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完全背包理论基础-二维DP数组
本题力扣上没有原题，大家可以去卡码网第52题去练习，题意是一样的。
完全背包
有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品都有无限个（也就是可以放入背包多次），求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。
完全背包和01背包问题唯一不同的地方就是，每种物品有无限件。
同样leetcode上没有纯完全背包问题，都是需要完全背包的各种应用，需要转化成完全背包问题，所以我这里还是以纯完全背包问题进行讲解理论和原理。
在下面的讲解中，我拿下面数据举例子：
背包最大重量为4，物品为：
| 重量 | 价值 | |
|---|---|---|
| 物品0 | 1 | 15 |
| 物品1 | 3 | 20 |
| 物品2 | 4 | 30 |
每件商品都有无限个！
问背包能背的物品最大价值是多少？
如果没看到之前的01背包讲解，已经要先仔细看如下两篇，01背包是基础，本篇在讲解完全背包，之前的背包基础我将不会重复讲解。
动规五部曲分析完全背包，为了从原理上讲清楚，我们先从二维dp数组分析：
1. 确定dp数组以及下标的含义
dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品，每个物品可以取无限次，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。
很多录友也会疑惑，凭什么上来就定义 dp数组，思考过程是什么样的， 这个思考过程我在 01背包理论基础（二维数组） 中的 “确定dp数组以及下标的含义” 有详细讲解。
2. 确定递推公式
这里在把基本信息给出来：
| 重量 | 价值 | |
|---|---|---|
| 物品0 | 1 | 15 |
| 物品1 | 3 | 20 |
| 物品2 | 4 | 30 |
对于递推公式，首先我们要明确有哪些方向可以推导出 dp[i][j]。
这里依然拿dp[1][4]的状态来举例： （01背包理论基础（二维数组） 中也是这个例子，要注意下面的不同之处）
求取 dp[1][4] 有两种情况：
- 放物品1
- 还是不放物品1
如果不放物品1， 那么背包的价值应该是 dp[0][4] 即 容量为4的背包，只放物品0的情况。
推导方向如图：
如果放物品1， 那么背包要先留出物品1的容量，目前容量是4，物品1 的容量（就是物品1的重量）为3，此时背包剩下容量为1。
容量为1，只考虑放物品0 和物品1 的最大价值是 dp[1][1]， 注意 这里和 01背包理论基础（二维数组） 有所不同了！
在 01背包理论基础（二维数组） 中，背包先空留出物品1的容量，此时容量为1，只考虑放物品0的最大价值是 dp[0][1]，因为01背包每个物品只有一个，既然空出物品1，那背包中也不会再有物品1！
而在完全背包中，物品是可以放无限个，所以 即使空出物品1空间重量，那背包中也可能还有物品1，所以此时我们依然考虑放 物品0 和 物品1 的最大价值即： dp[1][1]， 而不是 dp[0][1]
所以 放物品1 的情况 = dp[1][1] + 物品1 的价值，推导方向如图：
（注意上图和 01背包理论基础（二维数组） 中的区别，对于理解完全背包很重要）
两种情况，分别是放物品1 和 不放物品1，我们要取最大值（毕竟求的是最大价值）
dp[1][4] = max(dp[0][4], dp[1][1] + 物品1 的价值)
以上过程，抽象化如下：
-
不放物品i：背包容量为j，里面不放物品i的最大价值是dp[i - 1][j]。
-
放物品i：背包空出物品i的容量后，背包容量为j - weight[i]，dp[i][j - weight[i]] 为背包容量为j - weight[i]且不放物品i的最大价值，那么dp[i][j - weight[i]] + value[i] （物品i的价值），就是背包放物品i得到的最大价值
递归公式： dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);
（注意，完全背包二维dp数组 和 01背包二维dp数组 递推公式的区别，01背包中是 dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i])）
3. dp数组如何初始化
关于初始化，一定要和dp数组的定义吻合，否则到递推公式的时候就会越来越乱。
首先从dp[i][j]的定义出发，如果背包容量j为0的话，即dp[i][0]，无论是选取哪些物品，背包价值总和一定为0。如图：
在看其他情况。
状态转移方程 dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]); 可以看出有一个方向 i 是由 i-1 推导出来，那么i为0的时候就一定要初始化。
dp[0][j]，即：存放编号0的物品的时候，各个容量的背包所能存放的最大价值。
那么很明显当 j < weight[0]的时候，dp[0][j] 应该是 0，因为背包容量比编号0的物品重量还小。
当j >= weight[0]时，dp[0][j] 如果能放下weight[0]的话，就一直装，每一种物品有无限个。
代码初始化如下：
for (int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 当然这一步，如果把dp数组预先初始化为0了，这一步就可以省略，但很多同学应该没有想清楚这一点。
dp[i][0] = 0;
}
// 正序遍历，如果能放下就一直装物品0
for (int j = weight[0]; j <= bagWeight; j++)
dp[0][j] = dp[0][j - weight[0]] + value[0];
（注意上面初始化和 01背包理论基础（二维数组）的区别在于物品有无限个）
此时dp数组初始化情况如图所示：
dp[0][j] 和 dp[i][0] 都已经初始化了，那么其他下标应该初始化多少呢？
