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advanced-math/exercise/4-integal-of-functions-of-single-variable/integal-of-functions-of-single-variable.tex

@@ -693,7 +693,7 @@ $=-\dfrac{4x+3}{2(x^2+x+1)}-\dfrac{6}{\sqrt{3}}\arctan\dfrac{2x+1}{\sqrt{3}}+C$
 \begin{enumerate}
     \item 先提出$\dfrac{1}{n}$。
     \item 凑出$\dfrac{i}{n}$。
-    \item 写出$\int_0^1f(x)\,\textrm{d}x$。
+    \item 写出$\int_0^1f(x)\,\textrm{d}x$，其中$\dfrac{1}{n}$没有了，将所有$\dfrac{i}{n}$换为在$x$。
 \end{enumerate}
 
 \textbf{例题：}求$\lim\limits_{n\to\infty}\left(\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}\cdots+\dfrac{1}{n+n}\right)$。
@@ -781,6 +781,10 @@ $\int_0^\frac{\pi}{2}e^{2x}\cos x\,\textrm{d}x=\dfrac{1}{5}[e^{2x}(\sin x+2\cos
 
 与不定积分等式一样，存在一些问题给出带有不定积分的等式，需要求里面的包含的函数。其中不同的是定限积分的值都是常数，所以解题时可以令其为一个参数求。
 
+\subsubsection{函数}
+
+求函数时表达式中含有积分式子，这时可以令其为常数项，然后反代计算定积分。
+
 \textbf{例题：}设$f(x)=x^2-x\int_0^2f(x)\,\textrm{d}x+2\int_0^1f(x)\,\textrm{d}x$，求$f(x)$。
 
 解：令$\int_0^2f(x)\,\textrm{d}x=a$，$\int_0^1f(x)\,\textrm{d}x=b$。
@@ -795,6 +799,40 @@ $\left[\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{ax^2}{2}+2bx\right]_0^2=\dfrac{8}{3}-2a+4b=a$，$\l
 
 则$f(x)=x^2-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{2}{3}$。
 
+\subsubsection{积分值}
+
+基本上是给出一个一个已知表达式的积分并给出积分值，然后求另一个表达式的积分值。可以令这个积分表达式为$t$代入原积分表达式，也可以将积分式子初等运算。
+
+\textbf{例题：}$f(x)$为连续函数，$\int_0^\frac{\pi}{2}f(x\cos x)\cos x\,\textrm{d}x=A$，求$\int_0^\frac{\pi}{2}f(x\cos x)x\sin x\,\textrm{d}x$。
+
+解：$\int_0^\frac{\pi}{2}f(x\cos x)\cos x\,\textrm{d}x-\int_0^\frac{\pi}{2}f(x\cos x)x\sin x\,\textrm{d}x=\int_0^\frac{\pi}{2}f(x\cos x)(\cos x\,\textrm{d}x+x\,\textrm{d}\cos x)=\int_0^\frac{\pi}{2}f(x\cos x)\textrm{d}(x\cos x)=F(x\cos x)\vert_0^\frac{\pi}{2}=F(0)-F(0)=0$。
+
+$\therefore\int_0^\frac{\pi}{2}f(x\cos x)\cos x\,\textrm{d}x=\int_0^\frac{\pi}{2}f(x\cos x)x\sin x\,\textrm{d}x=A$。
+
+\subsection{定积分不等式}
+
+主要是为了对定积分值进行对比。注意这里不用求出定积分的值，很多不等式中的定积分很难求出。主要是利用保号性根据原函数的符号判断积分的符号。
+
+对于判断$\int f(x)\,\textrm{d}<a$，一般都是直接移动常数项$\int f(x)-a\,\textrm{d}x$，然后对整体进行判断。
+
+\subsubsection{函数性质}
+
+即对函数求导判断单调性。
+
+\textbf{例题：}判断$\displaystyle{\int_0^\frac{\pi}{4}\dfrac{\tan x}{x}\textrm{d}x<1}$。
+
+解：将常数项变为定积分：$=\displaystyle{\int_0^\frac{\pi}{4}\left(\dfrac{\tan x}{x}-\dfrac{4}{\pi}\right)\textrm{d}x}$。
+
+令$\varphi(x)=\dfrac{\tan x}{x}-\dfrac{4}{\pi}$，其中$x\in\left(0,\dfrac{\pi}{4}\right)$，且$\varphi\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=0$。
+
+求导$\varphi'(x)=\dfrac{x\sec^2x-\tan x}{x^2}=\dfrac{x-\sin x\cos x}{x^2\cos^2x}=\dfrac{2x-\sin 2x}{2x^2\cos^2x}>0$。（$x\in\left(0,\dfrac{\pi}{4}\right)$）
+
+所以原函数在$\left(0,\dfrac{pi}{4}\right)$上增，$\varphi\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$最大，其小于0，则在该区间$\varphi(x)<0$，所以其定积分也小于0。
+
+\subsubsection{划分区域}
+
+如果要比较积分大小，要么在同一个区间内比较，如果这个区间内两个积分有时大有时小就划分区域，让区域上的积分能明确大小。
+
 \subsection{中值定理}
 
