+\cdots+\dfrac{N_0x^{n-1}+\cdots+N_{n-1}x^0}{x^n}$ \medskip
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如$\dfrac{2x}{(1+x)(x^2+1)^2}=-\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{2}\dfrac{x-1}{x^2+1}+\dfrac{x+1}{(x^2+1)^2}$。
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@@ -398,9 +402,9 @@ $\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x=F(b)-F(a)=F'(\xi)(b-a)=f(\xi)(b-a)(a<\xi b)$。
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\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}若函数$f(x)$在区间$[a,+\infty)$上连续，且极限$\lim\limits_{t\to+\infty}\int_a^tf(x)\,\textrm{d}x$存在，则称反常积分$\int_a^{+\infty}f(x)\,\textrm{d}x$收敛，且这极限就是该反常积分的值，若该极限不存在，则反常积分$\int_a^{+\infty}f(x)\,\textrm{d}x$发散。
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同理可以给出定义$\int_{-\infty}^af(x)\,\textrm{d}x=\lim\limits_{t\to-\infty}\int_t^af(x)\,\textrm{d}x$。
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同理可以给出\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}$\int_{-\infty}^af(x)\,\textrm{d}x=\lim\limits_{t\to-\infty}\int_t^af(x)\,\textrm{d}x$。
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无穷限反常积分$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,\textrm{d}x=\int_{-\infty}^0f(x)\,\textrm{d}x+\int_0^{+\infty}f(x)\,\textrm{d}x$。
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无穷限反常积分\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,\textrm{d}x=\int_{-\infty}^0f(x)\,\textrm{d}x+\int_0^{+\infty}f(x)\,\textrm{d}x$。
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\subsubsection{无界函数}
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@@ -51,17 +51,17 @@
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表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，即含导数的方程就是微分方程。导数可能是一阶导数也可能是二阶以及以上阶数的导数。
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微分方程所出现的未知函数的最高阶导数的阶数就是该微分方程的阶。
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微分方程所出现的未知函数的最高阶导数的阶数就是该微分方程的\textbf{阶}。
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$n$阶微分方程的形式是$F(x,y,y',\cdots,y^{(n)})=0$。其中最高阶导数是必须出现的。若能从中解出最高阶导数，则可得微分方程$y^{(n)}=f(x,y,y',\cdots,y^{(n-1)})$。
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若微分方程中的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，则就是微分方程的通解。
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若微分方程中的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，则就是微分方程的\textbf{通解}。
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如若$y''=3$，则$y'=3x+C_1$，$y=\dfrac{3}{2}x^2+C_1x+C_2$，此时含有两个任意常数$C_1C_2$，则微分方程的阶数也为2。
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确定通解中任意常数后，就得到微分方程的特解。
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确定通解中任意常数后，就得到微分方程的\textbf{特解}。
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当给出$x=x_0$时$y_0$与$y_0'$的值，那么这些条件就是初值条件，如上面的$y''=3$。
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当给出$x=x_0$时$y_0$与$y_0'$的值，那么这些条件就是\textbf{初值条件}，如上面的$y''=3$。
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求微分方程$y'=f(x,y)$满足初值条件$y\vert_{x=x_0}=y_0$的特解这样的问题，就是一阶微分方程的初值问题，记为$\left\{\begin{array}{l}
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y'=f(x,y) \\
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@@ -69,7 +69,7 @@ $n$阶微分方程的形式是$F(x,y,y',\cdots,y^{(n)})=0$。其中最高阶导
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\end{array}
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\right.$。
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微分方程的解的图形是一条曲线，叫做微分方程的积分曲线，初值问题的集几何意义就是求微分方程的通过某点的积分曲线。
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微分方程的解的图形是一条曲线，叫做微分方程的\textbf{积分曲线}，初值问题的集几何意义就是求微分方程的通过某点的积分曲线。
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\textbf{例题：}判断函数$x=C_1\cos kt+C_2\sin kt$是否是微分方程$\dfrac{\textrm{d}^2x}{\textrm{d}t^2}+k^2x=0$的解，若是则令其为$k\neq0$时方程的通解，求满足初值条件$x\vert_{t=0}=A$，$\dfrac{\textrm{d}x}{\textrm{d}t}\bigg\vert_{t=0}=0$时的特解。
