更新线性方程组

linear-algebra/exercise/3-vector/vector.tex

@@ -25,6 +25,8 @@
 % 超链接
 \usepackage{arydshln}
 % 增广矩阵长虚线
+\setlength{\dashlinegap}{2pt}
+\setlength{\dashlinedash}{2pt}
 \author{Didnelpsun}
 \title{向量}
 \date{}

linear-algebra/knowledge/2-matrix/matrix.tex

@@ -28,9 +28,8 @@
 \usepackage{multicol}
 % 分栏
 \usepackage{arydshln}
-% 增广矩阵长虚线
-\setlength{\dashlinegap}{1pt}
-\setlength{\dashlinedash}{1pt}
+\setlength{\dashlinegap}{2pt}
+\setlength{\dashlinedash}{2pt}
 % 阶梯矩阵的虚线
 \author{Didnelpsun}
 \title{矩阵}

linear-algebra/knowledge/3-vector/vector.tex

@@ -84,7 +84,7 @@ $k\alpha=[ka_1,ka_2,\cdots,ka_3]$。
 
 \subsection{概念}
 
-极大线性无关组\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}在向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$中，若存在部分$a_i,a_j,\cdots,a_k$满足：\ding{172}$a_i,a_j,\cdots,a_k$线性无关。\ding{173}向量组中任一向量$a_s$（$i=1,2,\cdots,n$）均可由$a_i,a_j,\cdots,a_k$线性表出。则称向量组$a_i,a_j,\cdots,a_k$为原向量组的极大线性无关组。
+极大线性无关组\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}在向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$中，若存在部分$a_i,a_j,\cdots,a_k$满足：\ding{172}$a_i,a_j,\cdots,a_k$线性无关；\ding{173}向量组中任一向量$a_s$（$i=1,2,\cdots,n$）均可由$a_i,a_j,\cdots,a_k$线性表出，则称向量组$a_i,a_j,\cdots,a_k$为原向量组的极大线性无关组。
 
 不包含无用约束方程的最简方程组的系数矩阵就是极大线性无关组。
 

linear-algebra/knowledge/4-linear-equations-system/linear-equations-system.tex

@@ -2,6 +2,8 @@
 % UTF8编码，ctexart现实中文
 \usepackage{color}
 % 使用颜色
+\definecolor{orange}{RGB}{255,127,0} 
+\definecolor{violet}{RGB}{192,0,255} 
 \usepackage{geometry}
 \setcounter{tocdepth}{4}
 \setcounter{secnumdepth}{4}
@@ -26,6 +28,10 @@
 % 分栏
 \usepackage{arydshln}
 % 增广矩阵长虚线
+\usepackage{pifont}
+% 圆圈序号
+\setlength{\dashlinegap}{2pt}
+\setlength{\dashlinedash}{2pt}
 \author{Didnelpsun}
 \title{线性方程组}
 \date{}
@@ -179,7 +185,7 @@ $=\left(\begin{array}{ccc}
 
 从数学逻辑上看，已知多元一次方程，有$m$个约束方程，有$n$个未知数，假定$m\leqslant n$。
 
-当$m<n$时，就代表有更多的未知变量不能被方程约束，从而有$n-m$个自由变量，所以就是无数解，解组中其他解可以由自由变量来表示。
+当$m<n$时，就代表有更多的未知变量不能被方程约束，从而有$n-m$个自由变量，所以就是无数解，解组中其他解可以由自由变量来表示。无穷多解需要一个解来代表其他解，这个解就是\textbf{基础解系}。
 
