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advanced-math/1-exercises/function-and-limit.tex

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 \pagestyle{plain}
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-\section{等价无穷小替换}
 
-求$I=\lim_{x\to 0}\dfrac{(e^{x^2}-1)(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x})}{[\ln(1-x)+\ln(1+x)]\sin\dfrac{x}{x+1}}$。
+\section{求极限值}
+
+\subsection{等价无穷小替换}
 
 当看到复杂的式子，且当$x\to 0$时，使用等价无穷小进行替换。
 
+求$\lim_{x\to 0}\dfrac{(e^{x^2}-1)(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x})}{[\ln(1-x)+\ln(1+x)]\sin\dfrac{x}{x+1}}$。
+
 在明显的部分由等价无穷小的式子得到：$e^{x^2}-1\sim x^2$，$\sin\dfrac{x}{x+1}=\dfrac{x}{x+1}$。
 
 并注意在积或商的时候不能把对应的部分替换为0，如分母部分的$[\ln(1-x)+\ln(1+x)]$就无法使用$\ln(1+x)\sim x$替换为$-x+x$，这样底就是0了，无法求得最后的极限。
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 将所有替换的无穷小代入原式：$=\lim_{x\to 0}\dfrac{x^2\cdot x}{-x^2\cdot\dfrac{x}{1+x}}=\lim_{x\to 0}-(1+x)=-1$。
 
+\subsection{幂指类型}
 
+当出现$f(x)^{g(x)}$的类似幂函数与指数函数类型的式子，需要使用$u^v=e^{v\ln u}$。
+
+求$\lim_{x\to\infty}$
 
 \end{document}

advanced-math/3-function-and-limit/function-and-limit.tex

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 % 使用颜色
 \definecolor{orange}{RGB}{255,127,0} 
 \definecolor{violet}{RGB}{192,0,255} 
+\definecolor{aqua}{RGB}{0,255,255} 
 \usepackage{geometry}
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