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@@ -161,7 +161,7 @@ $=\dfrac{(A_1\lambda+B_1)v+A_1C_2+B_1C_1}{\lambda v+C_2}$。此时未知数只
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若$Q(x)\equiv 0$，则是齐次一阶线性微分方程，可化为$\dfrac{\textrm{d}y}{y}=-P(x)\,\textrm{d}x$，$\ln y=\int P(x)\,\textrm{d}x+C'$，$y=e^{-\int P(x)\,\textrm{d}x}\cdot e^{C'}$，$y=Ce^{-\int P(x)\,\textrm{d}x}$。
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若$Q(x)\neq 0$，则是非齐次一阶线性微分方程，令$y=ue^{-\int P(x)\,\textrm{d}x}$，求$u$这个关于$x$的函数的具体值，这就是\textcolor{orange}{常数变易法}。代入$\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}+P(x)y=Q(x)$，得到$u'e^{-\int P(x)\,\textrm{d}x}-ue^{-\int P(x)\,\textrm{d}x}P(x)+P(x)ue^{-\int P(x)\,\textrm{d}x}=Q(x)$，得到$u'e^{-\int P(x)\,\textrm{d}x}=Q(x)$，从而得到$u'$，再对$u'$积分得到$u=\displaystyle{\int Q(x)e^{\int P(x)\,\textrm{d}x}\,\textrm{d}x}+C$。从而代入$y=ue^{-\int P(x)\,\textrm{d}x}$，得到$y=e^{-\int P(x)\,\textrm{d}x}\left(\displaystyle{\int Q(x)e^{\int P(x)\,\textrm{d}x}\,\textrm{d}x}+C\right)$。非齐次通解就是其齐次通解加上一个非齐次的特解。
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||||
若$Q(x)\neq 0$，则是非齐次一阶线性微分方程，令$y=ue^{-\int P(x)\,\textrm{d}x}$，求$u$这个关于$x$的函数的具体值，这就是\textbf{常数变易法}。代入$\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}+P(x)y=Q(x)$，得到$u'e^{-\int P(x)\,\textrm{d}x}-ue^{-\int P(x)\,\textrm{d}x}P(x)+P(x)ue^{-\int P(x)\,\textrm{d}x}=Q(x)$，得到$u'e^{-\int P(x)\,\textrm{d}x}=Q(x)$，从而得到$u'$，再对$u'$积分得到$u=\displaystyle{\int Q(x)e^{\int P(x)\,\textrm{d}x}\,\textrm{d}x}+C$。从而代入$y=ue^{-\int P(x)\,\textrm{d}x}$，得到\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}$y=e^{-\int P(x)\,\textrm{d}x}\left(\displaystyle{\int Q(x)e^{\int P(x)\,\textrm{d}x}\,\textrm{d}x}+C\right)$。非齐次通解就是其齐次通解加上一个非齐次的特解。
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\textbf{例题：}求$\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}=\dfrac{1}{x+y}$。
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Binary file not shown.
@@ -2,6 +2,9 @@
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% UTF8编码，ctexart现实中文
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\usepackage{color}
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% 使用颜色
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\definecolor{orange}{RGB}{255,127,0}
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\definecolor{violet}{RGB}{192,0,255}
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\definecolor{aqua}{RGB}{0,255,255}
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\usepackage{geometry}
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\setcounter{tocdepth}{4}
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\setcounter{secnumdepth}{4}
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@@ -80,27 +83,27 @@ $
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行列式是一个数，是不同行不同列元素乘积的代数和。
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横排为行，竖排为列，数$a_{ij}$为元素或元，第一个下标$i$为行标，第二个下标$j$为列标。
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横排为\textbf{行}，竖排为\textbf{列}，数$a_{ij}$为\textbf{元素}或\textbf{元}，第一个下标$i$为\textbf{行标}，第二个下标$j$为\textbf{列标}。
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二阶三阶行列式的值就是所有左对角线的值减去所有右对角线的值。
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对角线法则\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}二阶三阶行列式的值就是所有左对角线的值减去所有右对角线的值。
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\subsection{排列、逆序、逆序数}
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由$1,2,\cdots,n$任意组成的有序数组称为一个$n$阶排列（全排列），通常用$j_1j_2\cdots j_n$表示$n$阶排列。如9 5 4 7就是一个4阶排列。
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||||
由$1,2,\cdots,n$任意组成的有序数组称为一个$n$阶排列（\textbf{全排列}），通常用$j_1j_2\cdots j_n$表示$n$阶排列。如9 5 4 7就是一个4阶排列。
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||||
一个排列中，若一个大的数排在一个小的数的前面，就称为这两个数构成一个逆序。如9 5 4 7的9和4就构成一个逆序。
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一个排列中，若一个大的数排在一个小的数的前面，就称为这两个数构成一个\textbf{逆序}。如9 5 4 7的9和4就构成一个逆序。
