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advanced-math/exercise/2-function/function.tex

@@ -166,9 +166,17 @@ $\therefore a=1,b=e$。
 
 \subsection{罗尔定理}
 
-罗尔定理在判断不等式时一般用于零点的状况。
+\subsubsection{寻找原函数}
 
-\subsubsection{直接式子}
+通过乘积求导公式$(uv)'=u'v+uv'$的逆运算来构造辅助函数。
+
+如$f(x)f'(x)$，作$F(x)=f^2(x)$，$[f'(x)]^2+f(x)f''(x)$，作$F(x)=f(x)f'(x)$，$f'(x)+f(x)\varphi'(x)$，作$F(x)=f(x)e^{\varphi(x)}$。
+
+即证明什么就构造他的原函数为函数式子。
+
+\subsubsection{零点情况}
+
+\paragraph{直接式子} \leavevmode \medskip
 
 需要证明所给式子的导数是否在该区间为0即可。
 
@@ -180,7 +188,7 @@ $\therefore a=1,b=e$。
 
 由罗尔定理得知$\exists\xi\in(x_1,x_2)\subset(0,1)$，使得$f'(\xi)=0$，但是$f'(x)=3x^2-3$在$(0,1)$上不超过0，所以$\xi$不存在，从而多项式$f(x)=x^3-3x+a$在$[0,1]$上不可能有两个零点。
 
-\subsubsection{含参数式子}
+\paragraph{含参数式子} \leavevmode \medskip
 
 若所求式子是一个含参数，那么其一定还有另一个式子约束参数，此时我们就需要构建一个新的式子来利用所给的条件，然后将新式子转换为旧式子。
 
@@ -196,7 +204,37 @@ $\therefore a=1,b=e$。
 
 \subsection{拉格朗日中值定理}
 
-证明不等式最重要的还是找到$f(x)$，有时候不等式不存在$f(a)-f(b)$这种式子，就需要我们转换。
+证明不等式最重要的还是找到$f(x)$，即出现差值$f(a)-f(b)$，那么$f(x)$就是我们的目标函数，有时候不等式不存在$f(a)-f(b)$这种式子，就需要我们转换。
+
+\subsubsection{式子转换}
+
+使用初等运算将目标式子转换减式。
+
+\textbf{例题：}设$f(x)$在闭区间$[0,c]$上连续，其导数$f'(x)$在开区间$(0,c)$内存在且单调减少，又$f(0)=0$，证明$f(a+b)\leqslant f(a)+f(b)$，$0\leqslant a\leqslant b\leqslant a+b\leqslant c$。
+
+解：不存在两端点相等的条件，所以使用拉格朗日中值定理。
+
+因为所要证明的式子中含有$a$、$b$、$a+b$，$f(0)=0$，所以对这几个区间进行拉格朗日中值定理。
+
+证明式子中没有减的形式只有和的形式，所以需要对其转换。
+
+$f(a)-f(0)=f'(\xi_1)(a-0)$，$f(a+b)-f(b)=f'(\xi_2)(a+b-b)$。
+
+从而$f(a)=f'(\xi_1)a$，$f(a+b)-f(b)=f'(\xi_2)a$。
+
+又$f'(x)$单调减少，所以$f'(\xi_1)>f'(\xi_2)$。
+
+$f(a)\geqslant f(a+b)-f(b)$，所以$f(a+b)\leqslant f(a)+f(b)$。
+
+\subsubsection{求原函数}
+
+这种题目就是证明某个式子成立，式子一边是常数一边是导数式子，要证明，就要将导数式子转换为原函数，方法跟罗尔定理使用的转换原函数的技巧一样。
+
+\textbf{例题：}设$f(x)$在$[0,1]$上连续且可导，证明存在一点$\varepsilon\in(0,1)$，使得$f(1)=3\varepsilon^2f(\varepsilon)+\varepsilon^3f'(\epsilon)$。
+
+证明：由$3\varepsilon^2f(\varepsilon)+\varepsilon^3f'(\epsilon)$，可推出原函数为$x^3f(x)$，令$F(x)=x^3f(x)$，则其在$(0,1)$也可导。
+
+即使用拉格朗日中值定理，$F(1)-F(0)=F'(\varepsilon)$，$\varepsilon\in(0,1)$。即$f(1)=3\varepsilon^2f(\varepsilon)+\varepsilon^3f'(\epsilon)$。
 
