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练习更新
This commit is contained in:
Didnelpsun
@@ -25,6 +25,8 @@
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% 圆圈序号
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\usepackage{mathtools}
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% 有字的长箭头
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\usepackage[colorlinks,linkcolor=black,urlcolor=blue]{hyperref}
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\author{Didnelpsun}
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\title{函数与极限练习题}
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\date{}
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@@ -37,9 +39,7 @@
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\pagestyle{plain}
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\setcounter{page}{1}
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\section{基本计算流程}
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\subsection{判断类型}
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\section{极限类型}
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七种：$\dfrac{0}{0},\dfrac{\infty}{\infty},0\cdot\infty,\infty-\infty,\infty^0,0^0,1^\infty$。
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@@ -70,9 +70,9 @@ $\therefore \lim u^v=e^{\lim v\cdot\ln u}=e^{\lim v(u-1)}$
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综上，无论什么样的四则形式，都必须最后转换为商的形式。
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\subsection{常用化简运算}
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\section{常用化简运算}
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\subsubsection{对数法则}
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\subsection{对数法则}
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\textbf{例题：}求$\lim_{x\to 0}\dfrac{(e^{x^2}-1)(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x})}{[\ln(1-x)+\ln(1+x)]\sin\dfrac{x}{x+1}}$。
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@@ -80,9 +80,31 @@ $\therefore \lim u^v=e^{\lim v\cdot\ln u}=e^{\lim v(u-1)}$
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这时可以尝试变形，如对数函数相加等于对数函数内部式子相乘：$\ln(1-x)+\ln(1+x)=\ln(1-x^2)\sim-x^2$。
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\subsubsection{指数法则}
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\subsection{指数法则}
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\subsubsection{幂指函数}
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\subsection{三角函数关系式}
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\textbf{例题：}求极限$\lim_{x\to 0}\left(\dfrac{1}{\sin^2x}-\dfrac{\cos^2x}{x^2}\right)$。
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\begin{aligned}
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& \lim_{x\to 0}\left(\dfrac{1}{\sin^2x}-\dfrac{\cos^2x}{x^2}\right) \\
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& = \lim_{x\to 0}\dfrac{x^2-\sin^2x\cos^2x}{\sin^2x\cdot x^2} (\sin x\sim x)\\
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& = \lim_{x\to 0}\dfrac{x^2-\sin^2x\cos^2x}{x^4} (\sin x\cos x\sim\dfrac{1}{2}\sin 2x)\\
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& = \lim_{x\to 0}\dfrac{x^2-\dfrac{1}{4}\sin^22x}{x^4} \\
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& = \lim_{x\to 0}\dfrac{2x-\dfrac{1}{4}\cdot 2\sin 2x\cdot\cos 2x\cdot 2}{4x^3} (\sin x\cos x\sim\dfrac{1}{2}\sin 2x)\\
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& = \lim_{x\to 0}\dfrac{2x-\dfrac{1}{2}\sin 4x}{4x^3} \\
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& = \lim_{x\to 0}\dfrac{2-\dfrac{1}{2}\cos 4x\cdot 4}{12x^2} \\
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& = \dfrac{1}{6}\lim_{x\to 0}\dfrac{1-\cos 4x}{x^2} (1-\cos x\sim \dfrac{1}{2}x^2)\\
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& = \dfrac{4}{3}
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\end{aligned}
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\subsection{提取常数因子}
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提取常数因子就是提取出能转换为常数的整个极限式子的因子。这个因子必然在自变量的趋向时会变为非0的常数，那么这个式子就可以作为常数提出。
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\subsection{幂指函数}
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当出现$f(x)^{g(x)}$的类似幂函数与指数函数类型的式子，需要使用$u^v=e^{v\ln u}$。