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一个排列的逆序的总数称为这个排列的逆序数，用$\tau(j_1j_2\cdots j_n)$表示排列$j_1j_2\cdots j_n$的逆序数。如9 5 4 7有逆序9-5，9-4，9-7，5-4四个逆序，逆序数为4。
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\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}一个排列的逆序的总数称为这个排列的逆序数，用$\tau(j_1j_2\cdots j_n)$表示排列$j_1j_2\cdots j_n$的逆序数。如9 5 4 7有逆序9-5，9-4，9-7，5-4四个逆序，逆序数为4。
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||||
若一个排列的逆序数是偶数，则这个排列是偶排列，否则称为奇排列。如9 5 4 7是偶排列。
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若一个排列的逆序数是偶数，则这个排列是\textbf{偶排列}，否则称为\textbf{奇排列}。如9 5 4 7是偶排列。
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若是1 2 $\cdots$ n按序排列，称为这个排列为自然排列，逆序数为0，是偶排列。
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将任意两个元素对调，其他元素不动就是对换，若这两个元素相邻则是相邻对换。
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\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}将任意两个元素对调，其他元素不动就是对换，若这两个元素相邻则是相邻对换。
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一个排列中任意两个元素对换，排列奇偶性变化。
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\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}一个排列中任意两个元素对换，排列奇偶性变化。
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奇排列对换成标准排列（一般为自然排列）的对换次数为奇数，偶排列的对换次数为偶数。
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\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}奇排列对换成标准排列（一般为自然排列）的对换次数为奇数，偶排列的对换次数为偶数。
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\subsection{n阶行列式}
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@@ -204,17 +207,19 @@ $\left|\begin{array}{cc}
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\section{行列式性质}
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拉普拉斯法则：$A_{n\times n}$，$B_{n\times n}$，则$\vert AB\vert=\vert A\vert\cdot\vert B\vert$。
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拉普拉斯法则\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}$A_{n\times n}$，$B_{n\times n}$，则$\vert AB\vert=\vert A\vert\cdot\vert B\vert$。
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若对于行列式$D$，将$a_{ij}$和$a_{ji}$的元素互换位置得到$D^T$，则其就是$D$的转置行列式，转置行列式与其行列式相等。
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若对于行列式$A$，将$a_{ij}$和$a_{ji}$的元素互换位置得到$A^T$，则其就是$A$的转置行列式。
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对调行列式的任意两行或两列，行列式变号。
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\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}转置行列式与其行列式相等，即$\vert A\vert=\vert A^T\vert$。
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若行列式中有两行或两列元素完全相同，则此行列式等于0。
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\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}对调行列式的任意两行或两列，行列式变号。
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||||
行列式中如果有两行或两列元素成比例，则此行列式等于0。
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\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}若行列式中有两行或两列元素完全相同，则此行列式等于0。
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||||
行列式的某一行或某一列中所有的元素都乘以同一个数$k$，则等于用$k$乘此行列式。行列式中某一行或一列的所有元素的公因子可以提到行列式记号外面。
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||||
\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}行列式中如果有两行或两列元素成比例，则此行列式等于0。
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||||
\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}行列式的某一行或某一列中所有的元素都乘以同一个数$k$，则等于用$k$乘此行列式。行列式中某一行或一列的所有元素的公因子可以提到行列式记号外面。
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||||
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即$
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||||
\left|\begin{array}{ccccc}
|
||||
@@ -230,7 +235,7 @@ $\left|\begin{array}{cc}
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||||
a_{n1} & \cdots & a_{ni} & \cdots & a_{nn}
|
||||
\end{array}\right|$。
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||||
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||||
