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更新二次型
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Didnelpsun
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@@ -133,16 +133,136 @@ $\left\{\begin{array}{l}
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解：根据$P^{-1}AP=\Lambda$，所以$P$为特征向量，$1,1,-1$为特征值。
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所以$A$关于$\lambda=1$的特征向量为$\alpha_1$或$\alpha_2$。而某一特征值的全部特征向量构成特征向量子空间，所以$\lambda=1$的特征向量为$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2$。
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\subsection{实对称矩阵}
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实对称矩阵的不同特征值的特征向量相互正交（$A^TA=0$）。
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实对称矩阵的不同特征值的特征向量相互正交（$B^TA=0$）。
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\textbf{例题：}已知$A$为三阶实对称矩阵，特征值为$1,3，-2$，其中$\alpha_1=(1,2,-2)^T$，$\alpha_2=(4,-1,a)^T$分别属于特征值$\lambda=1$，$\lambda=3$的特征向量。求$A$属于特征值$\lambda=-2$的特征向量。
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解：令$A$属于特征值$\lambda=-2$的特征向量为$(x_1,x_2,x_3)^T$。
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根据实对称矩阵的正交性质。
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$\alpha_1^T\alpha_2=4-2-2a=0$，$\alpha_2^T\alpha_3=4x_1-x_2+ax_3=0$，$\alpha_3^T\alpha_1=x_1+2x_2-2x_3=0$。
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$a=1$，$4x_1-x_2+x_3=0$，$x_1+2x_2-2x_3=0$，解得基础解系$(0,1,1)^T$,$\alpha_3=(0,k,k)^T$（$k\neq0$）。
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\section{相似理论}
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\section{判断相似对角化}
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\subsection{判断相似对角化}
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可以使用相似对角化的四个条件，但是最基本的使用还是$A$有$n$个无关的特征向量$\xi$。
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\subsection{反求参数}
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常用方法：
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\begin{itemize}
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\item 若$A\sim B$，则$\vert A\vert=\vert B\vert$，$r(A)=r(B)$，$tr(A)=tr(B)$，$\lambda_A=\lambda_B$，通过等式计算参数。
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\item 若$\xi$是$A$属于特征值$\lambda$的特征向量，则有$A\xi=\lambda\xi$，建立若干等式或方程组来计算参数。
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\item 若$\lambda$是$A$的特征值，则与$\vert\lambda E-A\vert=0$，通过该等式计算参数。
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\end{itemize}
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\textbf{例题：}已知$A=\left(\begin{array}{ccc}
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2 & 0 & 0 \\
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0 & 0 & 1 \\
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0 & 1 & x
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\end{array}\right)$，$B=\left(\begin{array}{ccc}
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2 \\
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& y \\
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& & -1
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\end{array}\right)$，且$A\sim B$，求参数。\medskip
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首先可以利用迹相等，则$2+0+x=2+y-1$，行列式值相等，则$-2=-2y$，解得$x=0$，$y=1$。
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\subsection{反求矩阵}
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若有可逆矩阵$P$，使得$P^{-1}AP=\Lambda$，则：
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\begin{itemize}
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\item $A=P\Lambda P^{-1}$。
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\item $A^k=P\Lambda^kP^{-1}$。
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\item $f(A)=Pf(\Lambda)P^{-1}$。
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\end{itemize}
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\textbf{例题：}已知$A=\left(\begin{array}{ccc}
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2 & x & 1 \\
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0 & 3 & 0 \\
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3 & -6 & 0
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\end{array}\right)$相似于对角矩阵，求$A^{100}$。\medskip
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解：首先$A\sim\Lambda$，所以$A$能相似对角化。
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$\vert\lambda E-A\lambda=\left|\begin{array}{ccc}
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\lambda-2 & -x & -1 \\
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0 & \lambda-3 & 0 \\
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-3 & 6 & \lambda
