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栈和队列
三要素：
- 逻辑结构
- 数据的运算
- 存储结构（物理结构）
栈和队列都是操作受限的线性表。
1. 栈
1.1. 定义
栈是只允许在一端进行插入或删除操作的线性表。
- 栈顶：允许插入和删除的一端。
- 栈底：不允许插入和删除的一端。
- 空栈
- 栈顶元素
- 栈底元素
进栈顺序：
a_1->a_2->a_3->a_4->a_5
出栈顺序：
a_5->a_4->a_3->a_2->a_1
后进先出，Last In First OUT（LIFO）
1.2. 基本操作
InitStack(&S)：初始化栈。构造一个空栈 $S$，分配内存空间。DestroyStack(&S)：销毁栈。销毁并释放栈S所占用的内存空间。Push(&S, x)：进栈。若栈S未满，则将x加入使之成为新栈顶。Pop(&S, &x)：出栈，若栈S非空，则弹出栈顶元素，并用x返回。GetTop(S, &x)：读栈顶元素。若栈S非空，则用x返回栈顶元素。StackEmpty(S)：判断一个栈S是否为空。若S为空，则返回true，否则返回false。
n 个不同的元素进栈，出栈元素的不同排列的个数为：
\frac{1}{n+1} C^{n}_{2n}
上述公式称为 卡特兰（Catalan）数。可采用数学归纳法证明（不要求掌握）。
\frac{1}{5+1} C^{5}_{10}
=\frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}
=42
1.3. 顺序栈
顺序存储，用静态数据实现，并需要记录栈顶指针。
基本操作
- 初始化（创）
- 进栈（增）
- 出栈（删）
- 获取栈顶元素（查询）
两种实现
- 初始化时
top=-1 - 初始化时
top=0
共享栈
- 两个栈共享同一片内存空间，两个栈从两边往中间增长。
- 初始化：
S.top0 = -1;，S.top1 = MaxSize;。 - 栈满条件：
S.top0 + 1 == S.top1;
1.4. 链栈
与单链表类似，只实现头插法、头结点出栈。
- 带头结点的链栈
- 不带头结点的链栈
2. 队列
2.1. 定义
队列是只允许在一端进行插入，在另一端删除操作的线性表。
- 队头：允许删除的一端。
- 队尾：允许插入的一端。
- 空队列
- 队头元素
- 队尾元素
入队顺序：
a_1->a_2->a_3->a_4->a_5
出队顺序：
a_1->a_2->a_3->a_4->a_5
先进先出，First In First OUT（FIFO）
2.2. 基本操作
InitQueue(&Q)：初始化队列。构造一个空队列 $Q$，分配内存空间。DestroyQueue(&Q)：销毁队列。销毁并释放队列Q所占用的内存空间。EnQueue(&Q, x)：入队。若队列Q未满，则将x加入使之成为新的队尾元素。DeQueue(&Q, &x)：出队，若队列Q非空，则弹出队头元素，并用x返回。GetHead(Q, &x)：读队头元素。若队列Q非空，则用x返回队头元素。QueueEmpty(Q)：判断一个队列Q是否为空。若Q为空，则返回true，否则返回false。
2.3. 队列的顺序实现
实现思想：
- 用静态数组存放数据元素，设置队头/队尾指针。
- 循环队列：用模运算（取余）将存储空间在逻辑上变为环状。
Q.rear = (Q.rear + 1) % MaxSize;。
重要考点：
- 如何初始化、入队、出队。
- 如何判空、判满。
- 如何计算队列的长度。
分析思路：
- 确定
front，rear指针的指向。rear指向队尾元素的后一个位置。rear指向队尾元素。
- 确定判空、判满的方法。
- 牺牲一个存储单元。
- 增加
size变量记录队列长度。 - 增加
tag变量用于标记最近一次操作是入队还是出队操作。 - ...