其实从递归公式： dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]); 可以看出dp[i][j] 是由上方和左方数值推导出来了，那么 其他下标初始为什么数值都可以，因为都会被覆盖。
但只不过一开始就统一把dp数组统一初始为0，更方便一些。
最后初始化代码如下：
// 初始化 dp
vector<vector<int>> dp(weight.size(), vector<int>(bagweight + 1, 0));
for (int j = weight[0]; j <= bagWeight; j++) {
dp[0][j] = dp[0][j - weight[0]] + value[0];
}
4. 确定遍历顺序
01背包理论基础（二维数组） 中我们讲过，01背包二维DP数组，先遍历物品还是先遍历背包都是可以的。
因为两种遍历顺序，对于二维dp数组来说，递推公式所需要的值，二维dp数组里对应的位置都有。
详细可以看 01背包理论基础（二维数组） 中的 【遍历顺序】的讲解
所以既可以 先遍历物品再遍历背包：
for (int i = 1; i < n; i++) { // 遍历物品
for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);
}
}
也可以 先遍历背包再遍历物品：
for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
for (int i = 1; i < n; i++) { // 遍历物品
if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);
}
}
5. 举例推导dp数组
以本篇举例数据为例，填满了dp二维数组如图：
因为 物品0 的性价比是最高的，而且 在完全背包中，每一类物品都有无限个，所以有无限个物品0，既然物品0 性价比最高，当然是优先放物品0。
本题代码：
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int main() {
int n, bagWeight;
int w, v;
cin >> n >> bagWeight;
vector<int> weight(n);
vector<int> value(n);
for (int i = 0; i < n; i++) {
cin >> weight[i] >> value[i];
}
vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(bagWeight + 1, 0));
// 初始化
for (int j = weight[0]; j <= bagWeight; j++)
dp[0][j] = dp[0][j - weight[0]] + value[0];
for (int i = 1; i < n; i++) { // 遍历物品
for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);
}
}
cout << dp[n - 1][bagWeight] << endl;
return 0;
}
关于一维dp数组，大家看这里：完全背包一维dp数组讲解
其他语言版本
Java
import java.util.Scanner;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
int n = scanner.nextInt();
int bagWeight = scanner.nextInt();
int[] weight = new int[n];
int[] value = new int[n];
for (int i = 0; i < n; i++) {
weight[i] = scanner.nextInt();
value[i] = scanner.nextInt();
}
int[][] dp = new int[n][bagWeight + 1];
// 初始化
for (int j = weight[0]; j <= bagWeight; j++) {
dp[0][j] = dp[0][j - weight[0]] + value[0];
}
// 动态规划
for (int i = 1; i < n; i++) {
for (int j = 0; j <= bagWeight; j++) {
if (j < weight[i]) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
} else {
dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);
}
}
}
System.out.println(dp[n - 1][bagWeight]);
scanner.close();
}
}
Go
Python
def knapsack(n, bag_weight, weight, value):
dp = [[0] * (bag_weight + 1) for _ in range(n)]
# 初始化
for j in range(weight[0], bag_weight + 1):
dp[0][j] = dp[0][j - weight[0]] + value[0]
# 动态规划
for i in range(1, n):
for j in range(bag_weight + 1):
if j < weight[i]:
dp[i][j] = dp[i - 1][j]
else:
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i])
return dp[n - 1][bag_weight]
# 输入
n, bag_weight = map(int, input().split())
weight = []
value = []
for _ in range(n):
w, v = map(int, input().split())
weight.append(w)
value.append(v)
# 输出结果
print(knapsack(n, bag_weight, weight, value))
JavaScript