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@@ -98,7 +120,7 @@ $
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\end{aligned}
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\subsubsection{有理化}
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\subsection{有理化}
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当遇到带有根号的式子可以使用等价无穷小，但是只针对形似$(1+x)a-1\sim ax$的式子，而针对$x^a\pm x^b$的式子则无法替换，必须使用有理化来将单个式子变为商的形式。
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@@ -123,19 +145,18 @@ $
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\end{aligned}
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\subsubsection{提取公因子}
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\subsection{提取公因子}
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当作为商的极限式子上下都具有公因子时可以提取公因子，从而让未知数集中在分子或分母上。
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当作为商的极限式子上下都具有公因子时可以提取公因子然后相除，从而让未知数集中在分子或分母上。
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\textcolor{orange}{注意：}提取公因子的时候应该注意开平方等情况下符号的问题。如果极限涉及倒正负两边则必须都讨论。
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当趋向为负且式子中含有根号的时候最好提取负因子，从而让趋向变为正。
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\subsubsection{提取常数因子}
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\subsubsection{换元法}
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\subsection{换元法}
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换元法本身没什么技巧性，主要是更方便计算。
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换元法本身没什么技巧性，主要是更方便计算。最重要的是获取到共有的最大因子进行替换。
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\textbf{例题：}求极限$\lim_{x\to 1^-}\ln x\ln(1-x)$。
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@@ -155,86 +176,6 @@ $
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\end{aligned}
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\subsubsection{三角函数关系式}
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$\infty-\infty$型\textbf{例题：}求极限$\lim_{x\to 0}\left(\dfrac{1}{\sin^2x}-\dfrac{\cos^2x}{x^2}\right)$。
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\begin{aligned}
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& \lim_{x\to 0}\left(\dfrac{1}{\sin^2x}-\dfrac{\cos^2x}{x^2}\right) \\
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& = \lim_{x\to 0}\dfrac{x^2-\sin^2x\cos^2x}{\sin^2x\cdot x^2} (\sin x\sim x)\\
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& = \lim_{x\to 0}\dfrac{x^2-\sin^2x\cos^2x}{x^4} (\sin x\cos x\sim\dfrac{1}{2}\sin 2x)\\
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& = \lim_{x\to 0}\dfrac{x^2-\dfrac{1}{4}\sin^22x}{x^4} \\
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& = \lim_{x\to 0}\dfrac{2x-\dfrac{1}{4}\cdot 2\sin 2x\cdot\cos 2x\cdot 2}{4x^3} (\sin x\cos x\sim\dfrac{1}{2}\sin 2x)\\
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& = \lim_{x\to 0}\dfrac{2x-\dfrac{1}{2}\sin 4x}{4x^3} \\
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& = \lim_{x\to 0}\dfrac{2-\dfrac{1}{2}\cos 4x\cdot 4}{12x^2} \\
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& = \dfrac{1}{6}\lim_{x\to 0}\dfrac{1-\cos 4x}{x^2} (1-\cos x\sim \dfrac{1}{2}x^2)\\
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& = \dfrac{4}{3}
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\end{aligned}
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\subsection{基本计算方式}
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课本上极限计算可以使用的主要计算方式：
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\subsubsection{基础四则运算}
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\subsubsection{两个重要极限}
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\subsubsection{导数定义}
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\subsubsection{等价无穷小替换}
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当看到复杂的式子，且不论要求的极限值的趋向，而只要替换的式子是$\Delta\to 0$时的无穷小，就使用等价无穷小进行替换。
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\textcolor{orange}{注意：}替换的必然是整个求极限的乘或除的因子，一般加减法与部分的因子不能进行等价无穷小替换。
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对于无法直接得出变换式子的，可以对对应参数进行凑，以达到目标的可替换的等价无穷小。
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\subsubsection{夹逼准则}
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夹逼准则可以用来证明不等式也可以用来计算极限。但是最重要的是找到能夹住目标式子的两个式子。