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\end{array}\right|=(\lambda-3)^2(\lambda+1)=0$。$\lambda_1=\lambda_2=3$，$\lambda_3=-1$。
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所以对于$\lambda_1=\lambda_2=3$时，需要$s=2$，从而$r(A)=1$，对应成比例。
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代入3：$(3E-A)x=0$，$\left(\begin{array}{ccc}
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1 & -x & -1 \\
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0 & 0 & 0 \\
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-3 & 6 & 3
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\end{array}\right)=0$，所以$\dfrac{-1}{3}=\dfrac{-x}{6}$，$x=2$。
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解得$\xi_1=(1,0,1)^T$，$\xi_2=(2,1,0)^T$，$\xi_3=(1,0,-3)^T$。
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令$P=(\xi_1,\xi_2,\xi_3)$，所以$A=P\Lambda P^{-1}$，$A^{100}=P\Lambda^{100}P^{-1}$。
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\subsection{相似性}
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\begin{itemize}
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\item 定义法：若存在可逆矩阵$P$，使得$P^{-1}AP=B$，则$A\sim B$。
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\item 性质：若$A\sim B$，则$r(A)=r(B)$，$\vert A\vert=\vert B\vert$，$tr(A)=tr(B)$，$\lambda_A=\lambda_B$。
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\item 传递性：$A\sim\Lambda$，$\Lambda\sim B$，则$A\sim B$。
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\end{itemize}
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\textbf{例题：}已知矩阵$A=\left[\begin{array}{ccc}
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3 & 1 & 2 \\
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0 & 2 & a \\
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0 & 0 & 3
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\end{array}\right]$和对角矩阵相似，求$a$。\medskip
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解：由于$A$是对角矩阵，所以特征值为其迹$\lambda=(3,2,3)$。特征值有二重根。
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已知$A\sim\Lambda$，$\lambda=3$有两个线性无关的特征向量。即$(3E-A)x=0$有两个线性无关的解。即$r(3E-A)=1$。
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$3E-A=\left[\begin{array}{ccc}
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0 & -1 & -2 \\
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0 & 1 & -a \\
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0 & 0 & 0
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\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}
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0 & -1 & -2 \\
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0 & 0 & -a-2 \\
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0 & 0 & 0
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\end{array}\right]$，$\therefore a=-2$。
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\subsection{抽象型}
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\textbf{例题：}设$A$是三阶矩阵，$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$是三维线性无关的列向量，且$A\alpha_1=\alpha_2+\alpha_3$，$A\alpha_2=\alpha_1+\alpha_3$，$A\alpha_3=\alpha_1+\alpha_2$，求$A$相似的矩阵。
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解：$A\sim\Lambda$，则$P^{-1}AP=\Lambda$。
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$A(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=(\alpha_2+\alpha_3,\alpha_1+\alpha_3,\alpha_1+\alpha_2)=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)\left[\begin{array}{ccc}
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0 & 1 & 1 \\
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1 & 0 & 1 \\
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1 & 1 & 0
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\end{array}\right]$。
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记$P=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$，$B=\left[\begin{array}{ccc}
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0 & 1 & 1 \\
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1 & 0 & 1 \\
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1 & 1 & 0
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\end{array}\right]$。\medskip
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又$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$是三维线性无关的列向量，$\therefore\vert\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\vert\neq0$，所以$P$可逆。
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$\therefore AP=PB$，$P^{-1}AP=B$，$A\sim B$。
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\subsection{正交相似}
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\end{document}
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Binary file not shown.