 中值定理一般是在微分中使用，积分中也可能考到，但是重点是将定限积分化为两个常数的差的形式，所以基本上使用拉格朗日中值定理。

advanced-math/exercise/6-differential-calculus-of-multivariate-functions/differential-calculus-of-multivariate-functions.tex

@@ -6,8 +6,8 @@
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 \usepackage{geometry}
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@@ -142,6 +142,16 @@ $\therefore z=\dfrac{1}{2}x^2y+\dfrac{1}{2}xy^2+x+y^2$。
 
 即偏导数的存在性。
 
+可微则偏导数存在，但是偏导数存在不一定可微。
+
+偏导数存在则任意一侧极限存在，但是两侧极限不一定存在。
+
+即$\lim\limits_{x\to x_0}f(x,y_0)=\lim\limits_{y\to y_0}f(x_0,y)=f(x_0,y_0)$，而$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)$不一定存在。
+
+而偏导数存在和函数连续性无关。
+
+偏导数在该点连续是函数在该点可微的充分非必要条件。
+
 \textbf{例题：}求函数$f(x,y)=\sqrt{\vert xy\vert}$在点$(0,0)$处偏导数是否存在，是否可微。
 
 解：对其求偏导：$f_x'(0,0)=\lim\limits_{\Delta x\to0}\dfrac{f(0+\Delta x,0)-f(0,0)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to0}\dfrac{\sqrt{\vert\Delta x\cdot0\vert}-0}{\Delta x}\\=0=A$，同理$f_y'(0,0)=0=B$，所以$f(x,y)$在$(0,0)$处偏导数存在。
@@ -170,9 +180,17 @@ $\therefore z=\dfrac{1}{2}x^2y+\dfrac{1}{2}xy^2+x+y^2$。
 
 \subsubsection{全微分}
 
-\paragraph{含参数} \leavevmode \medskip
+\paragraph{积分法} \leavevmode \medskip
 
-基本上是用含参数的全微分来求参数。有多种方法。
+即根据全微分计算出原函数。对偏导求积分还原$f(x)$。
+
+求原函数或求微分参数可以使用。
+
+\textbf{例题：}已知函数$z=f(x,y)$的全微分$\textrm{d}z=2x\textrm{d}x+\sin y\textrm{d}y$，$f(1,0)=2$，求$f(x,y)$。
+
+解：由全微分定义，可得$\dfrac{\partial f}{\partial x}=2x$，$\dfrac{\partial f}{\partial y}=\sin y$。
+
+各自积分得到$f(x,y)=x^2-\cos y+C$，代入$f(1,0)=1-1+C=2$，所以$C=2$，即$f(x,y)=x^2-\cos y+2$。
 
 \textbf{例题：}设$(ax^2y^2-2xy^2)\textrm{d}x+(2x^3y+bx^2y+1)\textrm{d}y$是函数$f(x,y)$的全微分，求参数。
 
@@ -182,6 +200,22 @@ $\therefore z=\dfrac{1}{2}x^2y+\dfrac{1}{2}xy^2+x+y^2$。
 
 从而$\dfrac{a}{3}x^3y^2-x^2y^2+C(y)=x^3y^2+\dfrac{b}{2}x^2y^2+y+C(x)$，解得$a=3$，$b=-2$，$f(x)=x^3y^2-x^2y^2+y$。
 