 当$m=n$时代表约束与变量数量相等，此时又要分三种情况。
 
@@ -233,32 +239,269 @@ $(a_1,a_2,\cdots,a_n)\left(\begin{array}{c}
 
 \subsection{齐次方程组}
 
+即$Ax=0$。其中$A$有$m$行$n$列。
+
 \subsubsection{有解条件}
 
+必有一个零解。
+
+有解条件讨论是否列满秩问题，即方程组是否能约束全部变量。
+
+对系数矩阵进行行变换，若$r(A)=m$，即使行满秩若$m<n$则列不满秩，那么还是无法约束所有变量；若$r(A)=n$，即使行不满秩但是列满秩，所以还是能约束所有变量。
+
+当$r(A)=n$时，即$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$线性无关，则方程组有唯一零解。
+
+当$r(A)=r<n$时，即$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$线性相关，则方程具有无穷多个非零解，具有$n-r$个线性无关解（自由变量）。
+
 \subsubsection{解的性质}
 
-\subsubsection{基础解系}
+若$A\xi_1=0$，$A\xi_2=0$，则$A(k_1\xi_1+k_2\xi_2)=0$。
+
+\subsubsection{解的结构}
+
+基础解系\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}假如$\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_{n-r}$满足：\ding{172}是方程组$Ax=0$的解；\ding{173}线性无关；\ding{174}方程组$Ax=0$的任一解均可由$\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_{n-r}$线性表出，则称$\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_{n-r}$为$Ax=0$的\textbf{基础解系}。
+
+当$r(A)<n$时讨论基础解系。
+
+通解\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}设$\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_{n-r}$是$Ax=0$的基础解系，则$k_1\xi_1+k_2\xi_2+\cdots+k_{n-r}\xi_{n-r}$是方程组$Ax=0$的通解，$k_1,k_2,\cdots,k_{n-r}$为任意常数。
 