行列式某一行列的元素是两数之和$
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||||
\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}某一行列的元素是两数之和$
|
||||
\left|\begin{array}{cccc}
|
||||
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
|
||||
\vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\
|
||||
@@ -255,7 +260,7 @@ $，
|
||||
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
|
||||
\end{array}\right|$
|
||||
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||||
把行列式的某一行或某一列的个元素乘以同一个数然后加到另一行或一列对应元素上去，行列式不变。
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||||
\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}把行列式的某一行或某一列的个元素乘以同一个数然后加到另一行或一列对应元素上去，行列式不变。
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\section{行列式展开}
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@@ -270,20 +275,16 @@ D=\left|\begin{array}{cccc}
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\end{array}\right|
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$
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$\forall a_{ij}$，$D$中划去$i$行，$j$列余下元素而成的$n-1$阶行列式记为$M_{ij}$，其就是$a_{ij}$的余子式。
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\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}$\forall a_{ij}$，$D$中划去$i$行，$j$列余下元素而成的$n-1$阶行列式记为$M_{ij}$，其就是$a_{ij}$的余子式。
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||||
令$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$，其就是$a_{ij}$的代数余子式。
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||||
令$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$，其就是$a_{ij}$的\textbf{代数余子式}。
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||||
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||||
若一个$n$阶行列式，若其中第$i$行所有元素除$(i,j)$元$a_{ij}$外都是零，则行列式值$D=a_{ij}A_{ij}$。
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||||
\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}若一个$n$阶行列式，若其中第$i$行所有元素除$(i,j)$元$a_{ij}$外都是零，则行列式值$D=a_{ij}A_{ij}$。
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\subsection{展开公式}
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||||
行列式等于其任一行或列的各元素与对应的代数余子式乘积之和。
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\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}行列式等于其任一行或列的各元素与对应的代数余子式乘积之和。即$D=a_{i1}A_{i1}+\cdots+a_{in}A_{in}$或$D=a_{1j}A_{1j}+\cdots+a_{nj}A_{nj}$。
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即$D=a_{i1}A_{i1}+\cdots+a_{in}A_{in}$或$D=a_{1j}A_{1j}+\cdots+a_{nj}A_{nj}$。
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若元素与不对应的代数余子式乘积之和必然为0。
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即$a_{i1}A_{k1}+\cdots+a_{in}A_{kn}=0$。
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||||
\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}若元素与不对应的代数余子式乘积之和必然为0。即$a_{i1}A_{k1}+\cdots+a_{in}A_{kn}=0$。
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\end{document}
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||||
Binary file not shown.
@@ -3,6 +3,7 @@
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\usepackage{color}
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% 使用颜色
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\definecolor{orange}{RGB}{255,127,0}
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\definecolor{violet}{RGB}{192,0,255}
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\definecolor{aqua}{RGB}{0,255,255}
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\usepackage{geometry}
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\setcounter{tocdepth}{4}
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||||
@@ -43,15 +44,15 @@
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\section{矩阵定义}
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||||
$m\times n$矩阵是由$m\times n$个数$a_{ij}$（元素）排成的$m$行$n$列的数表。