@@ -280,6 +280,12 @@ $\therefore\lambda_1=\lambda_2=1$，$\lambda_3=10$。
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由相似对角化的充分条件可知，实对称矩阵必然可以相似对角化。
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\subsubsection{正交}
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\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}若$\alpha=(a_1,a_2,\cdots,a_n)$，$\beta=(b_1,b_2,\cdots,b_n)$，则内积$(\alpha,\beta)=a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n$。
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所以内积是一个数值。
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\subsubsection{定义}
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\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}$A^T=A$则$A$就是对称矩阵，若$A$的元素都是实数，则$A$是实对称矩阵。
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@@ -300,11 +306,9 @@ $(\lambda_2x_2)^Tx_1=\lambda_1x_2^Tx_1$，$\lambda_2x_2^Tx_1=\lambda_1x_2^Tx_1$
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即$(x_2,x_1)=0$，从而$x_1$与$x_2$正交。
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如果不记得正交化可以等到二次型结束后再回头复习。
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\subsubsection{步骤}
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对于实对称矩阵，一定存在$P$，所以一般而言还会考求$Q$，步骤如下：
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对于实对称矩阵，一定存在$P$，所以一般而言还会考求正交单位化的$Q$，步骤如下：
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\begin{enumerate}
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\item 求出$A$的所有特征值$\lambda$。
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@@ -335,72 +339,4 @@ $\therefore\eta_2=\left(\dfrac{2}{5},\dfrac{4}{5},1\right)^T$，取$\eta_2=(2,4,
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令$Q=(\eta_1',\eta_2',\eta_3')$，使得$Q^{-1}AQ=Q^TAQ=\Lambda$。
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\subsection{应用}
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\subsubsection{反求参数}
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常用方法：
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\begin{itemize}
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\item 若$A\sim B$，则$\vert A\vert=\vert B\vert$，$r(A)=r(B)$，$tr(A)=tr(B)$，$\lambda_A=\lambda_B$，通过等式计算参数。
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\item 若$\xi$是$A$属于特征值$\lambda$的特征向量，则有$A\xi=\lambda\xi$，建立若干等式或方程组来计算参数。
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\item 若$\lambda$是$A$的特征值，则与$\lambda E-A\vert=0$，通过该等式计算参数。
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\end{itemize}
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\textbf{例题：}已知$A=\left(\begin{array}{ccc}
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2 & 0 & 0 \\
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0 & 0 & 1 \\
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0 & 1 & x
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\end{array}\right)$，$B=\left(\begin{array}{ccc}
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2 \\
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& y \\
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& & -1
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\end{array}\right)$，且$A\sim B$，求参数。\medskip
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首先可以利用迹相等，则$2+0+x=2+y-1$，行列式值相等，则$-2=-2y$，解得$x=0$，$y=1$。
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\subsubsection{反求矩阵}
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若有可逆矩阵$P$，使得$P^{-1}AP=\Lambda$，则：
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\begin{itemize}
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\item $A=P\Lambda P^{-1}$。
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\item $A^k=P\Lambda^kP^{-1}$。
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\item $f(A)=Pf(\Lambda)P^{-1}$。
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\end{itemize}
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\textbf{例题：}已知$A=\left(\begin{array}{ccc}
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2 & x & 1 \\
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0 & 3 & 0 \\
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3 & -6 & 0
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\end{array}\right)$相似于对角矩阵，求$A^{100}$。\medskip
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解：首先$A\sim\Lambda$，所以$A$能相似对角化。
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$\vert\lambda E-A\lambda=\left|\begin{array}{ccc}
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\lambda-2 & -x & -1 \\
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0 & \lambda-3 & 0 \\
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-3 & 6 & \lambda
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\end{array}\right|=(\lambda-3)^2(\lambda+1)=0$。$\lambda_1=\lambda_2=3$，$\lambda_3=-1$。
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所以对于$\lambda_1=\lambda_2=3$时，需要$s=2$，从而$r(A)=1$，对应成比例。
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代入3：$(3E-A)x=0$，$\left(\begin{array}{ccc}
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1 & -x & -1 \\
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0 & 0 & 0 \\
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-3 & 6 & 3
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\end{array}\right)=0$，所以$\dfrac{-1}{3}=\dfrac{-x}{6}$，$x=2$。
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解得$\xi_1=(1,0,1)^T$，$\xi_2=(2,1,0)^T$，$\xi_3=(1,0,-3)^T$。
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令$P=(\xi_1,\xi_2,\xi_3)$，所以$A=P\Lambda P^{-1}$，$A^{100}=P\Lambda^{100}P^{-1}$。
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\subsubsection{相似性}
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\begin{itemize}
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\item 定义法：若存在可逆矩阵$P$，使得$P^{-1}AP=B$，则$A\sim B$。
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\item 性质：若$A\sim B$，则$r(A)=r(B)$，$\vert A\vert=\vert B\vert$，$tr(A)=tr(B)$，$\lambda_A=\lambda_B$。
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||||
\item 传递性：$A\sim\Lambda$，$\Lambda\sim B$，则$A\sim B$。
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||||
\end{itemize}
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\end{document}
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Binary file not shown.