 \subsubsection{求解过程}
 
+\begin{enumerate}
+    \item 将系数矩阵$A$作为\textbf{初等行变换}后化为阶梯形矩阵或最简阶梯形矩阵$B$，因为初等行变换将方程组化为同解方程组，所以$Ax=0$与$Bx=0$同解，只需解$Bx=0$，设$r(A)=r$。其中$A$为$m$行$n$列，$m$为约束方程组个数，$n$为变量个数。
+    \item 在$B$中按列找到一个秩为$r$的子矩阵，即在每排阶梯都选出一列组合成子矩阵，则剩余列位置的未知数就是自由变量。
+    \item 按基础解析定义求出$\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_{n-r}$，并写出通解。
+\end{enumerate}
+
+\textbf{例题：}求齐次线性方程组$\left\{\begin{array}{l}
+    x_1+x_2-3x_4-x_5=0 \\
+    x_1-x_2+2x_3-x_4=0 \\
+    4x_1-2x_2+6x_3+3x_4-4x_5=0 \\
+    2x_1+4x_2-2x_3+4x_4-7x_5=0
+\end{array}\right.$的通解。
+
+解：系数矩阵$A=\left(\begin{array}{ccccc}
+    1 & 1 & 0 & -3 & -1 \\
+    1 & -1 & 3 & -1 & 0 \\
+    4 & -2 & 6 & 3 & -4 \\
+    2 & 4 & -2 & 4 & -7
+\end{array}\right)$，然后对其行变换，得到：
+
+$=\left(\begin{array}{ccccc}
+    1 & 1 & 0 & -3 & -1 \\
+    0 & -2 & 2 & 2 & 1 \\
+    0 & 0 & 0 & 3 & -1 \\
+    0 & 0 & 0 & 0 & 0
+\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccccc}
+    1 & 0 & 1 & 0 & -\dfrac{7}{6} \medskip \\
+    0 & 1 & -1 & 0 & -\dfrac{5}{6} \medskip \\
+    0 & 0 & 0 & 1 & -\dfrac{1}{3} \\
+    0 & 0 & 0 & 0 & 0
+\end{array}\right)$，$r(A)=3$。
+
+然后找子矩阵，第一台阶选$C_1$，第二台阶选$C_2$或$C_3$，第三台阶选$C_4$或$C_5$，随便找一个，如$(C_1,C_2,C_4)$为子矩阵，则$C_3$，$C_5$所代表的未知数$x_3$，$x_5$就是自由变量。
+
+所以选择两个分量$\xi_1=(\xi_{11},\xi_{12},\xi_{13},\xi_{14},\xi_{15})^T$和$\xi_2=(\xi_{21},\xi_{22},\xi_{23},\xi_{24},\xi_{25})^T$作为基础解系。
+
+因为此时选择$x_3$，$x_5$为自由变量，所以$x_3$和$x_5$所对应的$\xi_{13}$、$\xi_{15}$、$\xi_{23}$、$\xi_{25}$可以任意取，但是为了保证秩为2，所以让$\xi_{13}=1$、$\xi_{15}=0$、$\xi_{23}=0$、$\xi_{25}=1$。这四个分量组成的矩阵线性无关，原矩阵线性无关，延长矩阵线性无关，从而$\xi_1$和$\xi_2$必然线性无关。
+
+所以此时已经给定两组解，一种是$\xi_1$的$x_3=1$，$x_5=0$，另一种是$\xi_2$的$x_3=0$，$x_5=1$，这样就只有三个未知数和三个方程，分别代入$A$矩阵所代表的方程组中（代入行阶梯矩阵就可以，不用代入最简行阶梯矩阵）：
+
+$\left\{\begin{array}{l}
+    1\cdot x_1+1\cdot x_2+0\cdot x_3-3\cdot x_4-1\cdot x_5=0 \\
+    0\cdot x_1-2\cdot x_2+2\cdot x_3+2\cdot x_4+1\cdot x_5=0 \\
+    0\cdot x_1+0\cdot x_2+0\cdot x_3+3\cdot x_4-1\cdot x_5=0
+\end{array}\right.$，分别代入：
+
+$\xi_1$：$\left\{\begin{array}{l}
+    1\cdot x_1+1\cdot x_2+0\cdot1-3\cdot x_4-1\cdot0=0 \\
+    0\cdot x_1-2\cdot x_2+2\cdot1+2\cdot x_4+1\cdot0=0 \\
+    0\cdot x_1+0\cdot x_2+0\cdot1+3\cdot x_4-1\cdot0=0
+\end{array}\right.$，$\xi_1=(-1,1,1,0,0)^T$。
+
+$\xi_2$：$\left\{\begin{array}{l}
+    1\cdot x_1+1\cdot x_2+0\cdot0-3\cdot x_4-1\cdot1=0 \\
+    0\cdot x_1-2\cdot x_2+2\cdot0+2\cdot x_4+1\cdot1=0 \\
+    0\cdot x_1+0\cdot x_2+0\cdot0+3\cdot x_4-1\cdot1=0
+\end{array}\right.$，$\xi_2=(7,5,0,2,6)^T$。\medskip
+
+所以通解为$k_1\xi_1+k_2\xi_2=k_1(-1,1,1,0,0)^T+k_2(7,5,0,2,6)^T$。
+
 \subsection{非齐次方程组}
 
+即$Ax=b$，$b$为不全为0的列向量。
+
 \subsubsection{有解条件}
 
+$A=[\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n]$，其中$\alpha_j=[a_{1j},a_{2j},\cdots,a_{mj}]^T$，$j=1,2,\cdots,n$。
+
+当$r(A)\neq r([A,b])$时（$r(A)+1=r([A,b])$），即$b$不能被$A$线性表出，则方程组无解。
+
+当$r(A)=r([A,b])=n$时，即$b$能被$A$线性表出，$A$线性无关，$[A,b]$线性相关，矩阵列满秩，则方程组有唯一解。
+
+当$r(A)=r([A,b])=r<n$时，即$b$能被$A$线性表出，$A$线性相关，矩阵列降秩，则方程组有无穷多解。
+
 \subsubsection{解的性质}
 