2.4. 队列的链式实现
实现方式：
- 带头结点
- 不带头结点
基本操作：
- 初始化队列
- 入队
- 出队
- 获取队头元素
- 判空
- 判满？不存在的
获取队列长度，时间复杂度 $O(n)$。
如果频繁使用队列长度，可以设置一个变量 length。
3. 双端队列
3.1. 定义
双端队列：只允许从两端插入、两端删除的线性表。
输入受限的双端队列：只允许从一端插入、两端删除的线性表。
输出首先的双端队列：只允许从两端插入、一端删除的线性表。
3.2. 问题
若数据元素输入序列为：1，2，3，4，则哪些输出序列是合法的？哪些是非法的？
A^{4}_{4}=4!=24
3.2.1. 对栈合法的序列
| 1,x,x,x | 2,x,x,x | 3,x,x,x | 4,x,x,x |
|---|---|---|---|
| 1,2,3,4 | 2,1,3,4 | ||
| 1,2,4,3 | 2,1,4,3 | ||
| 1,3,2,4 | 2,3,1,4 | 3,2,1,4 | |
| 1,3,4,2 | 2,3,4,1 | 3,2,4,1 | |
| 1,5,3,2 | 2,4,3,3 | 3,4,2,1 | 4,3,2,1 |
卡特兰数：
\frac{1}{n+1} C^{n}_{2n}
=\frac{1}{4+1} C^{5}_{8}
=14
3.2.2. 对输入受限的双端队列合法的序列
| 1,x,x,x | 2,x,x,x | 3,x,x,x | 4,x,x,x |
|---|---|---|---|
| 1,2,3,4 | 2,1,3,4 | 3,1,2,4 | 4,1,2,3 |
| 1,2,4,3 | 2,1,4,3 | 3,1,4,2 | 4,1,3,2 |
| 1,3,2,4 | 2,3,1,4 | 3,2,1,4 | |
| 1,3,4,2 | 2,3,4,1 | 3,2,4,1 | |
| 1,4,2,3 | 2,4,1,1 | 3,4,1,2 | 4,3,1,2 |
| 1,5,3,2 | 2,4,3,3 | 3,4,2,1 | 4,3,2,1 |
3.2.3. 对输出受限的双端队列合法的序列
| 1,x,x,x | 2,x,x,x | 3,x,x,x | 4,x,x,x |
|---|---|---|---|
| 1,2,3,4 | 2,1,3,4 | 3,1,2,4 | 4,1,2,3 |
| 1,2,4,3 | 2,1,4,3 | 3,1,4,2 | |
| 1,3,2,4 | 2,3,1,4 | 3,2,1,4 | 4,2,1,3 |
| 1,3,4,2 | 2,3,4,1 | 3,2,4,1 | |
| 1,4,2,3 | 2,4,1,1 | 3,4,1,2 | 4,3,1,2 |
| 1,5,3,2 | 2,4,3,3 | 3,4,2,1 | 4,3,2,1 |
4. 栈的应用
4.1. 括号匹配
实现思路：
- 依次扫描所有字符。
- 遇到左括号入栈。
- 遇到右括号则弹出栈顶元素，检查是否匹配。
匹配失败的情况：
- 左括号单身：所有括号都检查完了，但是栈非空。
- 右括号单身：扫描到右括号，但是此时栈空。
- 左右括号不匹配：栈顶左括号，与当前的右括号不匹配。
4.2. 表达式求值
三种算数表达式：
- 中缀表达式
- 后缀表达式
- 前缀表达式
后缀表达式相关考点：
- 中缀表达式转后缀表达式
- 后缀表达式求值
前缀表达式相关考点：
- 中缀表达式转前缀表达式
- 前缀表达式求值
中缀表达式求值 = 中缀转后缀 + 后缀表达式求值
4.3. 递归
实现递归表达式：
- 递归表达式（递归体）
- 边界条件（递归出口）
递归缺点：
- 太多层递归可能会导致栈溢出。
- 可能包含很多重复计算。
5. 队列的应用
- 树的层次遍历
- 图的广度优先遍历
- 多个进程争抢着使用优先的系统资源时，FCFS（First Come First Service，先来先服务）是一种常用策略。
6. 矩阵的压缩存储
数组的存储结构：
- 一维数组
- 二维数组
特殊矩阵：
- 对称矩阵
- 特点：对方阵中的任意一个元素，有 $a_{i,j}=a_{j,i}$。
- 压缩：只存主对角线+下三角区（或主对角线+上三角区）。
- 三角矩阵
- 特点：上三角区全为常量（下三角矩阵）；或下三角区全为常量（上三角矩阵）。
- 压缩：按行优先/列优先规则依次存储非常量区域，并在最后一个位置存放常量 $c$。
- 三对角矩阵
- 特点：当
|i-j|>1时，a_{i,j}=0（$1 \leq i, j \leq n$）。 - 压缩：按行优先/列优先规则依次存储带状区域。
- 特点：当
- 稀疏矩阵
- 特点：非零元素个数远少于零元素个数。
- 压缩：只存储非零元素
- 顺序存储：顺序存储三元组
<行，列，值>。 - 链式存储：十字链表法。
- 顺序存储：顺序存储三元组
常见考题：
- 矩阵的压缩存储需要多长的数组。
- 由矩阵行列号
<i,j>推出对应的数组下标号 $k$。 - 由
k推出<i,j>- 如何处理不等式中的“刚好大于等于/小于等于”。
- “向上取整/向下取整”。
- 易错点：
- 存储上三角？下三角？
- 行优先？列优先？
- 矩阵元素的下标从 0？1？开始
- 数组下标从 0？1？开始