@@ -76,11 +76,11 @@ $=(x_1,x_2,x_3)\left(\begin{array}{ccc}
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-2 & -4 & 5
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\end{array}\right)(x_1,x_2,x_3)^T$。
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||||
所以可以发现二次型矩阵就是一个对称矩阵，所以只要能写出二次型的就一定存在一个对称矩阵，就一定可以相似对角化。
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所以可以发现二次型矩阵就是一个对称矩阵，$A^T=A$，所以只要能写出二次型的就一定存在一个对称矩阵，就一定可以相似对角化。
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\section{标准形与规范形}
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\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}若二次型中只含有平方项，没有混合项（交叉项，即所有交叉项的系数全部为0），形如$d_1x_1^x+d_2x_2^2+\cdots+d_nx_n^2$的二次型就是\textbf{标准形}。
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\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}若二次型中只含有平方项，没有混合项（交叉项，即所有交叉项的系数全部为0），形如$d_1x_1^2+d_2x_2^2+\cdots+d_nx_n^2$的二次型就是\textbf{标准形}。
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\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}若标准形中系数$d_i$仅为1，0，-1，即形如$x_1^2+\cdots+x_p^2-x_{p+1}^2-\cdots-x_{p+q}^2$的二次型称为\textbf{规范形}。
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@@ -118,47 +118,18 @@ $x^TAx=y^TBy$这种改变表示方法的变换就是合同变换。
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若二次型$f(x)=x^TAx$合同与标准形$d_1x_1^2+d_2x_2^x+\cdots+d_nx_n^2$或合同于规范形$x_1^2+\cdots+x_p^2-x_{p+1}^2-\cdots-x_{p+q}^2$，则称$d_1x_1^2+d_2x_2^x+\cdots+d_nx_n^2$为$f(x)$的\textbf{合同标准形}或\textbf{合同规范形}。
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\subsection{正交变换法}
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是对实对称矩阵相似对角化的正交变换的延申。
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任何二次型均可通过正交变换法化为标准形，即对于任何实对称矩阵$A$，必存在正交矩阵$Q$，使得$Q^TAQ=Q^{-1}AQ=\Lambda$，其中$\Lambda=\left(\begin{array}{cccc}
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\lambda_1 \\
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& \lambda_2 \\
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& & \ddots \\
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& & & \lambda_n
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\end{array}\right)$。
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二次型正交变换法基于实对称矩阵相似对角化：
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\subsubsection{性质}
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\begin{enumerate}
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\item 求出$A$的所有特征值$\lambda$。
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\item 求出$A$的所有$\lambda$的特征向量$\xi$。
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||||
\item 将$(\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n)$正交化、单位化为$(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n)$。
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||||
\item 令$Q=(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n)$，则$Q^{-1}AQ=Q^TAQ=\Lambda$。
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||||
\item 因为$f(x)=x^TAx$，代入$x=Qy$，$(Qy)^TA(Qy)=y^TQ^TAQy=y^T\Lambda y$。
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||||
\item 反身性：$A\simeq A$。取$C=E$。
|
||||
\item 对称性：$A\simeq B$，$B\simeq A$。$A\simeq B$则$C^TAC=B$，$(C^T)^{-1}C^TACC^{-1}=(C^T)^{-1}BC^{-1}$，$A=(C^{-1})^TAB^{-1}$。
|
||||
\item 传递性：$A\simeq B$，$B\simeq C$，$A\simeq C$。
|
||||
\item $A\simeq B$，$r(A)=r(B)$。$C^TAC=B$，矩阵左右乘一个可逆矩阵，秩不变。
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||||
\item $A\simeq B$，$A^T=A\Leftrightarrow B^T=B$。$B^T=B$，即$(C^TAC)^T=C^TAC$，$C^TA^TC=C^TAC$，$(C^T)^{-1}C^TA^TCC^{-1}=(C^T)^{-1}C^TACC^{-1}$，$A^T=A$。
|
||||
\item $A\simeq B$，$AB$可逆，则$A^{-1}\simeq B^{-1}$。
|
||||
\item $A\simeq B$，$A^T\simeq B^T$。
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||||
\end{enumerate}
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||||
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||||
如矩阵表示中所给出的一个例子。
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||||