+若$\eta_1,\eta_2,\eta$是非齐次线性方程组$Ax=b$的解，$\xi$是对应齐次线性方程组$Ax=0$的解，则：
+
+\ding{172}$\eta_1-\eta_2$是$Ax=0$的通解。
+
+\ding{173}$k\xi+\eta$是$Ax=b$的解。
+
 \subsubsection{求解过程}
 
+将系数矩阵和常数项矩阵合并为一个增广矩阵，对增广矩阵进行行变换变为阶梯形矩阵，求出对应齐次线性方程组的通解，最后假设一个非齐次线性方程组的特解。
+
+\begin{enumerate}
+    \item 写出$Ax=b$的导出方程组$Ax=0$并求出其通解$k_1\xi_1+k_2\xi_2+\cdots+k_{n-r}\xi_{n-r}$。
+    \item 求出$Ax=b$的一个特解$\eta$。
+    \item $Ax=b$的通解为$k_1\xi_1+k_2\xi_2+\cdots+k_{n-r}\xi_{n-r}+\eta$。
+\end{enumerate}
+
+\textbf{例题：}求非齐次线性方程组$\left\{\begin{array}{l}
+    x_1+5x_2-x_3-x_4=-1 \\
+    x_1-2x_2+x_3+3x_4=3 \\
+    3x_1+8x_2-x_3+x_4=1 \\
+    x_1-9x_2+3x_3+7x_4=7
+\end{array}\right.$的通解。
+
+解：对方程组提取出增广矩阵并进行行变换：\medskip
+
+$\left(\begin{array}{c:c}
+    \begin{matrix}
+        1 & 5 & -1 & -1 \\
+        1 & -2 & 1 & 3 \\
+        3 & 8 & -1 & 1 \\
+        1 & -9 & 3 & 7
+    \end{matrix}&
+    \begin{matrix}
+        -1 \\
+        3 \\
+        1 \\
+        7
+    \end{matrix}
+\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c:c}
+    \begin{matrix}
+        1 & 5 & -1 & -1 \\
+        0 & -7 & 2 & 4 \\
+        0 & 0 & 0 & 0 \\
+        0 & 0 & 0 & 0
+    \end{matrix}&
+    \begin{matrix}
+        -1 \\
+        4 \\
+        0 \\
+        0
+    \end{matrix}
+\end{array}\right)$。\medskip
+
+然后求齐次方程的通解：找两列作为子矩阵，如$x_1$，$x_2$，则$x_3$，$x_4$作为自由变量，设两个$\xi_1=(\xi_{11},\xi_{12},1,0)^T$和$\xi_2=(\xi_{21},\xi_{22},0,1)^T$。
+
+解得$\xi_1=(-3,2,7,0)^T$，$\xi_2=(-13,4,0,7)^T$（为了得到整数通解都乘了7）。
+
+通解为$k_1\xi_1+k_2\xi_2=k_1(-3,2,7,0)^T+k_2(-13,4,0,7)^T$。
+
+然后求其非齐次的特解，让两个自由变量为0减少计算，即$\eta=(\eta_1,\eta_2,0,0)^T$代入方程得到$\eta=\left(\dfrac{13}{7},-\dfrac{4}{7},0,0\right)^T$。
+
+所以通解为$k_1(-3,2,7,0)^T+k_2(-13,4,0,7)^T+\left(\dfrac{13}{7},-\dfrac{4}{7},0,0\right)^T$。
+
+\textcolor{orange}{注意：}通解的向量可以同乘一个数，因为其表示的是一个关系而不是具体数，但是特解不能同乘一个数，因为其表示的是一个具体的数。
+
 \section{抽象线性方程}
 
