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advanced-math/exercise/6-differential-calculus-of-multivariate-functions/differential-calculus-of-multivariate-functions.tex

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 首先求一次偏导：$\dfrac{\partial z}{\partial x}=ye^{xy}+\dfrac{\partial f(u,v)}{\partial u}\dfrac{\partial u}{\partial x}+\dfrac{\partial f(u,v)}{\partial v}\dfrac{\partial v}{\partial x}=ye^{xy}+f_1'+f_2'y$。
 
-接着对$y$求偏导：$\dfrac{\partial^2z}{\partial x\partial y}=e^{xy}+xye^{xy}+\dfrac{\partial f_1'}{\partial y}+\dfrac{\partial f_2'y}{\partial y}$。
+接着对$y$求偏导：$\dfrac{\partial^2z}{\partial x\partial y}=e^{xy}+xye^{xy}+\dfrac{\partial f_1'}{\partial y}+\dfrac{\partial f_2'y}{\partial y}$
 
 $=e^{xy}+xye^{xy}+\dfrac{\partial f_1'}{\partial y}+\dfrac{\partial f_2'}{\partial y}y+f_2'\dfrac{\partial y}{\partial y}=e^{xy}+xye^{xy}+\dfrac{\partial f_1'}{\partial u}\dfrac{\partial u}{\partial y}+\dfrac{\partial f_1'}{\partial v}\dfrac{\partial v}{\partial y}+\dfrac{\partial f_2'}{\partial u}\dfrac{\partial u}{\partial y}y+\dfrac{\partial f_2'}{\partial v}\dfrac{\partial v}{\partial y}y+f_2'=e^{xy}+xye^{xy}+f_{11}''+f_{12}''x+f_{21}''y+f_{22}''xy+f_2'$。\medskip
 

advanced-math/knowledge/4-indefinite-integral-and-definite-integral/indefinite-integral-and-definite-integral.tex

@@ -707,13 +707,13 @@ $S=2\pi\int_\alpha^\beta\vert y(t)\vert\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}\,\textrm{d}t$
 
 对于一条曲线$y=f(x)$以及$x=a$，$x=b$（$a<b$）所围成的平面绕$x$轴进行旋转，可以看作从$x$轴沿$y$轴水平切割旋转体，就得到了以$x$轴为中心的一个圆柱，底边半径为$f(x)$，高度为$\textrm{d}x$，所以$\textrm{d}V_x=\pi f^2(x)\,\textrm{d}x$，所以$V_x=\pi\int_a^bf^2(x)\,\textrm{d}x$（如果用$y(x)$表达，就是$V_x=\pi\int_c^d\varphi^2(y)\,\textrm{d}y$）。
 
-对于一条曲线$y=f(x)$以及$x=a$，$x=b$（$a<b$）所围成的平面绕$y$轴进行旋转，可以看作从旋转中心向外围按同样的半径切割环形体，这个环形体从里到外半径与体积都在不断变大，然后将这个环形体展开为长方体来计算体积，其中长度为原来圆周$2\pi x$，宽度为$f(x)$，高度为$\textrm{d}x$，所以$\textrm{d}V_y=2\pi xf(x)\,\textrm{d}x$，所以$V_y=2\pi\int_a^bx\vert f(x)\vert\,\textrm{d}x$。（柱壳法）
+对于一条曲线$y=f(x)$以及$x=a$，$x=b$（$a<b$）所围成的平面绕$y$轴进行旋转，可以看作从旋转中心向外围按同样的半径切割环形体，这个环形体从里到外半径与体积都在不断变大，然后将这个环形体展开为长方体来计算体积，其中长度为原来圆周$2\pi x$，宽度为$f(x)$，高度为$\textrm{d}x$，所以$\textrm{d}V_y=2\pi xf(x)\,\textrm{d}x$，所以$V_y=2\pi\int_a^bx\vert f(x)\vert\,\textrm{d}x$。（柱壳法）（同理也可以使用$y(x)$来表达）
 
-对于两条曲线$y=f_1(x)\geqslant0$，$y=f_2(x)\geqslant0$以及$x=a$，$x=b$（$a<b$）所围成的平面绕$x$轴旋转一周，可以看做一个环形体，中间是空的，所以可以将外面的较大函数旋转得到的大体积减去里面的较小函数旋转得到小体积，体积为$V_x=\pi\int_a^b\vert f_1^2(x)-f_2^2(x)\vert\,\textrm{d}x$。
+对于两条曲线$y=f_1(x)\geqslant0$，$y=f_2(x)\geqslant0$以及$x=a$，$x=b$（$a<b$）所围成的平面绕$x$轴旋转一周，可以看做一个环形体，中间是空的，所以可以将外面的较大函数旋转得到的大体积减去里面的较小函数旋转得到小体积，体积为$V_x=\pi\int_a^b\vert f_1^2(x)-f_2^2(x)\vert\,\textrm{d}x$。（同理也可以使用$y(x)$来表达）
 
-对于两条曲线$y=f_1(x)\geqslant0$，$y=f_2(x)\geqslant0$以及$x=a$，$x=b$（$a<b$）所围成的平面绕$y$轴旋转一周，可以看做一个环形体，中间是空的，所以可以将外面的较大函数旋转得到的大体积减去里面的较小函数旋转得到小体积，体积为$V_y=2\pi\int_a^bx\vert f_1(x)-f_2(x)\vert\,\textrm{d}x$。
+对于两条曲线$y=f_1(x)\geqslant0$，$y=f_2(x)\geqslant0$以及$x=a$，$x=b$（$a<b$）所围成的平面绕$y$轴旋转一周，可以看做一个环形体，中间是空的，所以可以将外面的较大函数旋转得到的大体积减去里面的较小函数旋转得到小体积，体积为$V_y=2\pi\int_a^bx\vert f_1(x)-f_2(x)\vert\,\textrm{d}x$。（同理也可以使用$y(x)$来表达）
 
-对于不同的旋转轴，可以由前两种情况变为后两种情况来计算。
+对于不同的旋转轴，可以由前两种情况变为后两种情况来计算。使用第一种方式来计算，如围绕$y=1$旋转，即用$1-f(x)$来替换，围绕$y=-2$，用$-2-g(y)$来替换，不要使用柱壳法来计算。
 
 \paragraph{平行截面已知的立体体积} \leavevmode \medskip