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\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}$m\times n$矩阵是由$m\times n$个数$a_{ij}$（元素）排成的$m$行$n$列的数表。
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||||
元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵是复矩阵。
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||||
元素是实数的矩阵称为\textbf{实矩阵}，元素是复数的矩阵是\textbf{复矩阵}。
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||||
行数列数都为$n$的就是$n$阶矩阵或方阵，记为$A_n$。
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||||
行数列数都为$n$的就是\textbf{$n$阶矩阵}或\textbf{方阵}，记为$A_n$。
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||||
行矩阵或行向量：只有一行的矩阵$A=(a_1a_2\cdots a_n)$。
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||||
行矩阵或行向量\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}只有一行的矩阵$A=(a_1a_2\cdots a_n)$。
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列矩阵或列向量：只有一列的矩阵$B=
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||||
列矩阵或列向量\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}只有一列的矩阵$B=
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\left(\begin{array}{c}
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||||
b_1 \\
|
||||
b_2 \\
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||||
@@ -59,16 +60,16 @@ $m\times n$矩阵是由$m\times n$个数$a_{ij}$（元素）排成的$m$行$n$
|
||||
b_m
|
||||
\end{array}\right)$。
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||||
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||||
同型矩阵：两个矩阵行数、列数相等。
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||||
同型矩阵\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}两个矩阵行数、列数相等。
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||||
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||||
相等矩阵：是同型矩阵，且对应元素相等的矩阵。记为$A=B$。
|
||||
相等矩阵\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}是同型矩阵，且对应元素相等的矩阵。记为$A=B$。
|
||||
|
||||
零矩阵：元素都是零的矩阵，记为$O$，但是不同型的零矩阵不相等。
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||||
零矩阵\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}元素都是零的矩阵，记为$O$，但是不同型的零矩阵不相等。
|
||||
|
||||
\begin{multicols}{2}
|
||||
|
||||
|
||||
对角矩阵或对角阵：从左上角到右下角的直线（对角线）以外的元素都是0的矩阵，记为$\varLambda=\textrm{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n)$。
|
||||
对角矩阵或对角阵\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}从左上角到右下角的直线（对角线）以外的元素都是0的矩阵，记为$\varLambda=\textrm{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n)$。
|
||||
|
||||
$\varLambda=\left(
|
||||
\begin{array}{cccc}
|
||||
@@ -79,7 +80,7 @@ $m\times n$矩阵是由$m\times n$个数$a_{ij}$（元素）排成的$m$行$n$
|
||||
\end{array}
|
||||
\right)$
|
||||
|
||||
单位矩阵或单位阵：$\lambda_1=\lambda_2=\cdots=\lambda_n=1$的对角矩阵，记为$E$。这种线性变换叫做恒等变换，$AE=A$。
|
||||
单位矩阵或单位阵\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}$\lambda_1=\lambda_2=\cdots=\lambda_n=1$的对角矩阵，记为$E$。这种线性变换叫做恒等变换，$AE=A$。 \medskip
|
||||
|
||||
$E=\left(
|
||||
\begin{array}{cccc}
|
||||
@@ -96,7 +97,7 @@ $m\times n$矩阵是由$m\times n$个数$a_{ij}$（元素）排成的$m$行$n$
|
||||
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||||
\subsection{矩阵加法减法}
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||||
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||||
设与两个矩阵都是同型矩阵$m\times n$$A=(a_{ij})$和$B=(b_{ij})$，则其加法就是$A+B$。
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||||
设与两个矩阵都是同型矩阵$m\times n$，$A=(a_{ij})$和$B=(b_{ij})$，则其加法就是$A+B$。
|
||||
|
||||
$$A+B=\left(
|
||||
\begin{array}{cccc}
|
||||
@@ -141,9 +142,7 @@ $$\lambda A=A\lambda=\left(
|
||||
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||||
\subsection{矩阵相乘}
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||||
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||||
设$A=(a_{ij})$是一个$m\times s$的矩阵，$B=(b_{ij})$是一个$s\times n$的矩阵，那么$A\times B=AB=C_{m\times n}=(c_{ij})$。即：
|
||||
|
||||
$$c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{is}b_{sj}=\sum\limits_{k=1}^sa_{ik}b_{kj}\,\text{（}i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots,n\text{）}$$