\textbf{例题：}将二次型$f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+5x_2^2+5x_3^2+4x_1x_2-4x_1x_3-8x_2x_3$使用正交变换法化为标准形，并求所作的正交变换。
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||||
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||||
已知将二次型通过矩阵表示：$=(x_1,x_2,x_3)\left(\begin{array}{ccc}
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2 & 2 & -2 \\
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||||
2 & 5 & -4 \\
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||||
-2 & -4 & 5
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||||
\end{array}\right)(x_1,x_2,x_3)^T$。\medskip
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||||
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||||
这个矩阵跟第五章相似的实对称矩阵相似对角化的例题的矩阵一样。
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||||
所以直接结果：$\lambda_1=\lambda_2=1$，$\lambda_3=10$，$\eta_1'=\dfrac{\sqrt{5}}{5}(-2,1,0)^T$，$\eta_2'=\dfrac{\sqrt{5}}{15}(2,4,5)^T$，$\eta_3'=\dfrac{1}{3}(1,2,-2)^T$。
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||||
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||||
第五步：$f(x)=g(y)=y^T\Lambda y=(y_1,y_2,y_3)\left(\begin{array}{ccc}
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||||
1 \\
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||||
& 1 \\
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||||
& & 10
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||||
\end{array}\right)(y_1,y_2,y_3)^T=y_1^2+y_2^2+10y_3^2$
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||||
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||||
\subsection{配方法}
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也称为拉格朗日配方法。配方法与前面的特征值、相似、正交理论无关，是通过配方找到一个可逆的合同矩阵。
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||||
@@ -266,6 +237,129 @@ $(x_1,x_2,x_3)^T=\left(\begin{array}{ccc}
|
||||
0 & 0 & 1
|
||||
\end{array}\right)$。
|
||||
|
||||
\subsection{初等变换法}
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||||
|
||||
$f(x)=X^TAX$，线性变换$X=CY$，$C^TAC=\Lambda$，又$C$可逆，$\therefore C=P_1P_2\cdots P_s$，$EP_1P_2\cdots P_s=C$，$\therefore(P_1P_2\cdots P_s)^TAP_1P_2\cdots P_3=\Lambda$，
|
||||
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item 对$A,E$做同样的初等列变换。
|
||||
\item 对$A$做相应的初等行变换。（交换$i,j$列就要交换$i,j$行）。一套行列变换后$\Lambda$为对称矩阵。
|
||||
\item $A$化成对角矩阵时，$E$化成的就是$C$。
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
$\left(\begin{array}{c}
|
||||
A \\
|
||||
E
|
||||
\end{array}\right)\rightarrow\left(\begin{array}{c}
|
||||
\Lambda \\
|
||||
C
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||||
\end{array}\right)$，对整个列变换，只对$A$行变换。
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||||
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$\left(\begin{array}{c}
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||||
A \\
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||||
E
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||||
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
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||||
1 & 1 & 1 \\
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||||
1 & 2 & 2 \\
|
||||
1 & 2 & 1 \\
|
||||
1 & 0 & 0 \\
|
||||
0 & 1 & 0 \\
|
||||
0 & 0 & 1
|
||||
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
|
||||
1 & 0 & 1 \\
|
||||
1 & 1 & 2 \\
|
||||
1 & 1 & 1 \\
|
||||
1 & -1 & 0 \\
|
||||
0 & 0 & 0 \\
|
||||
0 & 0 & 1
|
||||
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
|
||||
1 & 0 & 1 \\
|
||||
0 & 1 & 1 \\
|
||||
1 & 1 & 1 \\
|
||||
1 & -1 & 0 \\
|
||||
0 & 0 & 0 \\
|
||||
0 & 0 & 1
|
||||
\end{array}\right)=\\\left(\begin{array}{ccc}
|
||||
1 & 0 & 0 \\
|
||||
0 & 1 & 1 \\
|
||||
1 & 1 & 0 \\
|
||||
1 & -1 & -1 \\
|
||||
0 & 0 & 0 \\
|
||||
0 & 0 & 1
|
||||
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
|
||||
1 & 0 & 0 \\
|
||||
0 & 1 & 1 \\
|
||||
0 & 1 & 0 \\
|
||||
1 & -1 & -1 \\
|
||||
0 & 1 & 0 \\
|
||||
0 & 0 & 1
|
||||
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
|
||||
1 & 0 & 0 \\
|
||||
0 & 1 & 0 \\
|
||||