+\paragraph{偏导法} \leavevmode \medskip
+
+若函数连续，则利用偏导不变性$\dfrac{\partial f}{\partial x\partial y}=\dfrac{\partial f}{\partial y\partial x}$。
+
+可以求出参数。
+
+\textbf{例题：}已知$\dfrac{(x+ay)\textrm{d}x+y\textrm{d}y}{(x+y)^2}$为全微分，求$a$。
+
+解：如果使用上面的积分法很难求出参数，采用积分法。
+
+设原函数$u(x,y)$，则$\dfrac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{x+ay}{(x+y)^2}$，$\dfrac{\partial u}{\partial y}=\dfrac{y}{(x+y)^2}$。
+
+分别对其求偏导：$\dfrac{\partial^2u}{\partial x\partial y}=\dfrac{a(x+y)^2-(x+ay)2(x+y)}{(x+y)^4}=\dfrac{(a-2)x-ay}{(x+y)^3}$，$\dfrac{\partial u}{\partial y}=\dfrac{-2y}{(x+y)^3}$。
+
+所以两者相等，即$(a-2)x\equiv(a-2)y$，所以$a=2$。
+
 \paragraph{极限定义} \leavevmode \medskip
 
 全微分形式：$\lim\limits_{\substack{\Delta x\to0\\\Delta y\to0}}\dfrac{\Delta z-(A\Delta x+B\Delta y)}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}}$。
@@ -222,21 +256,103 @@ $\therefore\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)-f(0,0)=bx+cy+o(\rho)$。
 
 三元隐函数求导公式：$\dfrac{\partial z}{\partial x}=-\dfrac{F_x'}{F_z'}$，$\dfrac{\partial z}{\partial y}=-\dfrac{F_y'}{F_z'}$。
 
+\subparagraph{给定表达式} \leavevmode \medskip
+
+表达式直接给出，所以直接对表达式进行偏导。
+
 \textbf{例题：}设$f(x,y,z)=e^x+y^2z$，其中$z=z(x,y)$由$x+y+z+xyz=0$确定，求$f_x'(0,1,-1)$。
 
 解：$f_x'(x,y,z)=e^x+y^2z_x'$。
 
 又$x+y+z+xyz=0$对$x$求导：$1+z_x'+yz+xyz_x'=0$，代入$(0,1,-1)$，$1+z_x'-1=0$，$z_x'=0$。代入$f_x'(x,y,z)=e^0=1$。
 
-\paragraph{原函数} \leavevmode \medskip
+\subparagraph{未定表达式} \leavevmode \medskip
 
-即根据全微分计算出原函数。跟之前的偏导求积分类似。
+表达式未直接给出，而是以$f(u,v)$的形式，此时求导要使用链式法则和隐函数法则。
 
-\textbf{例题：}已知函数$z=f(x,y)$的全微分$\textrm{d}z=2x\textrm{d}x+\sin y\textrm{d}y$，$f(1,0)=2$，求$f(x,y)$。
+如果$uv$中不含有目标函数$z$则使用一般的链式求导法，如果$uv$中含有$z$则需要使用隐函数求导公式。
 
-解：由全微分定义，可得$\dfrac{\partial f}{\partial x}=2x$，$\dfrac{\partial f}{\partial y}=\sin y$。
+由于$f$是未知的，所以一般$f(u,v)$对$u$求一阶导记为$f'_1$，$v$求一阶导记为$f'_2$，对$uv$各求导记为$f''_{12}$，$vu$各求导记为$f''_{21}$，对$u$求二阶导记为$f''_{11}$，$v$求二阶导记为$f''_{22}$。
 