|
||||
设$A=(a_{ij})$是一个$m\times s$的矩阵，$B=(b_{ij})$是一个$s\times n$的矩阵，那么$A\times B=AB=C_{m\times n}=(c_{ij})$。即：$c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{is}b_{sj}=\sum\limits_{k=1}^sa_{ik}b_{kj}\,\text{（}i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots,n\text{）}$
|
||||
|
||||
所以按此定义一个$1\times s$行矩阵与$s\times 1$列矩阵的乘积就是一个1阶方针即一个数：
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@@ -158,13 +157,15 @@ $(a_{i1},a_{i2},\cdots,a_{is})\left(
|
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||||
从而$AB=C$的$c_{ij}$就是$A$的第$i$行与$B$的$j$列的乘积。
|
||||
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||||
当$A$左边乘$P$为$PA$，称为\textbf{左乘}$P$，若右边乘$P$为$AP$，则称为\textbf{右乘}$P$。
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||||
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||||
\textcolor{orange}{注意：}只有左矩阵的列数等于右矩阵的行数才能相乘。
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||||
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||||
只有$AB$都是方阵的时候才能$AB$与$BA$。
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||||
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||||
矩阵的左乘与右乘不一定相等，即$AB\neq BA$。
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||||
|
||||
若方阵$AB$乘积满足$AB=BA$，则表示其是可交换的。
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||||
\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}若方阵$AB$乘积满足$AB=BA$，则表示其是\textbf{可交换}的。
|
||||
|
||||
$A\neq O$，$B\neq O$，但是不能推出$AB\neq O$或$BA\neq O$。
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||||
|
||||
@@ -180,7 +181,7 @@ $A(X-Y)=O$当$A\neq O$也不能推出$X=Y$。
|
||||
\item $EA=AE=A$。
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
$\lambda E$称为纯量阵，$(\lambda E_n)A_n=\lambda A_n=A_n(\lambda E_n)$。
|
||||
$\lambda E$称为\textbf{纯量阵}，$(\lambda E_n)A_n=\lambda A_n=A_n(\lambda E_n)$。
|
||||
|
||||
若$A_{m\times s}$，$B_{s\times n}=(\beta_1,\cdots,\beta_s)$，其中$\beta$为$n$行的列矩阵，则：
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||||
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||||
@@ -250,21 +251,19 @@ $f(A)=A^2-A-6E=(A+2E)(A-3E)$。
|
||||
\item $(AB)^T=B^TA^T$。
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
对称矩阵或对称阵：元素以对角线为对称轴对应相等，$A=A^T$。
|
||||
对称矩阵或对称阵\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}元素以对角线为对称轴对应相等，$A=A^T$。
|
||||
|
||||
\subsection{方阵行列式}
|
||||
|
||||
由$n$阶方阵$A$的元素所构成的行列式称为矩阵$A$的行列式，记为$\textrm{det}\,A$或$\vert A\vert$。
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||||
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||||
\subsection{线性方程组与矩阵}
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||||
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\begin{itemize}
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\item $\vert A^T\vert=\vert A\vert$。
|
||||
\item $\vert\lambda A\vert=\lambda^n\vert A\vert$。
|
||||
\item $\vert AB\vert=\vert A\vert\cdot\vert B\vert=\vert BA\vert$。
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
伴随矩阵或伴随阵：行列式$\vert A\vert$各个元素的代数余子式$A_{ij}$构成的矩阵。
|
||||
伴随矩阵或伴随阵\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}行列式$\vert A\vert$各个元素的代数余子式$A_{ij}$转置构成的矩阵。
|
||||
|
||||
$$A^*=\left(
|
||||
\begin{array}{cccc}
|
||||
@@ -277,6 +276,147 @@ $$A^*=\left(
|
||||
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||||
其中$AA^*=A^*A=\vert A\vert E$。
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||||
|
||||
\subsection{分块矩阵}
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||||
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||||
在行列式的时候提到了分块行列式，分块行列式计算时要求对应的零行列式必须是行列数相等的，而对于分块矩阵而言则不要求，且不一定要零矩阵。
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||||
|
||||
对于行列数较多的矩阵常使用\textbf{分块法}，将大矩阵化为小矩阵。将矩阵用横纵线分为多个小矩阵，每个矩阵成为矩阵的\textbf{子块}，以子块为元素的矩阵就是\textbf{分块矩阵}。
|
||||
|
||||
\subsubsection{分块矩阵计算}
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||||