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\textbf{例题：}求极限$\lim_{x\to 0}x\left[\dfrac{10}{x}\right]$，其中$[\cdot]$为取整符号。
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取整函数公式：$x-1<[x]\leqslant x$，所以$\dfrac{10}{x}-1<\left[\dfrac{10}{x}\right]\leqslant\dfrac{10}{x}$。
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当$x>0$时，$x\to 0^+$，两边都乘以10，$10-x<x\cdot\left[\dfrac{10}{x}\right]\leqslant x\cdots\dfrac{10}{x}=10$，而左边在$x\to 0^+$时极限也为10，所以夹逼准则，中间$x\cdot\left[\dfrac{10}{x}\right]$极限也为10。
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当$x>0$时，$x\to 0^-$，同样也是夹逼准则得到极限为10。
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$\therefore \lim_{x\to 0}x\left[\dfrac{10}{x}\right]=10$。
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\subsubsection{拉格朗日中值定理}
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\subsubsection{洛必达法则}
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洛必达法则的本质是降低商形式的极限式子的幂次。
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洛必达在处理一般的极限式子比较好用，但是一旦式子比较复杂最好不要使用洛必达法则，最好是对求导后有规律或幂次较低的式子进行上下求导。
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对于幂次高的式子必然使用洛必达法则。
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\subsubsection{泰勒公式}
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泰勒公式一般会使用趋向0的麦克劳林公式，且一般只作为极限计算的一个小部分，用来替代一个部分。
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且一般只有麦克劳林公式表上的基本初等函数才会使用倒泰勒公式，复合函数最好不要使用。
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\textbf{例题：}求极限$\lim_{x\to 0}\dfrac{\arcsin x-\arctan x}{\sin x-\tan x}$。
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分析：该题目使用洛必达法则会比较麻烦且难以计算，所以先考虑是否能用泰勒展开：
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$x\to 0$，$\sin x=x-\dfrac{1}{6}x^3+o(x^3)$，$\tan x=x+\dfrac{1}{3}x^3+o(x^3)$，$\arcsin x=x+\dfrac{1}{6}x^3+o(x^3)$，$\arctan x=x-\dfrac{1}{3}x^3+o(x^3)$。
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$\therefore \sin x-\tan x=-\dfrac{1}{2}x^3+o(x^3)$，$\arcsin x-\arctan x=\dfrac{1}{2}x^3+o(x^3)$
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$\therefore \text{原式}=\dfrac{\dfrac{1}{x}x^3+o(x^3)}{-\dfrac{1}{2}x^3+o(x^3)}=-1$。
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\section{未定式求极限值}
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未定式即需要自己定义的式子，可能存在极限也可能不存在，对于自变量的变化趋势分为六种，分别是对于$x_0$与$\infty$的各三种。
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\subsection{倒代换}
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\subsubsection{含有分式}
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@@ -283,8 +224,12 @@ $
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\end{aligned}
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\subsubsection{\texorpdfstring{$\infty-\infty$}\ 型}
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\subsection{拆项}
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当极限式子中出现不知道项数的$n$时，一般需要使用拆项，把项重新组合。一般的组合是根据等价无穷小。
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\textbf{例题：}求极限$\lim_{x\to 0}\left(\dfrac{e^x+e^{2x}+\cdots+e^{nx}}{n}\right)^{\frac{e}{x}}$。（$n\in N^+$）
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@@ -300,6 +245,78 @@ $
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\end{aligned}
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\section{基本计算方式}
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课本上极限计算可以使用的主要计算方式：
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\subsection{基础四则运算}
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\subsection{两个重要极限}
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\subsection{导数定义}
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\subsection{等价无穷小替换}
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当看到复杂的式子，且不论要求的极限值的趋向，而只要替换的式子是$\Delta\to 0$时的无穷小，就使用等价无穷小进行替换。
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\textcolor{orange}{注意：}替换的必然是整个求极限的乘或除的因子，一般加减法与部分的因子不能进行等价无穷小替换。
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对于无法直接得出变换式子的，可以对对应参数进行凑，以达到目标的可替换的等价无穷小。
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\subsection{夹逼准则}
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夹逼准则可以用来证明不等式也可以用来计算极限。但是最重要的是找到能夹住目标式子的两个式子。
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\textbf{例题：}求极限$\lim_{x\to 0}x\left[\dfrac{10}{x}\right]$，其中$[\cdot]$为取整符号。
