更新相似型

linear-algebra/exercise/4-linear-equations-system/linear-equations-system.tex

@@ -0,0 +1,68 @@
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+\author{Didnelpsun}
+\title{线性方程组}
+\date{}
+\begin{document}
+\maketitle
+\pagestyle{empty}
+\thispagestyle{empty}
+\tableofcontents
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+\newpage
+\pagestyle{plain}
+\setcounter{page}{1}
+\section{基础解系}
+
+\section{反求参数}
+
+基本上都是给出方程组有无穷多解：
+
+\begin{itemize}
+    \item 齐次方程组：系数矩阵是降秩的；行列式值为0。
+    \item 非齐次方程组：系数矩阵与增广矩阵秩相同且降秩。
+\end{itemize}
+
+\textbf{例题：}已知齐次线性方程组$\left\{\begin{array}{l}
+    ax_1-3x_2+3x_3=0 \\
+    x_1+(a+2)x_2+3x_3=0 \\
+    2x_1+x_2-x_3=0
+\end{array}\right.$有无穷多解，求参数$a$。
+
+解：使用矩阵比较麻烦，三阶的系数矩阵可以使用行列式。
+
+$\vert A\vert=\left\vert\begin{array}{ccc}
+    a & -3 & 3 \\
+    1 & a+2 & 3 \\
+    2 & 1 & -1 \\
+\end{array}\right\vert=\left\vert\begin{array}{ccc}
+    a & 0 & 3 \\
+    1 & a+5 & 3 \\
+    2 & 0 & -1 \\
+\end{array}\right\vert=(a+5)(a+6)=0$。
+
+解得$a=-5$或$a=-6$。
+
+\end{document}

linear-algebra/exercise/5-similar/similar.tex

@@ -37,7 +37,9 @@
 
 特征值往往与前面的内容进行混合考察。
 
-\section{特征值与迹}
+\section{特征值与特征向量}
+
+\subsection{迹}
 
 \textbf{例题：}已知$A$是3阶方阵，特征值为1，2，3，求$\vert A\vert$的元素$a_{11},a_{22},a_{33}$的代数余子式$A_{11},A_{22},A_{33}$的和$\sum\limits_{i=1}^3A_{ii}$。
 
@@ -49,7 +51,55 @@
 
 $=\sum\limits_{i=1}^3\dfrac{\vert A\vert}{\lambda_i}=\sum\limits_{i=1}^3\dfrac{\lambda_1\lambda_2\lambda_3}{\lambda_i}=\lambda_2\lambda_3+\lambda_1\lambda_3+\lambda_1\lambda_2=2+3+6=11$。
 
-\section{相似对角化}
+\subsection{逆矩阵}
+
+通过相关式子将逆矩阵转换为原矩阵。同一个向量的逆矩阵的特征值是原矩阵的特征值的倒数。
+
+\textbf{例题：}已知$\overrightarrow{\alpha}=(a,1,1)^T$是矩阵$A=\left[\begin{array}{ccc}
+    -1 & 2 & 2 \\
+    2 & a & -2 \\
+    2 & -2 & -1
+\end{array}\right]$的逆矩阵的特征向量，则求$\overrightarrow{\alpha}$在矩阵$A$中对应的特征值。
+
+解：由于$\overrightarrow{\alpha}$是$A^{-1}$的特征向量，所以令此时的特征值为$\lambda_0$，则定义$\lambda_0\overrightarrow{\alpha}=A^{-1}\overrightarrow{\alpha}$，$\lambda_0A\overrightarrow{\alpha}=\overrightarrow{\alpha}$。
+
+即$\lambda_0\left[\begin{array}{ccc}
+    -1 & 2 & 2 \\
+    2 & a & -2 \\
+    2 & -2 & -1
+\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
+    a \\
+    1 \\
+    1 \\
+\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
+    a \\
+    1 \\
+    1 \\
+\end{array}\right]$，即$\lambda_0\left[\begin{array}{ccc}
+    -a & 2 & 2 \\
+    2a & a & -2 \\
+    2a & -2 & -1
+\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
+    a \\
+    1 \\
+    1 \\
+\end{array}\right]$。\medskip
+
+即根据矩阵代表的是方程组，得到$\lambda_0(4-a)=a$，$\lambda_0(3a-2)=1$，$\lambda_0(2a-3)=1$。
+
+又$\lambda_0\neq0$，$3a-2=2a-3$，$a=-1$，则$\lambda_0=-\dfrac{1}{5}$。
+
+所以矩阵$A$对应的特征值为$-5$。
+
+\subsection{抽象型}
+
+题目只会给对应的式子，来求对应的特征向量或特征值。需要记住特征值的关系式然后与给出的式子上靠拢，不会很复杂。
+
+\textbf{例题：}已知$A$为三阶矩阵，且矩阵$A$各行元素之和均为5，则求$A$必然存在的特征向量。
+
+解：由于是抽象型，所以没有实际的数据，就不能求出固定的特征值，$\lambda\xi=A\xi$。
+
+\section{相似理论}
 
 \section{判断相似对角化}
 

linear-algebra/knowledge/4-linear-equations-system/linear-equations-system.tex

@@ -270,7 +270,7 @@ $(a_1,a_2,\cdots,a_n)\left(\begin{array}{c}
 
 \begin{enumerate}
     \item 将系数矩阵$A$作为\textbf{初等行变换}后化为阶梯形矩阵或最简阶梯形矩阵$B$，因为初等行变换将方程组化为同解方程组，所以$Ax=0$与$Bx=0$同解，只需解$Bx=0$，设$r(A)=r$。其中$A$为$m$行$n$列，$m$为约束方程组个数，$n$为变量个数。
-    \item 在$B$中按列找到一个秩为$r$的子矩阵，即在每排阶梯都选出一列组合成子矩阵，则剩余列位置的未知数就是自由变量。
+    \item 在$B$中按列找到一个秩为$r$的子矩阵，即在每排阶梯都选出一列组合成子矩阵，则剩余列位置的未知数就是自由变量。（极大线性无关组）
     \item 按基础解析定义求出$\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_{n-r}$，并写出通解。
 \end{enumerate}
 

linear-algebra/knowledge/5-similar/similar.tex

@@ -96,7 +96,7 @@ $\because\lambda\xi-A\xi=0$，$\therefore(\lambda E-A)\xi=0$，又$\xi\neq0$，$
 
 $\vert\lambda E-A\vert=0$也称为特征方程或是特征多项式，解出的$\lambda_i$就是特征值。
 
-将$\lambda_i$代回原方程，所有非零的解就是$\xi$。
+将$\lambda_i$代回原方程，根据极大线性无关组解出通解就是$\xi$。
 
 \subsubsection{具体型}