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# 第八讲：求解$Ax=b$：可解性和解的结构
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举例，同上一讲：$3 \times 4$矩阵
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$
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A=
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\begin{bmatrix}
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1 & 2 & 2 & 2\\
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2 & 4 & 6 & 8\\
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3 & 6 & 8 & 10\\
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\end{bmatrix}
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$，求$Ax=b$的特解：
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写出其增广矩阵（augmented matrix）$\left[\begin{array}{c|c}A & b\end{array}\right]$：
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$$
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\left[
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\begin{array}{c c c c|c}
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1 & 2 & 2 & 2 & b_1 \\
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2 & 4 & 6 & 8 & b_2 \\
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3 & 6 & 8 & 10 & b_3 \\
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||
\end{array}
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\right]
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\underrightarrow{消元}
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\left[
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\begin{array}{c c c c|c}
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1 & 2 & 2 & 2 & b_1 \\
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0 & 0 & 2 & 4 & b_2-2b_1 \\
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0 & 0 & 0 & 0 & b_3-b_2-b_1 \\
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||
\end{array}
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\right]
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$$
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显然，有解的必要条件为$b_3-b_2-b_1=0$。
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讨论$b$满足什么条件才能让方程$Ax=b$有解（solvability condition on b）：当且仅当$b$属于$A$的列空间时。另一种描述：如果$A$的各行线性组合得到$0$行，则$b$端分量做同样的线性组合，结果也为$0$时，方程才有解。
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解法：令所有自由变量取$0$，则有$
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\begin{cases}
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x_1 & + & 2x_3 & = & 1 \\
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& & 2x_3 & = & 3 \\
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\end{cases}
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$
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，解得$
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\begin{cases}
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x_1 & = & -2 \\
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x_3 & = & \frac{3}{2} \\
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\end{cases}
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$
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，代入$Ax=b$求得特解
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$
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x_p=
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\begin{bmatrix}
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-2 \\ 0 \\ \frac{3}{2} \\ 0
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\end{bmatrix}
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$。
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令$Ax=b$成立的所有解：
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$$
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\begin{cases}
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A & x_p & = & b \\
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A & x_n & = & 0 \\
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\end{cases}
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\quad
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\underrightarrow{两式相加}
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\quad
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A(x_p+x_n)=b
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$$
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即$Ax=b$的解集为其特解加上零空间，对本例有：
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$
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x_{complete}=
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\begin{bmatrix}
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-2 \\ 0 \\ \frac{3}{2} \\ 0
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\end{bmatrix}
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||
+
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c_1\begin{bmatrix}-2\\1\\0\\0\\\end{bmatrix}
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||
+
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c_2\begin{bmatrix}2\\0\\-2\\1\\\end{bmatrix}
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$
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对于$m \times n$矩阵$A$，有矩阵$A$的秩$r \leq min(m, n)$
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列满秩$r=n$情况：
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$
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A=
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\begin{bmatrix}
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1 & 3 \\
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2 & 1 \\
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6 & 1 \\
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5 & 1 \\
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\end{bmatrix}
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$
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，$rank(A)=2$，要使$Ax=b, b \neq 0$有非零解，$b$必须取$A$中各列的线性组合，此时A的零空间中只有$0$向量。
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行满秩$r=m$情况：
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$
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A=
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\begin{bmatrix}
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1 & 2 & 6 & 5 \\
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3 & 1 & 1 & 1 \\
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\end{bmatrix}
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$
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，$rank(A)=2$，$\forall b \in R^m都有x \neq 0的解$，因为此时$A$的列空间为$R^m$，$b \in R^m$恒成立，组成$A$的零空间的自由变量有n-r个。
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行列满秩情况：$r=m=n$，如
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$
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A=
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\begin{bmatrix}
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1 & 2 \\
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3 & 4 \\
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\end{bmatrix}
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$
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，则$A$最终可以化简为$R=I$，其零空间只包含$0$向量。
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总结：
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$$\begin{array}{c|c|c|c}r=m=n&r=n\lt m&r=m\lt n&r\lt m,r\lt n\\R=I&R=\begin{bmatrix}I\\0\end{bmatrix}&R=\begin{bmatrix}I&F\end{bmatrix}&R=\begin{bmatrix}I&F\\0&0\end{bmatrix}\\1\ solution&0\ or\ 1\ solution&\infty\ solution&0\ or\ \infty\ solution\end{array}$$
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