|
||||
分块矩阵的计算法则与普通矩阵计算类似。
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||||
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||||
\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}若$AB$矩阵行列数相同，采用相同的分块法，则
|
||||
|
||||
$$A=\left(
|
||||
\begin{array}{ccc}
|
||||
A_{11} & \cdots & A_{1r} \\
|
||||
\vdots & & \vdots \\
|
||||
A_{s1} & \cdots & A_{sr}
|
||||
\end{array}
|
||||
\right)\text{，}B=\left(
|
||||
\begin{array}{ccc}
|
||||
B_{11} & \cdots & B_{1r} \\
|
||||
\vdots & & \vdots \\
|
||||
B_{s1} & \cdots & B_{sr}
|
||||
\end{array}
|
||||
\right)$$
|
||||
|
||||
$$A+B=\left(
|
||||
\begin{array}{ccc}
|
||||
A_{11}+B_{11} & \cdots & A_{1r}+B_{1r} \\
|
||||
\vdots & & \vdots \\
|
||||
A_{s1}+B_{s1} & \cdots & A_{sr}+B_{sr}
|
||||
\end{array}
|
||||
\right)\text{。}$$
|
||||
|
||||
\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}设$A=\left(
|
||||
\begin{array}{ccc}
|
||||
A_{11} & \cdots & A_{1r} \\
|
||||
\vdots & & \vdots \\
|
||||
A_{s1} & \cdots & A_{sr}
|
||||
\end{array}
|
||||
\right)$，$\lambda$为数，则$\lambda A=\left(
|
||||
\begin{array}{ccc}
|
||||
\lambda A_{11} & \cdots & \lambda A_{1r} \\
|
||||
\vdots & & \vdots \\
|
||||
\lambda A_{s1} & \cdots & \lambda A_{sr}
|
||||
\end{array}
|
||||
\right)$。\medskip
|
||||
|
||||
\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}若$A_{m\times l}$，$B_{l\times n}$，采用相同的分块法，则
|
||||
|
||||
$$A=\left(
|
||||
\begin{array}{ccc}
|
||||
A_{11} & \cdots & A_{1t} \\
|
||||
\vdots & & \vdots \\
|
||||
A_{s1} & \cdots & A_{st}
|
||||
\end{array}
|
||||
\right)\text{，}B=\left(
|
||||
\begin{array}{ccc}
|
||||
B_{11} & \cdots & B_{1t} \\
|
||||
\vdots & & \vdots \\
|
||||
B_{t1} & \cdots & B_{sr}
|
||||
\end{array}
|
||||
\right)$$
|
||||
|
||||
$$AB=\left(
|
||||
\begin{array}{ccc}
|
||||
C_{11} & \cdots & C_{1r} \\
|
||||
\vdots & & \vdots \\
|
||||
C_{s1} & \cdots & C_{sr}
|
||||
\end{array}
|
||||
\right)\text{，}C_{ij}=\sum\limits_{k=1}^tA_{ik}B_{kj}\text{。}$$
|
||||
|
||||
\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}设$A=\left(
|
||||
\begin{array}{ccc}
|
||||
A_{11} & \cdots & A_{1r} \\
|
||||
\vdots & & \vdots \\
|
||||
A_{s1} & \cdots & A_{sr}
|
||||
\end{array}
|
||||
\right)$，则$A^T=\left(
|
||||
\begin{array}{ccc}
|
||||
A_{11}^T & \cdots & A_{s1}^T \\
|
||||
\vdots & & \vdots \\
|
||||
A_{1r}^T & \cdots & A_{sr}^T
|
||||
\end{array}
|
||||
\right)$。 \medskip
|
||||
|
||||
\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}设$A$为$n$阶方阵，$A$的分块矩阵只有对角线上才有非零子块且都是方阵，其余子块都是零矩阵，即$A=\left(
|
||||
\begin{array}{cccc}
|
||||
A_1 & & & O \\
|
||||
& A_2 & \\
|
||||
& & \ddots & \\
|
||||
O & & & A_s
|
||||
\end{array}
|
||||
\right)$，称为\textbf{分块对角矩阵}。$\vert A\vert=\vert A_1\vert\vert A_2\vert\cdots\vert A_s\vert$。
|
||||
|
||||
若$\vert A_i\vert\neq0$，则$\vert A\vert\neq0$，且$A^{-1}=\left(
|
||||
\begin{array}{cccc}
|
||||
A_1^{-1} & & & O \\
|
||||
& A_2^{-1} & \\
|
||||
& & \ddots & \\
|
||||
O & & & A_s^{-1}
|
||||
\end{array}
|
||||
\right)$。
|
||||
|
||||
\subsubsection{按行按列分块}
|
||||
|
||||
对于$m\times n$的矩阵$A$，其$n$列称为$A$的$n$个列向量，若第$j$列记为$a_j=\left(
|
||||
\begin{array}{c}
|
||||
a_{1j} \\
|
||||
a_{2j} \\
|
||||
\vdots \\
|
||||
a_{mj}
|
||||
\end{array}
|
||||
\right)$，则$A$可以按列分块为$A=(a_1,a_2,\cdots,a_n)$。
|
||||
|
||||
其$m$行称为$A$的$m$个行向量，若第$i$行记为$a_i^T=(a_{i1},a_{i2},\cdots,a_{in})$，则$A$可以按行分块为$A=\left(\begin{array}{c}
|
||||
a_1^T \\
|
||||
a_2^T \\
|
||||
\vdots \\
|
||||
a_{m}^T
|
||||
\end{array}\right)$。
|
||||
|
||||
若对于$A_{m\times s}$与$B_{s\times n}$的乘积矩阵$AB=C=(c_{ij})_{m\times n}$，若将$A$按行分为$m$块，$B$按列分为$n$块，则有：
|
||||
|
||||
$$AB=\left(
|
||||
\begin{array}{c}
|
||||
a_1^T \\
|
||||
a_2^T \\
|
||||
\vdots \\
|
||||
a_{m}^T
|
||||
\end{array}
|
||||
\right)(b_1,b_2,\cdots,b_n)=\left(
|
||||
\begin{array}{cccc}
|
||||
a_1^Tb_1 & a_1^Tb_2 & \cdots & a_1^Tb_n \\
|
||||