-各自积分得到$f(x,y)=x^2-\cos y+C$，代入$f(1,0)=1-1+C=2$，所以$C=2$，即$f(x,y)=x^2-\cos y+2$。
+\textbf{例题：}已知$f\left(\dfrac{y}{x},\dfrac{z}{x}\right)=0$确定函数$z=z(x,y)$，$f(u,v)$可微，求$x\dfrac{\partial z}{\partial x}+y\dfrac{\partial z}{\partial y}$。
+
+解：如果$uv$中不含有$z$则直接使用链式法则，但是此时$v=\dfrac{z}{x}$就不能直接使用链式法则了。
+
+$\dfrac{\partial z}{\partial x}=-\dfrac{F_x'}{F_z'}=-\dfrac{-\dfrac{y}{x^2}f_1'-\dfrac{z}{x^2}f_2'}{\dfrac{1}{x}f_2'}=\dfrac{\dfrac{y}{x}f_1'+\dfrac{z}{x}f_2'}{f_2'}$，$\dfrac{\partial z}{\partial y}=-\dfrac{F_y'}{F_z'}=-\dfrac{\dfrac{1}{x}f_1'}{\dfrac{1}{x}f_2'}=-\dfrac{f_1'}{f_2'}$。
+
+$\therefore x\dfrac{\partial z}{\partial x}+y\dfrac{\partial z}{\partial y}=\dfrac{yf_1'+zf_2'-yf_1'}{f_2'}=z$。
+
+\section{多元函数极限}
+
+多元函数极限是一元函数极限的拓展，除了洛必达法则和单调有界准则外其他方法可以直接使用。
+
+\subsection{多元函数连续性}
+
+若函数$f(x,y)$在$(x_0,y_0)$存在，则函数在该点连续，则$\lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0)$，即直接将该点函数值当作极限值，直接代入。
+
+\textbf{例题：}计算$\lim\limits_{(x,y)\to(0,1)}\dfrac{1-xy}{x^2+y^2}$。
+
+由于$(x,y)\to(0,1)$时$x^2+y^2=1$，所以该点有意义，直接代入得1。
+
+\subsection{转换一元函数极限}
+
+即换元法，要求式子十分特殊，$xy$是以同一种表达式出现，则可以作为因子，能够转换为一元函数极限。
+
+\textbf{例题：}计算$\lim\limits_{(x,y)\to(0,1)}\dfrac{\arcsin xy}{e^{xy}-1}$。
+
+解：令$u=xy$，所以$(x,y)\to(0,1)$时$u\to0$，$=\lim\limits_{u\to0}\dfrac{\arcsin u}{e^u-1}=\lim\limits_{u\to0}\dfrac{u}{u}=1$。
+
+\subsection{不等式放缩}
+
+使用不等式，如$x^2+y^2\geqslant2xy$、$\tan x\geqslant x\geqslant\sin x$。
+
+为了方便计算一般式子都要带绝对值保证大于等于0。
+
+\textbf{例题：}$\lim\limits_{\substack{x\to+\infty\\y\to+\infty}}\left(\dfrac{xy}{x^2+y^2}\right)$。
+
+解：由于$xy$都是趋于正无穷，所以不用加绝对值，$0\leqslant\left(\dfrac{xy}{x^2+y^2}\right)^x\leqslant\left(\dfrac{xy}{2xy}\right)^x=\left(\dfrac{1}{2}\right)^x\to0$。
+
+所以极限值为0。
+
+\subsection{极坐标替换}
+
+要求极限过程$(x,y)\to(0,0)$，将二元函数极限转换为一元函数极限。
+
+使用极坐标替换时一定要先判断极限是否存在，否则会是错误的。（或者$\rho$计算后被消掉，就证明极限会随着$\theta$值变化而变化，则极限不存在）
+
+如果满足极限过程沿着任意路径趋向都是逼近0，比较分子分母幂次，如果是分子的幂次小于等于分母的幂次，则这个极限往往是不存在的。
+
+虽然极坐标替换比较好用，但是最好不要用。
+
+为什么极坐标替换可能是错的？
+
+因为多元函数极限是要求变量是沿着任意路径逼近某点极限值都存在，而使用极坐标代换实际上是固定死趋近路线为直线，所以不满足极限存在定义。但是这种任意路径是模糊的，所以存在一定的限制能使用该方法。
+
+如$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{x^3+y^3}{x^2+y}$，按照极坐标替换方式可以算出极限值为0，但是如果取$y=-x^2+x^3$时极限值为1。
+
+所以这个限制条件就是$\theta$能在$[0,2\pi)$中取到所有值。
+
+如上面错误的案例中，得到$\lim\limits_{\rho\to0}\dfrac{r^2(\cos^3\theta+\sin^3\theta)}{r\cos\theta+\sin\theta}$。这里的$\theta$是变动值，从而极限是无法求出的，所以不满足$\theta$可以取任意值的条件。
+
+% \textbf{例题：}计算$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{xy}{x^2+y^2}$。
+
+% 解：由于极限都逼近0，所以比较分子分母幂次，都是2，所以这个极限很可能不存在。
+
+% 找两条不同的路径，让$xy$在这个固定约束下逼近0，$y=x$，$y=2x$：
+
+% $\lim\limits_{\substack{(x,y)\to(0,0)\\y=x}}\dfrac{xy}{x^2+y^2}=\dfrac{1}{2}$，$\lim\limits_{\substack{(x,y)\to(0,0)\\y=2x}}\dfrac{xy}{x^2+y^2}=\dfrac{2}{5}$。所以极限不存在。
+
+\textbf{例题：}计算$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{xy^2}{x^2+y^2}$。
+
+解：分子的幂次大于分母的幂次，则极限可能存在。
+
+令$x=\rho\cos\theta$，$y=\rho\sin\theta$，则$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{xy^2}{x^2+y^2}=\lim\limits_{\rho\to0}\dfrac{\rho^3\cos\theta\sin^2\theta}{\rho^2}=\lim\limits_{\rho\to0}\rho\cos\theta\sin^2\theta=0$。
+
+% \subsection{洛必达法则}
+
+% \textbf{例题：}计算$\lim\limits_{(x,y)\to(0,1)}\dfrac{}{}$。
+
+% 在使用洛必达法则时与一元函数不同的是结束后必须判断式子是否还是$\dfrac{0}{0}$型或$\dfrac{\infty}{\infty}$型，否则洛必达失效。
 