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取整函数公式：$x-1<[x]\leqslant x$，所以$\dfrac{10}{x}-1<\left[\dfrac{10}{x}\right]\leqslant\dfrac{10}{x}$。
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当$x>0$时，$x\to 0^+$，两边都乘以10，$10-x<x\cdot\left[\dfrac{10}{x}\right]\leqslant x\cdots\dfrac{10}{x}=10$，而左边在$x\to 0^+$时极限也为10，所以夹逼准则，中间$x\cdot\left[\dfrac{10}{x}\right]$极限也为10。
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当$x>0$时，$x\to 0^-$，同样也是夹逼准则得到极限为10。
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$\therefore \lim_{x\to 0}x\left[\dfrac{10}{x}\right]=10$。
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\subsection{拉格朗日中值定理}
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对于形如$f(a)-f(b)$的极限式子就可以使用拉格朗日中值定理，这个$f(x)$为任意的函数。
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\textbf{例题：}求极限$\lim_{n\to\infty}n^2\left(\arctan\dfrac{2}{n}-\arctan\dfrac{2}{n+1}\right)$。
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因为式子不算非常复杂，其实也可以通过洛必达法则来完成，但是求导会很复杂。而$\arctan x$可以认定为$f(x)$。
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从而$\arctan\dfrac{2}{n}-\arctan\dfrac{2}{n+1}$为$f(\dfrac{2}{n})-f(\dfrac{2}{n+1})=f'(\xi)\left(\dfrac{2}{n}-\dfrac{2}{n+1}\right)$。
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其中$\dfrac{2}{n+1}<\xi<\dfrac{2}{n}$，而当$n\to\infty$时，$f'(\xi)=\dfrac{1}{1+\xi^2}\to 1$。
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$\therefore\arctan\dfrac{2}{n}-\arctan\dfrac{2}{n+1}\sim\dfrac{2}{n}-\dfrac{2}{n+1}=\dfrac{2}{n(n+1)}$。
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$\therefore\lim_{n\to\infty}n^2\left(\arctan\dfrac{2}{n}-\arctan\dfrac{2}{n+1}\right)=\lim_{n\to\infty}n^2\cdot\dfrac{2}{n(n+1)}=2$。
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\subsection{洛必达法则}
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洛必达法则的本质是降低商形式的极限式子的幂次。
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洛必达在处理一般的极限式子比较好用，但是一旦式子比较复杂最好不要使用洛必达法则，最好是对求导后有规律或幂次较低的式子进行上下求导。
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对于幂次高的式子必然使用洛必达法则。
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\subsection{泰勒公式}
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泰勒公式一般会使用趋向0的麦克劳林公式，且一般只作为极限计算的一个小部分，用来替代一个部分。
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且一般只有麦克劳林公式表上的基本初等函数才会使用倒泰勒公式，复合函数最好不要使用。
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\textbf{例题：}求极限$\lim_{x\to 0}\dfrac{\arcsin x-\arctan x}{\sin x-\tan x}$。
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分析：该题目使用洛必达法则会比较麻烦且难以计算，所以先考虑是否能用泰勒展开：
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$x\to 0$，$\sin x=x-\dfrac{1}{6}x^3+o(x^3)$，$\tan x=x+\dfrac{1}{3}x^3+o(x^3)$，$\arcsin x=x+\dfrac{1}{6}x^3+o(x^3)$，$\arctan x=x-\dfrac{1}{3}x^3+o(x^3)$。
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$\therefore \sin x-\tan x=-\dfrac{1}{2}x^3+o(x^3)$，$\arcsin x-\arctan x=\dfrac{1}{2}x^3+o(x^3)$
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$\therefore \text{原式}=\dfrac{\dfrac{1}{x}x^3+o(x^3)}{-\dfrac{1}{2}x^3+o(x^3)}=-1$。
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\section{极限转换}
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一般解法为两种。
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@@ -250,7 +250,7 @@ $\therefore \dfrac{y^{(6)}(0)}{6!}=-\dfrac{1}{6}\Rightarrow y^{(6)}(0)=-5!=-120$
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泰勒公式展开时应该展开到多少次幂？
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\subsubsection{\texorpdfstring{$\dfrac{A}{B}$}型，上下同阶}
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\subsubsection{\texorpdfstring{$\dfrac{A}{B}$}\ 型，上下同阶}
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当分母或分子式$x$的$k$次幂那么应该把分母或分子展开到对应的次数幂。
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@@ -265,7 +265,7 @@ $
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\end{aligned}
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\subsubsection{\texorpdfstring{$A-B$}型，幂次最低}
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\subsubsection{\texorpdfstring{$A-B$}\ 型，幂次最低}
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将$A$，$B$分别展到他们系数不相等的$x$的最低次幂为止。
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