 \subsection{解的判定}
 
+$Ax=0$，总有解，至少有零解。
+
+$A_{m\times n}x=0$，当$r(A)=n$时，只有零解；当$r(A)<n$时，无穷多解。
+
+$A_{m\times n}x=b$时，当$r(A)=r([A,b])+1\neq r([A,b])$时，无解；当$r(A)=r([A,b])=n$时，有唯一解；当$r(A)=r([A,b])=r<n$时，无穷多解。
+
+当$Ax=0$只有零解时，$r(A)=n$，当$Ax=0$有无穷多解时，$r(A)=r<n$，都不能判定$r(A)$与$r([A,b])$的关系，若以$Ax=b$可能有解也可能无解。
+
+当$Ax=b$有唯一解时，$r(A)=r([A,b])=n$，所以$Ax=0$列满秩，只有零解。
+
+当$Ax=b$有无穷多解时，$r(A)=r([A,b])=r<n$，则$Ax=0$有无穷多解。
+
+当$A$行满秩，则$r(A)=r([A,b])$，则$Ax=\beta$必有解，因为原来无关，延长无关。
+
+所以已知非齐次解情况能推出齐次解情况，但是反之不能。
+
 \subsection{解的性质}
 
-\subsection{求解过程}
+非齐次通解=齐次的通解+非齐次一个特解。
+
+\textbf{例题：}$r(A_{4\times4})=2$，$\eta_1,\eta_2,\eta_3$为$Ax=b$的三个解向量，其中具有如下关系：
+
+$\left\{\begin{array}{l}
+    \eta_1-\eta_2=(-1,0,3,-4)^T \\
+    \eta_1+\eta_2=(3,2,1,-2)^T \\
+    \eta_3+2\eta_2=(5,1,0,3)^T
+\end{array}\right.$，求$Ax=b$的通解。
+
+解：$s=n-r(A)=4-2=2$，所以通解的基础解系中有两个分量$\xi_1$和$\xi_2$。
+
+所以需要解$Ax=0$，又存在三个解向量，所以$A\eta_1=A\eta_2=A\eta_3=b$，所以$A(\eta_1-\eta_2)=0$，所以$\eta_1-\eta_2=(-1,0,3,-4)^T$就是其中一个解，所以令$\xi_1=\eta_1-\eta_2=(-1,0,3,-4)^T$。
+
+然后根据所给出的$\eta$进行凑，$A(\eta_1+\eta_2)=2b=A(3,2,1,-2)^T$，$A(\eta_3+2\eta_2)=3b=A(5,1,0,3)^T$。所以$3A(\eta_1+\eta_2)-2A(\eta_3+2\eta_2)=0$，所以$A(3(\eta_1+\eta_2)-2(\eta_3+2\eta_2))=0$，所以令$\xi_2=3(\eta_1+\eta_2)-2(\eta_3+2\eta_2)=(-1,4,3,-12)^T$。
+
+最后找一个特解，$\because A(\eta_1+\eta_2)=2b$，$\therefore A\left(\dfrac{\eta_1+\eta_2}{2}\right)=b$，$\dfrac{\eta_1+\eta_2}{2}=\left(\dfrac{3}{2},1,\dfrac{1}{2},-1\right)^T$就是一个特解。
+
+所以通解为$k_1(-1,0,3,-4)^T+k_2(-1,4,3,-12)^T+\left(\dfrac{3}{2},1,\dfrac{1}{2},-1\right)^T$
+
+\subsection{基础解系}
+
+对于$A_{m\times n}x=0$，$r(A)=r$，若向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$满足：\ding{172}$A\alpha_i=0$，$i=1,2,\cdots,s$；\ding{173}$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$线性无关；\ding{174}$s=n-r$，则称$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$为$Ax=0$的基础解系。
+
+\textbf{例题：}设$\xi_1,\xi_2,\xi_3$是方程组$Ax=0$的基础解系，则下列向量组也是方程组$Ax=0$的基础解系的是()。
+