 \subsubsection{对数函数特性}
 
@@ -214,12 +252,26 @@ $\therefore a=1,b=e$。
 
 所以$\dfrac{a-b}{a}<\dfrac{a-b}{\xi}<\dfrac{a-b}{b}$，从而$\dfrac{a-b}{a}<\ln\dfrac{a}{b}<\dfrac{a-b}{b}$，得证。
 
+\subsubsection{划分区间}
+
+证明存在两个不同的点在同一个区间满足一个不等式。如果两个点彼此存在一定关系，如上面式子转换的例子$a+b$，$a$，$b$，那么我们可以使用转换，如果两个完全独立的变量，则这种方式没用，我们可以考虑划分区间，假定这两个点在不同的区间，中间以一个区间变量分隔，由于拉格朗日中值定理中两个变量只会出现一次，而间隔变量会出现多次，所以对其分别拉格朗日中值定理，就可以把两个变量换成以间隔变量表示的形式，将两个无关变量的式子变成一个变量的式子。
+
+\textbf{例题：}设函数$f(x)$在$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导，且$f(0)=0$，$f(1)=1$，证明存在不同的$\varepsilon_1$、$\varepsilon_2$，使得$\dfrac{1}{f'(\varepsilon_1)}+\dfrac{1}{f'(\varepsilon_2)}=2$。
+
+证明：使用$\varepsilon$将$[0,1]$划分为$[0,\varepsilon]$和$[\varepsilon,1]$两个区间，假定$\varepsilon_1$、$\varepsilon_2$分别在这两个区间上。
+
+分别对其进行拉格朗日：$f(\varepsilon)-f(0)=f'(\varepsilon_1)(\varepsilon-0)$，即$\dfrac{1}{f'(\varepsilon_1)}=\dfrac{\varepsilon}{f(\varepsilon)}$，$f(1)-f(\varepsilon)=f'(\varepsilon_2)(1-\varepsilon)$，即$\dfrac{1}{f'(\varepsilon_2)}=\dfrac{1-\varepsilon}{1-f(\varepsilon)}$。
+
+即$\dfrac{1}{f'(\varepsilon_1)}+\dfrac{1}{f'(\varepsilon_2)}=\dfrac{\varepsilon}{f(\varepsilon)}+\dfrac{1-\varepsilon}{1-f(\varepsilon)}$，任取$f(\varepsilon)=\dfrac{1}{2}$，原式等于2，得证。
+
 \subsubsection{查找特定值}
 
-对于证明一种不等式，如果里面没有差式，也无法转换为差式，那么就可以考虑制造差式，对于$f(x)$一般选择更高阶的，$a$选择$x$，$b$要根据题目和不等式设置一个常数。
+对于证明一种不等式，如果里面没有差式，也无法转换为差式（没有相同的$f(x)$），那么就可以考虑制造差式，对于$f(x)$一般选择更高阶的，$a$选择$x$，$b$要根据题目和不等式设置一个常数。
 
 一般是0或1。可以先尝试1。
 
+对于这种不等式子看上去一般不会想到拉格朗日中值定理。
+
 \textbf{例题：}当$x>1$时，证明$e^x>ex$。
 
 证明：题目中没有差式，所以需要选择一个函数作为基准函数，里面有一个指数函数和一个幂函数，所以选择$e^x$作为基准函数。

advanced-math/exercise/3-differentiation-of-functions-of-single-variable/differentiation-of-functions-of-single-variable.tex

@@ -437,19 +437,7 @@ $F(t)$递增，所以$F(t)>F(0)=0$。
 
 \subsection{中值定理}
 
-一般使用拉格朗日中值定理或泰勒公式。
-
-\textbf{例题：}设$f(x)$在闭区间$[0,c]$上连续，其导数$f'(x)$在开区间$(0,c)$内存在且单调减少，又$f(0)=0$，证明$f(a+b)\leqslant f(a)+f(b)$，$0\leqslant a\leqslant b\leqslant a+b\leqslant c$。
-
-因为所要证明的式子中含有$a$、$b$、$a+b$，$f(0)=0$，所以对这几个区间进行拉格朗日中值定理。
-
-$f(a)-f(0)=f'(\xi_1)(a-0)$，$f(a+b)-f(b)=f'(\xi_2)(a+b-b)$。
-
-从而$f(a)=f'(\xi_1)a$，$f(a+b)-f(b)=f'(\xi_2)a$。
-
-又$f'(x)$单调减少，所以$f'(\xi_1)>f'(\xi_2)$。
-
-$f(a)\geqslant f(a+b)-f(b)$，所以$f(a+b)\leqslant f(a)+f(b)$。
+一般使用拉格朗日中值定理或泰勒公式，也可能用其他的中值定理。
 