a_2^Tb_1 & a_2^Tb_2 & \cdots & a_2^Tb_n \\
|
||||
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
|
||||
a_{m}^Tb_1 & a_{m}^Tb_2 & \cdots & a_{m}^Tb_n
|
||||
\end{array}
|
||||
\right)=(c_{ij})_{m\times n}\text{。}$$
|
||||
|
||||
|
||||
\section{线性方程组}
|
||||
|
||||
矩阵是根据线性方程组得到。
|
||||
@@ -303,29 +443,29 @@ $$A^*=\left(
|
||||
|
||||
\end{multicols}
|
||||
|
||||
对于齐次方程，$x_1=\cdots=x_n=0$一定是其解，称为其零解，若有一组不全为零的解，则称为其非零解。其一定有零解，但是不一定有非零解。
|
||||
对于齐次方程，$x_1=\cdots=x_n=0$一定是其解，称为其\textbf{零解}，若有一组不全为零的解，则称为其\textbf{非零解}。其一定有零解，但是不一定有非零解。
|
||||
|
||||
对于非齐次方程，只有$b_1\cdots b_n$不全为零才是。
|
||||
|
||||
令系数矩阵$A_{m\times n}=\left(
|
||||
令\textbf{系数矩阵}$A_{m\times n}=\left(
|
||||
\begin{array}{ccc}
|
||||
a_{11} & \cdots & a_{1n} \\
|
||||
\cdots \\
|
||||
a_{m1} & \cdots & a_{mn}
|
||||
\end{array}
|
||||
\right)$，未知数矩阵$X_{n\times 1}=\left(
|
||||
\right)$，\textbf{未知数矩阵}$X_{n\times 1}=\left(
|
||||
\begin{array}{c}
|
||||
x_1 \\
|
||||
\cdots \\
|
||||
x_n
|
||||
\end{array}
|
||||
\right)$，常数项矩阵$b_{m\times 1}=\left(
|
||||
\right)$，\textbf{常数项矩阵}$b_{m\times 1}=\left(
|
||||
\begin{array}{c}
|
||||
b_1 \\
|
||||
\cdots \\
|
||||
b_m
|
||||
\end{array}
|
||||
\right)$，增广矩阵$B_{m\times(n+1)}=\left(
|
||||
\right)$，\textbf{增广矩阵}$B_{m\times(n+1)}=\left(
|
||||
\begin{array}{cccc}
|
||||
a_{11} & \cdots & a_{1n} & b_1\\
|
||||
\cdots \\
|
||||
@@ -333,8 +473,6 @@ $$A^*=\left(
|
||||
\end{array}
|
||||
\right)$。
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
所以$AX=\left(
|
||||
\begin{array}{c}
|
||||
a_11x_1+\cdots+a_{1n}x_n \\
|
||||
@@ -382,7 +520,7 @@ $$A^*=\left(
|
||||
|
||||
\section{逆矩阵}
|
||||
|
||||
逆矩阵类比倒数，若对于$n$阶矩阵$A$，有一个$n$阶矩阵$B$，使得$AB=BA=E$，则$A$可逆，$B$是$A$的逆矩阵也称为逆阵，且逆矩阵唯一，记为$B=A^{-1}$。
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\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}逆矩阵类比倒数，若对于$n$阶矩阵$A$，有一个$n$阶矩阵$B$，使得$AB=BA=E$，则$A$可逆，$B$是$A$的逆矩阵也称为逆阵，且逆矩阵唯一，记为$B=A^{-1}$。
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\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}若矩阵$A$可逆，则$\vert A\vert\neq 0$。
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@@ -392,4 +530,22 @@ $$A^*=\left(
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\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}若$\vert A\vert\neq 0$，则$A$可逆，且$A^{-1}=\dfrac{1}{\vert A\vert}A^*$。
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证明：$\because AA^*=A^*A=\vert A\vert E$，又$\vert A\vert\neq 0$，$A\dfrac{1}{\vert A\vert}A^*=\dfrac{1}{\vert A\vert}A^*A=E$。
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按逆矩阵定义，当$A$可逆，与$A^{-1}=\dfrac{1}{\vert A\vert}A^*$。
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当$\vert A\vert=0$时，$A$为\textbf{奇异矩阵}，否则是\textbf{非奇异矩阵}。
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\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}矩阵是可逆矩阵的必要条件是非奇异矩阵。
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\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}若$AB=E$或$BA=E$，则$B=A^{-1}$。
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\begin{itemize}
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\item 若$A$可逆，则$(A^{-1})^{-1}=A$。
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\item 若$A$可逆，数$\lambda\neq0$，则$(\lambda A)^{-1}=\dfrac{1}{\lambda}A^{-1}$。
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\item 若$AB$为同阶矩阵且都可逆，则$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$。
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\item 若$A$可逆，则$(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$。
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\item 若$A$可逆，$\lambda\mu$为整数时，$A^\lambda A^\mu=A^{\lambda+\mu}$，$(A^\lambda)^\mu=A^{\lambda\mu}$。
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\end{itemize}
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\end{document}
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