 \section{多元函数极值最值}
 
@@ -268,6 +384,14 @@ $\dfrac{\partial^2z}{\partial y^2}=\dfrac{-(z-2)-(1-y)\dfrac{\partial z}{\partia
 
 $\Delta<0$且$A>0$，所以得到极大值6。
 
+\subsubsection{极限形式}
+
+在求解选择题时常可利用满足全部题设条件的特例来确定正确的选项，是利用极限的充分必要条件来给出函数的一般表达式，然后进行分析极值情况。
+
+\textbf{例题：}已知$f(x,y)$在$(0,0)$某领域内连续，且$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{f(x,y)+4x^2-y^2}{x^4+x^2y^2+y^4}=1$，判断$(0,0)$是否未为函数极值点。
+
+解：即取$f(x,y)=-4x^2+y^2+x^4+x^2y^2+y^4$，求$f_x'(0,0)=f_y'(0,0)=0$，$f_{xx}''(0,0)=-8$，$f_{xy}''(0,0)=0$，$f_{yy}''(0,0)=2$，从而$(0,0)$是驻点，且$A=-8$、$B=0$、$C=2$，$\Delta=-16<0$，所以不是极值点。
+
 \subsection{有条件极值}
 
 与无条件极值一样，在边界就是显函数可以直接求，在区域内就是隐函数需要求出可疑点再计算可疑点的二阶导数值判断。

advanced-math/knowledge/4-indefinite-integral-and-definite-integral/indefinite-integral-and-definite-integral.tex

@@ -461,6 +461,8 @@ $\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x=F(b)-F(a)=F'(\xi)(b-a)=f(\xi)(b-a)(a<\xi b)$。
 
 牛-莱公式连接了微分学和积分学之间的关系。
 
+注意无界函数和存在无定义点的函数不存在定积分所以不能使用该公式。
+
 \subsection{不定积分与定积分的区别与联系}
 
 区别：
@@ -741,12 +743,32 @@ $S_n=\sum\limits_{i=1}^n\Vert\overline{M_{i-1}M_{i}}\Vert$，$S=\lim\limits_{\de
 
 \subsubsection{形心坐标公式}
 
-设曲边梯形平面区域$D=\{(x,y)|0\leqslant y\leqslant f(x),a\leqslant x\leqslant b\}$，$f(x)$在$[a,b]$上连续，则$D$的形心坐标计算公式为：
+\paragraph{曲线} \leavevmode \medskip
+
+设质量均匀分布的光滑物体曲线$\overset{\frown}{AB}$，全长为$l$，线密度为$a$。
+
+以$A$为起点，取弧长$s$为自变量（$0\leqslant s\leqslant l$），且$x=x(s)$，$y=y(s)$，则平面曲线$\overset{\frown}{AB}$的形心坐标计算公式为：$\overline{x}=\dfrac{1}{l}\int_0^lx(s)\,\textrm{d}s$，$\overline{y}=\dfrac{1}{l}\int_0^ly(s)\,\textrm{d}s$。
+
+以$(x,y)$为坐标，以$t$给出参数方程$x=x(t)$，$y=y(t)$，$\alpha\leqslant t\leqslant\beta$，则平面曲线$\overset{\frown}{AB}$的形心坐标计算公式为：\medskip
+
+$\overline{x}=\dfrac{\int_\alpha^\beta x(t)\sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)}\textrm{d}t}{\int_\alpha^\beta\sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)}\textrm{d}t}$。
+
+$\overline{y}=\dfrac{\int_\alpha^\beta y(t)\sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)}\textrm{d}t}{\int_\alpha^\beta\sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)}\textrm{d}t}$。
+
+\paragraph{平面} \leavevmode \medskip
+
+设曲边梯形平面区域$D=\{(x,y)|0\leqslant y\leqslant f(x),a\leqslant x\leqslant b\}$，$f(x)$在$[a,b]$上连续，则平面$D$的形心坐标计算公式为：\medskip
 