0 & 1 & -1 \\
|
||||
1 & -1 & 0 \\
|
||||
0 & 1 & -1 \\
|
||||
0 & 0 & 1
|
||||
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
|
||||
1 & 0 & 0 \\
|
||||
0 & 1 & 0 \\
|
||||
0 & 0 & -1 \\
|
||||
1 & -1 & 0 \\
|
||||
0 & 1 & -1 \\
|
||||
0 & 0 & 1
|
||||
\end{array}\right)$
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||||
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||||
$\therefore\Lambda=\left(\begin{array}{ccc}
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||||
1 & 0 & 0 \\
|
||||
0 & 1 & 0 \\
|
||||
0 & 0 & -1
|
||||
\end{array}\right)$，$C=\left(\begin{array}{ccc}
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||||
1 & -1 & 0 \\
|
||||
0 & 1 & -1 \\
|
||||
0 & 0 & 1
|
||||
\end{array}\right)$
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\subsection{正交变换法}
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是对实对称矩阵相似对角化的正交变换的延申。
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任何二次型均可通过正交变换法化为标准形，即对于任何实对称矩阵$A$，必存在正交矩阵$Q$，使得$Q^TAQ=Q^{-1}AQ=\Lambda$，其中$\Lambda=\left(\begin{array}{cccc}
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||||
\lambda_1 \\
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||||
& \lambda_2 \\
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||||
& & \ddots \\
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& & & \lambda_n
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\end{array}\right)$。
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二次型正交变换法基于实对称矩阵相似对角化：
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\begin{enumerate}
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\item 求出$A$的所有特征值$\lambda$。
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\item 求出$A$的所有$\lambda$的特征向量$\xi$。
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\item 将$(\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n)$正交化、单位化为$(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n)$。
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||||
\item 令$Q=(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n)$，则$Q^{-1}AQ=Q^TAQ=\Lambda$。
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||||
\item 因为$f(x)=x^TAx$，代入$x=Qy$，$(Qy)^TA(Qy)=y^TQ^TAQy=y^T\Lambda y$。
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\end{enumerate}
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如矩阵表示中所给出的一个例子。
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\textbf{例题：}将二次型$f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+5x_2^2+5x_3^2+4x_1x_2-4x_1x_3-8x_2x_3$使用正交变换法化为标准形，并求所作的正交变换。
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已知将二次型通过矩阵表示：$=(x_1,x_2,x_3)\left(\begin{array}{ccc}
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2 & 2 & -2 \\
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2 & 5 & -4 \\
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-2 & -4 & 5
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\end{array}\right)(x_1,x_2,x_3)^T$。\medskip
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这个矩阵跟第五章相似的实对称矩阵相似对角化的例题的矩阵一样。
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所以直接结果：$\lambda_1=\lambda_2=1$，$\lambda_3=10$，$\eta_1'=\dfrac{\sqrt{5}}{5}(-2,1,0)^T$，$\eta_2'=\dfrac{\sqrt{5}}{15}(2,4,5)^T$，$\eta_3'=\dfrac{1}{3}(1,2,-2)^T$。
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第五步：$f(x)=g(y)=y^T\Lambda y=(y_1,y_2,y_3)\left(\begin{array}{ccc}
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1 \\
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& 1 \\
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& & 10
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\end{array}\right)(y_1,y_2,y_3)^T=y_1^2+y_2^2+10y_3^2$
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\subsection{惯性定理}
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\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}无论选取什么样的可逆线性变换，将二次型化为标准形或规范形，其正项个数$p$，负项个数$q$都是不变的，$p$称为\textbf{正惯性指数}，$q$称为\textbf{负惯性指数}。
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