+$A.\xi_1-\xi_2$，$\xi_2-\xi_3$，$\xi_3-\xi_1$\qquad$B.\xi_1+\xi_2$，$\xi_2-\xi_3$，$\xi_3+\xi_1$
+
+$C.\xi_1+\xi_2-\xi_3$，$\xi_1+2\xi_2+\xi_3$，$2\xi_1+3\xi_2$\qquad$D.\xi_1+\xi_2$，$\xi_2+\xi_3$，$\xi_3+\xi_1$
+
+解：需要判断基础解系是否线性无关，需要对应的行列式值非0。\medskip
+
+对于$D$：$(\xi_1+\xi_2$，$\xi_2+\xi_3$，$\xi_3+\xi_1)=(\xi_1,\xi_2,\xi_3)\left(\begin{array}{ccc}
+    1 & 0 & 1 \\
+    1 & 1 & 0 \\
+    0 & 1 & 1
+\end{array}\right)\neq0$，所以$D$线性无关，从而为基础解系。
+
+\textbf{例题：}设$\xi_1=[1,-2,3,1]^T$，$\xi_2=[2,0,5,-2]^T$是齐次线性方程组$A_{3\times4}x=0$的解，且$r(A)=2$，则下列向量中是其解向量的是()。
+
+$A.\alpha_1=[1,-2,3,2]^T$\qquad$B.\alpha_2=[0,0.5,-2]^T$
+
+$C.\alpha_3=[-1,-6,-1,7]^T$\qquad$D.\alpha_4=[1,6,1,6]^T$
+
+解：若$\xi_1$和$\xi_2$为$Ax=0$的基，所以$\xi_1$和$\xi_2$应该能表示其解向量。
+
+所以将$\xi_1$和$\xi_2$与$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$分别联立为矩阵，进行初等行变换，查看是否有解，即新增广矩阵必须秩为2。
+
+$ABD$选项增广矩阵的秩都为3，所以不能表示，而只有$C$的为2，所以$C$可以表示。
+
+\subsection{系数矩阵列向量与解}
+
+对于齐次方程而言，其解是让$A$的线性组合为零向量时线性组合的系数，对于非齐次而言解是$b$由$A$线性表出的表出系数。
+
+所以方程的解就是描述列向量组之间数量关心的系数。
+
+\textbf{例题：}已知$A=[\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4]$，其中$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$是四维列向量，且$\alpha_1=2\alpha_2+\alpha_3$，$r(A)=3$，若$\beta=\alpha_1+2\alpha_2+3\alpha_3+4\alpha_4$，求线性方程组$Ax=\beta$的通解。
+
+解：$\because\alpha_1=2\alpha_2+\alpha_3$，$1\alpha_1-2\alpha_2-1\alpha_3+0\alpha_4=0$，即$A(1,-2,-1,0)^T=0$。
+
+又$r(A_{4\times4})=4$，$s=n-r(A)=4-3=1$，$\therefore\xi=(1,-2,-1,0)^T$。
+
+所以特解为$\beta$的系数：$(1,2,3,4)^T$，通解为$k(1,-2,-1,0)^T+(1,2,3,4)^T$。
 
 \section{公共解}
 
+\begin{enumerate}
+    \item 求两个方程组解的交集部分。可以联立两个方程求解。
+    \item 求出$A_{m\times n}x=0$的通解$k_1\xi_1+k_2\xi_2+\cdots+k_s\xi_s$，这些$k$本来是独立的，然后代入$B_{m\times n}x=0$，求出$k_i(i=1,2,\cdots,s)$之间的关系，再代回$A_{m\times n}x=0$的通解中就得到公共解。
+    \item 给出$A_{m\times n}x=0$的通解与$B_{m\times n}x=0$的通解联立：$k_1\xi_1+k_2\xi_2+\cdots+k_s\xi_s=l_1\eta_1+l_2\eta_2+\cdots+l_s\eta_s=0$，能解出$k_i$和$l_i$。
+\end{enumerate}
+
 \section{通解方程组}
 
 \end{document}