 $\overline{x}=\dfrac{\iint\limits_Dx\,\textrm{d}\sigma}{\iint\limits_D\textrm{d}\sigma}=\dfrac{\int_a^b\textrm{d}x\int_0^{f(x)}x\textrm{d}y}{\int_a^b\textrm{d}x\int_0^{f(x)}\,\textrm{d}y}=\dfrac{\int_a^bxf(x)\,\textrm{d}x}{\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x}$。
 
 $\overline{y}=\dfrac{\iint\limits_Dy\,\textrm{d}\sigma}{\iint\limits_D\textrm{d}\sigma}=\dfrac{\int_a^b\textrm{d}x\int_0^{f(x)}y\textrm{d}y}{\int_a^b\textrm{d}x\int_0^{f(x)}\,\textrm{d}y}=\dfrac{\int_a^bf^2(x)\,\textrm{d}x}{2\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x}$。
 
+设曲边梯形平面区域$D=\{(x,y)|g(x)\leqslant y\leqslant f(x),a\leqslant x\leqslant b\}$，$f(x)$、$g(x)$在$[a,b]$上连续，则平面$D$的形心坐标计算公式为：\medskip
+
+$\overline{x}=\dfrac{\iint\limits_Dx\,\textrm{d}\sigma}{\iint\limits_D\textrm{d}\sigma}=\dfrac{\int_a^b\textrm{d}x\int_{g(x)}^{f(x)}x\textrm{d}y}{\int_a^b\textrm{d}x\int_{g(x)}^{f(x)}\,\textrm{d}y}=\dfrac{\int_a^bx[f(x)-g(x)]\,\textrm{d}x}{\int_a^b[f(x)-g(x)]\,\textrm{d}x}$。
+
+$\overline{y}=\dfrac{\iint\limits_Dy\,\textrm{d}\sigma}{\iint\limits_D\textrm{d}\sigma}=\dfrac{\int_a^b\textrm{d}x\int_{g(x)}^{f(x)}y\textrm{d}y}{\int_a^b\textrm{d}x\int_{g(x)}^{f(x)}\,\textrm{d}y}=\dfrac{\int_a^b[f^2(x)-g^2(x)]\,\textrm{d}x}{2\int_a^b[f(x)-g(x)]\,\textrm{d}x}$。
+
 \subsection{物理应用}
 
 \subsubsection{变力沿直线做功}

advanced-math/knowledge/6-differential-calculus-of-multivariate-functions/differential-calculus-of-multivariate-functions.tex

@@ -294,6 +294,12 @@ $C=2$，$f(x,y)=x^2-\cos y+2$。
 
 \textcolor{violet}{\textbf{定义：}}设$(x_0,y_0)$为$f(x,y)$定义域内一点，若对于$f(x,y)$的定义域内任意一个异于$(x_0,y_0)$的点$(x,y)$均有$f(x,y)<f(x_0,y_0)$或$f(x,y)>f(x_0,y_0)$成立，则称$(x_0,y_0)$为$f(x,y)$的\textbf{真正的最大值点/最小值点}，$f(x_0,y_0)$为$f(x,y)$的\textbf{真正的最大值/最小值}。
 
+\textcolor{violet}{\textbf{定义：}}函数的一阶导数为0的点（驻点也称为稳定点，临界点）。对于多元函数，驻点是所有一阶偏导数都为零的点。
+
+极值点不一定是驻点：只有可导的极值点才可能是驻点；驻点也不一定是极值点：只有驻点两端变号才能成为极值点。
+
+\textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}若$f(x,y)$在$(x_0,y_0)$处取得极大/极小值，则$f(x,y_0)$在$x=x_0$取得极大/极小值，$f(x_0,y)$在$y=y_0$取得极大/极小值。
+
 \subsection{无条件极值}
 
 \textcolor{aqua}{\textbf{定理：}}二元函数取极值的必要条件：设$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$一阶偏导数存在且取极值，则$f_x'(x_0,y_0)=0$，$f_y'(x_0,y_0)=0$。三元及以上可以类推。