 \section{一元函数微分应用}
 

advanced-math/exercise/4-integal-of-functions-of-single-variable/integal-of-functions-of-single-variable.tex

@@ -780,6 +780,44 @@ $\left[\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{ax^2}{2}+2bx\right]_0^2=\dfrac{8}{3}-2a+4b=a$，$\l
 
 则$f(x)=x^2-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{2}{3}$。
 
+\subsubsection{中值定理}
+
+中值定理一般是在微分中使用，积分中也可能考到，但是重点是将定限积分化为两个常数的差的形式，所以基本上使用拉格朗日中值定理。
+
+\textbf{例题：}设函数$f(x)$在$[0,3]$上连续，在$(0,3)$内有二阶导数，且$2f(0)=\int_0^2f(x)\,\textrm{d}x=f(2)+f(3)$。
+
+证明：（1）存在$\eta\in(0,2)$，使得$f(\eta)=f(0)$；（2）存在$\varepsilon\in(0,3)$，使得$f''(\varepsilon)=0$。
+
+证明：
+
+（1）中值定理基本上是对普通函数的差式进行运算，所以令$F(x)=f_0^xf(t)\,\textrm{d}t$（$0\leqslant x\leqslant2$），所以$\int_0^2f(x)\,\textrm{d}x=F(2)-F(0)$。
+
+由拉格朗日中值定理，存在$\eta\in(0,2)$，使得$F(2)-F(0)=F'(\eta)(2-0)=2f(\eta)$，即$\int_0^2f(x)\,\textrm{d}x=2f(\eta)$。
+
+题目条件可知$f(\eta)=f(0)$。
+
+（2）还剩下等式右边的条件没有使用，且数字为2和3。如何使用？
+
+由函数导数$f''(\varepsilon)$为0很显然知道要使用罗尔定理，但是这是二阶导数，就要求得到$f'(0)=f'(3)$两端相等的条件。
+
+请注意这里是存在$\varepsilon\in(0,3)$使得条件成立，则相等的两端不一定就等于0和3，在区间范围$(0,3)$内都成立。
+
+往往第二问的条件基于第一问的结论，看到第一问，出现了两端相等且区域$\eta$为$(0,3)$子区间，两端相等所以得到这里有一个值的$f'(?)=0$。
+
+此时我们必须找到另一个$f'(?)=0$也成立，此时就能看到最开始剩下的条件$f(2)+f(3)=2f(0)$，这个区域正好是$(0,2)$与$(0,3)$的差集。
+
+我们需要根据这个条件知道存在一个点让$f'(?)=0$成立。即根据罗尔定理，让存在一个点使得$f(?)=f(0)$。根据右边的条件可以使用介值定理。
+
+按这个思路倒退得到证明过程。
+
+由于$f(x)$在$[0,3]$上连续则$[2,3]$上连续，则其必然存在最大值$M$和最小值$m$，使得$m\leqslant f(2)\leqslant M$，$m\leqslant f(3)\leqslant M$，所以$m\leqslant\dfrac{f(2)+f(3)}{2}\leqslant M$。
+
+由介值定理可知存在$\tau\in[2,3]$，使得$f(\tau)=\dfrac{f(2)+f(3)}{2}=f(0)$。所以此时找到这个点。
+
+由（1）$f(0)=f(\eta)=f(\tau)$，其中$0<\eta<2\leqslant\tau\leqslant3$。
+
+根据罗尔定理，必然存在$\varepsilon_1\in(0,\eta)$，$\varepsilon_2\in(\eta,\tau)$，使得$f'(\varepsilon_1)=f'(\varepsilon_2)=0$，再根据罗尔定理存在$\varepsilon\in(\epsilon_1,\epsilon_2)\subset(0,3)$使得$f''(\varepsilon)=0$。
+
 \subsection{变限积分}
 
 \subsubsection{极限}